5.1变量与函数（分层作业，13大题型）数学新教材苏科版八年级上册

分层作业 5.1 变量与函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数的概念 题型02 列函数关系式 题型03 求自变量的取值范围 题型04 求函数值或自变量的值 题型05 用表格表示变量间的关系 题型06 用关系式表示变量间的关系 题型07 函数的三种表示方法 B组 能力进阶 题型01 函数图象识别 题型02 从函数图象获取信息 题型03 用描点法画函数图象 C组 思维拔高 题型01 动点问题的函数图象 题型02 新定义 题型03 规律探究 函数的概念题型01 1．下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 4．设有两个变量x，y，如果对于x的__________的值，y都有__________的值，那么就说y是x的函数，x叫做__________，表示函数的三种方法是__________、__________、__________． 5．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是____________（填序号）． 列函数关系式题型02 1．为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记本，则他剩余的钱y（元）与购买的笔记本的数量x（本）之间的关系是（　　） A．y＝12x B．y＝12x+400 C．y＝12x﹣400 D．y＝400﹣12x 2．如图，用每张长为的纸片，重叠粘贴成一条纸带，则纸带的长度与纸片的张数x之间的函数关系式是（   ）    A． B． C． D． 3．某市出租车起步价为2公里内8元，超过2公里的部分计价为每公里1.6元．则该市出租车载客行驶路程x（）千米与收费y（元）之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．一根弹簧长，它所挂的物体质量不能超过，并且所挂的物体每增加弹簧就伸长，则挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量（）之间的表达式为_________． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 求自变量的取值范围题型03 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北沧州·月考）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数y＝中，自变量x的取值范围是_________． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为____________，自变量x的取值范围是____________． 5．下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？若能，请指出自变量的取值范围． （1） （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行，一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）． （3）在国内投寄到外埠质量为以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量 邮资/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00 求函数值或自变量的值题型04 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）当时，函数的值是（   ） A． B． C．0 D．1 2．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（　　　） A．± B．4 C．±或4 D．4或－ 3．（24-25八年级下·上海·期末）已知，那么___________． 4．如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系式为． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 5．如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度向左运动，最终点A与点M重合时停止运动．求：    (1)与正方形重叠部分的面积与点A的运动时间之间的函数解析式和自变量的取值范围； (2)当，时，分别求重叠部分的面积． 用表格表示变量间的关系题型05 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的读数，将记录下的数据制成下表．下列说法不正确的是（   ） 时间t（单位：s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计读数（单位：）                                    A．当时，温度计上的读数是 B．当时，温度计上读数是 C．温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变 D．依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是 2．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表： t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70 s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0 根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（       ） A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了 B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟 C．修车店在离市中心15km处 D．离市中心5km处可能开始堵车 3．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 4．漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 5．一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如下表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 (1)在这个表格中反映的是_____________和_____________两个变量之间的关系；_____________是自变量；_____________是因变量； (2)随着x的逐渐增大，y的变化趋势是_____________； (3)当豆子售出2.5千克时，总售价是_____________元． 用关系式表示变量间的关系题型06 1．如图，表格列出了一项实验的统计数据中变量y与x之间的关系： x 30 40 100 120 y 15 20 50 60 则下面能表示这种关系的式子是（　　） A．y=x2 B．y=2x C．y=x+2 D．y=0.5x 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间（） 油箱剩余油量（） 则油箱剩余油量与汽车行驶时间之间的关系式是______． 3．地表以下岩层的温度(℃)随着所处深度的变化而变化，在某个地点与之间有如下关系： 岩层所处的深度 1 2 3 4 岩层的温度(℃) 55 90 125 160 根据表格，估计地表以下岩层的温度为时，岩层所处的深度为________． 4．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）为确保首届“深圳市坪山区环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，充分展示坪山魅力，我区串联坪山核心地标，展现“创新坪山、未来之城”的城市形象、自然生态与人文底蕴，制定了详尽的比赛方案．你作为坪山区志愿者团队一员，也参与了活动组织与策划． 此类比赛一般分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始1小时后发车，以固定速度行驶，在比赛结束时行驶了7个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ． （2）某选手速度为时，收容车需在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和）． （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为 时，选手刚好能和2小时20分的赛会纪录持平． 函数的三种表示方法题型07 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 2．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 3．在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 4．中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 5．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； (2)写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 函数图象识别题型01 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）小王同学跑米过程中，速度（单位：米/分）与时间（单位：分）之间的关系如图所示．下列情景最吻合的是（    ） A．一直加速在跑 B．先慢慢加速，然后一直保持匀速 C．一直匀速在跑 D．开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后奋力冲刺 2．（25-26八年级上·山东·月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 3．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 4．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A． B． C． D． 5．小华站在离家不远的公共汽车站等车．下面哪一幅图能较好地刻画等车这段时间内他离家的距离与时间之间的关系？ 从函数图象获取信息题型02 1．甲、乙两地相距900千米，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离与快车的行驶时间之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（    ） A． B． C． D． 2．星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图： (1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？ (2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？ (3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？ 3．（24-25八年级下·湖北·期末）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为（），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． 请认真观察图象，回答下列问题： (1)__________关于的函数．（填“是”或“不是”） (2)请说明点的实际意义． (3)由图可知，知识记忆遗忘先__________后__________．（填序号）①快；②慢． (4)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 4．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米； （2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分； （3）小明在书店停留了多少分钟； （4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米；一共用了多少分钟． 5．如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 用描点法画函数图象题型03 1．在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 2．在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量有如下的对应测量值． 所挂物体的质量/ 1 2 3 4 5 6 7 弹簧伸长的长度/ 0.5 1 1.45 2.2 2.6 3 3.4 (1)用趋势图描述所挂物体的质量和弹簧伸长的长度之间的关系； (2)在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量之间有什么关系？ (3)估计一下，挂的物体时，弹簧大约伸长多少厘米． 3．有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是　 　； （2）如表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为　 　； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是　 　．（只填序号） 4．请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n 7 … （1）函数自变量x的取值范围是 　 　． （2）表格中：m＝　 　，n＝　 　． （3）在直角坐标系中画出该函数图象． （4）观察图象： ①当x　 　时，y随x的增大而减小； ②若关于x的方程2|x﹣3|﹣1＝a有两个不同的实数根，则a的取值范围是 　 　． 5．探究函数y=x|x-2|的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x-2|的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值． x … -2 -1 0 1 2 1+ 3 … y … -8 -3 0 m n 1 3 … 请直接写出：m= ，n= ； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x-2|=a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围． 动点问题的函数图象题型01 1．如图，矩形中，，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．如图1，在矩形中，，动点由点出发，沿点的方向运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系如图所示，当时，的值为(   ) A．2 B．8 C．2或6 D．2或8 3．如图1，在中，于点D ．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为(   )    A．4 B．6 C． D． 4．如图（1）所示，动点在长方形的边上，从点出发，以相同的速度，沿着方向运动到点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的图象如图（2）所示，那么长方形的面积是________． 5．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若，求：    (1)长为多少cm？ (2)图乙中a为多少？ (3)由需__________s，__________； (4)图甲的面积为多少？ (5)图乙中b为多少s？ 新定义题型02 1．了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点____________． 2．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．已知函数，则它的“Y函数”解析式为_______． 3．（2026·山东潍坊·二模）定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，后面每个点的横坐标都由前一个点横坐标加0.2所得），则的值等于_____． 4．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 并发现时间和交通量的变化规律符合如下特征：和． 如图，小毛希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例：，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)点，，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数表达式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 规律探究题型03 1．按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是_________ 2．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 3．如图所示，用棋子摆成“T”字形，按照图①，图②，图③的规律摆下去，若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子，则m关于n的关系式是________． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期中）若九（1）班共有45名同学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？用点A1，A2，A3，⋯，A45分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学…第45名同学，把通话次数y与该班级人数x之间的关系用以下图表表示： (1)填写图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 ．通过探索发现，通话次数y与该班级人数x之间的关系式 ． (2)若九（1）班全体女生相互之间共通话300次，该班共有多少名女生？ 5．（25-26七年级·广东·期末）综合与实践：探秘万花筒 【实验原理】万花筒中有两面镜子与，形成固定夹角的镜子门．物体放置在镜子门中，在镜子的多重反射下形成丰富多彩的图案．如图1，把物体看成一个点，当，点在的角平分线上时，点在镜子与中形成像、．像经镜面继续反射形成像，同理，像经镜面继续反射形成像．由于像、像位于镜面与的背面，无法再通过反射形成新的像，所以点共有4个像． 【特例探究】数学实验小组发现：当可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间存在关系． (1)如图2，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合．请你补充完成以下探究过程． ①当，请在图2中画出点的所有像并完善表格； 20 30 60 72 90 120 像的个数 17 11 5 4 3 ____ ②观察上述实验结果得出猜想：当可被整除时，角平分线上的点的像的个数与之间的关系式为______． 【拓展延伸】当不可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间有何关联？小组展开了新的实验． (2)如图3，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合． ①当，请在图3中画出点的所有像； ②根据上述实验结果完善表格，当点在的角平分线上时，猜想与之间的关系，并用自己的语言进行描述． 13 25 50 70 80 100 110 130 （结果保留1位小数） 27．7 14．4 7．2 5．1 4．5 3．6 3．3 2．8 与相邻的整数 27，28 14，15 7，8 5，6 4，5 3，4 3，4 2，3 像的个数 28 14 8 6 ____ 4 4 2 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.1 变量与函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 函数的概念 题型02 列函数关系式 题型03 求自变量的取值范围 题型04 求函数值或自变量的值 题型05 用表格表示变量间的关系 题型06 用关系式表示变量间的关系 题型07 函数的三种表示方法 B组 能力进阶 题型01 函数图象识别 题型02 从函数图象获取信息 题型03 用描点法画函数图象 C组 思维拔高 题型01 动点问题的函数图象 题型02 新定义 题型03 规律探究 函数的概念题型01 1．下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握“设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量”是解题的关键． 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； B．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； C．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； D．当时，y有两个值与之对应，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列式子中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定惟一的一个值，那么我们称是的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、中，对于的每一个确定的值，不是有唯一的值与其对应，故y不是x的函数，符合题意； B、中，对于的每一个确定的值，是有唯一的值与其对应，故y是x的函数，不符合题意； C、中，对于的每一个确定的值，是有唯一的值与其对应，故y是x的函数，不符合题意； D、中，对于的每一个确定的值，是有唯一的值与其对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答，对于两个变量x，y，给出每一个x的值，y有唯一的值与之相对应，这样的y就是x的函数． 【详解】解：由表格可知：当时，的值为1或2，所以不是x的函数； 由图象可知：给出一个变量x的值，有唯一的值与之相对应，所以是x的函数． 4．设有两个变量x，y，如果对于x的__________的值，y都有__________的值，那么就说y是x的函数，x叫做__________，表示函数的三种方法是__________、__________、__________． 【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图象法 【分析】直接根据函数的定义和表示法解答即可． 【详解】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，表示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法． 故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念和函数的三种表示法是解答本题的关键． 5．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①④ 【分析】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 由函数的概念求解即可． 【详解】解：①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，水面的高度的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； 故答案为：①④． 列函数关系式题型02 1．为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记本，则他剩余的钱y（元）与购买的笔记本的数量x（本）之间的关系是（　　） A．y＝12x B．y＝12x+400 C．y＝12x﹣400 D．y＝400﹣12x 【答案】D 【分析】根据单价乘以数量等于总价，剩余的钱等于所带的钱数减去购买笔记本用去的钱数即可． 【详解】解：由剩余的钱数＝带的钱数400﹣购买笔记本用去的钱数可得， y＝400﹣12x， 故选：D． 【点睛】本题考查函数关系式，理解“单价、数量与总价”以及“剩余钱数、用去的钱数与总钱数”之间的关系是得出答案的前提． 2．如图，用每张长为的纸片，重叠粘贴成一条纸带，则纸带的长度与纸片的张数x之间的函数关系式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系． 根据粘合后的总长度张纸条的长个粘合部分的长，列出函数解析式即可． 【详解】解：根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律得， ， 故选：D． 3．某市出租车起步价为2公里内8元，超过2公里的部分计价为每公里1.6元．则该市出租车载客行驶路程x（）千米与收费y（元）之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总费用等于起步价8元与超过2公里的部分的费用之和即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用关系式表示函数，根据收费标准，正确找出等量关系是解题关键． 4．一根弹簧长，它所挂的物体质量不能超过，并且所挂的物体每增加弹簧就伸长，则挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量（）之间的表达式为_________． 【答案】 【分析】根据“弹簧总长=挂上kg的物体后的弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度”，列出表达式，即可得出结果． 【详解】解：∵所挂的物体每增加kg弹簧就伸长cm， ∴挂上kg的物体后，弹簧伸长cm， ∴弹簧总长， 故挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的表达式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了用表达式表示变量之间的关系，解本题的关键在根据题意正确找出挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量的关系． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了列函数关系式，求解函数的函数值，理解题意列出正确的函数解析式是解题的关键． （1）由长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，平方米． 求自变量的取值范围题型03 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得，再解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 2．（25-26八年级下·河北沧州·月考）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不同类型函数表达式的限制条件分别判断即可，整式函数自变量可取全体实数，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 【详解】对选项A，是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数； 对选项B，是二次根式形式，要求被开方数非负， 可得，解得，不是全体实数； 对选项C，是分式，要求分母不为零，可得，不是全体实数； 对选项D，是分式，要求分母不为零，可得，即，不是全体实数． 3．函数y＝中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】x≤2且x≠﹣2 【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得结论． 【详解】根据题意，得：，解得：x≤2且x≠﹣2． 故答案为x≤2且x≠﹣2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为____________，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数自变量的取值范围，三角形三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形周长的定义，构建关系式即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x， ， ， 由，解得． 故答案为：，． 5．下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？若能，请指出自变量的取值范围． （1） （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行，一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）． （3）在国内投寄到外埠质量为以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量 邮资/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00 【答案】（1）（2）（3）都含有两个变量；（1）可将温度看成时间（可用字母表示）的函数，时间的取值范围是：；（2）可将看成的函数，的取值范围是：；（3）可将看成的函数，的取值范围是： 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案，结合图像分析出自变量的取值范围即可； 【详解】（1）（2）（3）都含有两个变量； （1）可将温度看成时间（可用字母表示）的函数，时间的取值范围是：； （2）可将看成的函数，的取值范围是：； （3）可将看成的函数，的取值范围是： 【点睛】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 求函数值或自变量的值题型04 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）当时，函数的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数的值．将已知的代入函数中，直接计算对应的y值即可． 【详解】解：当时，函数的值为：， 故选：D． 2．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（　　　） A．± B．4 C．±或4 D．4或－ 【答案】D 【详解】把y=8代入第二个方程，解得x=4大于2，所以符合题意； 把y=8代入第一个方程，解得： x=， 又由于x小于等于2，所以x=舍去， 所以选D 3．（24-25八年级下·上海·期末）已知，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数值的求解方法是解题关键．将代入函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系式为． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求自变量的值或函数值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握求自变量的值或函数值是解题的关键． （1）将代入求值即可； （2）当时，则，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时，则， 解得：． 5．如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度向左运动，最终点A与点M重合时停止运动．求：    (1)与正方形重叠部分的面积与点A的运动时间之间的函数解析式和自变量的取值范围； (2)当，时，分别求重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意得出是等腰直角三角形，所以，，，再根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）把，代入函数关系式求值即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形． 又∵， ， ， ∴重叠部分的面积为， 即与正方形重叠部分的面积y与点A的运动时间t之间的函数解析式为：，自变量的取值范围是， 即． （2）解：当时，， 当时，． 【点睛】本题考查列函数关系式与代入求值，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的面积公式等知识． 用表格表示变量间的关系题型05 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的读数，将记录下的数据制成下表．下列说法不正确的是（   ） 时间t（单位：s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计读数（单位：）                                    A．当时，温度计上的读数是 B．当时，温度计上读数是 C．温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变 D．依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是 【答案】D 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，能从表格中获取有效信息是解答的关键． 根据题意和表格中的数据逐项判断即可． 【详解】解：A，根据表格可得，当时，温度计上的读数是，正确，不符合题意； B，当时，温度计上的读数是，正确，不符合题意； C，温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变，正确，不符合题意； D，依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数可能低于或者等于，错误，符合题意； 故选：D． 2．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表： t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70 s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0 根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（       ） A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了 B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟 C．修车店在离市中心15km处 D．离市中心5km处可能开始堵车 【答案】B 【分析】根据表中的时间和距离，逐段分析，即可一一判定． 【详解】解：A、车抛锚了，车速会迅速下降直至停止，由表知，在10分钟-15分钟，5分钟行驶距离为24-20=4km，15分钟-20分钟，5分钟行驶距离为20-16=4km，20分钟-25分钟，5分钟行驶距离为16-15=1km，此段车速明显下降，而在25分钟-30分钟，这段时间小敏离市中心的距离一直是15 km，表明车停下来了，这段时间朋友把小敏的车用工具固定在自己的车后，因此，说明小敏的车开了15分钟，车抛锚了，故A错误； B、小敏把车放在店里维修需要时间，这段时间小敏离市中心的距离(第二次)不变，由表知，在40分钟- 45分钟，离市中心的距离是12 km，因此，小敏的车在40分钟到了修车店，由表知，从抛锚点到修车店，所花时间为40-30=10(分钟)， 故B正确； C、由B知，修车店在离市中心12 km处， 故C错误； D、由表知，在45分钟-50分钟，5分钟行驶距离为12-8=4 km，50分钟-55分钟，5分钟行驶距离为8-5=3 km，55分钟-60分钟，5分钟行驶距离为5-3=2 km，60分钟-65分钟，5分 钟行驶距离为3-1=2 km，65分钟-70分钟，5分钟行驶距离为1-0=1 km，表明车在离市中心5km处在减速行驶进入市区可能遇红绿灯等候，不一定是堵车，故D错误． 故选B． 【点睛】本题考查了函数的应用，即用列表法表示函数关系，从表中获取相关信息是解决本题的关键． 3．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 【答案】52 【分析】本题考查一次函数的应用． 根据题意和表格中的数据，可以计算出每分钟升高的温度和min时的温度. 【详解】解：由题意和表格中的数据可知，每分钟升高（℃）， min时的温度是（℃）. 故答案为：. 4．漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 【答案】5.2 【分析】根据“每分钟水位上升的高度相同”这一条件，判断出记录错误的数据，然后根据规律求出分钟时对应的水位即可． 【详解】解：当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， ∵每分钟水位上升的高度相同，为， ∴时出现错误，应为， ∴时，可得， 答：时对应的水位为． 5．一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如下表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 (1)在这个表格中反映的是_____________和_____________两个变量之间的关系；_____________是自变量；_____________是因变量； (2)随着x的逐渐增大，y的变化趋势是_____________； (3)当豆子售出2.5千克时，总售价是_____________元． 【答案】(1)售出豆子的质量；总售价；售出豆子的质量；总售价 (2)逐渐增大 (3)5 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，常量与变量，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的关键． （1）根据表格中的两个变量的变化情况进行判断即可； （2）从表格中售出豆子的质量与总售价的变化的趋势进行判断即可； （3）根据表格中的对应值得出答案． 【详解】（1）解：表格中有售出豆子的质量和总售价两个变量，总售价随着售出豆子的质量的变化而变化，其中售出豆子的质量是自变量，总售价是因变量； 故答案为：售出豆子的质量，总售价，售出豆子的质量，总售价； （2）解：从表格中售出豆子的质量与总售价的变化的趋势可知，随着售出豆子质量的增大，总售价也逐渐增大； 故答案为：逐渐增大； （3）解：表格中的对应值可知，当豆子售出2.5千克时，总售价为5元； 故答案为：5． 用关系式表示变量间的关系题型06 1．如图，表格列出了一项实验的统计数据中变量y与x之间的关系： x 30 40 100 120 y 15 20 50 60 则下面能表示这种关系的式子是（　　） A．y=x2 B．y=2x C．y=x+2 D．y=0.5x 【答案】D 【分析】根据表格观察规律解答即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，y的值是x的值的一半， ∴y=0.5x． 故选D． 【点睛】本题考查了函数的表示法，分析表格中的数据得出y的值是x的值的一半是解答本题的关键． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间（） 油箱剩余油量（） 则油箱剩余油量与汽车行驶时间之间的关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，先根据表格确定汽车出发时的油箱油量，再求出汽车每小时耗油量，即可推导得到与的关系式． 【详解】解：由表格数据可得，当时，，即汽车出发时油箱原有油量． 观察表格可知，汽车每行驶，油箱剩余油量减少， 因此行驶小时后，总耗油量为， 则剩余油量． 3．地表以下岩层的温度(℃)随着所处深度的变化而变化，在某个地点与之间有如下关系： 岩层所处的深度 1 2 3 4 岩层的温度(℃) 55 90 125 160 根据表格，估计地表以下岩层的温度为时，岩层所处的深度为________． 【答案】10 【分析】直接利用根据题意得出函数解析式，进而得出x的值． 【详解】设y=kx+b， 则把（1，55），（2，90）代入得： ， 解得：， 故y=35k+20， 则当y=370时，370=35x+20， 解得：x=10， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了函数的表示方法，正确得出函数解析式是解题关键． 4．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由． 【答案】(1)72 (2) (3) 解：不能能叠放11个，理由如下： 当时，， ∴， ∴不能能叠放11个． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值等等： （1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米， ∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米， 故答案为：72； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）略 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）为确保首届“深圳市坪山区环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，充分展示坪山魅力，我区串联坪山核心地标，展现“创新坪山、未来之城”的城市形象、自然生态与人文底蕴，制定了详尽的比赛方案．你作为坪山区志愿者团队一员，也参与了活动组织与策划． 此类比赛一般分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始1小时后发车，以固定速度行驶，在比赛结束时行驶了7个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ． （2）某选手速度为时，收容车需在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和）． （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为 时，选手刚好能和2小时20分的赛会纪录持平． 【答案】收容车调度模型：（1）；（2）； 精英组冲奖分析：（1）（2）． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用中的行程问题，用关系式表示变量间的关系，通过条件或图象获取信息，列出方程或算式进行求解是解题的关系． 收容车调度模型： （1）根据路程、时间、速度关系求出速度与关系式； （2）追及过程中路程相等，可列方程，求出追上时间进而求出收容车需在距起点多远处接走他； 精英组冲奖分析： （1）分段计算时间（不同速度对应不同路段），然后相加计算即可； （2）求出最后所用时间，利用路程除以时间求出冲刺速度，注意单位一致． 【详解】解：收容车调度模型 （1） 由题意得，赛程，行驶小时，速度， 关系式 ， 故答案为：；； （2）解：设收容车行驶时间为th时接走了该选手，则该选手骑行了， 由题意得 ， 解得 ， 则 ， 答：收容车需在距起点 处接走选手； 【精英组冲奖分析】（1）由题意得， ； 答：骑行所需时间； （2）骑行前所用时间为，赛会记录为2小时20分小时， ， 故答案为：． 函数的三种表示方法题型07 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 2．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 【答案】(1)120 (2) (3)①150，②行驶时间时，行驶路程为 (4) 用表格表示，可以鲜明的呈现出自变量和因变量之间的数量对应关系，但只能累出部分数据，难以反应全部变化； 用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难以用关系式表示； 用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图象，往往不够准确． 【分析】（1）根据表格中的数据，即可得出当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； （2）根据路程和时间的关系式，即可进行解答； （3）根据表格中的数据和图象，即可得出当时，s的值，结合图象分析点在A时的时间和路程即可得出点A表示的意义； （4）根据函数三种表示方式的优缺点进行解答即可． 【详解】（1）解：由表可得：当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； 故答案为：120； （2）解：根据题意可得：， 当 ，把代入得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由图可知：当时，， 点A表示的意义为：行驶时间时，行驶路程为． 故答案为：150，行驶时间时，行驶路程为．， （4）略 【点睛】本题主要考查了函数的三种表示方式，解题的关键是掌握函数的三种表示方式：表格，关系式，图象，是解题的关键． 3．在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 【答案】（1）18；（2）；（3）当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 【分析】（1）根据表格可知，发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm，据此解答即可； （2）根据弹簧的长度等于弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度列出关系式； （3）结合图象解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知，当x=5时，y=16+2=18， 故答案为：18； （2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm， 根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+8（0≤x≤5）； （3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 【点睛】本题主要考查得是列函数关系式，解答本题需要同学们明确弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度，根据表格发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm是解题的关键． 4．中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 【答案】(1) 如图所示： (2)5.5；66.0 (3)> 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答． （2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可． （3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象 ∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）； 故答案为：5.5；66.0． （3）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近， ∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则 故答案为：>． 5．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； (2)写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 【答案】(1)6 (2)59，曲线如下图所示： (3)①5；②3，1200元 【分析】（1）观察曲线，即可获得答案； （2）由表中数据列出关于的不等式组，据此即可确定整数的值；结合的值以及表中数据，作出曲线即可； （3）①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标；②结合题意可知，确定当、、和时，何日可达标，并分别计算总成本，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：观察曲线，当整数的值为6时，的值首次超过60； （2）解：根据题意，时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变， 由表中数据可知，， 解得， 故整数； （3）解：①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标； ②结合题意可知， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，至第6日达标，此时总成本为元， 当时，至第5日达标，此时总成本为元， ∵， ∴小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是1200元． 函数图象识别题型01 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）小王同学跑米过程中，速度（单位：米/分）与时间（单位：分）之间的关系如图所示．下列情景最吻合的是（    ） A．一直加速在跑 B．先慢慢加速，然后一直保持匀速 C．一直匀速在跑 D．开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后奋力冲刺 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象，根据速度随时间的增加而变化情况可得答案．解题的关键是结合图象理解两个变量之间的关系． 【详解】解：由图象可知，开始时速度随时间的增大而增大，中途速度随时间的增大而不变，后来速度随时间的增大而增大，且增大的速度比原来快， ∴开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后奋力冲刺． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东·月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 3．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 4．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可． 【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当时，； 当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为：，当时，； 当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为，即当时，； 通过选项对比，只有B选项符合要求， 故选：B． 5．小华站在离家不远的公共汽车站等车．下面哪一幅图能较好地刻画等车这段时间内他离家的距离与时间之间的关系？ 【答案】图（3） 【详解】解：因为在等车这段时间内，小华离家的距离随时间的变化保持不变， 所以图象是一条平行于横轴（时间轴）的线段，即为图（3）． 从函数图象获取信息题型02 1．甲、乙两地相距900千米，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离与快车的行驶时间之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查从函数图像获取信息，判断快车到达乙地的时间并熟练掌握路程、速度、时间三者的关系是解题的关键． 由题意可知，当时，快车到达乙地，根据“速度路程时间”求出快车的速度，设慢车的速度为，当时，两车相遇，根据此时两车行驶的总路程为列方程并求解即可． 【详解】解：根据题意可知，当时，快车到达乙地， ， 快车的速度为． 设慢车的速度为． 当时，两车相遇，此时两车行驶的总路程为，得， 解得， 慢车的速度为． 故选：A． 2．星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图： (1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？ (2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？ (3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？ 【答案】(1)分钟，千米/时 (2)时，时 (3)加油或是乘客下车（答案不唯一） 【分析】本题主要考查根据图象获取信息， （1）根据图象的横轴、纵轴表示的信息即可求解； （2）根据图形中随着时间变化，速度不变的情况即可求解； （3）根据实际情况进行分析，答案不唯一． 【详解】（1）解：汽车行驶的时间为：（分钟），它的最大速度为：千米/时； （2）解：汽车在分钟，分钟时保持匀速，速度分别是千米/时，千米/时； （3）解：分钟到分钟，汽车的速度为千米/时，有可能是加油，或是有乘客下车（答案不唯一）． 3．（24-25八年级下·湖北·期末）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为（），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． 请认真观察图象，回答下列问题： (1)__________关于的函数．（填“是”或“不是”） (2)请说明点的实际意义． (3)由图可知，知识记忆遗忘先__________后__________．（填序号）①快；②慢． (4)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【答案】(1)是 (2)点的实际意义是学习后小时，记忆留存率为； (3)①，② (4)建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 【分析】（）根据函数的定义判断即可； （）根据点的坐标的意义即可解答； （）直接观察图象即可解答； （）提出一条合理的建议即可； 本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应， 是关于的函数， 故答案为：是； （2）解：点的实际意义是学习后小时，记忆留存率为； （3）解：由图象知，知识记忆遗忘是先快后慢， 故答案为：①，②； （4）解：建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 4．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米； （2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分； （3）小明在书店停留了多少分钟； （4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米；一共用了多少分钟． 【答案】（1）1500米； （2）小明在12﹣14分钟最快，速度为450米/分；（3）4分钟．（4）共2700米，共用了14分钟． 【分析】（1）根据图象，观察学校与小明家的纵坐标，可得答案； （2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度； （3）读图，对应题意找到其在书店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间； （4）读图，计算可得答案，注意要计算路程． 【详解】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米； （2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡， 故小明在12-14分钟最快，速度为米/分． （3）根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分， 故小明在书店停留了4分钟． （4）读图可得：小明共行驶了1200+600+900=2700米，共用了14分钟． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 5．如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 故函数图象为： 【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 用描点法画函数图象题型03 1．在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 【答案】 填表： 描点 连线 【分析】先取出一些数据，填表；然后根据一次函数的解析式画出图象即可． 本题考查了描点法画函数图象，熟练掌握图象的画法是解题的关键． 【详解】略 2．在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量有如下的对应测量值． 所挂物体的质量/ 1 2 3 4 5 6 7 弹簧伸长的长度/ 0.5 1 1.45 2.2 2.6 3 3.4 (1)用趋势图描述所挂物体的质量和弹簧伸长的长度之间的关系； (2)在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量之间有什么关系？ (3)估计一下，挂的物体时，弹簧大约伸长多少厘米． 【答案】(1) 描点，连线，画出函数的图象如下， (2)弹簧伸长的长度大致呈现逐渐上升的趋势 (3)挂的物体时，弹簧大约伸长． 【分析】本题考查用图象表示的变量之间的关系，解题的关键是画出函数的图象． （1）描点，连线，画出图象即可； （2）（3）根据函数图象回答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象知，弹簧伸长的长度大致呈现逐渐上升的趋势； （3）解：由函数图象知，挂的物体时，弹簧大约伸长． 3．有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是　 　； （2）如表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为　 　； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是　 　．（只填序号） 【答案】（1）任意实数； （2）1； （3）先描点，再连线，画出函数的图象如下： （4）①②③． 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）根据把代入函数解析式，可以得到m的值； （3）根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】解：（1）在函数y＝|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：x为任意实数； （2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+1|＝1， 故答案为1； （3）略 （4）由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图像，根据函数的图像归纳函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 4．请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n 7 … （1）函数自变量x的取值范围是 　 　． （2）表格中：m＝　 　，n＝　 　． （3）在直角坐标系中画出该函数图象． （4）观察图象： ①当x　 　时，y随x的增大而减小； ②若关于x的方程2|x﹣3|﹣1＝a有两个不同的实数根，则a的取值范围是 　 　． 【答案】（1）全体实数；（2）3，5； （3）根据表中数据，描点，连线如下图所示： （4）①≤3；②a＞－1． 【分析】（1）由绝对值的定义即可确定x的取值范围； （2）将x=1和x=6分别代入解析式即可求得m和n的值； （3）根据表格已有数据、描点、连线即可得到函数图象； （4）①根据函数图象即可解答；②根据函数图像得到函数的性质，再运用性质解答即可 【详解】解：（1）由绝对值的定义可知，x-3可取全体实数， ∴x的取值范围是全体实数， 故填：全体实数； {2）当x=1时，m=2×|1-3|-1=3； 当x=6时，n=2×|6-3|-1=5， 故填：3，5； （3）略 （4）①由图可知，当x≤3时，y随x的增大而减小， 故填≤3； ∵关于x的方程2|x-3|-1=a有两个不同的实数根， ∴函数y=2|x-3|-1与函数y=a的函数图象有两个不同的交点， ∴a>-1． 故填a>-1． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标、分段函数的图象，准确画出函数的图象并灵活运用函数图象得到函数的性质成为解答本题的关键． 5．探究函数y=x|x-2|的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x-2|的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值． x … -2 -1 0 1 2 1+ 3 … y … -8 -3 0 m n 1 3 … 请直接写出：m= ，n= ； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x-2|=a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围． 【答案】（1）m=1，n=0； （2）如图： （3）4< x1+x2+x3<3+． 【分析】（1）把和代入y=x|x-2|，即可求得m、n的值； （2）画出该函数图象即可； （3）根据题意可知，且，，令时，求解x的值，即可得出的范围；再结合与关于对称，得出，进一步即可得出结果． 【详解】解：（1）把代入y=x|x-2|，得 把代入y=x|x-2|，得 故答案为：m=1，n=0； （2）略 （3）有三个解为，，，且，则与图象有三个交点， ，且，， 令时， 解得 关于对称， ． 【点睛】此题主要考查用描点法画函数图象并从图象获取信息，利用了数形结合思想，正确画出函数图象是解题关键． 动点问题的函数图象题型01 1．如图，矩形中，，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分当和两种情况讨论，分别求得函数关系式，即可判断． 【详解】解：由题意知，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，则 当时，， 当时，， 由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是经过原点和点的一条线段，然后为经过点和点的一条水平线段． 故选：C． 【点睛】本题以动态的形式考查了分段函数，函数图象的知识和三角形面积，熟悉相关性质是解题的关键． 2．如图1，在矩形中，，动点由点出发，沿点的方向运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系如图所示，当时，的值为(   ) A．2 B．8 C．2或6 D．2或8 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，利用函数图象求出、和，再分析出当时，点在上，且，，再求出的面积即可． 【详解】解：当点运动到点处时，，即， 当点运动到点处时，，即， ， ， ， ， 时，分三种情况： 点在上时，如图1， ∴，即， 解得：； 当在上时， 如图2， ，即 ， 解得：； 当在上时， 如图3， ，即， 结合图象，这种情况不符合题意，舍去， 当时，的值为或， 故选：D． 3．如图1，在中，于点D ．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为(   )    A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，由图象可知，，当时，，即，由勾股定理得，，则，可求得，，同理可求，，联立①②，可求，进而可求． 【详解】解：∵， ∴， 由图象可知，， 当时，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， 同理可求，， 联立①②，可得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式的变形．熟练掌握函数图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式的变形是解题的关键． 4．如图（1）所示，动点在长方形的边上，从点出发，以相同的速度，沿着方向运动到点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的图象如图（2）所示，那么长方形的面积是________． 【答案】24 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，根据题意结合图象得出、的长度，再求出面积即可． 【详解】解：由题知，当点在上运动时，不存在， ∴， 当点在上运动时，的面积逐渐增大，到时最大， ∴， 所以长方形的面积为， 故答案为：． 5．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若，求：    (1)长为多少cm？ (2)图乙中a为多少？ (3)由需__________s，__________； (4)图甲的面积为多少？ (5)图乙中b为多少s？ 【答案】(1)8cm (2) (3)； (4) (5)17s 【分析】（1）根据0~4s的函数图象即可求解； （2）由和的长度即可求解； （3）根据6~9s的函数图象即可求解； （4）图甲的面积是，据此即可求解； （5），据此即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得点P从点B到点C运动的时间是4s，运动的速度是每秒2cm， 故的长度是， 即长是8cm． （2）解：∵，， ∴， 即图乙中a的值为； （3）解：； ∵需2s， ∴， ∴． 故答案为： （4）解：由图可知，，，，， ∴， ∴图甲的面积是． （5）解：由题意，可得，即b的值是17s． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．考查学生从函数图象获取信息的能力． 新定义题型02 1．了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点____________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，零次幂； 根据任何一个不为零的数的零次幂都是1可得答案． 【详解】解：∵，（且） ∴函数恒过点， 故答案为：． 2．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．已知函数，则它的“Y函数”解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变换—轴对称，函数的解析式，设原图像上的一点为，两个函数的图象关于y轴对称，得到互为“Y函数”的函数上一点坐标为，代入函数解析式即可求解． 【详解】解：设函数的图像上的一点为， 则关于y轴对称的点为， 将点代入， 得， 故答案为：． 3．（2026·山东潍坊·二模）定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，后面每个点的横坐标都由前一个点横坐标加0.2所得），则的值等于_____． 【答案】 【分析】根据取整函数定义，函数值的规律，利用互为相反数的和为0化简计算，得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，点的横坐标满足， ∵，其中表示不超过的最大整数， ∴， ∵相邻点横坐标差为， ∴函数值每5个一组，一组内5个数相等，每到下一组，函数值加1， 对于，其纵坐标的取值是从到的整数，每个整数值出现5次， 故， 又， 所以． 4．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 并发现时间和交通量的变化规律符合如下特征：和． 如图，小毛希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．理由如下： ∵，， ∴． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴在18时至20时，自西向东方向拥堵，需要将可变车道的方向设置为自西向东； 在8时到9时，自东向西方向拥堵，需要将可变车道的方向设置为自东向西． 【分析】先求出，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可解答． 【详解】略 5．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例：，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)点，，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数表达式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了函数解析式的求解，坐标系中点的坐标特征，理解和掌握“和谐点”的定义是解题的关键． （1）由“和谐点”的定义，进行计算，即可求解； （2）①由“和谐点”的定义表示出和，得出，再代入，即可求解； ②由垂直可得出点的横坐标与的横坐标相同，即，进而得出的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点是点，的“和谐点”， 故，， 故点的坐标为． 故答案为：． （2）解：①∵点是点，的“和谐点”， 故，， ∴， 故； ∴与之间的函数表达式为：； ②∵直线交轴于点，点在轴上，， 故点的横坐标与的横坐标相同， 即， 故， 则， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了新定义“和谐点”的理解、列方程及解一元一次方程、点坐标的平移以及垂直的点坐标关系． 规律探究题型03 1．按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是_________ 【答案】## 【分析】本题考查的是探究规律，函数的表示方法．根据图中所给出的图形，得出规律是解答本题的关键． 根据所给图形总结规律解答即可，不算左右两侧的椅子，则每张餐桌有4把椅子，再加左右两侧的椅子即可． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 由此类推，可得出． 故答案为． 2．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 【答案】 和 3和1 【分析】此题主要考查了常量与变量，规律型：数字变化类，正确得出棋子个数变化规律是解题关键． 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加 （或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：第一个图需棋子 ； 第二个图需棋子； 第三个图需棋子； 第个图需棋子枚． 其中变量是，常量是 1 和3． 故答案为：． 3．如图所示，用棋子摆成“T”字形，按照图①，图②，图③的规律摆下去，若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子，则m关于n的关系式是________． 【答案】m＝3n+2 【分析】观察图形，可以发现图形中棋子的变化规律：第n个图形所需棋子数量相比较第1个图形要增加（n-1）个3，从而可以求得关系式． 【详解】观察图形可得，图②需要棋子个数：5+3×1=8， 图③需要棋子个数：5+3×2=11， ∴第n个“T”字形需要棋子个数：5+3×(n-1)=3n+2， ∴m=3n+2． 故答案为：m=3n+2． 【点睛】本题考查了关系式表示变量间关系，观察图形，发现题目中棋子的变化规律是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期中）若九（1）班共有45名同学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？用点A1，A2，A3，⋯，A45分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学…第45名同学，把通话次数y与该班级人数x之间的关系用以下图表表示： (1)填写图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 ．通过探索发现，通话次数y与该班级人数x之间的关系式 ． (2)若九（1）班全体女生相互之间共通话300次，该班共有多少名女生？ 【答案】(1)10，15， (2)该班共有25名女生 【分析】（1）根据所给表格，得出班级人数与通话次数之间的关系式即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可． 本题考查了一次函数以及找规律列代数式，找出图中的变化规律是解题关键． 【详解】（1）解：（1）由题知， 第一个图中y的值为：， 第二个图中y的值为：， 第三个图中y的值为：， …， 所以第个图中y的值为：， 由得，． 当时， 第四个图形中的值为：； 当时， 第五个图形中的值为：． 故答案为：10，15，； （2）由题知， ， 解得或（舍去）， 所以该班共有25名女生． 故答案为：25． 5．（25-26七年级·广东·期末）综合与实践：探秘万花筒 【实验原理】万花筒中有两面镜子与，形成固定夹角的镜子门．物体放置在镜子门中，在镜子的多重反射下形成丰富多彩的图案．如图1，把物体看成一个点，当，点在的角平分线上时，点在镜子与中形成像、．像经镜面继续反射形成像，同理，像经镜面继续反射形成像．由于像、像位于镜面与的背面，无法再通过反射形成新的像，所以点共有4个像． 【特例探究】数学实验小组发现：当可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间存在关系． (1)如图2，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合．请你补充完成以下探究过程． ①当，请在图2中画出点的所有像并完善表格； 20 30 60 72 90 120 像的个数 17 11 5 4 3 ____ ②观察上述实验结果得出猜想：当可被整除时，角平分线上的点的像的个数与之间的关系式为______． 【拓展延伸】当不可被整除，点在的角平分线上时，像的个数与之间有何关联？小组展开了新的实验． (2)如图3，若干条虚线交于点，相邻虚线的夹角是，镜子门与其中两条虚线重合． ①当，请在图3中画出点的所有像； ②根据上述实验结果完善表格，当点在的角平分线上时，猜想与之间的关系，并用自己的语言进行描述． 13 25 50 70 80 100 110 130 （结果保留1位小数） 27．7 14．4 7．2 5．1 4．5 3．6 3．3 2．8 与相邻的整数 27，28 14，15 7，8 5，6 4，5 3，4 3，4 2，3 像的个数 28 14 8 6 ____ 4 4 2 【答案】(1)解：①如图所示，像、即为所求， ； 2 ② (2)解：①如图所示，像、，，即为所求 ； ②4 当（其中k为正整数）时，n的值为k或，且要保证n为偶数． 【分析】（1）①仿照例题作图，并填写表格即可；②根据表格中的数据可得，据此可得答案； （2）①仿照例题作图即可；②观察可知，当（其中k为正整数）时，n的值为k或，且要保证n为偶数． 【详解】（1）①略； 解：②，，，……， 以此类推，可知， ∴； （2）①略 ②解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，当（其中k为正整数）时，n的值为k或，且要保证n为偶数． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $