安徽省蚌埠第二中学2026-2027学年上学期高三年级数学第三次练习（B）

蚌埠第二中学2026-2027学年第一学期高三年级 数学学科第3次B练习 命题人：马媛 审题人：王娟 一、单选题：共4小题，每小题5分，共20分。 1．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B．2 C．2 D．4 2．已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，且点满足，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 4．在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：共2小题，每小题6分，共12分。 5．下列说法正确的是（    ） A．任意向量，，若且与同向，则 B．若向量，且，则三点共线 C．若，则与的夹角是锐角 D．已知|，为单位向量，且，则在上的投影向量为 6．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．时，的最大值为12 三、填空题：共2小题，每小题5分，共10分。 7．在中，是的中点，，点为的中点，则______． 8．过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为_______________，此时，________________． 四、解答题：共15分。 9．已知两个不共线的向量的夹角为，且为正实数 (1)若与垂直，求； (2)若，求的最小值，并证明此时与垂直. 参考答案 1．C 【分析】利用即可解决． 【详解】由题意得，因为向量与的夹角为，，，所以，所以，所以，所以选择C 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，在解决向量模的问题时通常先计算出平方的值，再开根号即可，属于基础题． 2．A 【分析】首先求出，然后对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案． 【详解】因为，所以， 又，，，解得， ，且，， 即向量与的夹角为． 故选：A． 3．B 【解析】利用为基底表示出，利用向量数量积的运算求得. 【详解】依题意是等边三角形，为的 中点，，选取，为基向量，则 ， . 故选：B. 【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 4．B 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】由题可知 ， ，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：B 5．BD 【分析】举反例判断A，C，利用向量共线定理判断B，利用投影向量的定义判断D即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误， 对于B，向量且时，由向量共线定理的推论，知三点共线，故B正确， 对于C，当同向共线时，，此时夹角不是锐角，故C错误， 对于D，由题意得，由投影向量定义得投影向量为，故D正确. 故选：BD 6．ACD 【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则 ，故A正确． 取AC的中点为M，连接OM， 则 ， 而 故的取值范围是故B错误； 当时， ，故C正确． 当时，圆O半径取AC中点为，中点为， 则 ， 最后等号成立是因为， 不等式等号成立当且仅当，故D正确． 故选:ACD. 7．8 【分析】运用向量运算法则即可求解. 【详解】依题意，如图所示： 因为是的中点，点为的中点， 所以， 所以. 故答案为：8. 8． 【分析】利用切线与圆心切点的连线垂直，设，通过解直角三角形求出PA，PB的长，利用向量的数量积公式表示出，结合二倍角公式和基本不等式求最小值及此时的值. 【详解】圆的标准方程为，设，    则，有， 又， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 此时． 故答案为：；. 【点睛】方法点睛： 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 9．(1)； (2)，证明见解析. 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的运算律求出，再利用夹角公式计算即得. （2）利用数量积的运算律结合二次函数求出最小值，再利用垂直关系的向量表示即可得证. 【详解】（1）由与垂直， 得， 解得，所以. （2）当时，， ， 当且仅当时取等号，此时，即与垂直， 所以当时，取得最小值，且与垂直. 试卷第4页，共7页 试卷第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $