专题强化1：二次函数压轴类型 精讲与精练 -2026-2027 学年人教版九年级上册数学

专题强化1：二次函数压轴类型 题型一：二次函数图象问题 2 题型二：二次函数的最值问题 3 题型三：二次函数线段周长问题 4 题型四：二次函数面积问题 5 题型五：二次函数角度问题 7 题型六：二次函数特殊三角形问题 8 题型七：二次函数特殊四边形问题 10 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 11 压轴题型 核心考查点 万能解题方法（考场首选） 经典考法&解题关键 1. 三角形面积问题（必考） 动点三角形面积定值、面积最大值、已知面积求动点坐标 1. 核心万能：铅垂高公式（优先使用，计算最简）2. 辅助方法：分割法、补形法 关键：水平底固定，铅垂高带绝对值，覆盖上下所有动点；配方求二次函数最值 2. 线段与最值问题（高频） 线段最值、线段和最小、线段差最大、动点线段长度 1. 竖/水平线段：坐标差值+配方法2. 和最小：将军饮马对称法3. 差最大：三点共线+三角形三边关系 对称点连线最短；线段差最大值为定点间距，切忌漏解 3. 特殊三角形存在性（重难点） 抛物线上动点构成等腰三角形、直角三角形 1. 通用：两点距离平方公式（避根号）2. 等腰：三边两两相等三分类3. 直角：三顶点分别为直角三分类+勾股逆定理 必考分类讨论，是失分重灾区；优先用边长平方计算，简化运算 4. 特殊四边形存在性（压轴难点） 平行四边形、矩形、菱形、正方形动点存在性 1. 核心大法：中点坐标公式（对角线平分）2. 平行四边形：3种对角线分类3. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等4. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直 正方形同时满足矩形+菱形条件；必须讨论谁为对角线，杜绝少解 5. 角度类问题（拔高题型） 等角证明、45°特殊角、角度倍数关系、定角存在性 1. 等角转化：相似/等腰三角形2. 45°角：构造等腰直角三角形、K型全等3. 角度相等：正切值相等列式 需分类动点在x轴上方/下方，角度对应关系不能错乱 6. 动点相似三角形（压轴核心） 抛物线上动点与定三角形相似，探究动点坐标 固定一组等角为对应角，分两种对应情况，列相似比例式，解方程验根 口诀：先定等角，再分对应，最后列式；杜绝顶点乱对应导致列式错误 7. 翻折旋转综合（难题压轴） 函数图像结合几何翻折、旋转的综合计算 利用翻折对称性质、旋转边长/角度不变性，构造K型全等/相似求解 侧重几何模型转化，结合函数坐标计算，综合性最强 题型一：二次函数图象问题 【例1】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（2022·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二：二次函数的最值问题 【例2】．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【变式1】．（2026·河北邯郸·三模）如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 【变式2】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，，为的中点，在边上，在边上，且，连接，为的中点，则的最小值为______． 题型三：二次函数线段周长问题 【例3】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，且过点． (1)求的值； (2)设抛物线交轴于点，抛物线的顶点是点，求四边形的面积． (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 题型四：二次函数面积问题 【例4】．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 题型五：二次函数角度问题 【例5】．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（2026·山东东营·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（2026·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 题型六：二次函数特殊三角形问题 【例6】．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】．（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 题型七：二次函数特殊四边形问题 【例7】．（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 【例8】．（2026·吉林四平·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点重合时，求的值； (3)当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； (4)矩形的顶点分别为，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【变式1】．（26-27九年级上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）与轴交于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值，即___________，___________； (2)如图1，直线是抛物线的对称轴，点为直线的右侧抛物线上的动点，连接，过点作，交直线于点．若，点的横坐标为，求的值； (3)如图2，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的函数图象记为． ①在平面直角坐标系中，求新函数图象对应的函数解析式； ②坐标平面内另有平行于轴的直线，其表达式为，其中为常数．请结合直线与新图象的不同位置关系，探究方程 的根的个数． 【变式2】．（2026·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．点在轴上，横坐标为，点在直线上，横坐标为． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点在抛物线上时，求的值； (3)当时，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①若直线将的面积分成两部分，求的值； ②当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．（2026·广东湛江·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（     ） A．9.6 B．10 C．12 D．16.8 4．（2026九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 6．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）当时，二次函数的最大值为__________． 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 9．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 10．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______． 三、解答题 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)________，________； (2)根据图象，当时，的取值范围是________； (3)当时，的取值范围是________； (4)在抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (5)当时，二次函数的最大值为，直接写出的值． 12．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 14．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 15．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 16．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线．为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求的值； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 18．（2026·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． (1)若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； (2)作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化1：二次函数压轴类型 题型一：二次函数图象问题 2 题型二：二次函数的最值问题 5 题型三：二次函数线段周长问题 7 题型四：二次函数面积问题 13 题型五：二次函数角度问题 22 题型六：二次函数特殊三角形问题 30 题型七：二次函数特殊四边形问题 38 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 47 压轴题型 核心考查点 万能解题方法（考场首选） 经典考法&解题关键 1. 三角形面积问题（必考） 动点三角形面积定值、面积最大值、已知面积求动点坐标 1. 核心万能：铅垂高公式（优先使用，计算最简）2. 辅助方法：分割法、补形法 关键：水平底固定，铅垂高带绝对值，覆盖上下所有动点；配方求二次函数最值 2. 线段与最值问题（高频） 线段最值、线段和最小、线段差最大、动点线段长度 1. 竖/水平线段：坐标差值+配方法2. 和最小：将军饮马对称法3. 差最大：三点共线+三角形三边关系 对称点连线最短；线段差最大值为定点间距，切忌漏解 3. 特殊三角形存在性（重难点） 抛物线上动点构成等腰三角形、直角三角形 1. 通用：两点距离平方公式（避根号）2. 等腰：三边两两相等三分类3. 直角：三顶点分别为直角三分类+勾股逆定理 必考分类讨论，是失分重灾区；优先用边长平方计算，简化运算 4. 特殊四边形存在性（压轴难点） 平行四边形、矩形、菱形、正方形动点存在性 1. 核心大法：中点坐标公式（对角线平分）2. 平行四边形：3种对角线分类3. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等4. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直 正方形同时满足矩形+菱形条件；必须讨论谁为对角线，杜绝少解 5. 角度类问题（拔高题型） 等角证明、45°特殊角、角度倍数关系、定角存在性 1. 等角转化：相似/等腰三角形2. 45°角：构造等腰直角三角形、K型全等3. 角度相等：正切值相等列式 需分类动点在x轴上方/下方，角度对应关系不能错乱 6. 动点相似三角形（压轴核心） 抛物线上动点与定三角形相似，探究动点坐标 固定一组等角为对应角，分两种对应情况，列相似比例式，解方程验根 口诀：先定等角，再分对应，最后列式；杜绝顶点乱对应导致列式错误 7. 翻折旋转综合（难题压轴） 函数图像结合几何翻折、旋转的综合计算 利用翻折对称性质、旋转边长/角度不变性，构造K型全等/相似求解 侧重几何模型转化，结合函数坐标计算，综合性最强 题型一：二次函数图象问题 【例1】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则；抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得；抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 【变式1】．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【变式2】．（2022·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B ． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，则 抛物线顶点坐标为 对称轴为直线 ，即 ，故②错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点在和之间 当时， ，故①正确； 顶点坐标为 ，故③正确； 抛物线顶点纵坐标为，且开口向下， 抛物线与直线有两个交点 一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 题型二：二次函数的最值问题 【例2】．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【变式1】．（2026·河北邯郸·三模）如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 【答案】 【详解】解：设，则， ∵等边三角形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得 ， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴当线段最短时，的长为． 【变式2】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，，为的中点，在边上，在边上，且，连接，为的中点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 依题意，，， ∴ 设，则 ∵ ∴，则 ∴，即 ∴ 设 ∵， ∴抛物线的开口向上，有最小值， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∴的最小值为 题型三：二次函数线段周长问题 【例3】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线，，解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为，，解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； (3)存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【变式1】．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，且过点． (1)求的值； (2)设抛物线交轴于点，抛物线的顶点是点，求四边形的面积． (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) (3)存在满足条件的点；周长的最小值为，点的坐标为 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于两点，且过点， 则， 解得， 所以的值为，的值为． （2）解：当时，，即， 因为， 所以顶点． 过点作轴于， 则，，因为，所以，，， 则 ， 所以四边形的面积为． （3）解：由题意，的周长为，其中， 因为点A和点B关于抛物线对称轴对称， 所以，因此，当B、Q、C三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度，，因此周长的最小值为，设直线的解析式为，代入，得：，解得，即直线的解析式为． 将代入，可得， 即． 所以存在满足条件的点，周长的最小值为，点的坐标为． 【变式2】．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②最大值，此时 【详解】（1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 题型四：二次函数面积问题 【例4】．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 【变式1】．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 题型五：二次函数角度问题 【例5】．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为，把点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为，可设直线的解析式为， 把点代入得：，解得：，∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或，∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵，∴， ∴， ∴，联立得：，解得：或， ∴点的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或． 【变式1】．（2026·山东东营·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． （3）解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式2】．（2026·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的最大值是4 (3)存在，点坐标为或 【详解】（1）解：与轴交于点， ，．，，，将代入中，得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴， 过点作于点，则，， ，， ，又， ， ， ． ∵，， 当时，有最大值，最大值是4． （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为． ①如图1， 由，可知点关于的对称点为点， ． ②如图2， 设，作轴，则，． ，， ， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 题型六：二次函数特殊三角形问题 【例6】．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 【变式1】．（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  题型七：二次函数特殊四边形问题 【例7】．（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，S有最大值，最大值为 (3)存在，点的坐标为或或． 【详解】（1）解：将和代入得,解得, ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为，把和代入得， 解得，∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; （3）解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 【变式1】．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 【变式2】．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 【例8】．（2026·吉林四平·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点重合时，求的值； (3)当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； (4)矩形的顶点分别为，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：抛物线顶点的坐标为， 抛物线的解析式为； （2）解：点与点重合， ， 解得； （3）解：抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 顶点在图象上， 图象的最低点的纵坐标为， 当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即， ， 图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ； 当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即， ， 图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ； 综上所述，与之间的函数关系式为； （4）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 由题意得，矩形的纵坐标范围是， 令抛物线，得 解得，， 当点在点的左侧时，点P在点Q的左侧时， ， 解得， 如下图： ∵图象在矩形内部的部分随增大而减小， ∴矩形内部只能有左侧递减段，不能包含的部分， ∴ 解得， ∴； 当点在点的左侧时，点P在点Q的右侧时， ， 此不等式组无解，故舍去； 当点在点的右侧时，点P在点Q的左侧时， ， 此不等式组无解，故舍去； 当点在点的右侧时，点P在点Q的右侧时， ， 解得， 如下图： ∵图象在矩形内部的部分随增大而减小， ∴点P的横坐标不超过3，即， ∴； 综上所述，的取值范围是或． 【变式1】．（26-27九年级上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）与轴交于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值，即___________，___________； (2)如图1，直线是抛物线的对称轴，点为直线的右侧抛物线上的动点，连接，过点作，交直线于点．若，点的横坐标为，求的值； (3)如图2，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的函数图象记为． ①在平面直角坐标系中，求新函数图象对应的函数解析式； ②坐标平面内另有平行于轴的直线，其表达式为，其中为常数．请结合直线与新图象的不同位置关系，探究方程 的根的个数． 【答案】(1)， (2)或 (3)①抛物线解析式为： ；②当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数）经过点和， ∴将 和代入解析式（，是常数）中， 得 ， 解得 ； （2）∵，， ∴抛物线为，对称轴为直线， ∵点为抛物线上的动点， ∴设， 过点作轴于点，过点作于，如图： ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点在直线上，， ∴， 即或， 解得：或， ∵点在直线的右侧， ∴， ∴或； （3）①已知原抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴图象不变，即抛物线的解析式为， ∵当或时，， ∴抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方， ∵翻折后函数值变为原来的相反数， ∴， ∴新函数图象对应的函数解析式 ； ②方程的根的个数即直线与图象的交点个数， ∵当时，抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为， 如图： 当时，无交点，0个根； 当时，有2个交点，2个根； 当时，有4个交点，共4个根； 当时，有3个交点，共3个根； 当时，有2个交点，共2个根； 综上所述：当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【变式2】．（2026·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．点在轴上，横坐标为，点在直线上，横坐标为． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点在抛物线上时，求的值； (3)当时，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①若直线将的面积分成两部分，求的值； ②当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)①；② 【详解】（1）解：对于， 令，得，故点的坐标为； 令，得， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵点在直线上，横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得，； （3）解：①设直线与线段交于点，分别过点、、作轴，轴，轴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， 即或， ∴或， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴或， 解得，或，； ∵， ∴； ②抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大； ∴内部包含对称轴右侧部分，且点在点右侧，点在轴右侧，即，解得． 一、单选题 1．（2026·广东湛江·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意知，当轴时，线段最短． ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为． 将其代入，得， 解得． 2．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【详解】解：函数图象的对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 当时，对于方程，， ∵， ∴，函数图象与轴一定有两个交点，故B正确，不符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点，故C正确，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，时，随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，时，随的增大而减小，故D错误，符合题意． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（     ） A．9.6 B．10 C．12 D．16.8 【答案】B 【分析】分段讨论点的位置，分别构建与的函数关系式求解． 【详解】解：在中，， 点运动总时间为秒，点到达点时间为秒 当时，点在上，， 过点作于点，则， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴当时，取最大值，最大值为 当时，点在上，过点作于点，同理可得 ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内随的增大而减小 ∴当时，，即 综上所述，的最大值为10． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：判断结论①： 观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误； 判断结论②： 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误； 判断结论③： 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确； 判断结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确； 判断结论⑤： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误； 判断结论⑥： 若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误． 综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意． 5．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 【答案】C 【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 6．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共个． 二、填空题 7．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）当时，二次函数的最大值为__________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，计算对应的函数值，比较后得到最大值． 【详解】解：∵ ∴ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵ ， 开口向上的二次函数，图象上点离对称轴越远，函数值越大， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ 二次函数在时的最大值为． 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【答案】①②⑤ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，故④错误； 把代入得：， ∴，故②正确， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当时，，且， ∴，故⑤正确； 综上：①②⑤正确． 9．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 10．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：对二次函数配方得： ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∵存在，开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小， ∴点到对称轴的距离点到对称轴的距离点到对称轴的距离， 即， 对：两边平方整理得：， ∵，， ∴， 对：两边平方整理得：， ∵，， ∴， 由，，得： ， 要存在，需满足，解得； 由，，得： ， 要存在，需满足，解得， 综上，的取值范围是． 三、解答题 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)________，________； (2)根据图象，当时，的取值范围是________； (3)当时，的取值范围是________； (4)在抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (5)当时，二次函数的最大值为，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)点D坐标为： 或 (5)或 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为：， ∴， ∴二次函数为， 将点代入得到：， 解得． （2）解：∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为， 在时，， 在时，， 在时，函数取到最大值， 故当时，的取值范围是． （3）解：当时，得到，解得：或， 当时，或， 又∵二次函数的对称轴为，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或． （4）解：∵点，， ∴， 设点D 纵坐标为， ∴， ∴， 又∵二次函数的最大值为，点在抛物线上， ∴， ∴， 解得： 点D坐标为： 或 ． （5）解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为，最大值为，在对称轴的左边函数值随自变量的增大而增大，在对称轴的右边函数值随自变量的增大而减小， ①当 （即）时，此时当时，函数取得最大值为：， 解得 ，取负根 ； ② 当（即 ），最大值在顶点处，此时 ， ∴ ， 解得（舍去）； ③当时，此时当时，函数取得最大值为， 解得：， ∴， 综上或 ． 12．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)存在， (3) 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：存在点D，如图2，连接交直线l于点D，连接， ∵点A与点B关于对称轴l对称， ∴， ∴， ∴当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，此时点D即为与直线l的交点， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得， ∴． 抛物线的对称轴为直线，将代入得， ∴点D的坐标为． （3）解：由（2）知，直线的解析式为，如图3，过E点作轴交于点M， 设点E的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴的面积，的面积， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 解得或（舍）， ∴点E的坐标为． 13．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 【详解】（1）解：将点代入得 ， 解得； (2)证明：令，得， 整理得， ， 该方程是关于的一元二次方程， 其判别式， ， 该一元二次方程总有实数根，即与一定有交点； （3）解：点与点分别在，上， ，， ， ， ， ， 令， 该函数开口向上，对称轴为直线，则当时，函数有最小值为， ， ，，且， 当时，取最大值，最大值为， 线段的最大值为． 14．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2)的取值范围为或． (3)的值为． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解：由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得， 解得或． 令，得， 解得或． 如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）解：如图 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得 解得 直线的函数表达式为． ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ， ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值． 又，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 15．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 16．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线．为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求的值； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或或 【详解】（1）解：由，设，则， 抛物线对称轴为直线， ，解得， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：连接，如图所示： 在中，令得， ， 设直线解析式为，将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，取最大值，最大值是，此时，， ， ，， ； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形， 理由如下： 设抛物线对称轴上的一点，构造平行四边形，如图所示： ①当为菱形时，则， ，， ， 即，解得或， 点的坐标或； ②当为菱形时，则， ，， ， 即，解得， 点的坐标； ③当为菱形时，则， ， 即，解得或， 点的坐标或； 综上所述，点的坐标为或或或或． 17．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 18．（2026·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． (1)若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； (2)作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 【答案】(1)①，点的坐标是；②平行四边形面积的最大值为 (2)或 【详解】（1）解：①抛物线与轴交于，点在该抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式是， 令，即， 解得，， 点的坐标是． ②如图，连接，，过点作轴，交于点． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 又点到轴的距离为， 又， ， ． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． ，可设直线的表达式为，将代入，得， 直线的表达式为． 联立，得， 解得，， 点的坐标为． 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 平行四边形面积的最大值为． （2）解：抛物线与轴交于， 即， ， 令，得（舍去），， 点的坐标为，， 当时，，即点的坐标为， 可得直线的表达式为． 如图，以为斜边作等腰直角和等腰直角， 分别以，为圆心，以和的长为半径作，，与坐标轴的交点分别为，，，． 圆心角， 当点在优弧和优弧上（异于，）时，圆周角， 当直线与优弧和优弧共有两个交点（异于，）时，使的点恰有两个． ，， 当直线与相交时，符合题意． 直线过点或时恰好与相切， 将代入直线的表达式，得， 将代入直线的表达式，得， 的取值范围是或． ， 的取值范围是或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $