5.3-5.4概率的应用（分层作业，6大题型）数学新教材苏科版九年级上册

分层作业 5.3-5.4 概率的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 抽签原理 题型02 用频率估计概率 B组 能力进阶 题型01 运用概率知识解决游戏公平性问题 题型02 根据频率确定试验对象的个数 C组 思维拔高 题型 开放探究题 抽签原理题型01 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 2．小明和小斌都想去参加一项重要的活动，但只有一个名额．于是他们决定抓阄，两张纸条：一张写着“yes”，一张写着“no”，他们两人闭上眼睛随机各抓一张，抓住“yes”的就去，抓住“no”的就不去，这对双方公平吗？答：________(填“公平”或“不公平”)． 【答案】公平 【详解】试题解析：等可能的结果有两种，机会各为. 故对双方公平. 故答案为公平. 3．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率___________后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义理解，根据每次摸球的条件相同，可得到概率相同，准确理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不透明的纸盒中放有白色，红色，绿色的小球各1个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每个球的概率均相等， 即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率， 故答案为：． 4．2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 公平，理由如下：所有等可能的结果有4种，其中摸到的球号码大于2的结果有2种，不大于2的结果有2种 ∴P（小红参加活动），P（小星参加活动）， ， ∴这个抽签方式公平． 【分析】本题考查求简单事件的概率、判断游戏的公平性，理解题意，正确求得概率是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先分别求得小红参加活动和小星参加活动的概率，若概率相等，该抽签方式公平，若概率不相等，该抽签方式不公平． 【详解】（1）解：所有等可能的结果有4种，其中摸到2的结果有1种， ∴P（摸到小球数字为2）； （2）略 5．某中学九年级有八个班，学校准备从中抽调两个班参加社区公益活动．各个班级都积极参与，由于某种特殊原因，一班必须参加，另外从二至八班中再选一个班参加有人提议用如下的方法随机选择一个班级，具体方案是：在四个相同的乒乓球上分别标上数字1、2、3、4，并放入一个不透明的袋中，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，放回后，再随机摸出一个，摸出的两个数字相加，和是几就选几班．请你求出每一个班级被选中的概率，并判断这种方法是否公平． 【答案】，，，，，，，这种方法不公平 【分析】根据题意列表得到所有的等可能的结果，再根据概率公式求得各种情况的概率，比较即可得出结论． 【详解】解：列表为： 和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表知，共有16种可能的情况，每种情况出现的可能性相同，其中和为2有1种，和为3有2种，和为4有3种，和为5有4种，和为6有3种，和为7有2种，和为8有1种， 则，，，，即二班至八班各班被选中的概率不全相等， ∴这种方法不公平． 【点睛】本题考查本题考查概率问题中的公平性问题，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：列表法求概率及概率=所求情况数与总情况数之比． 6．根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 用频率估计概率题型02 1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（　　） 试验种子数n（粒） 50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850 发芽频率 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1 【答案】C 【详解】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，∴估计种子发芽的概率为0.95．故选C． 点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 3．甲、乙两名同学在做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现点数6朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【答案】C 【分析】A抛一枚硬币，出现正面朝上的概率是， B掷一个正六面体的骰子，出现点数6朝上的概率是， C一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是， D从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是， 由图可知当实验次数很多时，频率稳定在0.25=附近，估计概率为． C符合． 【详解】解：由图看出，当实验次数很多时，频率在0.25，即附近小幅波动， ∴， A抛一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故选项A不合题意； B掷一个正六面体的骰子，出现点数6朝上的概率是，故选项B不合题意； C一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，符合这一数值的是C选项； D从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是，故选项D不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解决问题的关键是分别计算A、B、C、D的概率对照图中稳定的频率值． 4．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有______幅． 【答案】80 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确理解题意并读懂图象含义是解题的关键． 由图象可知正确率趋于稳定时，正确率约为0.8，再由100乘以0.8即可求解． 【详解】解：由题意知，正确率逐渐趋于稳定时，正确率约为0.8，则(幅)． 故答案为：80． 6．（2025·湖南/长沙·模拟）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为_________． 【答案】4.2 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为， 则不规则图案的面积为：， 故答案为：4.2． 7．（24-25九年级上·浙江·月考）实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了频率估计概率及其综合应用，理解频率和概率的定义是解题关键． （1）根据石子落在草地内的次数占投掷石子总次数比，即可估计石子落在草地内的概率； （2）根据概率公式估算出草地面积即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是． 故答案为：． （2）解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是， ∴草地的面积大约为：． 8．（25-26七年级·安徽宿州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，下表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当很大时，请估计摸到白球的概率.（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若再放入个白球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)白球个，黑球个 (3) 【分析】本题考查了用频率估计概率、概率公式的应用，熟练掌握频率与概率的关系以及相关计算是解答本题的关键． （1）利用大量重复试验下，频率稳定在概率附近的规律，结合表格中频率的稳定值估计摸到白球的概率； （2）根据 “部分数量总数量对应概率”，结合白球的概率估算白球个数，再用总数减去白球个数得到黑球个数； （3）根据放入白球后的白球总数与总球数，利用概率公式计算摸到白球的概率． 【详解】（1）解：当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近， 观察表格中的频率：，，，，，，，这些频率都稳定在附近， 所以摸到白球的概率约为； （2）解：已知总球数为个，摸到白球的概率约为， 白球个数：（个）， 黑球个数：（个）， 所以盒子里有白球个，黑球个； （3）解：放入个白球后： 白球总数：（个） 总球数：（个） 摸到白球的概率：． 运用概率知识解决游戏公平性问题题型01 1．笑笑和淘气下象棋，用游戏决定谁先走，游戏规则不公平的是（     ） A．掷硬币，正面朝上笑笑先走，反面朝上淘气先走 B．用“石头”“剪刀”“布”，谁赢谁先走 C．掷骰子，大于4点笑笑先走，小于4点淘气先走 D．从这10张数字卡片中抽取1张，抽到奇数笑笑先走，抽到偶数淘气先走 【答案】C 【分析】判断游戏公平性，只需计算两人先走的可能性，若可能性相等则游戏公平，否则不公平． 【详解】解：A、掷硬币只有正面朝上和反面朝上两种等可能结果，笑笑先走和淘气先走的可能性都是，游戏公平； B、玩“石头”“剪刀”“布”时，笑笑赢和淘气赢的可能性相等，都是，游戏公平； C、骰子共有六个点数，大于4的点数为5和6，共2种，笑笑先走的可能性为；小于4的点数为1，2，3，共3种，淘气先走的可能性为；，两人先走的可能性不相等，游戏不公平； D、中奇数共5个，偶数共5个，抽到奇数和抽到偶数的可能性都是，游戏公平． 2．（2025·辽宁大连·一模）甲和乙按如下规则玩游戏：开始时两人都为0分，每轮随机掷一枚均匀的正方体骰子，若朝上的点数是1或2，则甲得2分；若朝上的点数是3，4，5或6，则乙得1分．重复若干轮，先达到4分者获胜，则这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．公平 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查的是概率的应用——游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，这是关键．通过计算甲和乙在不同得分状态下的获胜概率，得出甲获胜的总概率大于乙，因此游戏规则对甲有利． 【详解】设为甲得分、乙得分时甲获胜的概率， 当，甲已胜，； 当，乙已胜，； 对于且，每轮有两种可能： 甲得2分（概率），此时状态变为； 乙得1分（概率），此时状态变为； 因此：， ：甲再得2分即胜，否则乙胜， ； ：甲得2分则胜，否则进入， ； ：甲得2分则胜，否则进入， ； ：甲得2分则胜，否则进入， ； ：甲需两次得2分，否则乙胜， ； ：甲需两次得2分，否则进入， ； ：甲需两次得2分，否则进入， ； 初始状态的值为：， 则甲获胜概率为，乙为， 即游戏对甲有利． 故选：A． 3．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏_______（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件发生的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：任意掷出骰子，出现的点数情况如下： 1，2，3，4，5，6，共六种情况． ，，因此这个游戏公平． 故答案为：公平． 4．在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 【详解】解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期中）小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 【答案】(1) 解：我认为以上两位同学的想法是错误的． 理由：转盘被等分为12个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有12种，这些结果是等可能的．其中红色扇形有2个，黄色扇形有3个，空白扇形有7个，所以指针停留在这三个区域的结果不是等可能的，指针落在红色区域的概率是．因此小杰的想法是错误的． 转盘是均匀的．无论前面转动结果如何，再转一次，结果都不会受到前面的影响，指针落在黄色区域的概率．因此，小颖的想法是错误的． (2) 解：不公平． 由（1）可得小杰获胜的概率是，小颖获胜的概率是， ∵， ∴游戏不公平， 只要把一个空白区域的扇形标注成红色即可． 【分析】本题考查了概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算并判断即可得解； （2）根据概率公式计算即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”， 理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于 4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）略 （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 7．（24-25九年级上·福建三明·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平； (2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由． 【答案】(1) 画树状图得： 共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，乙获胜的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平； 不公平 (2) 游戏规则：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1的为甲胜，否则为乙胜．理由如下： ∵由（1）中树状图可知，两个球上的数字之差的绝对值为1的有6种情况， ∴，， ∴， ∴这种游戏规则对甲、乙双方公平． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，根据树状图计算甲、乙获胜的概率，比较作出判断即可； （2）制定新游戏规则，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 8．（2025·河北廊坊·一模）在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 【答案】不划算，理由如下： 由题意知，三次投硬币共有8种等可能的结果，分别是：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反， 其中：“全正”的情况有1种，概率为； “全反”的情况有1种，概率为； “一正二反”的情况有3种，概率为； “二正一反”的情况有3种，概率为； 参与者平均每次的期望收益为：（元）， 扣除报名费30元，亏损（元）， 所以这种游戏肯定是不划算的． 【分析】本题考查概率的应用，通过列举法写出所有等可能的情况，得出“全正”“全反”“一正二反” “二正一反”的概率，计算出平均每次的期望收益，与报名费进行比较即可判断． 【详解】略 根据频率确定试验对象的个数题型02 1．（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有100个，除颜色外其它完全相同，通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在15%、40%，则口袋中白色球的个数很可能是（   ） A．45 B．40 C．15 D．55 【答案】A 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数． 【详解】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， 摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个． 故选A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘以部分所占总体的比值． 3．工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_______． 【答案】10 【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数． 【详解】解：（件， 故答案为：10． 【点睛】考查样本估计总体，解题的关键是求出样本中次品所占的百分比． 4．某养殖专业户为了估计鱼塘中鱼的数量，第一次随机从鱼塘中打捞了条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回鱼塘．一周后，再从鱼塘中随机进行打捞，通过多次试验发现有标记的鱼出现的频率稳定在左右，则鱼塘中大约有______条鱼． 【答案】 【分析】直接利用样本的频率估计总体可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查样本的频率估计总体，正确理解题意是解题的关键． 5．数学兴趣小组的成员在学习用频率估计概率时，设计了一个游戏：在一个不透明的布袋里装有除颜色不同外其他均相同的红、蓝两种球共个，小颖做摸球试验，他将布袋里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回布袋中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据； 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)当很大时，摸到红球的频率将会接近______；（精确到） (2)由（1）估计摸到红球的概率______； (3)试估算盒子里红球有多少个． 【答案】(1) (2) (3)红球有个 【分析】（1）根据表格数据分析即可求解； （2）根据摸到红球的结果，及计算摸到红球的频率的公式即可求解； （3）根据概率的计算方法，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据显示，随着摸球的次数越大，摸到红球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：根据试验的结果，估计摸到红球的概率， 故答案为：． （3）解：摸到红球的概率的计算方法是摸到红球的次数除以总数量，结果表示为小数，设有个红球， ∴，解得，， ∴红球有个． 【点睛】本题主要考查用频率估算总体的概率，掌握频率的计算方法，用频率估算总体概率的方法是解题的关键． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 7．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计袋中黑球的个数为　 　只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1)20 (2)10 【分析】（1）根据大量重复试验中事件发生的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率，根据概率的计算公式即可得出答案； （2）设向袋子中放入x个黑球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得． 【详解】（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定在常数0.5附近，因此摸到黑球的概率为0.5，估计袋中黑球的个数为只， 故答案为：20； （2）设放入黑球x个，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， ∴小明后来放进了10个黑球． 【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 8．【项目名称】校园生态池鱼群数量的调查与决策 【项目背景】在“建设美丽浙江”的活动中，某校开展了“校园绿化与生态平衡”的项目化学习．小衢和小嘉两位同学加入了一个关于“校园生态池内锦鲤数量调查”的小组．为了不伤害鱼类，他们无法将池中的锦鲤全部捞出清点，于是决定利用数学课上学过的知识进行估算． 【项目任务】 任务一：模型建构   (1)小衢查阅了资料，发现了“标记重捕法”公式．小嘉认为，该方案的核心统计学思想是：在样本足够大且混合均匀的情况下，利用样本的______来估计总体的相应指标． 任务二：数据收集与分析  同学们按照计划开始实验：小衢先从生态池中随机捞出120条锦鲤，在它们身上做上不伤害身体的绿色生态标记，然后全部放回池中．几天后，待标记的锦鲤在池中充分搅拌、混合均匀后，小嘉进行了三次抽样调查（每次捞出清点后均重新放回池中），并与小衢一起记录、计算，制成了如下表格： 抽样次序 捞出锦鲤总数（条） 带有标记的锦鲤数（条） 本次抽样估算的锦鲤总数（条） 第一次 200 8 a 第二次 （数据未显示） （数据未显示） 2600 第三次 220 12 b (2)请直接写出任务一中横线上的内容，并计算表格中a和b的值； (3)为了使最终的估算结果更具代表性，减小随机误差，请你帮小衢和小嘉计算出该校园生态池内锦鲤总数的最终合理估算值． 任务三：项目应用与决策   (4)学校生态池的运营标准规定：为了维持水体生态平衡，该池塘内的锦鲤总数应保持在2800条．若低于这个数量，需要及时补充鱼苗．已知花鸟市场售卖的锦鲤鱼苗为“每袋100条”． 请根据任务二中计算出的最终合理估算值做出决策：目前生态池是否需要补充锦鲤？如果需要，最少需要采购多少袋锦鲤鱼苗？ 【答案】(1) 频率 (2) ， (3) 条 (4) 需要补充锦鲤，最少需要采购袋 【分析】（1）利用样本频率估计总体即可； （2）根据标记重捕法的比例关系列方程求解和； （3）计算三次估算值的平均数，减小随机误差得到最终估算值； （4）比较估算值与标准值，计算所需补充鱼苗的袋数，得到决策结果. 【详解】（1）频率； （2）解：由题意， ， 解得； 解得； （3）解：为减小随机误差，取三次估算结果的平均数作为最终估算值：（条）； （4）解：∵运营标准要求锦鲤总数应保持为2800条，， ∴需要补充锦鲤； 需要补充的锦鲤数量为（条） 每袋有锦鲤鱼苗100条，需要采购的袋数为（袋）； 答：目前生态池需要补充锦鲤，最少需要采购2袋锦鲤鱼苗. 开放探究题题型 1．在“抛一枚均匀硬币”的试验中，如果没有硬币，下列试验一种不能作为替代试验(    ) A．2张扑克．“黑桃”代表“正面”，“红桃”代表“反面” B．掷1枚图钉 C．2个形状大小完全相同，但1红1白的两个乒乓球 D．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取1人 【答案】B 【分析】在“抛一枚均匀硬币”的试验中，正面朝上和反面朝上的概率是相同的，故替代试验的概率也应与该试验的概率相同． 【详解】解：抛一枚均匀硬币的试验中，硬币的两面是均匀的，B中的图钉两面不同，不能替代该实验， 故选B． 【点睛】解答此题要理解，硬币两面是基本均匀的，可以替代的条件也应与此相同． 2．本学期我们做过“抢30“的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜”．改为“每次最多可以连说三个数，谁先抢到33，谁就获胜．”那么采取适当策略，其结果是（ ） A．先说数者胜 B．后说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断 【答案】A 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：最多报3个，最少报1个，和为4； 要抢到33，就必须先抢到33﹣4=29，同理，还必须抢到25、21、17、13、9、5，1，所以先报到1就必胜了． 故选A． 3．小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写下的数是__________． 【答案】2，3，3，5或2，3，4，4 【分析】首先假设这四个数字分别为：A，B，C，D且A≤B≤C≤D，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：四个数只能是2，3，3，5或2，3，4，4 理由：设这四个数字分别为：A，B，C，D且A≤B≤C≤D， 故A+B=5，C+D=8， （1）当A=1时，得B=4， ∵A≤B≤C≤D， ∴B=C=D=4，不合题意舍去，所以A≠1， （2）当A=2时，得B=3， （I）当C=B=3时，D=5， （II）当C＞B时，∵A≤B≤C≤D， ∴C=D=4， 故综上所述：这四个数只能是：2，3，3，5或2，3，4，4． 故答案为：2，3，3，5或2，3，4，4． 【点睛】此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论得出是解题关键． 4．你能编写计算机程序，模拟课堂上掷硬币的试验吗？试一试！ 【答案】如果手头没有硬币，那么可以使用随机数生成器来模拟掷硬币试验；大多数计算器都配备了随机数生成功能，所以可以使用计算器来模拟该实验．具体做法可以是：生成一个大于等于0，小于1之间的随机数，如果这个数大于等于0，小于，就表示正面，如果大于或等于，小于1，就表示反面． 假设生成了个随机数，分别是，，，，，按照规则，大于等于0，小于表示正面，大于或等于小于1，表示反面，那么结果就为：正面，正面，反面，正面，反面，这样就完成了一次计算器模拟掷硬币的实验． 【分析】选择实验的替代物，进行实验操作即可求解． 【详解】略 5．课题学习：设计概率模拟实验． 在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是．”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验： 小海找来一个啤酒瓶盖（如图1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值； 小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8个数字（如图2），转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值； 小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图3），其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值． 根据以上材料回答问题： 小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处． 【答案】小英设计的模拟实验比较合理． 【分析】由模拟实验设计原则以及模拟实验的实际要求一一回答即可． 【详解】小英设计的模拟试验比较合理．小海选择的啤酒瓶盖质量分布不均匀，盖口朝上和朝下的概率不相等；小东进行的试验次数太少，没有进行大量重复试验． 【点睛】本题考查了模拟实验，模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．掌握实验设计的原则是解题的关键． 6．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③ (2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 (3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． （2）解：， 故． （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 7．[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷. （1）你认为游戏公平吗?为什么? （2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式） 【答案】 （1）不公平.理由如下： （掷中阴影部分），即小红获胜的概率为，则小明获胜的概率为，， 游戏不公平 （2） 【分析】（1）首先分别计算小红和小明获胜的概率，相比较，获胜概率不同，所以可判定不公平； （2）首先设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），然后往图形中掷点，掷在正方形外或边界上不作记录，其次当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内，最后用频率估计概率，大概可得出结果. 【详解】（1）略 （2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），如图所示； ②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）； ③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内； ④设不规则图形的面积为，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率（掷入不规则图形内），而（掷入不规则图形内），故，即. 【点睛】此题主要考查概率的计算和用频率估计概率，熟练运用即可解题. 8．（2026·安徽池州·二模）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3-5.4 概率的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 抽签原理 题型02 用频率估计概率 B组 能力进阶 题型01 运用概率知识解决游戏公平性问题 题型02 根据频率确定试验对象的个数 C组 思维拔高 题型 开放探究题 抽签原理题型01 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 2．小明和小斌都想去参加一项重要的活动，但只有一个名额．于是他们决定抓阄，两张纸条：一张写着“yes”，一张写着“no”，他们两人闭上眼睛随机各抓一张，抓住“yes”的就去，抓住“no”的就不去，这对双方公平吗？答：________(填“公平”或“不公平”)． 3．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率___________后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 4．2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 5．某中学九年级有八个班，学校准备从中抽调两个班参加社区公益活动．各个班级都积极参与，由于某种特殊原因，一班必须参加，另外从二至八班中再选一个班参加有人提议用如下的方法随机选择一个班级，具体方案是：在四个相同的乒乓球上分别标上数字1、2、3、4，并放入一个不透明的袋中，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，放回后，再随机摸出一个，摸出的两个数字相加，和是几就选几班．请你求出每一个班级被选中的概率，并判断这种方法是否公平． 6．根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 用频率估计概率题型02 1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（　　） 试验种子数n（粒） 50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850 发芽频率 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 3．甲、乙两名同学在做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现点数6朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 4．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有______幅． 6．（2025·湖南/长沙·模拟）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为_________． 7．（24-25九年级上·浙江·月考）实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 8．（25-26七年级·安徽宿州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，下表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当很大时，请估计摸到白球的概率.（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若再放入个白球，求摸到白球的概率． 运用概率知识解决游戏公平性问题题型01 1．笑笑和淘气下象棋，用游戏决定谁先走，游戏规则不公平的是（     ） A．掷硬币，正面朝上笑笑先走，反面朝上淘气先走 B．用“石头”“剪刀”“布”，谁赢谁先走 C．掷骰子，大于4点笑笑先走，小于4点淘气先走 D．从这10张数字卡片中抽取1张，抽到奇数笑笑先走，抽到偶数淘气先走 2．（2025·辽宁大连·一模）甲和乙按如下规则玩游戏：开始时两人都为0分，每轮随机掷一枚均匀的正方体骰子，若朝上的点数是1或2，则甲得2分；若朝上的点数是3，4，5或6，则乙得1分．重复若干轮，先达到4分者获胜，则这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．公平 D．无法确定 3．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏_______（填“公平”或“不公平”）． 4．在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期中）小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 7．（24-25九年级上·福建三明·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平； (2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由． 8．（2025·河北廊坊·一模）在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 根据频率确定试验对象的个数题型02 1．（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有100个，除颜色外其它完全相同，通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在15%、40%，则口袋中白色球的个数很可能是（   ） A．45 B．40 C．15 D．55 3．工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_______． 4．某养殖专业户为了估计鱼塘中鱼的数量，第一次随机从鱼塘中打捞了条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回鱼塘．一周后，再从鱼塘中随机进行打捞，通过多次试验发现有标记的鱼出现的频率稳定在左右，则鱼塘中大约有______条鱼． 5．数学兴趣小组的成员在学习用频率估计概率时，设计了一个游戏：在一个不透明的布袋里装有除颜色不同外其他均相同的红、蓝两种球共个，小颖做摸球试验，他将布袋里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回布袋中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据； 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)当很大时，摸到红球的频率将会接近______；（精确到） (2)由（1）估计摸到红球的概率______； (3)试估算盒子里红球有多少个． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 7．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计袋中黑球的个数为　 　只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 8．【项目名称】校园生态池鱼群数量的调查与决策 【项目背景】在“建设美丽浙江”的活动中，某校开展了“校园绿化与生态平衡”的项目化学习．小衢和小嘉两位同学加入了一个关于“校园生态池内锦鲤数量调查”的小组．为了不伤害鱼类，他们无法将池中的锦鲤全部捞出清点，于是决定利用数学课上学过的知识进行估算． 【项目任务】 任务一：模型建构   (1)小衢查阅了资料，发现了“标记重捕法”公式．小嘉认为，该方案的核心统计学思想是：在样本足够大且混合均匀的情况下，利用样本的______来估计总体的相应指标． 任务二：数据收集与分析  同学们按照计划开始实验：小衢先从生态池中随机捞出120条锦鲤，在它们身上做上不伤害身体的绿色生态标记，然后全部放回池中．几天后，待标记的锦鲤在池中充分搅拌、混合均匀后，小嘉进行了三次抽样调查（每次捞出清点后均重新放回池中），并与小衢一起记录、计算，制成了如下表格： 抽样次序 捞出锦鲤总数（条） 带有标记的锦鲤数（条） 本次抽样估算的锦鲤总数（条） 第一次 200 8 a 第二次 （数据未显示） （数据未显示） 2600 第三次 220 12 b (2)请直接写出任务一中横线上的内容，并计算表格中a和b的值； (3)为了使最终的估算结果更具代表性，减小随机误差，请你帮小衢和小嘉计算出该校园生态池内锦鲤总数的最终合理估算值． 任务三：项目应用与决策   (4)学校生态池的运营标准规定：为了维持水体生态平衡，该池塘内的锦鲤总数应保持在2800条．若低于这个数量，需要及时补充鱼苗．已知花鸟市场售卖的锦鲤鱼苗为“每袋100条”． 请根据任务二中计算出的最终合理估算值做出决策：目前生态池是否需要补充锦鲤？如果需要，最少需要采购多少袋锦鲤鱼苗？ 开放探究题题型 1．在“抛一枚均匀硬币”的试验中，如果没有硬币，下列试验一种不能作为替代试验(    ) A．2张扑克．“黑桃”代表“正面”，“红桃”代表“反面” B．掷1枚图钉 C．2个形状大小完全相同，但1红1白的两个乒乓球 D．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取1人 2．本学期我们做过“抢30“的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜”．改为“每次最多可以连说三个数，谁先抢到33，谁就获胜．”那么采取适当策略，其结果是（ ） A．先说数者胜 B．后说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断 3．小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写下的数是__________． 4．你能编写计算机程序，模拟课堂上掷硬币的试验吗？试一试！ 5．课题学习：设计概率模拟实验． 在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是．”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验： 小海找来一个啤酒瓶盖（如图1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值； 小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8个数字（如图2），转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值； 小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图3），其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值． 根据以上材料回答问题： 小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处． 6．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 7．[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷. （1）你认为游戏公平吗?为什么? （2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式） 8．（2026·安徽池州·二模）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $