5.3一次函数的图象与性质（分层作业，13大题型）数学新教材苏科版八年级上册

分层作业 5.3 一次函数的图象与性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的图象 题型02 正比例函数的性质 题型03 一次函数经过的象限 题型04 画一次函数的图象 题型05 一次函数图象的平移 题型06 一次函数的增减性 B组 能力进阶 题型01 判断一次函数的图象 题型02 一次函数与坐标轴的交点 题型03 求一次函数的自变量或函数值 题型04 一次函数与方程、不等式 C组 思维拔高 题型01 一次函数图象的对称与旋转 题型02 新定义 题型03 规律探究 正比例函数的图象题型01 1．在平面直角坐标系中，正比例函数y=–2x的图象的大体位置是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质，图象过原点，又因为k＜0，所以图象过二、四象限． 【详解】解：根据正比例函数图象的性质，知：当k＜0时，图象是经过二、四象限的一条直线． 故选B． 【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质，了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 2．若正比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B．2 C．0.5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征：函数图象经过点，则该点的坐标满足函数解析式；据此解答即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 即； 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式问题，熟知正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质，分和两种情况讨论，通过代入自变量取值范围的端点值，计算的值并验证是否一致． 【详解】解：当时，y随x的增大而减小， ∴自变量取最小值时函数值取最大值，自变量取最大值时函数值取最小值． 由题意，当时，；当时，． 代入，得 ，解得 ； ，解得 ． 值一致，符合题意． 当 时，代入端点值时值不一致，故舍去． 因此正比例函数解析式为， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____． 【答案】 【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，再利用三角形的面积求解A的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B， ∵16个边长为1的正方形面积为16， ∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5， ∵OB＝4， ∴AB＝5×2÷4＝， ∴A（，4）， 即4＝k， 解得k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的关键． 5．（25-26八年级·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)，y的值随x值的增大而减小 (2) 描点画出图象如下： (3)点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点、点横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式， ∵， ∴y的值随x值的增大而减小； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点， （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上． 正比例函数的性质题型02 1．（25-26八年级·河北沧州·期末）若正比例函数，函数随的增大而减小，则的值可能是（     ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据随增大而减小得到的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小， ∴， 观察选项，只有，满足的要求． 2．（25-26八年级下·云南临沧·期末）正比例函数中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质可知，解出即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小， ∴， 解得． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图像．熟悉正比例函数的图像和性质是解题的关键．正比例函数的图像和性质：对于，当时，函数图像经过第二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图像经过第一、三象限，随的增大而增大；并且越大，函数图像越陡． 【详解】解：∵正比例函数①、②的图像经过一、三象限，正比例函数③的图像经过二、四象限， ∴，，， ∵越大，正比例函数图像越陡， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）已知函数． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)在（1）的条件下若，是此函数图象上两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义、正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的定义及性质是解此题的关键． （1）由正比例函数的性质可得，求解即可； （2）根据正比例函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：当，得一次函数为 ， ． 5．（25-26八年级上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 数形结合探究函数的性质通过一次函数的学习，我们知道从表达式的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数时，分析如下： 图象的几何特征 表达式的数量特征 正比例函数    图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第①象限 因为，当时，，即； 当时，，即． 所以，当时，x与y的取值同为正数或②． 从左往右图象为上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，． 因为，即，所以，y的值随x值的增大而③． 学习平方根时，我们还知道：对于任意给定的非负数x，都能确定它的算术平方根y的值．我尝试用函数的观点研究y与x的关系，过程如下： 第一步：写出y与x之间的函数表达式为； 第二步：画出函数的图象，如图；   第三步：类比研究正比例函数的方法， 分析函数的性质，…… 任务： (1)补全材料中横线上空缺的内容：① ；② ；③ ； (2)由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； 图象的几何特征 表达式的数量特征 (3)若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是 （用“”、“”或“”连接）． 【答案】(1)一、三；同为负数；增大 (2) 函数图象的几何特征及相应的表达式的数量特征解释如下（选择其中一个几何特征即可）： 图象的几何特征 表达式的数量特征 图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第一象限 因为，当时，，即． 所以当时，x与y的取值同为正数． 从左往右图象是上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，所以． 因为，即，所以，y的值随x值的增大而增大． (3) 【分析】本题主要考查正比例的图象和性质，利用类比思想和数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图象即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用类比思想和数形结合思想，得出函数的性质和特征即可获解； （3）利用类比思想，得出函数的性质即可获解． 【详解】（1）解：通过函数图象可知，函数的图象经过第一、三象限，当时，x与y的取值同为正数或同为负数，y的值随x值的增大而增大， 故答案为：①一、三；②同为负数；③增大； （2）解：略； （3）解：函数的图象从左往右图象是下降趋势，设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，所以． 因为，即， 所以，y的值随x值的增大而减小． 因为点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是， 故答案为：． 一次函数经过的象限题型03 1．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴图象经过第一、二、四象限 故选：C 【点睛】本题考查根据一次函数解析式判定其图象经过的象限．熟记相关结论即可． 2．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限得出，求出取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， 解得. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握k和b与一次函数图像的位置之间的关系是解题的关键．即当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限；当，时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；当，时，一次函数的图像经过第一、二、四象限． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）直线不经过第三象限，则k、b应满足（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，函数图象经过一、二、四象限；当时，函数图象经过第二，四象限是解答此题的关键．直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：直线不经过第三象限， 的图象经过第一、二、四象限或第二，四象限， 直线必经过二、四象限， ， 当图象过一、二四象限，直线与y轴正半轴相交时：， 当图象过原点时：， ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，过象限的问题，与正半轴的交点问题． 逐一分析四个结论的正确性，结合一次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：结论①：将点代入函数， 得， ∴无论取何值（），均满足，故①正确； 结论②：当时，则， ∴， ∴函数图象经过第一、第三、第四象限，因此会经过第三象限，故②错误； 结论③：函数与轴交点为， 当时，若（如），则，交点在负半轴； 若，则，交点在正半轴， 结论③未限定的具体范围，故③错误； 结论④：当时，，随着的增大而减小， ∵点的值小于的值， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①④， 故选：D． 5．已知一次函数． (1)图象经过，求的值； (2)随的增大而减小，求的取值范围； (3)函数图象不经过第三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过， ， 解得：， 的值为． （2）解：随的增大而减小， ， 解得：， 的取值范围为． （3）解：一次函数的图象不经过第三象限， ， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，熟知一次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 画一次函数的图象题型04 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数． (1)填表： …… …… …… __________ __________ __________ __________ …… (2)画出该函数的图象． 【答案】(1) 故填表为： …… …… …… …… (2) 分别将上述表中的各点在坐标系中标出，图象如图所示． 【分析】本题考查了一次函数的代入求值与图象绘制，掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）利用一次函数的表达式，将给定的值代入解析式，计算对应的值，完成表格填写； （2）根据一次函数图象为直线的性质，通过描出表格中对应点的坐标，再连接这些点，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：分别将代入， ：； ：； ：； ：； （2）解：略． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 【答案】 函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小；当时， 一次函数图象与y轴交于正半轴，当时，一次函数经过原点，当时，一次函数与y轴交于负半轴． 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，先利用列表法画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的一次函数的性质即可． 【详解】解：列表如下： 2 4 0 4 2 1 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图1，图2中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，画直线； (2)在图2中，画直线． 【答案】(1) 直线为所求：    (2) 直线为所求：    【分析】本题考查了复杂作图，掌握点的坐标特点是解题的关键． （1）连接，由得到的中点坐标为，根据直线经过，连接点A与的中点坐标为即可； （2）设直线与x轴交于点D，连接交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，连接，直线即为直线． 【详解】（1）解：连接，由得到的中点坐标为， 直线经过，连接并延长， 直线即为直线， （2）解：设直线与x轴交于点D， 连接交y轴于点E， 连接并延长交x轴于点F， 连接，直线即为直线， 5．甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线前往黄山游玩，甲骑电动车前往，乙骑自行车前往．设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图①所示，甲距出发点的路程关于的函数图象如图②所示，已知甲出发后追上乙． (1)点B的坐标为________，点C表示的实际意义是________； (2)求的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (3)若用表示乙距出发点的路程s与x之间的关系，请在图②中画出的图象． 【答案】(1), 乙出发1.5小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米 (2) (3) 由点可得，乙经过h到达黄山，所以的图像是一条经过的正比例函数的图像，画的图像如图所示： 【分析】（1）根据图像可以得出答案． （2）设的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数解析式． （3）根据函数解析式直接画出图像． 【详解】（1）解：根据题意得，点的坐标为, 点表示的实际意义是：乙出发小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米． 故答案为： ，乙出发小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米； （2）解：设函数表达式为： 把，代入得      解得 （3）解：略． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图像和性质，解题关键是认真观察函数图像和求函数解析式的步骤． 一次函数图象的平移题型05 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）将直线向下平移1个单位长度后得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律．根据“上加下减”的原则，直线向下平移1个单位长度，只需在函数表达式后减去平移的单位数． 【详解】解：原直线为，向下平移1个单位长度后，函数解析式变为． 故选：B． 2．若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（    ） A．与轴交于点 B．不经过第一象限 C．随的增大而增大 D．与轴交于点 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象平移，根据平移规律“上加下减”，得到的解析式为，再根据一次函数的图象性质逐一判断即可选出正确答案． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度后得到的解析式为， A、当，，与轴交于点    ，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不经过第一象限，故该选项正确，符合题意； C、 ，则随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     D、当时，，则与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2026·山东聊城·模拟）在平面直角坐标系中，将直线向右平移两个单位得到直线，则直线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，对原直线表达式进行变换，计算即可得到平移后直线的表达式． 【详解】解：原直线表达式为， 根据一次函数图象平移规律，将直线向右平移个单位， ∴，即， ∴平移后直线的表达式为． 4．已知一次函数，当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)若点在该函数的图象上，求a的值； (3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移．解题的关键是待定系数法求函数解析式． （1）根据待定系数法解出解析式即可； （2）把，代入解析式解答即可； （3）根据一次函数的几何变换得出解析式，再求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 可得：， 解得：， 所以一次函数的解析式为：； （2）解：把，代入中， 可得：， 解得：； （3）解：一次函数的图象向上平移7个单位后的解析式为：， 把，代入，得 把代入，得， ∴图象与坐标轴的交点坐标为， 5．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整． (1)如图，将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度； (2)将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度； (3)综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（时）或将它向______（填“左”或“右”）（时）平移了个单位长度，且，，满足等式_______． 【答案】(1)1 (2)左， (3)右，左， 【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论； （3）根据（1）（2）题得出结论即可． 【详解】（1）解：∵将一次函数的图像向下平移个单位长度得到， 相当于将它向右平移了个单位长度， 故答案为：； （2）解：将一次函数的图像向下平移个单位长度得到， 相当于将它向左平移了个单位长度； 故答案为：左；； （3）解：综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向右时或将它向左时平移了个单位长度，且，，满足等式． 故答案为：右，左，． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”，关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 一次函数的增减性题型06 1．点（－2，），（1，）都在直线上，则与的大小关系是（    ） A．＜ B．＝ C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一次函数解析式判断出一次函数的增减性，进而判断出的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴随增大而增大， ∵点（－2，），（1，）都在直线上，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，判断出一次函数的增减性是解题的关键． 2．已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（    ） A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 【答案】C 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：由一次函数性质知，当时，y随x的增大而增大，所以得， 解得， 即； 当时，y随x的增大而减小，所以得， 解得， 即． ∴的值为或16． 故选C． 【点睛】此题考查一次函数的性质,要注意根据一次函数图象的性质解答． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．一次函数的斜率，那么随的增大而增大，由可知，选项B中，若，则且，结合，可得和，因此恒成立．其他选项可通过反例排除． 【详解】解：∵中，，且， ∴， 对于选项B： 若，则且， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故选项B正确； 其他选项反例： 选项A：取，则，但，，不满足； 选项C：取，则，但，，不满足； 选项D：取，则，但 ，，不满足； 因此，只有选项B正确， 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东广州·月考）对于函数，当时，y的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求函数值的取值范围，由函数解析式可得随着的增大而减小，再分别求出当和时的的值，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏江阴·月考）如图是函数的一部分图象，利用图象回答： (1)求自变量的取值范围； (2)当取什么值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键． （1）由点在函数图象上，将代入函数，求得的值，再结合函数图象，可求得的取值范围； （2）利用函数的增减性，可知当时，有最小值，可求得最小值． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 所以自变量的取值范围是． （2）解：由图象可知，函数随的增大而减小， ∴当时有最小值，最小值为． 判断一次函数的图象题型01 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，解题的关键是根据一次函数的斜率和截距判断图象经过的象限． 先确定一次函数中，截距，由此可知图象经过一、三、四象限． 【详解】解：对于一次函数，当，时，图象经过一、三、四象限． 在中，，，故其图象经过一、三、四象限． 观察选项，只有B选项的图象符合该特征． 故选：B． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象和性质．熟悉正比例函数的图象所在象限与系数的关系，一次函数中系数、常数项的符号对图象经过象限的影响，是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵对于一次函数，， ∴图象从左到右呈下降趋势， ∵， ∴与轴交点在正半轴， 故选：． 3．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：一次函数，，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 函数图象不经过第三象限， 故A选项正确； 当时，可得：， 解得：， 函数图象与轴的交点坐标是， 故B选项错误； 把一次函数的图象向下平移个单位长度得的图象， 故C选项正确； ， 函数值随自变量的增大而减小， 故D选项正确． 4．在同一平面直角坐标系中，正比例函数（为常数且）和一次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故A选项正确，C选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、D选项错误；． 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 一次函数与坐标轴的交点题型02 1．一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 【答案】C 【分析】一次函数与y轴的交点可令即可求出. 【详解】解：当x＝0时，y＝x+1＝1， ∴一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（0，1）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与y轴的交点，会求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键. 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，得出是解题的关键． 设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出的长，再结合直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴m的值为． 故答案为：． 3．求直线与x轴和y轴的交点，并画出这条直线． 【答案】直线与x轴交点为，与y轴交点为，图象见解析 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，将y=0代入求得x的值，即得到直线与x轴的交点；根据y轴上的点横坐标为0，将x=0代入求得y的值，即得到直线与y轴的交点，再根据两点确定一条直线即可画出该直线． 【详解】解：令y=0，则，解得x=，即该直线与x轴交于点， 令x=0，则，即该直线与y轴交于点． 该直线图象如图所示： 【点睛】本题考查了一次函数图象作图及图象上点的坐标特征，掌握坐标轴上点的坐标特征是解本题关键． 4．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)写出图象与轴、轴的交点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1) 该函数的图象如图所示． (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)1 【分析】（1）过图象上两个点画出直线即可； （2）通过坐标轴上点的坐标特征即可求出两点的坐标； （3）由（2）求出的两个点的坐标，求出的长，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：令得，令，得：． ，． 过两点作直线即得到一次函数的图象， （2）解：由（1）可得：点的坐标为，点的坐标为． （3）解：由（2）可知点，． ． 【点睛】本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的图象和性质等知识，熟记一次函数图象和性质是解决此题的关键，注意数形结合思想的运用． 5．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和b的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或11 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题，三角形面积问题，分类讨论是解题的关键． （1）将点代入，得，然后将点代入，即可求得b的值； （2）根据题意得出点，点，继而得出，根据三角形面积得出，分E在A点的左侧与右侧建立方程即可求解． 【详解】（1）将点代入，得， ∴点， 将点代入， ∴ 解得：， ∴， （2）∵函数的图象与x轴交于点A， 令，得， ∴点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵的面积为12，， ∴， ∴， 根据题意或， ∴或， 解得：或11． 求一次函数的自变量或函数值题型03 1．（25-26八年级·黑龙江哈尔滨·质检）下列各点在函数的图象上（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点是否在一次函数图像上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的值若等于点的纵坐标，则该点在函数图像上，否则不在． 【详解】解：A、当时， ，故A错误； B、当时，，故B错误； C、当时， ，故C错误； D、当时，，计算得到的值与点的纵坐标相等，故D正确． 2．（24-25八年级上·江苏·联考）已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于_______． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 3．（25-26八年级·北京·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)该一次函数的解析式为 (2)当时，该一次函数的函数值y的取值范围是 【分析】（1）使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，由k的正负判断y随x的变化规律，代入x的端点值计算得到y的取值范围． 【详解】（1）解：∵点A，B在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，该一次函数的函数值y的取值范围是． 4．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不在． 理由如下：∵时，， ∴点不在函数的图象上． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是本题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得，∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）略 5．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90    (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】(1)一次 (2) (3)当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为 【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【详解】（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知可能是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， ∴y关于t的函数解析式为； （3）当时， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 一次函数与方程、不等式题型04 1．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 2．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．根据数形结合的思想可知，不等式的解集即为满足直线的图像位于直线图像的下方的x，然后结合两直线的交点为P即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：直线与直线相交于结合函数图像可知，当时，直线的图像位于直线图像的下方，即关于的不等式的解集为：， 故选：C． 3．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点， ∴当时，，当时，， ∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为；故结论①、结论②正确； 由函数图象可知，当时，；当时，；故结论③正确，结论④错误； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 4．画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解； （2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集； （3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ， 作直线，如图所示． 当时，，所以方程的解为； （2）解：当时，，所以不等式的解集为； （3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是． 5．如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 一次函数图象的对称与旋转题型01 1．已知正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（2，3），则与该函数图象关于x轴对称的图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝x 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入正比例函数解析式计算即可． 【详解】设所求函数解析式为y＝kx．经过点（2，3），该点关于x轴的对称点为（2，﹣3）， 将（2，﹣3）代入y＝kx，得k＝﹣． 故与该函数图象关于x轴对称的图象对应的函数表达式为y＝﹣x， 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于根据点的对称规律求解直线的变化是此类题目常用的方法，熟记变化规律求解也可． 2．在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴交点问题，先得出直线与轴交于点，，根据轴对称的性质得出直线过点，，待定系数法求得解析式，进而即可求解． 【详解】∵直线、关于轴对称，直线与轴交于点， ∴直线过点， 设直线的解析式为， ∴将点，代入中得， 解得， ∴， 令，解得， ∴与轴的交点坐标为． 故选：C． 3．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣2，5），并且与y轴交于点P，直线y=x+3与y轴交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式． 【答案】这个一次函数的表达式：y=﹣4x﹣3． 【详解】试题分析：因为直线y=-x+3与y轴相交于点Q，所以点Q的坐标是（0，3），点P在y轴上，且与点P关于x轴对称，所以点P的坐标是（0，-3），把（0，-3），（-2，5）代入一次函数y=kx+b．求出k，b的值，得这个一次函数的表达式． 试题解析：由题意可得，点Q的坐标是（0，3），点P的坐标是（0，﹣3）， 把（0，﹣3），（﹣2，5）代入一次函数y=kx+b， 得， 解得b=﹣3，k=﹣4． 所以这个一次函数的表达式：y=﹣4x﹣3． 新定义题型02 1．设max{a，b}表示a，b两个数中的最大值，例如max{0，2}=2，max{12，8}=12，则关于x的函数y=max{2x，x+2}可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可以分类讨论2x与x+2的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：当2x≥x+2时，得x≥2， 当x+2＞2x时，得x＜2， 故关于x的函数y=max{2x，x+2}可以是 ， 故选A． 【点睛】考查正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数． 2．对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是______． 【答案】1 【分析】根据定义先列不等式：2x-3≥-x+3和2x-3≤-x+3，确定其y=min{2x−3，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值． 【详解】解：由题意得： ，解得：， 当2x-3≥-x+3时，x≥2， ∴当x≥2时，y=min{2x-3，-x+3}=-x+3， 此时该函数的最大值为1； 当2x-3≤-x+3时，x≤2， ∴当x≤2时，y=min{2x-3，-x+3}=2x-3， 此时该函数的最大值为1； 综上所述，y=min{2x-3，-x+3}的最大值是当x=2 所对应的y的值，即y=1， 故答案为 1． 【点睛】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键． 3．（24-25九年级上·四川成都·月考）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 __________．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为__________． 【答案】 3 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．理解题意，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，；当时，；由边界值的定义可求函数的边界值；由（，）边界值是5，，函数的最大值是5，可知当时，；可求，当时，；则，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； ∴由边界值的定义可知，函数的边界值为3； ∵（，）边界值是5，，函数的最大值是5， ∴当时，； 解得，， 当时，； ∴， 解得，， 故答案为：3，． 4．对于有理数a、b，我们用符号表示a、b两数中较小的数，如，又． (1)直接写出的值． (2)已知，当时，求x的值． (3)小明说“第（2）小题中c的值不可能是1”你认为他说得对吗？如果你认为他的观点错误，求当时，x的值；如果你认为他的观点正确，求当成立时，c的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】(1)通过比较，结合新定义得出结果； (2)根据2x和1-4x的大小分两种情况，分别得到方程2x=-1和1-4x=-1，解方程即可； (3)根据新定义把原式转化为分段函数，结合函数图象求出c的取值范围，得到结论. 【详解】（1）解：依题意，因为，所以有 综上所述，． （2）若，可以分两类情况讨论： 若，即 ∴，，即 ，满足题意； 若，即 ∴，，即 ，满足题意； 综上所述，当时，x的值可以是或． （3）小明说的是正确的；理由如下： 由，解得， 由，解得 所以可设， 则 ∴可画出函数y的图像如下所示： 由图可知y的最大值为，所以c的值不可能是1 ∴ 综上所述，c的取值范围是． 【点睛】本题考查定义新运算，利用新定义把未知转化为所学知识是解决问题的关键. 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：（1），，三分点， ，， 解得，， ； （2）点，的“三分点”是点， 点的坐标为，． 将代入得， ， 点在直线的右上方． 与直线没有公共点， 在直线的右上方， 则且， 解得， 的取值范围是． 规律探究题型03 1．科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/°F 144 76 152 78 160 80 168 82 176 84 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．192 D．200 【答案】D 【分析】根据表中的数据可知，温度每升高2°F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表中的数据可知，温度每升高2°F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次， 故当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为：176＋8×＝176+24=200（次）， 即当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是200， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了规律探究及函数的表示方法，理清题意正确列出算式是解答本题的关键． 2．如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则的长为_______． 【答案】512 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是利用平行于坐标轴的直线上点的坐标关系，结合直线方程求出各点坐标，进而归纳出线段长度的规律． 先求出坐标，根据平行关系依次求出、，、，、等点坐标， 计算线段、、长度，归纳出长度规律，根据规律求出的长度． 【详解】在直线中， 令，则， ∴． ∵平行于轴， ∴的纵坐标为． 把代入，可得， 解得，即． ∵平行于轴，横坐标为， 把代入，得， ∴． 的长度为． ∵平行于轴，， ∴的纵坐标为． 把代入，可得， 解得，即． ∵平行于轴，横坐标为， 把代入，得， ∴． ∴的长度为． ∵平行于轴，， 所以的纵坐标为． 把代入，可得， 解得，即． ∵平行于轴，横坐标为14， 把代入，得， 所以． ∴的长度为． 通过计算，，，总结出规律：对于，其长度． 当时，根据上述规律，的长度为． 答案为：512． 3．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【详解】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 4．（24-25下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角形，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律，___________． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 将点的坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得，， ∴， ， ， …… ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型，点的坐标，一次函数图象上的点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 5．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 【答案】(1)，0 (2) 根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线， 则函数图像如图所示： (3)①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②或；③ 【分析】（1）直接将、分别代入函数中求解即可； （2）根据描点法画函数出图像即可； （3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可； ②根据图像的增减性可求解； ③根据图像的最低点可求得该函数的最小值． 【详解】（1）解：由表格知，当时，， 当时，， 故答案为：，0； （2）略 （3）解：①根据图像，当时，y随x的增大而增大，或函数关于直线对称，等， 故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； ②根据图像，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，由得或， 当时，由得或， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； ③由图像知，当时，函数取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 一次函数的图象与性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的图象 题型02 正比例函数的性质 题型03 一次函数经过的象限 题型04 画一次函数的图象 题型05 一次函数图象的平移 题型06 一次函数的增减性 B组 能力进阶 题型01 判断一次函数的图象 题型02 一次函数与坐标轴的交点 题型03 求一次函数的自变量或函数值 题型04 一次函数与方程、不等式 C组 思维拔高 题型01 一次函数图象的对称与旋转 题型02 新定义 题型03 规律探究 正比例函数的图象题型01 1．在平面直角坐标系中，正比例函数y=–2x的图象的大体位置是(    ) A． B． C． D． 2．若正比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B．2 C．0.5 D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________． 4．如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____． 5．（25-26八年级·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 正比例函数的性质题型02 1．（25-26八年级·河北沧州·期末）若正比例函数，函数随的增大而减小，则的值可能是（     ） A．0 B．2 C．3 D． 2．（25-26八年级下·云南临沧·期末）正比例函数中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）已知函数． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)在（1）的条件下若，是此函数图象上两点，请比较与的大小． 5．（25-26八年级上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 数形结合探究函数的性质通过一次函数的学习，我们知道从表达式的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数时，分析如下： 图象的几何特征 表达式的数量特征 正比例函数    图象经过原点 由表达式可知，当时，． 图象经过第①象限 因为，当时，，即； 当时，，即． 所以，当时，x与y的取值同为正数或②． 从左往右图象为上升趋势 设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，． 因为，即，所以，y的值随x值的增大而③． 学习平方根时，我们还知道：对于任意给定的非负数x，都能确定它的算术平方根y的值．我尝试用函数的观点研究y与x的关系，过程如下： 第一步：写出y与x之间的函数表达式为； 第二步：画出函数的图象，如图；   第三步：类比研究正比例函数的方法， 分析函数的性质，…… 任务： (1)补全材料中横线上空缺的内容：① ；② ；③ ； (2)由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； 图象的几何特征 表达式的数量特征 (3)若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是 （用“”、“”或“”连接）． 一次函数经过的象限题型03 1．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 2．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）直线不经过第三象限，则k、b应满足（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 5．已知一次函数． (1)图象经过，求的值； (2)随的增大而减小，求的取值范围； (3)函数图象不经过第三象限，求的取值范围． 画一次函数的图象题型04 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数． (1)填表： …… …… …… __________ __________ __________ __________ …… (2)画出该函数的图象． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图1，图2中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，画直线； (2)在图2中，画直线． 5．甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线前往黄山游玩，甲骑电动车前往，乙骑自行车前往．设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图①所示，甲距出发点的路程关于的函数图象如图②所示，已知甲出发后追上乙． (1)点B的坐标为________，点C表示的实际意义是________； (2)求的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (3)若用表示乙距出发点的路程s与x之间的关系，请在图②中画出的图象． 一次函数图象的平移题型05 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）将直线向下平移1个单位长度后得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 2．若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（    ） A．与轴交于点 B．不经过第一象限 C．随的增大而增大 D．与轴交于点 3．（2026·山东聊城·模拟）在平面直角坐标系中，将直线向右平移两个单位得到直线，则直线的表达式是______． 4．已知一次函数，当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)若点在该函数的图象上，求a的值； (3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标． 5．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整． (1)如图，将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度； (2)将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度； (3)综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（时）或将它向______（填“左”或“右”）（时）平移了个单位长度，且，，满足等式_______． 一次函数的增减性题型06 1．点（－2，），（1，）都在直线上，则与的大小关系是（    ） A．＜ B．＝ C． D．无法确定 2．已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（    ） A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25八年级下·广东广州·月考）对于函数，当时，y的取值范围是______． 5．（25-26八年级上·江苏江阴·月考）如图是函数的一部分图象，利用图象回答： (1)求自变量的取值范围； (2)当取什么值时，的值最小，最小值是多少？ 判断一次函数的图象题型01 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 3．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 4．在同一平面直角坐标系中，正比例函数（为常数且）和一次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 一次函数与坐标轴的交点题型02 1．一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为_______ ． 3．求直线与x轴和y轴的交点，并画出这条直线． 4．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)写出图象与轴、轴的交点的坐标． (3)求的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和b的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值． 求一次函数的自变量或函数值题型03 1．（25-26八年级·黑龙江哈尔滨·质检）下列各点在函数的图象上（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏·联考）已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于_______． 3．（25-26八年级·北京·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 4．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 5．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90    (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 一次函数与方程、不等式题型04 1．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 4．画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 5．如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    一次函数图象的对称与旋转题型01 1．已知正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（2，3），则与该函数图象关于x轴对称的图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝x 2．在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 3．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣2，5），并且与y轴交于点P，直线y=x+3与y轴交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式． 新定义题型02 1．设max{a，b}表示a，b两个数中的最大值，例如max{0，2}=2，max{12，8}=12，则关于x的函数y=max{2x，x+2}可以是（　　） A． B． C． D． 2．对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是______． 3．（24-25九年级上·四川成都·月考）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 __________．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为__________． 4．对于有理数a、b，我们用符号表示a、b两数中较小的数，如，又． (1)直接写出的值． (2)已知，当时，求x的值． (3)小明说“第（2）小题中c的值不可能是1”你认为他说得对吗？如果你认为他的观点错误，求当时，x的值；如果你认为他的观点正确，求当成立时，c的取值范围． 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 规律探究题型03 1．科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/°F 144 76 152 78 160 80 168 82 176 84 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．192 D．200 2．如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则的长为_______． 3．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 4．（24-25下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角形，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律，___________． 5．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $