第二单元 角的度量（期中知识清单）数学人教版四年级上册（新教材）

人教版·新教材四年级数学上册 第二单元：角的度量（期中复习讲义） 知识点01：角的再认识 1．平角、周角的认识及特征 （1）平角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。 ②特征：平角的两条边在一条直线上，方向相反。1平角有1个顶点，2条边。 ③度数：1平角=180°。 （2）周角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。 ②特征：周角的两条边重合在一起。1周角有1个顶点，2条边。 ③度数：1周角=360°。 【易错点】 （1）平角不是直线，直线没有顶点，而平角有顶点。 （2）周角不是射线，周角是由一条射线绕端点旋转一周形成的，两条射线完全重合。 2．角的大小比较 （1）角的大小只和两条边张开的程度有关，与边的长短无关。 （2）比较方法 ①重叠法（顶点、一条边重合，看另一条边位置）； ②先量度数，再比数字大小。 3．角的分类及换算 （1）五类角从小到大：锐角、直角、钝角、平角、周角 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° （2）换算公式： ①1周角= 2平角= 4直角 ②1平角= 2直角 知识点02：角的度量 1．角的度量单位：角的度量单位是度。将圆平均分成360份，其中1份所对的角的大小就是1度，记作1º。 2．角的度量工具：射线只有1个端点，可以向1端无限延伸，是无限长的，无法测量。 3．角的度量方法：核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： （1）点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； （2）线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； （3）读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 知识点03：画角 1．用三角尺画特殊度数的角： （1）一副三角尺有两块 ①等腰直角三角尺：45°、45°、90°。 ②细长直角三角尺：30°、60°、90°。 （2）可直接画出的角有30°、45°、60°、90°。 （3）通过两块三角尺拼摆画出的角 ①75°=45°+30°；②105°=60°+45°；③120°=90°+30°或60°+60°； ④135°=90°+45°；⑤150°=90°+60°；⑥180°=90°+90° （4）通过一块三角尺叠在另一块上拼摆画出的角 ①15°=45°－30°；②15°=60°－45° （5）规律：凡是15°的整数倍的角，都可以用一副三角尺画出来。 2．用量角器画指定度数的角 （1）画一条射线，使量角器的中心和封线的端点重合，0刻度线和射线重合。 （2）在量角器对应角度的刻度线的地方点一个点。 （3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【易错点】用量角器画角时，一定要坚持“两重合一对照”的原则：量角器的中心必须与射线的端点重合，零刻度线必须与所画的射线重合；同时要看准度数，所画的射线对应的零刻度线在外（或内）圈，就对照外（或内）圈的刻度找准度数。 知识点04：角度的计算 1．基础计算原则 （1）直角组合计算：两个角相加= 90°（互余） （2）平角组合计算：一条直线上两角相加= 180°（互补） （3）周角计算：围绕一点所有角相加= 360° 2．对顶角相等：两条直线相交，相对的两个角度数相同 3．常见题型逻辑 （1）求余角：已知∠1和∠2组成直角，则∠2=90°－∠1。 （2）求补角：已知∠1和∠2组成平角，则∠2=180°－∠1。 （3）折叠问题：折叠前后的角相等。通常涉及平角被分割，需利用2×折叠角+剩余角=180°的关系求解。 4．钟面角的计算 （1）钟面一圈360°，共12大格，每大格30°。 （2）分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。 （3）整点时刻：时针与分针夹角=大格数×30°。 考点01：平角、周角的认识及特征 【典型例题】∠1与35°的和是一个直角，∠1与∠2的和是一个平角，∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 【答案】 55°/55度 125°/125度 【分析】直角是90°，可以用减法算出∠1，再根据平角是180°，用减法算∠2，据此解答。 【详解】∠1＝90°－35°＝55° ∠2＝180°－55°＝125° 即∠1与35°的和是一个直角，∠1与∠2的和是一个平角，∠1＝55°，∠2＝125°。 【练习1】下面说法正确的是（     ）。 A．两个锐角合起来的角一定大于直角 B．1个平角＝2个直角 C．大于90°的角叫作钝角 D．12时15分，时针和分针所形成的较小角是直角 【答案】B 【分析】根据锐角、直角、平角、钝角的定义，锐角＜90°，直角＝90°，平角＝180°，90°＜钝角＜180°，结合钟面指针的位置特点，逐一判断各选项正误。 【详解】A．假设两个锐角分别为30°和20°，和为30°＋20°＝50°＜90°，小于直角，该说法错误。 B．平角为180°，直角为90°，180°÷90°＝2，因此1个平角＝2个直角，该说法正确。 C．钝角是大于90°且小于180°的角，仅大于90°的角不一定是钝角，该说法错误。 D．12时15分，时针已从12的位置向1偏移，分针指向3，二者形成的较小角小于90°，不是直角，该说法错误。 【练习2】全红婵在东京奥运会上完成了难度极高的“向后翻转三周半抱膝”动作，获得了满分。全红婵这一跳在空中总共旋转了（     ）。 A．540° B．1080° C．1260° 【答案】C 【分析】根据动作名称中的“三周半”可知全红婵旋转了3个周角加半个周角，1个周角是360°，半个周角是360°的一半。 【详解】360°×3＝1080° 360°÷2＝180° 1080°＋180°＝1260° 考点02：角的大小比较 【典型例题】如图，某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 【答案】 ＞ ＜ 【分析】根据角的大小与角两边叉开的大小有关；结合图意可知：如果敌机继续往前飞，则炮筒枪与地面叉开的角度变大，所以炮筒枪与地面的角度应大于25°；如果敌机向后方逃跑，则炮筒枪与地面叉开的角度变小，所以炮筒枪与地面的角度应小于25°。据此解答。 【详解】根据分析可知： 某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（＞）25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（＜）25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 【练习1】下面这些手势比画出的角，图（     ）中的角最大。 A． B． C． 【答案】A 【分析】角的大小和两边张开的程度有关，张开程度越大，角越大，和边的长度无关；分别确定三个选项里手势形成的角的两条边，观察每个角两边的张开幅度；对比三个角的张开幅度，选出张开幅度最大的对应的选项。 【详解】A．该选项所给的手势形成的是直角，两个手指张开的角度最大，所以形成的角度是最大的，是正确选项； B．该选项所给的手势形成的是锐角，两个手指张开的角度不大，所以形成的角度不是最大的，不是正确选项； C．该选项所给的手势形成的是锐角，两个手指张开的角度不大，所以形成的角度不是最大的，不是正确选项； 故答案为：A 【练习2】放风筝比赛时，规定用30米长的线。只要把每根风筝线的一端固定在地面上，量出风筝线与地面所形成的角的度数，就能比出哪个风筝放得最高。如图中，（ ）号风筝放得最高。（填序号） 【答案】① 【分析】风筝线长度都是30米（线长固定），风筝线与地面的夹角越大，风筝的高度就越高。 【详解】观察图中①号风筝线和地面夹角最大。①号风筝放得最高。 考点03：角的分类及换算 【典型例题】大雁结群南飞过冬，飞行过程中一会儿排成“人”字形，一会儿排成“一”字形。雁群排成“人”字形时，其夹角近似为110°，这个角是一个（ ）角，它和一个（ ）°的角可以拼成一个“一”字形角。 【答案】 钝 70 【分析】先根据角的度数范围判断是什么角；“一” 字形对应的角是平角，平角等于，用平角度数减去，求出另一个角的度数。 锐角：大于，小于的角 直角：等于的角 钝角：大于，小于的角 平角：等于的角 【详解】因为，所以是钝角。 “一” 字形的角是平角，平角。 ，所以需要的角。 【练习1】把一个平角分成两个角，如果其中一个是钝角，那么另一个一定是（ ）角；把一个周角平均分成6份，每份是（ ）度，是（ ）角。 【答案】 锐 60 锐 【分析】平角的度数是180°，钝角是大于90°、小于180°的角；小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，一个平角分成两个角，求另一个角，用平角度数减去钝角的度数，判断剩下角的范围。 周角的度数是360°；把一个角平均分成几份，求每份度数用除法计算；算出度数后，依据度数范围判断属于哪一类角。 【详解】两个角总和是180°，其中一个角是钝角，这个角＞90°，用总和180°减去一个大于90°的角，剩下的角就一定小于90°，小于90°的角是锐角，所以另一个一定是锐角。 周角为360°，平均分成6份： 360°÷6＝60°，60°小于90°，所以是锐角。 【练习2】如图有（ ）个锐角，（ ）个钝角。如果∠1＝30°，则∠2＝（ ）。 【答案】 2 2 【分析】①锐角为小于的角，为了防止重复，可以先找一个角，再找组合角。 ②钝角定义为大于且小于的角，为了防止重复，可以先找一个角，再找组合角。 ③和和构成一个平角，平角是，用平角的度数减去直角和即可。 【详解】①，是锐角；计算得，也是锐角。其余组合角（如∠1＋直角＝120°，直角＋∠2＝150°）均大于90°，不是锐角。只有2个锐角。 ②单个角没有钝角，找组合角，＋直角＝，直角＋＝，只有2个钝角。 ③和和构成一个平角，平角是，。 考点04：角的度量 【典型例题】聪聪用量角器量这个角（如图）是（ ）°，它是一个（ ）角，（ ）°角和它能拼成平角。 【答案】 40 锐 140 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心点与角的顶点重合，把角的一条边与量角器的0°刻度线重合，从这条0°刻度线数起，角的另一条边对着的刻度，就是这个角的度数；根据小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是钝角，平角＝180°，用180°减去这个角的度数，即可解答。 【详解】聪聪用量角器量这个角时，角的另一条边对着的刻度是40，这个角的度数是40°； 40°＜90°，它是一个锐角； 180°－40°＝140°，140°角和它能拼成平角。 【练习1】下面量角的方法正确的是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈；据此选择。 【详解】A．角的顶点和量角器中心对齐，角的一条边和0刻度线对齐，做到两对齐，符合题意； B．量角器的中心和角的顶点没有重合，不符合题意； C．量角器的中心和角的顶点没有重合，不符合题意。 【练习2】量角时，量角器的中心点要和角的（ ）重合，0°刻度线要和角的（ ）重合。如果角的一条边没有对准0°刻度线，而是对准了量角器的25°刻度线，另一条边指向100°刻度线，那么这个角的度数是（ ）°。 【答案】 顶点 一条边 75 【分析】量角时，量角器中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。若角的一条边没有对准0°刻度线，而是对准25°，另一条边指向100°，角的大小等于两边对应刻度的差。用大刻度减小刻度。 【详解】量角器中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。此时量的角度是100－25＝75°。 考点05：用量角器画角 【典型例题】量一量，填一填，画一画。 先量出∠1的度数，再画出∠2，并写出两个角的名称。 ∠1＝（     ）°，是（     ）角。     ∠2＝140°，是（     ）角。 【答案】35；锐   ；钝 【分析】量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出∠1。 小于90°的角是锐角，90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是钝角； 画角：先画一条射线，作为角的一条边；量角器中心点与射线端点（顶点）重合；量角器0°刻度线与射线重合；在量角器上找到要画的度数（如140°），在对应刻度线处点一个点。注意：0°对内圈，就读内圈刻度；0°对外圈，就读外圈刻度；以顶点为端点，过刚画的点再画一条射线，标上角的符号和度数。 【详解】∠1＝35°，是锐角； ∠2＝140°，是钝角。 【练习1】茶厂传送带与地面成150°钝角，请以点A为顶点用量角器画出这个角。 【答案】见详解 【分析】把量角器的中心和点A完全重合，让量角器的0°刻度线和图里已有的这条水平线段对齐。因为要画150°的钝角，顺着和这条水平线段开口朝上的方向，在量角器150°刻度的位置点上一个小标记点。拿直尺，从点A出发，经过刚才点好的标记点画一条新的射线，这样两条线在A点组成的角就是要求的150°角了。 【详解】 【练习2】利用下边破损的量角器画一个50°的角，其中顶点和一条边已经画好了，请你画出这个角的另一条边。 【答案】见详解 【分析】角的顶点与量角器的中心重合，角的一边对齐外圈80°的刻度线，80°＋50°＝130°，在130°的刻度线位置点一个点，以量角器中心为端点，过刚画的点画一条射线，这条射线和已经画好的边组成的角就是50°的角。 【详解】 考点06：用三角尺画角 【典型例题】拼一拼，算出三角尺拼成角的度数。 （ ）       （ ）       （ ）           （ ） 【答案】 75° 120° 120° 60° 【分析】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、45°、90°，用它们进行拼组，看是否能得出这几个角度即可。 【详解】从左到右的度数依次为： 由图可知，图中的角是由45°的角和30°的角拼合而成的，即拼成角的度数为45°＋30°＝75°； 由图可知，图中的角是由90°的角和30°的角拼合而成的，即拼成角的度数为90°＋30°＝120°； 由图可知，拼成的角和60°的角组成了一个平角。平角的度数为180°，那么拼成角的度数为180°－60°＝120°； 由图可知，图中的角是由90°的角和30°的角相减而成的，即拼成角的度数为90°－30°＝60°。 【练习1】用一副三角板的两角相拼，可以拼出的最大角是_________°，它是_________角。 【答案】 180 平 【分析】因为三角板中最大的角是90°的直角，把一副三角板中的两个直角拼在一起就能画出一个最大的角是180°的角，180°的角是平角，据此解答。 【详解】用一副三角板的两角相拼，可以拼出的最大角是180°，它是平角。 【练习2】数学课上，同学们用三角尺画角。下面各选项中，（     ）的角能用一副三角尺画出来。 A．125° B．40° C．15° D．10° 【答案】C 【分析】一副三角尺的角的度数为30°、45°、60°、90°，能画出的角是这些角度相加或相减得到的角，可以画出的角有：15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°。 【详解】由分析可知，15°的角能用一副三角尺画出。 考点07：角度的计算 【典型例题】明明在折纸时，将一张长方形的纸折成了如图所示的形状，如果他折出来的∠1＝35°，∠3＝25°，那么图中的∠2＝（ ）°。 【答案】60 【分析】根据图示，被折叠的部分和它原来的位置是完全重合的，因此对应的角是相等的；观察图形，根据折叠的性质，可知与∠1相邻的、被盖住的那个角与∠1是相等的，与∠3相邻的、被盖住的那个角与∠3是相等的；这样∠2和两个折叠部分所占用的角度加起来，总和是180°，这样就可以求解出∠2的度数。 【详解】∠2＝180°－2∠1－2∠3 ＝180°－2×35°－2×25° ＝180°－70°－50° ＝110°－50° ＝60° 【练习1】笑笑从科学课上学习到了光在遇到许多物体的表面时都会发生反射现象（如图所示），∠2和∠3分别叫做入射角和反射角，入射角总是等于反射角。若已知∠1＝30°，则∠2＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【答案】 60 30 【分析】确定图中的法线与界面垂直，因此∠1与∠2组成直角，和为90°，因为已知∠1的度数，所以可以用90°减去∠1的度数得到∠2的度数。 利用题目给出的入射角等于反射角的条件，即∠2＝∠3，因此可直接得到∠3的度数。 同理，∠3与∠4组成直角，和为90°，因为已经得到∠3的度数，所以用90°减去∠3的度数即可得到∠4的度数。 【详解】∠2＝90°－30°＝60° ∠3＝∠2＝60° ∠4＝90°－60°＝30° 【练习2】求出∠1、∠2、∠3的度数。 【答案】∠1＝35°；∠2＝55°； ∠3＝125° 【分析】找∠1的关联角：因为∠1和55°与直角组成平角，所以用平角180°减去直角和55°即可得到∠1。 找∠2的关联角：因为∠1和∠2与直角组成平角，所以用平角180°减去直角和∠1的度数即可得到∠2； 找∠3的关联角：因为∠3和55°角组成平角，所以用平角180°减去55°即可得到∠3。 【详解】∠1＝180°90°55°＝35°， ∠2＝180°90°35°＝55°， ∠3＝180°55°＝125° 考点08：钟面角的计算 【典型例题】小梦早上6：50起床，起床后小梦洗脸、刷牙、整理床铺。妈妈叫她吃早饭时，小梦看到钟面上的时间是7：20，那么小梦从起床到吃饭这段时间钟面上的时针和分针各转了多少度？ 【答案】时针转了度，分针转了度 【分析】先根据结束时间减去开始时间算出从起床到吃饭的总时长，再结合钟面每大格对应的角度是度，分针转动一大格是分钟，时针转动一大格是小时，分别计算时针、分针转动的度数。 【详解】时分时分分 （度） （个） （度） 时针小时（分钟）走个大格，分钟是半小时，走半大格，转动的度数为： （度） 答：时针转了度，分针转了度。 【练习1】从4：15到4：30，这段时间里钟表上的分针旋转了（       ）。 A．120° B．90° C．30° 【答案】B 【分析】钟面上分针5分钟走1大格，1大格对应的角度是30°，先算出从4：15到4：30分针走的时长，再算走了多少大格，最后乘30°，即可得到旋转的角度。 【详解】4：30－4：15＝15（分钟） 15÷5＝3（大格） 30°×3＝90° 所以这段时间里钟表上的分针旋转了90°。 【练习2】从5：00到5：15，钟表上的分针旋转了（     ）度。 A．30 B．60 C．90 【答案】C 【分析】钟面上有12大格，把圆周角平均分成了12份，每一大格对应的夹角是360÷12＝30（度），从5：00到5：15，分针从12走到3，走了3大格，用一大格对应的夹角度数乘3，即为分针旋转的度数。 【详解】从5：00到5：15，分针从12走到3，走了3大格。 360÷12＝30（度） 30×3＝90（度） 所以，从5：00到5：15，钟表上的分针旋转了90度。 一、选择题 1．用一个放大3倍的放大镜看一个的角，这个角是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，和边的长度没有关系。放大镜只能放大角的边的视觉长度，不能改变角两边的张开幅度。 【详解】由分析可知，用一个放大3倍的放大镜看一个20°的角，这个角是20°。 2．《新闻联播》是中央电视台播出的重点时政新闻节目，也是中国收视率最高、影响力最大的电视新闻栏目，被称为“中国政坛的风向标”。一般情况下，每天19点播出，19点30分结束，结束时钟表上的时针和分针形成（     ）角。 A．直 B．锐 C．钝 【答案】B 【分析】 根据题意，先算出钟表每个大格对应的角度，即360÷12＝30（度）；再确定19点30分时针和分针的位置，求出夹角大小后判断角的类型。 【详解】钟表一圈为360°，共12个大格，每个大格的角度：360÷12＝30（度） 19点30分时，分针指向6，时针指向7和8的中间，时针与分针间隔1.5个大格 夹角为：30×1.5＝45（度） 45°＜90°，属于锐角。 3．用一副三角板不能拼出（     ）。 A．150° B．20° C．135° 【答案】B 【分析】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，把它们进行组合即可得到能组成的角，据此解答。 【详解】A． 90°＋60°＝150°，150°的角可以用60°和90°的角组成，所以150°的角可以用一副三角板拼出。此选项不符合题意； B． 一副三角板中的角无论如何加减组合都无法拼出20°的角。此选项符合题意； C．90°＋45°＝135°，135°的角可以用45°和90°的角组成，所以135°的角可以用一副三角板拼出。此选项不符合题意。 4．如图，小聪把半圆分成了相同的若干份，使其成为一个“量角器”（没有刻度），用这个“量角器”不能画出（     ）的角。 A．20° B．120° C．130° 【答案】C 【分析】由题意可知，半圆是一个平角，相当于将一个平角平均分成9份，据此用180°÷9计算出一份的度数，然后再看选项中的度数是不是20°的倍数即可。 【详解】180°÷9＝20° A．其中的一份就是20°，可以画出20°的角。 B．6份是120°，所以120°的角也能画出来。 C．130°不是20°的倍数，所以不能画出。 5．一副三角板叠在一起（如图），∠1＝（     ）°。 A．15 B．60 C．45 【答案】A 【分析】观察图片可知，这是由三角板的45°角和60°角重叠在一起形成的，所以∠1的度数等于这两个角的度数之差。据此解答。 【详解】60°－45°＝15° 因此∠1＝15°。 二、填空题 6．下面的角各是什么角？写出角的名称。 （ ）角          （ ）角              （ ）角                （ ）角 【答案】 钝 直 平 锐 【分析】角的分类标准：锐角是大于0°且小于90°的角；直角是等于90°的角；钝角是大于90°且小于180°的角；平角是等于180°的角；据此判断即可。 【详解】 钝角                   直角                         平角                       锐角 7．2平角＝（ ）°；3直角＝（ ）°；1周角＝（ ）直角。 【答案】 360 270 4 【分析】平角的度数是180°，直角的度数是90°，周角的度数是360°。 因为求多个平角、直角的总度数，所以用单类角的度数乘以对应数量即可得到结果。 如果要计算1周角等于多少个直角，那么用周角的度数除以直角的度数即可得到数量。 【详解】2×180°＝360°，2平角＝360°； 3×90°＝270°，3直角＝270°； 360°＝90°＋90°＋90°＋90°，1周角＝4直角。 8．量角器上同一条刻度线，内圈刻度与外圈刻度相加的和是（ ）度。 【答案】180 【分析】观察量角器上同一条刻度线，内圈刻度与外圈刻度，发现相加的和是180° 【详解】 观察量角器： 当内圈刻度是170°对应的外圈刻度是10°，和是 当内圈刻度是160°对应的外圈刻度是20°，和是 当内圈刻度是150°对应的外圈刻度是30°，和是 …… 所以量角器上同一条刻度线，内圈刻度与外圈刻度相加的和是180度。 9．用一个不完整的量角器画直角，如图，这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上，那么另一条边应该在量角器外圈（ ）°刻度线上。 【答案】150 【分析】直角是90°。量角器外圈刻度从60°开始，另一条边与这条边组成直角，两条边之间的夹角是90°。外圈刻度越大角度越大，所以另一条边应在60°加90°的刻度线上。 【详解】60°＋90°＝150° 10．下面是由一副三角尺拼成的角，分别写出它们的度数。          ∠1＝（ ）    ∠2＝（ ）    ∠3＝（ ） 【答案】 120° 150° 150° 【分析】一副三角尺中，其中一个三角尺上的三个角分别是90°、60°、30°，另一个三角尺上的三个角分别是90°、45°、45°。平角的两条边在同一直线上，它的度数是180°。 【详解】∠1由90°与30°的角拼成，所以∠1＝ ∠2由90°与60°的角拼成，所以∠2＝ ∠3等于平角（180°）减30°，所以∠3＝ 11．钟面上，（ ）时整，时针和分针所成的夹角是90°；（ ）时整，时针和分针所成的夹角是180°。 【答案】 3或9 6 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，整时时，分针指向12，当时针指向3或9时，夹角是90°，当时针指向6时，夹角是180°，据此解答即可。 【详解】钟面上，3或9时整，时针和分针所成的夹角是90°6时整，时针和分针所成的夹角是180°。 12．和角组成一个直角，则是（ ）°；和角组成一个平角，则是（ ）°。 【答案】 15 105 【分析】∠A和75°组成一个直角，直角＝90°，用90°减去75°，即可求得∠A的度数； ∠B和75°组成一个平角，平角＝180°，用180°减去75°，即可求得∠B的度数。 【详解】∠A＝90°－75°＝15° ∠B＝180°－75°＝105° 13．用三角尺上60°和45°的角可以画出（ ）度或（ ）度的角。 【答案】 105 15 【分析】三角尺上60°和45°通过角的相加和相减得到新的角度；将三角尺上的60°和45°的顶点重合，一条边重合，另一条边所形成的角就是这两个角的度数之和；将三角尺上的60°和45°的顶点重合，一条边重合，较大角的另一边与较小角的另一边所形成的角就是这两个角的度数之差。 【详解】角度之和：60°＋45°＝105°；角度之差：60°45°＝15°。 14．小月制作了5片花瓣备用，紧接着用两张纸条卷起来做花杆。在此过程中，小月发现将纸条按下图摆放，形成的四个角中，有（ ）个锐角，（ ）个钝角。如果旋转纸条让∠1变小，那么∠2会变（ ），∠3会变（ ），∠4会变（ ）（填“大”或“小”）。 【答案】 2 2 大 小 大 【分析】锐角：小于90°的角，钝角：大于90°且小于180°的角； 由图可得，∠1和∠2构成了平角，即两角之和是180°，如果∠1变小，在它们和一定的情况下，那么∠2就随之变大， 同理可得，∠1和∠4构成了平角，∠4和∠3构成了平角，即它们两角之和都是180°，如果∠1变小，在和一定的情况下，那么∠4就随之变大，如果∠4变大，那么∠3就随之变小。 【详解】由图可得，∠2和∠4是锐角，∠3和∠1是钝角 即形成的四个角中，有（2）个锐角，（2）个钝角。如果旋转纸条让∠1变小，那么∠2会变（大），∠3会变（小），∠4会变（大） 15．一张圆形纸片对折3次后展开，每一份所对的角是（ ）度。 【答案】45 【分析】一张圆形纸片可以看作一个周角，是360°，对折3次后，相当于把这张圆形纸片平均分成（2×2×2）份，用周角的度数除以平均分成的份数，即可求出每一份所对的角的度数。 【详解】2×2×2＝8（份） 360°÷8＝45° 16．用一副三角板中45°的角和60°的角拼在一起（两角相加），画出的角是（ ）°。 【答案】105 【分析】题目要求把两个角相加，将45°与60°求和即可得到拼成角的度数。 【详解】45°＋60°＝105° 17．如图所示，∠2＝65°，那么∠1＝（ ），∠4＝（ ）。 【答案】 115° 65° 【分析】根据题意，∠1、∠2组成一个平角，平角＝180°，用180°减去∠2的度数，即可求得∠1。∠1、∠4组成一个平角，用180°减去∠1的度数，即可求得∠4的度数。 【详解】∠1＝180°－∠2＝180°－65°＝115° ∠4＝180°－∠1＝180°－115°＝65° 18．如图：已知∠1＝28°，∠4是直角。求：∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠5＝（ ）。 【答案】 152° 28° 62° 【分析】三角形的内角和是180°，直角三角形中有一个角∠4是90°，∠1＋∠5＝90°，∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°。 【详解】180°－28°＝152°，∠2＝152°。 180°－152°＝28°，∠3＝28°。 90°－28°＝62°，∠5＝62°。 19．如图，将一副三角尺按下图摆放。若∠2＝50°，那么∠1＋∠2＋∠3＝（ ）°。 【答案】130 【分析】看图可知，∠1和∠2构成了三角尺的直角，已知∠2的度数，用90°减去50°，可以计算出∠1的度数；∠2和∠3也构成了三角尺的直角，∠1＋∠2＋∠3就等于∠1的度数加上90°即可。 【详解】∠1＋∠2＋∠3＝。 三、作图题 20．金秋小区计划在园区内建造一部儿童滑梯。考虑到安全性、舒适性和玩耍体验等因素，滑道的坡度应该在30°到50°之间。（坡度是指滑道与地面的夹角） （1）量一量。左侧滑道的坡度是（ ）°。 （2）画一画。滑梯的右侧还有一个坡度为45°的滑道，请画出右侧滑道的示意图并标记上坡度的度数。（用一条线段来表示） （3）想一想。哪一侧的滑梯更平整、更安全？（ ）。 【答案】（1）50 （2）见详解 （3）右侧 【分析】（1）使用量角器测量，把量角器的中心和左侧滑道与地面的交点对齐，量角器的0刻度线和地面的水平线重合，读取滑道边对应的刻度，得到左侧滑道的坡度是50°。 （2）① 确定滑道的上端点为滑梯右侧平台的底部端点，在滑梯右侧的地面上取一点作为滑道的下端点；② 将量角器的中心对准地面上的滑道下端点，让量角器的0刻度线与地面的水平边重合，在量角器45°刻度对应的位置标记一个点；③ 连接滑梯平台的底部端点和标记的点，用这条线段表示滑道，最后在该线段和地面形成的夹角位置标注45°，就完成了滑道示意图的绘制。 （3）滑道与地面的夹角越小，滑道的坡度就越平缓。已知左侧滑道坡度为50°，右侧滑道坡度为45°，45°＜50°，因此右侧的滑梯更平缓、更安全，填“右”。 【详解】（1）量一量。左侧滑道的坡度是50°。 （2） （3）由分析可得：右侧的滑梯更平整、更安全 21．以下面的射线为一条边，分别画一个65°和110°的角。 【答案】（画法不唯一，符合要求即可） 【分析】因为给出的射线端点是角的顶点，射线为角的其中一条边，所以首先将量角器的中心与射线的端点重合，量角器的0刻度线与该射线重合。 要画65°或110°的角，那么在量角器对应65°、110°的刻度线位置分别点一个点，注意区分内圈和外圈刻度。以射线的端点为端点，经过刚才标记的点再画一条射线，两条射线所组成的角就是要求度数的角。 【详解】按照规范用量角器画出符合要求的65°角和110°角即可，画法不唯一。 画图略 四、解答题 22．如图，已知。∠1＝45°，∠2＝40°，∠3＝50°。请你数一数，图中共有多少个锐角？多少个钝角？多少个直角？ 【答案】3个；2个；1个 【分析】锐角：小于90°的角；直角：等于90°的角；钝角：大于90°小于180°的角。 先算出所有组合角：单个小角；两个角拼起来；三个角拼起来，再根据角的分类判断即可。 【详解】单个小角： ∠1＝45°（锐角），∠2＝40°（锐角），∠3＝50°（锐角） 两个角拼起来： ∠1＋∠3＝45°＋50°＝95°（钝角） ∠2＋∠3＝40°＋50°＝90°（直角） 三个角拼起来： ∠1＋∠2＋∠3＝45°＋40°＋50°＝135°（钝角） 答：图中共有锐角：3个；直角：1个；钝角：2个。 23．朵朵在用量角器量角时，犯了两个错误： （1）量第一个角时，一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°的刻度线对齐了，这样这个角被他量成了80°的角，实际这个角的度数是多少度？ （2）量第二个角时，因为看错了圈数，把这个角量成了130°的角，实际这个角的度数是多少度？ 【答案】（1）70° （2）50° 【分析】第一个角测量时角的一条边对准量角器10°刻度线，不是0°刻度线，读出读数80°，实际角度要用读出的度数减去起始刻度10°； 第二个角是看错量角器内外圈，量角器内外圈刻度相加是180°，读出130°，实际角度用180°减去看错的度数130°，利用量角器刻度特点进行推理计算。 【详解】（1）80°－10°＝70° 答：实际这个角是70°。 （2）180°－130°＝50° 答：实际这个角是50°。 24．如图是一张长方形纸折起来后得到的图形。若∠1＝36度，则∠2是多少度？若∠2＝70度，则∠1是多少度？ 【答案】72度；40度 【分析】图形是一张长方形纸折起来以后得到的，所以虚线组成的角和∠2相等，又因为虚线组成的角和∠2和∠1组成一个平角，是180度；根据题目要求，如果∠1＝36度，用180度减去36度再除以2就是∠2度数；如果∠2＝70度，用180度减去两个70度就是∠1度数。 【详解】 （度） （度） 答：若∠1＝36度，则∠2是72度。若∠2＝70度，则∠1是40度。 25．已知∠1＝35°，∠2＝85°，求∠3、∠4分别等于多少度。 【答案】∠3＝60°；∠4＝120° 【分析】观察图形可知，∠1，∠2，∠3共同组成一个平角，平角为180°，∠3＝180°－∠1－∠2； ∠1和∠2组成了∠4，∠4＝∠1＋∠2。 【详解】∠3＝180°－35°－85°＝60° ∠4＝35°＋85°＝120° ∠3是60°，∠4是120°。 26．下面是一长方形纸折起来后形成的图形，已知：∠1＝30°，求∠2的度数。 【答案】30° 【分析】由题意得，长方形纸折起来后形成的图形如图，那么∠1和它左边的那个角度数相等。∠1＝30°，那么∠1左边的那个角也等于30°。∠1，∠1左边的那个角和∠2构成了一个直角，直接用90°减去∠1和∠1左边的那个角的度数即可算出∠2的度数。 【详解】∠2＝90°－30°－30° ＝60°－30° ＝30° 答：∠2的度数为30°。 27．学校在儿童节举办放风筝比赛，选手们所用的风筝线一样长，假设他们都把风筝线放到最长。下图是甲、乙两位选手比赛时的情景。 （1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角∠1是（ ）°，乙的风筝线与地面的夹角∠2是（ ）°。 （2）仔细观察，风筝线与地面的夹角越大，风筝的高度越（ ），当夹角为（ ）°时，风筝最高。 （3）如果丙同学的风筝线与地面的夹角为35°，那么他的风筝可能飞得比甲、乙的风筝高吗？把你的想法写一写。 【答案】（1） 70 50 （2） 高 90 （3）不可能。35°＜50°＜70°，风筝线长度相同，风筝线与地面夹角越小，风筝高度越低，因此丙的风筝不能飞得比甲、乙的风筝高 【分析】（1）测量角度方法：量角器中心与角顶点重合，0°刻度线和角的一条边重合，另一条边对应的刻度就是角的度数。 （2）风筝线长度固定，看作直角三角形斜边，风筝高度是竖直直角边。斜边长度不变，风筝线与地面夹角越大，竖直直角边越长，风筝越高；夹角90°时风筝线垂直地面，高度达到最大值。 （3）所有选手风筝线长度相同，根据前面得出的规律：夹角越小，风筝高度越低。比较角度大小即可判断高低。 【详解】（1）测量得出∠1＝70°，∠2＝50°（以实际测量为准，接近数值均可）。 （2）风筝线与地面的夹角越大，风筝的高度越高，当夹角为90°时，风筝最高。 （3）不可能。35°＜50°＜70°，风筝线长度相同，风筝线与地面夹角越小，风筝高度越低，因此丙的风筝不能飞得比甲、乙的风筝高。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材四年级数学上册 第二单元：角的度量（期中复习讲义） 知识点01：角的再认识 1．平角、周角的认识及特征 （1）平角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。 ②特征：平角的两条边在一条直线上，方向相反。1平角有1个顶点，2条边。 ③度数：1平角=180°。 （2）周角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。 ②特征：周角的两条边重合在一起。1周角有1个顶点，2条边。 ③度数：1周角=360°。 【易错点】 （1）平角不是直线，直线没有顶点，而平角有顶点。 （2）周角不是射线，周角是由一条射线绕端点旋转一周形成的，两条射线完全重合。 2．角的大小比较 （1）角的大小只和两条边张开的程度有关，与边的长短无关。 （2）比较方法 ①重叠法（顶点、一条边重合，看另一条边位置）； ②先量度数，再比数字大小。 3．角的分类及换算 （1）五类角从小到大：锐角、直角、钝角、平角、周角 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° （2）换算公式： ①1周角= 2平角= 4直角 ②1平角= 2直角 知识点02：角的度量 1．角的度量单位：角的度量单位是度。将圆平均分成360份，其中1份所对的角的大小就是1度，记作1º。 2．角的度量工具：射线只有1个端点，可以向1端无限延伸，是无限长的，无法测量。 3．角的度量方法：核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： （1）点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； （2）线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； （3）读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 知识点03：画角 1．用三角尺画特殊度数的角： （1）一副三角尺有两块 ①等腰直角三角尺：45°、45°、90°。 ②细长直角三角尺：30°、60°、90°。 （2）可直接画出的角有30°、45°、60°、90°。 （3）通过两块三角尺拼摆画出的角 ①75°=45°+30°；②105°=60°+45°；③120°=90°+30°或60°+60°； ④135°=90°+45°；⑤150°=90°+60°；⑥180°=90°+90° （4）通过一块三角尺叠在另一块上拼摆画出的角 ①15°=45°－30°；②15°=60°－45° （5）规律：凡是15°的整数倍的角，都可以用一副三角尺画出来。 2．用量角器画指定度数的角 （1）画一条射线，使量角器的中心和封线的端点重合，0刻度线和射线重合。 （2）在量角器对应角度的刻度线的地方点一个点。 （3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【易错点】用量角器画角时，一定要坚持“两重合一对照”的原则：量角器的中心必须与射线的端点重合，零刻度线必须与所画的射线重合；同时要看准度数，所画的射线对应的零刻度线在外（或内）圈，就对照外（或内）圈的刻度找准度数。 知识点04：角度的计算 1．基础计算原则 （1）直角组合计算：两个角相加= 90°（互余） （2）平角组合计算：一条直线上两角相加= 180°（互补） （3）周角计算：围绕一点所有角相加= 360° 2．对顶角相等：两条直线相交，相对的两个角度数相同 3．常见题型逻辑 （1）求余角：已知∠1和∠2组成直角，则∠2=90°－∠1。 （2）求补角：已知∠1和∠2组成平角，则∠2=180°－∠1。 （3）折叠问题：折叠前后的角相等。通常涉及平角被分割，需利用2×折叠角+剩余角=180°的关系求解。 4．钟面角的计算 （1）钟面一圈360°，共12大格，每大格30°。 （2）分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。 （3）整点时刻：时针与分针夹角=大格数×30°。 考点01：平角、周角的认识及特征 【典型例题】∠1与35°的和是一个直角，∠1与∠2的和是一个平角，∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 【练习1】下面说法正确的是（     ）。 A．两个锐角合起来的角一定大于直角 B．1个平角＝2个直角 C．大于90°的角叫作钝角 D．12时15分，时针和分针所形成的较小角是直角 【练习2】全红婵在东京奥运会上完成了难度极高的“向后翻转三周半抱膝”动作，获得了满分。全红婵这一跳在空中总共旋转了（     ）。 A．540° B．1080° C．1260° 考点02：角的大小比较 【典型例题】如图，某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 【练习1】下面这些手势比画出的角，图（     ）中的角最大。 A． B． C． 【练习2】放风筝比赛时，规定用30米长的线。只要把每根风筝线的一端固定在地面上，量出风筝线与地面所形成的角的度数，就能比出哪个风筝放得最高。如图中，（ ）号风筝放得最高。（填序号） 考点03：角的分类及换算 【典型例题】大雁结群南飞过冬，飞行过程中一会儿排成“人”字形，一会儿排成“一”字形。雁群排成“人”字形时，其夹角近似为110°，这个角是一个（ ）角，它和一个（ ）°的角可以拼成一个“一”字形角。 【练习1】把一个平角分成两个角，如果其中一个是钝角，那么另一个一定是（ ）角；把一个周角平均分成6份，每份是（ ）度，是（ ）角。 【练习2】如图有（ ）个锐角，（ ）个钝角。如果∠1＝30°，则∠2＝（ ）。 考点04：角的度量 【典型例题】聪聪用量角器量这个角（如图）是（ ）°，它是一个（ ）角，（ ）°角和它能拼成平角。 【练习1】下面量角的方法正确的是（     ）。 A． B． C． 【练习2】量角时，量角器的中心点要和角的（ ）重合，0°刻度线要和角的（ ）重合。如果角的一条边没有对准0°刻度线，而是对准了量角器的25°刻度线，另一条边指向100°刻度线，那么这个角的度数是（ ）°。 考点05：用量角器画角 【典型例题】量一量，填一填，画一画。 先量出∠1的度数，再画出∠2，并写出两个角的名称。 ∠1＝（     ）°，是（     ）角。     ∠2＝140°，是（     ）角。 【练习1】茶厂传送带与地面成150°钝角，请以点A为顶点用量角器画出这个角。 【练习2】利用下边破损的量角器画一个50°的角，其中顶点和一条边已经画好了，请你画出这个角的另一条边。 考点06：用三角尺画角 【典型例题】拼一拼，算出三角尺拼成角的度数。 （ ）       （ ）       （ ）           （ ） 【练习1】用一副三角板的两角相拼，可以拼出的最大角是_________°，它是_________角。 【练习2】数学课上，同学们用三角尺画角。下面各选项中，（     ）的角能用一副三角尺画出来。 A．125° B．40° C．15° D．10° 考点07：角度的计算 【典型例题】明明在折纸时，将一张长方形的纸折成了如图所示的形状，如果他折出来的∠1＝35°，∠3＝25°，那么图中的∠2＝（ ）°。 【练习1】笑笑从科学课上学习到了光在遇到许多物体的表面时都会发生反射现象（如图所示），∠2和∠3分别叫做入射角和反射角，入射角总是等于反射角。若已知∠1＝30°，则∠2＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【练习2】求出∠1、∠2、∠3的度数。 考点08：钟面角的计算 【典型例题】小梦早上6：50起床，起床后小梦洗脸、刷牙、整理床铺。妈妈叫她吃早饭时，小梦看到钟面上的时间是7：20，那么小梦从起床到吃饭这段时间钟面上的时针和分针各转了多少度？ 【练习1】从4：15到4：30，这段时间里钟表上的分针旋转了（       ）。 A．120° B．90° C．30° 【练习2】从5：00到5：15，钟表上的分针旋转了（     ）度。 A．30 B．60 C．90 一、选择题 1．用一个放大3倍的放大镜看一个的角，这个角是（     ）。 A． B． C． 2．《新闻联播》是中央电视台播出的重点时政新闻节目，也是中国收视率最高、影响力最大的电视新闻栏目，被称为“中国政坛的风向标”。一般情况下，每天19点播出，19点30分结束，结束时钟表上的时针和分针形成（     ）角。 A．直 B．锐 C．钝 3．用一副三角板不能拼出（     ）。 A．150° B．20° C．135° 4．如图，小聪把半圆分成了相同的若干份，使其成为一个“量角器”（没有刻度），用这个“量角器”不能画出（     ）的角。 A．20° B．120° C．130° 5．一副三角板叠在一起（如图），∠1＝（     ）°。 A．15 B．60 C．45 二、填空题 6．下面的角各是什么角？写出角的名称。 （ ）角          （ ）角              （ ）角                （ ）角 7．2平角＝（ ）°；3直角＝（ ）°；1周角＝（ ）直角。 8．量角器上同一条刻度线，内圈刻度与外圈刻度相加的和是（ ）度。 9．用一个不完整的量角器画直角，如图，这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上，那么另一条边应该在量角器外圈（ ）°刻度线上。 10．下面是由一副三角尺拼成的角，分别写出它们的度数。          ∠1＝（ ）    ∠2＝（ ）    ∠3＝（ ） 11．钟面上，（ ）时整，时针和分针所成的夹角是90°；（ ）时整，时针和分针所成的夹角是180°。 12．和角组成一个直角，则是（ ）°；和角组成一个平角，则是（ ）°。 13．用三角尺上60°和45°的角可以画出（ ）度或（ ）度的角。 14．小月制作了5片花瓣备用，紧接着用两张纸条卷起来做花杆。在此过程中，小月发现将纸条按下图摆放，形成的四个角中，有（ ）个锐角，（ ）个钝角。如果旋转纸条让∠1变小，那么∠2会变（ ），∠3会变（ ），∠4会变（ ）（填“大”或“小”）。 15．一张圆形纸片对折3次后展开，每一份所对的角是（ ）度。 16．用一副三角板中45°的角和60°的角拼在一起（两角相加），画出的角是（ ）°。 17．如图所示，∠2＝65°，那么∠1＝（ ），∠4＝（ ）。 18．如图：已知∠1＝28°，∠4是直角。求：∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠5＝（ ）。 19．如图，将一副三角尺按下图摆放。若∠2＝50°，那么∠1＋∠2＋∠3＝（ ）°。 三、作图题 20．金秋小区计划在园区内建造一部儿童滑梯。考虑到安全性、舒适性和玩耍体验等因素，滑道的坡度应该在30°到50°之间。（坡度是指滑道与地面的夹角） （1）量一量。左侧滑道的坡度是（ ）°。 （2）画一画。滑梯的右侧还有一个坡度为45°的滑道，请画出右侧滑道的示意图并标记上坡度的度数。（用一条线段来表示） （3）想一想。哪一侧的滑梯更平整、更安全？（ ）。 21．以下面的射线为一条边，分别画一个65°和110°的角。 四、解答题 22．如图，已知。∠1＝45°，∠2＝40°，∠3＝50°。请你数一数，图中共有多少个锐角？多少个钝角？多少个直角？ 23．朵朵在用量角器量角时，犯了两个错误： （1）量第一个角时，一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°的刻度线对齐了，这样这个角被他量成了80°的角，实际这个角的度数是多少度？ （2）量第二个角时，因为看错了圈数，把这个角量成了130°的角，实际这个角的度数是多少度？ 24．如图是一张长方形纸折起来后得到的图形。若∠1＝36度，则∠2是多少度？若∠2＝70度，则∠1是多少度？ 25．已知∠1＝35°，∠2＝85°，求∠3、∠4分别等于多少度。 26．下面是一长方形纸折起来后形成的图形，已知：∠1＝30°，求∠2的度数。 27．学校在儿童节举办放风筝比赛，选手们所用的风筝线一样长，假设他们都把风筝线放到最长。下图是甲、乙两位选手比赛时的情景。 （1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角∠1是（ ）°，乙的风筝线与地面的夹角∠2是（ ）°。 （2）仔细观察，风筝线与地面的夹角越大，风筝的高度越（ ），当夹角为（ ）°时，风筝最高。 （3）如果丙同学的风筝线与地面的夹角为35°，那么他的风筝可能飞得比甲、乙的风筝高吗？把你的想法写一写。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $