第一章集合单元复习讲义（提高篇） -2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一章集合单元复习（提高篇） 知识点一、集合与元素的关系 1、集合元素的三个特性：__________、_________、无序性； 2、元素与集合的关系：___________________ 3、集合的表示法：________________、_________________、________________ 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 5、集合的分类:___________________、________________、_______________. 知识点二、集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的_______________都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的_____，且集合B中_____________不属于A 记作(或) 相等 集合A，B的元素_________ 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 5.有限集子集的相关结论 若有限集A中有n个元素，则A的子集有____个，真子集有______个，非空子集有_____个，非空真子集有_____. 知识点三、集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：________________________________________________________________ （2）交集的性质：_______________________________________________________________ （3）补集的性质：______________________________________________________________ 知识点四、区间 1、区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 2、特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 考点一、集合的概念与表示 题型01 判断元素与集合的关系 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 2.设集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据元素与集合的关系求参数 4. 已知集合含有三个元素分别是，，若，则实数的值为_______． 5. 若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 集合中元素的个数问题 7.集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 8.若集合中只有一个元素，则 . 9.已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10.设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 题型04 集合的表示方法 11. 已知集合，用列举法表示集合________. 12.用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 13.下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 14.(多选）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 考点二、集合间的关系 题型05 集合的子集（真子集）问题 15.满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 16. 满足条件的集合的个数是____ 17.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 18.若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 题型06 判断集合之间的关系 19.给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 20.下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 21.集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 22. 已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07 根据集合间的关系求参数 23. 已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 24. 已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 25.已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 26.已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 27. 已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 28.已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考点三、集合的交并补运算 题型08 交并补的运算 29.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 30.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 31.已知集合，则（   ） A． B． C． D．R 32.设集合，若，则 __________． 题型09 交并补的混合运算 33. 设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34. ，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35. 已知全集， 集合，则（   ） A． B． C． D． 36.设全集，集合或，. (1)求和. (2)求，和. 题型10 交并补的混合运算求参数 37.已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38.已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 题型11 Venn图表达集合的关系和运算 39. 如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 40.（多选）已知全集，集合、的关系如图所示，则下列结论中正确的（） A. B. C. D. 41.已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 考点四、综合提升 题型12 容斥原理及其应用 42.某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 43. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 44. 2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 题型13 集合新定义 45. 定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 46. 已知集合，，定义 ，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 47. （多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 48.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 49.设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 50.已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. (1)判断集合是否为“完美集”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集”，求证： ； (3)是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一章集合单元复习（提高篇） 知识点一、集合与元素的关系 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5、集合的分类:有限集、无限集、空集. 知识点二、集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 记作(或) 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. (6) 5.有限集子集的相关结论 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 知识点三、集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质： A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 知识点四、区间 1、区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 2、特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 考点一、集合的概念与表示 题型01 判断元素与集合的关系 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【解答过程】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 2.设集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 题型02 根据元素与集合的关系求参数 4. 已知集合含有三个元素分别是，，若，则实数的值为_______． 【答案】0 【解题思路】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【解答过程】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 5. 若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 6. 已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 题型03 集合中元素的个数问题 7.集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的元素可求得的范围. 【解答过程】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 8.若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 9.已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【解答过程】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 10.设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【解题思路】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【解答过程】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 题型04 集合的表示方法 11. 已知集合，用列举法表示集合________. 【答案】 【分析】当，，必然不是自然数，依次代入，验证是否是自然数，从而得到结果. 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 12.用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 【答案】且； 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且； 13.下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 14.(多选）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 考点二、集合间的关系 题型05 集合的子集（真子集）问题 15.满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 16. 满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 17.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 18.若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】问题转化为方程只有1解，求实数的值求解. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以集合中有且只有1个元素，即方程只有一解. 由. 由或. 因为方程只有一解，所以或（因为是方程的增根）， 所以或. 故实数的取值集合为. 故答案为： 题型06 判断集合之间的关系 19.给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【解题思路】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【解答过程】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤. 20.下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 21.集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【解答过程】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A. 22. 已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明和，来判断与的相等关系． 【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以； 对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以． 综上所述，有． 故选：C． 题型07 根据集合间的关系求参数 23. 已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 24. 已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 25.已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【解析】由得：或，即； ①当时，，满足，符合题意； ②当时，， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是. 26.已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【解答过程】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C. 27. 已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 28.已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【解答过程】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 考点三、集合的交并补运算 题型08 交并补的运算 29.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用补集的定义可得出集合. 【详解】因为，， 故. 故选：C. 30.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性求出集合，解不等式求出集合，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 故选：B. 31.已知集合，则（   ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】求解一元二次不等式的解集，然后利用集合的交集运算求解即可. 【详解】或， ， 所以， 故选：C 32.设集合，若，则 __________． 【答案】{ 1，2，5} 【详解】试题分析：解：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}． 题型09 交并补的混合运算 33. 设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【解答过程】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 34. ，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 35. 已知全集， 集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的交集与补运算即可. 【解答过程】全集， 集合， 则，所以 . 故选：B. 36.设全集，集合或，. (1)求和. (2)求，和. 【答案】(1)，或. (2) ， 或， 【解题思路】（1）利用集合的交并集运算即可得解； （2）利用集合的混合运算即可得解. 【解答过程】（1）因为或，， 所以，或. （2）因为，或， 所以，又， 所以 ， 由（1）知，或， 所以 或，. 题型10 交并补的混合运算求参数 37.已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【解答过程】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 38.已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）应用集合的交补运算求集合； （2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 题型11 Venn图表达集合的关系和运算 39. 如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D． 40.（多选）已知全集，集合、的关系如图所示，则下列结论中正确的（） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】对于选项A： 由图得,故A错误. 对于选项B： 由图得,故B正确. 对于选项C： 由德摩根定律得, 由图知,故, 又,故C错误. 对于选项D： 由德摩根定律得, 由图知, 故,故D正确. 答案为BD. 41.已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【答案】(1)， (2)阴影涂黑见解析过程， 【解题思路】（1）根据集合交集、补集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合的描述性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，或，， 因此， . （2）因为且， 所以“集合”的部分用阴影涂黑如下图所示：    . 考点四、综合提升 题型12 容斥原理及其应用 42.某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解题思路】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【解答过程】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A. 43. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【详解】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 44. 2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 【答案】4 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. 题型13 集合新定义 45. 定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 46. 已知集合，，定义 ，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【解题思路】先求出集合，再根据所给定义分情况讨论列出即可判断. 【解答过程】由， 而， 在集合中，和都可以取，即和都可以取， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述，，共9个元素． 故选：B． 47. （多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 48.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D 49.设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 【答案】(1)当时，是集合的“相关数”，不是集合的“相关数”. (2)不是集合的“相关数”，且.证明见解析. 【分析】（1）根据“相关数”新定义，找出相应的子集来验证是否满足条件； （2）通过对集合元素的分析和组合来推导即可. 【详解】（1）当时，，. 的含有个元素的子集为，其中，，，满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以是集合的“相关数”. 的含有个元素的子集，其中任意个元素的和都不等于10， 不满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以不是集合的“相关数”. （2）先证明. 将集合中的元素分成组：，，，， 每组两个元素的和都为. 要使子集不满足有个元素的和等于，那么在选取元素时， 最多从这组中选取个元素（每组选一个），再加上这个元素， 此时子集元素个数为个. 而为“相关数”，所以要保证一定能出现个元素的和等于， 则至少要比大，即，移项可得; 所以不是集合的“相关数”. 【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 50.已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. (1)判断集合是否为“完美集”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集”，求证： ； (3)是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)存在，是“完美集” 【分析】（1）根据“完美集”的定义判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合基本不等式和二次不等式的性质证明即可； （3）设，得到，分，，进行讨论即可求解. 【详解】（1）因为， ，， 所以不是“完美集”； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 令，则，解得（舍）或， 即，因为，所以； （3）假设存在，且为“完美集”，则，， 不妨设， 因为， 即， 所以， 当时，有，故或， 若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”； 若，则，解得，即是“完美集”； 当时，有， 故只能，，则，解得， 即是“完美集”； 当时，因为， 所以， 又， 与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”， 综上，存在，，是“完美集”. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $