专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版九年级上册

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 对角互补模型是四边形与相似三角形结合的经典模型，由全等对角互补模型拓展而来。当四边形一组对角互补，且一条对角线平分其中一个角时，通过作双垂线可构造相似三角形，衍生出邻边成比例、面积成比例等结论，是相似综合题的重要考点。本专题就相似对角互补模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化全等型对角互补，强化相似型的比例与面积结论，多以“90°对角互补、120°对角互补、一般角对角互补”形式出题，常与角平分线、面积、旋转结合考查。 推导逻辑对角互补→外角等于内对角；角平分线+双垂线→等线段；进而AAS证相似，得邻边比例与面积关系，拒绝死记结论。 核心素养目标： 1.掌握对角互补相似模型的构造与核心结论； 2.能运用模型解决邻边比例、面积计算类问题； 3.培养构造辅助线、转化边角关系的几何思维。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 模型拓展 26 【易错总结】 26 【模型运用】 27 模型源于四边形内角和与角平分线性质：四边形一组对角互补时，一个内角的外角等于其内对角；结合角平分线向两边作垂线，可得两条垂线段相等，从而构造出AAS相似的三角形。 全等对角互补模型是邻边相等的特殊情况，相似对角互补模型是其一般化形式，常见类型有90°对角互补、120°对角互补、任意角对角互补，核心结论围绕邻边比例、线段和、面积定值展开。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形AAS判定：两角及其中一角的对边对应成比例，两三角形相似； 2. 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3. 四边形内角和定理：四边形内角和为360°； 4. 补角的性质：同角的补角相等； 5. 三角形、四边形面积公式：面积比等于相似比的平方。 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H， ∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形， ∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°， ∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点， ∴H为BC中点，∴BH＝CH， ∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B， ∴△OHB∼△ACB， ∴， ∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G； ∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形， ∴∠GCF＝90°，CF=OG， ∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°， ∴∠GCE+∠DCG＝90°， ∴∠GCE＝∠FCD， ∴ECG∼△DCF， ∴， ∵CF=OG， ∴， ∵在Rt△COG中，， ∴CE＝CD· 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°， ∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 【模型运用】 【典例1】(2025·江西省新余市·模拟)定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 【典例2】(25-26九上·辽宁丹东第十九中学·月考)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：在中，，，D是边上一点，（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交边于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）如图2，当，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】 （3）如图2，当，试探究线段，，之间数量关系，请写出结论并证明． 【答案】 （1）证明：连接， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作于点于点。 ，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 和都是等腰直角三角形， 设，则， ， 又 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，，且， ， ， ，即， 又 ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 过点作于，于， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， 设， ， ，即， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识。 （1）由题意可证，可得 ，即可求解； （2）由题意可证，可得，即； （3）先证出和是等腰直角三角形，可得，，可求，通过证明，可求，即可求解 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【典例3】(25-26九上·广西贵港覃塘区·期中)新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)正确；正确；正确 (2) ①证明：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ； (3)的长为6或． 【分析】（1）①根据四边形内角和定理求解即可； ②连接，利用证明，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）①先证明四边形是矩形，利用同角的余角相等求得，即可证明； ②连接，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：①若，，证明，求得；②若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴“垂直四边形”对角互补，正确； ②连接，不妨设， ∵，， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；正确． ③∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）正确． （2）①略 ②连接， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ①若，，如图2， 在与中， ， ； ②若，， 如图3，过点作，垂足为点， 在中，，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为6或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【典例4】(2026·河南南阳市·模拟)在中，，O为的中点，F是边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点O作交直线于点E，连接． 【问题初探】 (1)如图1，若，则线段之间的数量关系为______． 【类比探究】 (2)如图2，若，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，，点F在运动的过程中，若的某一条边恰好平分的面积时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)解：，理由： 如图，过点O作于点M，作于点N， ∵， ∴四边形是矩形，。 同理， ∵， ， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ， ； (3)3或 【分析】（1）过点O作于点M，作于点N，根据全等三角形的判定得出，再由其性质即可求解； （2）过点O作于点M，作于点N，根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论：①当边平分的面积，即平分时，记交于点G，过点O作于点M；②当边平分的面积，即平分时，记交于点G，过点F作交于点H，过点O作于点M，过点E作交的延长线于点N，根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：过点O作于点M，作于点N， ∵， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O为的中点， ， 同理， ∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ； （2）略 （3）分两种情况讨论：①当边平分的面积，即平分时， 记交于点G， 过点O作于点M， 如图，得， 由（2）知， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ； ②当边平分的面积，即平分时，记交于点G， 过点F作交于点H，过点O作于点M，过点E作交的延长线于点N， 如图4，则四边形为矩形， ， ， ， 设，则， ∴， ∵G为的中点，， ∴， ∵， ∴， ，     ∵， 同理：， 由（2）知， ∴， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或． 【典例5】(2026·江苏淮安市·模拟)在中，，，，是边上一点，且（为正整数），将一块矩形绕着点按顺时针方向旋转，旋转过程中矩形边、始终分别与的边、相交于点、． (1)【初步感知】 如图1，在矩形的旋转过程中，若，则______： (2)【深入探究】 ①如图2，在矩形的旋转过程中，若，试探究线段与之间有怎样的数量关系，请写出结论并证明． ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） (3)【迁移运用】 如图3，在中，，，点是上一定点，请你借助已学知识或探索过程中得到的结论，用无刻度直尺或圆规在上找一点，在上找一点，使． (4)【拓展提升】 如图4，在等边三角形中，，是边上一点，且，（为正整数），是一点，是射线上一点，，连接，过点作垂直于，垂足为．点从点运动到点过程中，点运动的路径长为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①，证明如下： 如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形，且， ， 根据（1）中结论可得， 即； ② (3) (4) 【分析】（1）连接，证，根据全等三角形的性质可得，则，据此即可解答； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，证，，利用相似三角形的性质即可解答；②在上取一点，使得，过点作的平行线，交于点，交于点，根据，，，，同①利用相似三角形的性质即可解答； （3）过点分别作、的垂线，构造相似三角形，通过相似三角形的性质可推出，先通过尺规作图作出线段的中点，再作出线段的中点，最后过点作出线段的垂线，交线段于点即可解答； （4）多次利用相似三角形的判定和性质分析出，点的运动轨迹为线段，再证明，结合三角函数及相似三角形的性质即可求出点运动的路径长． 【详解】（1）解：如图，连接， 当时，，即， ，，， ， ，，， 四边形为矩形， ， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）①略 ②如图，在上取一点，使得，过点作的平行线，交于点，交于点， 同①可得 ，， ，， 同①可得，， 即； （3）如图所示，①分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，在上下方各得到一个交点，用直尺连接这两个交点，交于点； ②再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，在上下方各得到一个交点，用直尺连接这两个交点，交于点； ③连接直线，以点为圆心，以的长为半径画圆交直线于点，分别以点、点为圆心，以大于的长为半径画弧，在上下方各得到一个交点，用直尺连接这两个交点，交于点； 点、点即为所求； （4）为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ，、、均为定点， 点为定点， 当点在点处时，点的位置如图所示，当点在点处时，点的位置如图所示， 点的运动轨迹为线段， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 【典例6】(24-25八下·广东深圳南山区·期末)【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形．简称“直等补”四边形． 【概念理解】 （）如图，四边形是正方形，点在上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下证明过程补充完整） 证明：四边形是“直等补”四边形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由旋转性质，得： _________，_________， ， __________， 四边形是“直等补”四边形． 【性质初探】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接．若，，学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长（用含，的式子表示）．请完成探究过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接，，，当取何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（），，；（）； 【分析】（）利用正方形和旋转的性质证明即可； （）由旋转可得，，即得，，，进而由可得点三点共线，即得，再利用勾股定理得到，即可求解； （）由（）可得，即得，设，则，可得，由二次函数的性质得到当，的面积最大，最大值是，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（）证明：四边形是“直等补”四边形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由旋转性质，得： ，， ， ， 四边形是“直等补”四边形, （）由旋转可得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴； （）由（）可得，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当，的面积最大，最大值是， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 综上，当时，的面积最大，最大值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质补角性质，勾股定理，二次函数的性质等，理解“直等补”四边形的定义是解题的关键． 模型拓展 1. 对角互补四边形内接于圆，该模型也是圆内接四边形性质的几何体现； 2. 可拓展到旋转相似，将三角形旋转后可拼接为特殊三角形； 3. 是几何综合题中面积定值、线段和定值的重要载体。 模型常见易错点 1. 易错点：辅助线不会作，想不到双垂线构造 · 错因分析：对角互补模型的构造意识不足。 · 避坑指南：遇角平分线+对角互补，优先作角两边的垂线。 2. 易错点：线段和结论记错，搞不清是和还是差 · 错因分析：死记结论，不理解全等转移线段的过程。 · 避坑指南：通过全等将线段转移到同一直线上，自然得出和/差关系。 3. 易错点：所有对角互补都认为邻边相等 · 错因分析：忽略了“角平分线”这个前提条件。 · 避坑指南：只有角平分线+对角互补才有邻边相等；无角平分线时为相似，邻边成比例。 模型小结 1. 核心口诀：对角互补加角分，双垂构造相似形；邻边成比面积定，线段和差看图形； 2. 通用构造：角平分线作双垂，证相似/全等，转移线段与角； 3. 特殊角优先用，一般角推导法一致； 4. 核心思想：割补转化，将四边形问题转化为三角形问题。 1．(2026·广西南宁·九年级)【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角．像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 【概念理解】 (1)如图1，四边形是正方形，点在边上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下证明过程补充完整） 解：四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转的性质，得____________，____________， ， ____________， 四边形是“直等补”四边形． 【性质初探】 (2)如图2，四边形是“直等补”四边形，，，连接．学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长．请完成探究过程： ①请用尺规作图，将绕点顺时针旋转，得到（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求出的长（用含，的式子表示）． 【拓展应用】 (3)如图3，某社区计划修建一处四边形形状的便民活动区，经设计发现该区域恰好为“直等补”四边形．满足，，对角线．若计划在区域铺设塑胶地面作为儿童活动场地，问：当取何值时，儿童活动场地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；；180 (2)①所作图形如图所示： ； ② (3)当取4时，的面积最大，最大值是8 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，则问题可求解； ②由题意易得，由旋转的性质可知，然后可得，A，B三点共线，，进而问题可求解； （3）将绕点D顺时针旋转得到，由（2）可知，是等腰直角三角形，然后可得，设，，则，进而可得，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转的性质，得，， ， ， 四边形是“直等补”四边形． （2）解：①略； ②如图2，四边形是“直等补”四边形，，， ∴， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， ∴，A，B三点共线， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴（负值已经舍去）． （3）解：如图3，将绕点D顺时针旋转得到， ∴，由（2）可知，是等腰直角三角形． ∵， ， 设，，则， ∴． ∵， ∵， ∴当时，的面积有最大值8， 此时，，，，， ， ∴（负值已舍）． 故当取4时，的面积最大，最大值是8． 2．(24-25八下·江苏宿迁沭阳县·期末)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) ①四边形为“等补四边形”，理由： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是“等补四边形”． ② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①连接，，推出，，得到，证明，得到，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，再证，得出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故答案为：D； （2）解：①略 ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则， 将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，， 则， ，， ， ， 则的周长． 3．(25-26九上·辽宁沈阳沈河区·调研)在学习特殊四边形的过程中，我们对四边形有一些了解，并积累了一定的研究经验．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．请运用已有经验：对“邻等对补四边形”进行研究． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是邻等对补四边形的是（   ） A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_____．（填所有满足条件的图形序号） (2)概念应用 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，点F为线段AE上一点，且，连接DF并延长交BC于H，过点F作交AB于G，连接BF．请写出图中的邻等对补四边形（正方形ABCD除外），并说明理由； (3)知识迁移 如图，在菱形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，点F在线段AE上，且，点G在AB边上，连接DF，FG，使，若，，请直接写出菱形ABCD的边长． 【答案】(1)D；②④； (2) 四边形是“邻等对补四边形”，理由如下： 连接， 由题可知， 则四边形在同一个圆上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 所以四边形是“邻等对补四边形”； (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． （1）根据题意判断即可； （2）先确定四边形在同一个圆上，得到，进而可证，得到，即，从而得到四边形是“邻等对补四边形”； （3）同理可证，设，则菱形的边长为，，，解直角三角形，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①由正方形四个角都为，且四边相等， 所以正方形符合“邻等对补四边形”， 而平行四边形，和菱形对角不一定互补，矩形邻边不一定相等， 故选：D； ②由题可知①③对角不互补，②④对角互补且邻边不相等，符合“邻等对补四边形”， 故答案为：②④； （2）略 （3）延长交于，过作交的延长线于，连接， 在菱形中，， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 则四边形在同一个圆上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则菱形的边长为，，， ， ， ， ， ，， 在中，， 即， 整理得， 解得或（舍去）， 故菱形的边长为． 4．(23-24八上·山东东营广饶县·期末)附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明、、三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明、、三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ， ， 四边形是等补四边形． 故答案为：是； （2）解：如图2，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， （负值舍去）； 故答案为：4． （3）解：，   将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 则四边形面积的最大值为． 5．(25-26九下·黑龙江哈尔滨第十七中学校·)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在四边形中，，平分． 求证：四边形为等补四边形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C均在格点上，若点D在格点上，且四边形是等补四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，在边上截取，连， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为等补四边形； (2)满足要求的线段的长为，， 【来源】黑龙江哈尔滨市第十七中学校2025-2026学年九年级下学期寒假作业验收数学试卷 【分析】（1）因为要证四边形是等补四边形，需满足一组邻边相等且对角互补，已知，所以只需证明一组邻边相等，可考虑构造全等三角形，结合的互补条件，推导邻边相等，从而完成证明； （2）由三角形全等证明出邻边相等和，结合等补四边形的定义得出，结合网格确定点的可能位置，最后利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】（1） 略 （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形，且四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴找到满足要求的点即可，如图所示， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴满足要求的线段的长为，，． 6．(2025·河南省新乡市·三模)阅读下列材料，并完成相应学习任务： 我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程： 已知：在四边形中， 求证：过点、、、可作一个圆． 证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为．分两种情况讨论． ①如图（），若点在内．延长交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾， ②如图（），若点在外．设交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾． 综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆． 学习任务： (1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______． (2)应用上述结论，解决以下问题： 如图（3），在四边形中，，对角线，交于点． ①若，求的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)分类讨论思想 (2)①；② 【分析】（1）根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论； （2）①根据，可得过点A，B，C，D可作一个圆，根据等弧所对的圆周角相等即可求解； ②证明，设，则，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论 ∴应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是分类讨论思想； 故答案为：分类讨论思想． （2）①∵； ∴过点A，B，C，D可作一个圆，如图所示． ② ， ． ， ， 又 ， ， ， ． 设，则， ， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．(2025·内蒙古·模拟)如图，在锐角三角形中，是边上的高，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，交弧于点，交于点，连接，，． (1)求证：与互补； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，利用两直线平行，同旁内角互补可知，再利用同弧所对的圆周角相等，可知，等量代换即可证明； （2）连接，利用求出，，证明得到，再证明，利用相似性质可以求出，，，． 【详解】（1）证明：∵是直径，在圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是直径，在圆上， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 8．(2026·山东省潍坊市·一模)【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1) 证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； (2) (3) 解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； (4) 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）略 （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 9．(25-26九上·浙江初中浙派联盟·月考)已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) 证明：∵四边形为正方形， ∴， 与互补， ． ， ． ， ； (2) 成立．理由如下： 如图1，在AF上找一点M，使． 菱形， ， 与互补， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ，即； (3)． 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）在AF上找一点M，使．证明，即可得出结论； （3）在AD的延长线上找一点N，使得．证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：．理由如下： 如图2，在AD的延长线上找一点N，使得． 与互补， ， ． ， ． ∵四边形为平行四边形 ∴，， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ∴. 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 10．(2025·湖南省长沙市·模拟)求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”． (1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； (2)如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； (3)如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)①D；②130 (2)证明：垂直平分， ，，，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是“求同存异四边形”； (3)或或 【分析】（1）①根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质进行判断即可； ②根据“求同存异四边形”的对角互补进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，求出，即可证明结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，必有，同时时，必有，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：①平行四边形中没有一组邻边一定相等，菱形没有一组对角一定互补，矩形没有一组邻边一定相等，因此，平行四边形，菱形，矩形不一定是“求同存异四边形”；正方形有一组邻边一定相等，一组对角一定互补，因此正方形是“求同存异四边形”； 故选：D． ②∵是“求同存异四边形”， ∴， ∴； 故答案为：． （2）略 （3）解：圆内接四边形是“求同存异四边形”， 四边形必有一组邻边相等， ①当时，必有，同时时，必有， 为直径， ，于点，， ，， ； ②当时，， ， 延长至点使得，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， ， ，， 为直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ③当时， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 11．(2025·湖北武汉市·二模)如图，在等边中，点，分别在边，上，点在边的延长线上，连接，，，． (1)如图（），若，点在上，连接，，求证：； (2)如图（），若，探究，，之间的数量关系； (3)如图（），连接交于点，若平分，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由是等边三角形，则，则有，再证明是等边三角形，由，，可证，然后通过全等三角形的性质即可求证； （）过点作交于点，则为等边三角形，由（）得，，，所以，则，由，故有，然后通过线段的和与差可得； （）在上截取一点，使得，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，先证明，所以，，然后得出为等边三角形，，，同理得为等边三角形，所以，，设，，证明，所以，则，所以，则，在中，，即，解得，即，所以，再求出，，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如解图，过点作交于点，则为等边三角形， 由（）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如解图，在上截取一点，使得，连接，过点作交于点，过点作，垂足为， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同理得为等边三角形， ∴，， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 12．(2026·广州深圳·二模)我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行． 例如图1所示，若，，则称四边形为对等补四边形，且有． (1)以下图形属于对等补四边形的有__________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，四边形为对等补四边形（），小明发现当时，四边形恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； (3)如图3，四边形为对等补四边形，，，对角线平分角，求线段AC的长度 (4)在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形为对等补四边形，线段与线段交于点Q，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据对等补四边形的定义进行求解即可； （2）根据有三个角为直角的四边形是矩形进行证明即可； （3）延长至点E，使，连接，根据等腰三角形的性质和判定求出，证明，得出，过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，先根据勾股定理求出， 再求出； （4）分两种情况当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，但不一定互补，所以平行四边形不是对等补四边形； ②矩形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； ③菱形的对角相等，但不一定互补，所以菱形不是对等补四边形； ④正方形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； 综上，是对等补四边形的是②④； （2）证明：∵四边形是对等补四边形，且， ∴，且， ∵， ∴， 又， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：延长至点E，使，连接， ∵四边形是对等补四边形，且， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． （4）解：①当时，如图所示： 根据解析（3）可得：，， ∴此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接，过点A作于点H，过点B作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据解析（3）可知：，， ∴， ∵， ∴A、B、E、C四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， 即A、B、C、D四点在的外接圆上， ∵A、B、E、C四点共圆，即A、B、E、C四点在的外接圆上， ∴A、B、E、C、D五个点都在的外接圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 13．(25-26八上·陕西西安滨河学校·期中)问题引入：在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点称为“等距点”．如图，轴，轴，且，那么点就叫“等距点”，此时四边形是正方形． (1)请你写出一个在第一象限的“等距点” ． 问题探究： (2)如图，点、点分别在轴、轴上，四边形的内角与互补，，点是第一象限内的“等距点”，求四边形的面积． 问题解决： (3)如图，是等边三角形，点，点是第四象限的“等距点”，连接并延长交的延长线于点，连接，此时，点是线段上的点，连接并延长交轴于点，当时，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）根据题干的信息即可写出，答案不唯一； （2）利用构造三角形全等进行线段的转换，同时也将四边形的面积转换成正方形的面积进行求解； （3）通过论证三角形相似找到角相等，进而得到，从而得到，再根据等边三角形的性质得到点到轴的距离，则面积可求． 【详解】（1）由题意得：“等距点”到轴的距离相等，且在第一象限， ∴“等距点”的横纵坐标相等、都为正数， 例如：等答案不唯一； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：过点作轴于，作轴于点， ∴， ∵点是第一象限内的“等距点”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴即：， ∵， ∴； （3）解：令与的交点为， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形，点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是第四象限的“等距点”， ∴到轴的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，即：点到轴的距离为：， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定、正方形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的性质及判定等，关键是知识点的灵活应用． 14．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形中，若，则 ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)①D；②； ③证明：在上截取，连接，如图1， 在和中， ， ， ，． ， ． ． ， ， 又， 四边形是等补四边形； (2) 解：平分，理由如下， 如图2，过点分别作于，于， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上）， 即平分． (3)． 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②利用“等补四边形”的对角互补，列式计算即可求解；③在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点分别作于，于，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②等补四边形对角互补，， 设， ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：； ③略 （2）略 （3）解：连接， ∵等补四边形中，，由（2）知，平分， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 15．(25-26九上·浙江温州龙湾初中协作校·期中)定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）是等补四边形，理由： 由旋转得，， ， ， 四边形是等补四边形． （2）4； （3） 【分析】（1）根据旋转性质得到，，结合即可判断； （2）根据，得到绕点B顺时针旋转得，即可得到D、G、C三点共线，结合面积即可得到答案； （3）根据旋转得到、、三点共线，得到，结合当时，的面积最大，求解即可得到答案； 【详解】解：（1）略 （2）如图，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， 、、三点共线， ， ， （负值舍去）． （3）， 将绕点逆时针旋转使与重合， 得，如图， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．(25-26八下·广西南宁天桃实验中学·期中)综合与探究 在《第二十一章 四边形》学习过程中，我们积累了四边形的研究经验，请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是 （填序号）． ①平行四边形；     ②矩形；      ③菱形；      ④正方形． (2)【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：； (3)如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形． (4)【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数． 【答案】(1)④ (2) 证明：邻等对补四边形， ， ， ， ， ， ； (3) 证明：在四边形中，， 如图，在上截取，连接， 平分， ， ， ， , ，， ， ， ， 四边形为邻等对补四边形； (4)的度数为或或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义逐项分析即可； （2）证明即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，推出，，即可得到结论； （4）分四种情况：①当，时；②当时；③当时；④当时，；分别求解即可． 【详解】（1）解：①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义； ③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义； （2）略 （3）略 （4）解：在中，，，， 四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ，，； ②当时，如图， ，，，，，； ③当时，同②； ④当时，，如图， ； 综上所述，的度数为或或． 17．(25-26九上·山东九年级多校联考·月考)【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【问题提出】 利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形． 【方案设计】 甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答， 【测量工具】量角器、铅笔、纸等． 【操作步骤】 分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示： 【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）． 【交流讨论】 （2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【定义应用】 （3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展反思】 （4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？ 【答案】（1）②④ （2）是等补四边形， 理由：由旋转得， ， ， 四边形是等补四边形； （3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到， ， ， ， ， C，B，E三点共线， 在中，， ， ，即：平分； （4） 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据等补四边形的定义并结合图形即可求解； （2）由旋转得，而，故，即可证明； （3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到，则，结合已知可得，则C，B，E三点共线，再由等腰三角形的性质即可求证； （4）将绕点B顺时针旋转得，则，然后证明D、C、G三点共线，由，得到，即可求解． 【详解】解：（1）①中两组对角的和为，，且邻边不相等，故不是等补四边形； ②中有一组对角的和为，且根据等腰直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形； ③中两组对角的和为，，故不是等补四边形； ④中有一组对角的和为，且根据两个全等的直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形； ∴是等补四边形的有②④； 故答案为：②④ （2） 略 （3） 略 （4）如图所示，， ∴将绕点B顺时针旋转得， ， ∵ ， ， D、C、G三点共线， ， ， （负值舍去）． 18．(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 【答案】(1)是 (2)； (3)道路的长为． 【分析】（1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则．把绕点逆时针旋转至，只要再证明，根据即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； （2）解：如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：如图3，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足， ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到：， 又∵， ∴，即点在的延长线上． ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵和是边长相等的等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴, 即这条道路的长为． 【点睛】本题考查的是四边形综合题，考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 19．(25-26八上·贵州安顺·期末)学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．         （1）操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图①-④所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_____；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图1，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．求证：平分； （3）拓展应用：如图2，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 【答案】（1）②； （2）证明：延长至点，使，连接，如下图所示： 四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． （3）的度数为或或 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）延长至点，使，连接，证明，由等量关系得出，，可得，故可证明平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②， 故答案为：②． （2）略 （3）解：在中，， ∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时，如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； ③当时，如图，同②； ④当，时，如图， ∴； 综上所述：的大小为或或． 20．(25-26九上·辽宁丹东东港·期中)定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 【答案】[判断尝试]（1）②④；（2）； [操作探究]； [拓展延伸]证明：如图，延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形 是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“对补四边形”； [实践应用] 或或或3 【分析】[判断尝试]（1）根据相关四边形的性质判断即可； （2）连接，根据勾股定理求得结果； [操作探究]连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； [拓展延伸]延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； [实践应用]分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】[判断尝试]解：（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对补四边形”， 故答案为：②④； （2）如图，连接， 四边形是对补四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； [操作探究]解：在菱形中，，，， ，， ，均为等边三角形， ， ， ，， ， 如图，取的中点，连接， 则， 同理：，， ，， 四边形是“对补四边形”， 为等边三角形， ， 故答案为：； [拓展延伸]略 [实践应用]解：①如图，作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ； ②如图，作于，作于， 同上可知，四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， ③如图，作，交于，作于， 则四边形是“对补四边形”， 由上知， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ④如图，以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对补四边形”， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上，等腰三角形的腰长为或或或3． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 对角互补模型是四边形与相似三角形结合的经典模型，由全等对角互补模型拓展而来。当四边形一组对角互补，且一条对角线平分其中一个角时，通过作双垂线可构造相似三角形，衍生出邻边成比例、面积成比例等结论，是相似综合题的重要考点。本专题就相似对角互补模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化全等型对角互补，强化相似型的比例与面积结论，多以“90°对角互补、120°对角互补、一般角对角互补”形式出题，常与角平分线、面积、旋转结合考查。 推导逻辑对角互补→外角等于内对角；角平分线+双垂线→等线段；进而AAS证相似，得邻边比例与面积关系，拒绝死记结论。 核心素养目标： 1.掌握对角互补相似模型的构造与核心结论； 2.能运用模型解决邻边比例、面积计算类问题； 3.培养构造辅助线、转化边角关系的几何思维。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 模型拓展 8 【易错总结】 8 【模型运用】 9 模型源于四边形内角和与角平分线性质：四边形一组对角互补时，一个内角的外角等于其内对角；结合角平分线向两边作垂线，可得两条垂线段相等，从而构造出AAS相似的三角形。 全等对角互补模型是邻边相等的特殊情况，相似对角互补模型是其一般化形式，常见类型有90°对角互补、120°对角互补、任意角对角互补，核心结论围绕邻边比例、线段和、面积定值展开。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形AAS判定：两角及其中一角的对边对应成比例，两三角形相似； 2. 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3. 四边形内角和定理：四边形内角和为360°； 4. 补角的性质：同角的补角相等； 5. 三角形、四边形面积公式：面积比等于相似比的平方。 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H， ∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形， ∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°， ∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点， ∴H为BC中点，∴BH＝CH， ∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B， ∴△OHB∼△ACB， ∴， ∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G； ∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形， ∴∠GCF＝90°，CF=OG， ∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°， ∴∠GCE+∠DCG＝90°， ∴∠GCE＝∠FCD， ∴ECG∼△DCF， ∴， ∵CF=OG， ∴， ∵在Rt△COG中，， ∴CE＝CD· 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°， ∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 【模型运用】 【典例1】(2025·江西省新余市·模拟)定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【典例2】(25-26九上·辽宁丹东第十九中学·月考)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：在中，，，D是边上一点，（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交边于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）如图2，当，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】 （3）如图2，当，试探究线段，，之间数量关系，请写出结论并证明． 【典例3】(25-26九上·广西贵港覃塘区·期中)新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【典例4】(2026·河南南阳市·模拟)在中，，O为的中点，F是边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点O作交直线于点E，连接． 【问题初探】 (1)如图1，若，则线段之间的数量关系为______． 【类比探究】 (2)如图2，若，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，，点F在运动的过程中，若的某一条边恰好平分的面积时，请直接写出的长． 【典例5】(2026·江苏淮安市·模拟)在中，，，，是边上一点，且（为正整数），将一块矩形绕着点按顺时针方向旋转，旋转过程中矩形边、始终分别与的边、相交于点、． (1)【初步感知】 如图1，在矩形的旋转过程中，若，则______： (2)【深入探究】 ①如图2，在矩形的旋转过程中，若，试探究线段与之间有怎样的数量关系，请写出结论并证明． ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） (3)【迁移运用】 如图3，在中，，，点是上一定点，请你借助已学知识或探索过程中得到的结论，用无刻度直尺或圆规在上找一点，在上找一点，使． (4)【拓展提升】 如图4，在等边三角形中，，是边上一点，且，（为正整数），是一点，是射线上一点，，连接，过点作垂直于，垂足为．点从点运动到点过程中，点运动的路径长为______．（用含的代数式表示） 【典例6】(24-25八下·广东深圳南山区·期末)【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形．简称“直等补”四边形． 【概念理解】 （）如图，四边形是正方形，点在上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下证明过程补充完整） 证明：四边形是“直等补”四边形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由旋转性质，得： _________，_________， ， __________， 四边形是“直等补”四边形． 【性质初探】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接．若，，学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长（用含，的式子表示）．请完成探究过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是“直等补”四边形，，，连接，，，当取何值时，的面积最大？最大值是多少？ 模型拓展 1. 对角互补四边形内接于圆，该模型也是圆内接四边形性质的几何体现； 2. 可拓展到旋转相似，将三角形旋转后可拼接为特殊三角形； 3. 是几何综合题中面积定值、线段和定值的重要载体。 模型常见易错点 1. 易错点：辅助线不会作，想不到双垂线构造 · 错因分析：对角互补模型的构造意识不足。 · 避坑指南：遇角平分线+对角互补，优先作角两边的垂线。 2. 易错点：线段和结论记错，搞不清是和还是差 · 错因分析：死记结论，不理解全等转移线段的过程。 · 避坑指南：通过全等将线段转移到同一直线上，自然得出和/差关系。 3. 易错点：所有对角互补都认为邻边相等 · 错因分析：忽略了“角平分线”这个前提条件。 · 避坑指南：只有角平分线+对角互补才有邻边相等；无角平分线时为相似，邻边成比例。 模型小结 1. 核心口诀：对角互补加角分，双垂构造相似形；邻边成比面积定，线段和差看图形； 2. 通用构造：角平分线作双垂，证相似/全等，转移线段与角； 3. 特殊角优先用，一般角推导法一致； 4. 核心思想：割补转化，将四边形问题转化为三角形问题。 1．(2026·广西南宁·九年级)【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角．像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 【概念理解】 (1)如图1，四边形是正方形，点在边上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下证明过程补充完整） 解：四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转的性质，得____________，____________， ， ____________， 四边形是“直等补”四边形． 【性质初探】 (2)如图2，四边形是“直等补”四边形，，，连接．学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长．请完成探究过程： ①请用尺规作图，将绕点顺时针旋转，得到（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求出的长（用含，的式子表示）． 【拓展应用】 (3)如图3，某社区计划修建一处四边形形状的便民活动区，经设计发现该区域恰好为“直等补”四边形．满足，，对角线．若计划在区域铺设塑胶地面作为儿童活动场地，问：当取何值时，儿童活动场地的面积最大？最大面积是多少？ 2．(24-25八下·江苏宿迁沭阳县·期末)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 3．(25-26九上·辽宁沈阳沈河区·调研)在学习特殊四边形的过程中，我们对四边形有一些了解，并积累了一定的研究经验．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．请运用已有经验：对“邻等对补四边形”进行研究． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是邻等对补四边形的是（   ） A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_____．（填所有满足条件的图形序号） (2)概念应用 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，点F为线段AE上一点，且，连接DF并延长交BC于H，过点F作交AB于G，连接BF．请写出图中的邻等对补四边形（正方形ABCD除外），并说明理由； (3)知识迁移 如图，在菱形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，点F在线段AE上，且，点G在AB边上，连接DF，FG，使，若，，请直接写出菱形ABCD的边长． 4．(23-24八上·山东东营广饶县·期末)附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 5．(25-26九下·黑龙江哈尔滨第十七中学校·)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在四边形中，，平分． 求证：四边形为等补四边形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C均在格点上，若点D在格点上，且四边形是等补四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 6．(2025·河南省新乡市·三模)阅读下列材料，并完成相应学习任务： 我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程： 已知：在四边形中， 求证：过点、、、可作一个圆． 证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为．分两种情况讨论． ①如图（），若点在内．延长交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾， ②如图（），若点在外．设交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾． 综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆． 学习任务： (1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______． (2)应用上述结论，解决以下问题： 如图（3），在四边形中，，对角线，交于点． ①若，求的度数； ②若，，求的长． 7．(2025·内蒙古·模拟)如图，在锐角三角形中，是边上的高，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，交弧于点，交于点，连接，，． (1)求证：与互补； (2)若，，，求的长． 8．(2026·山东省潍坊市·一模)【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 9．(25-26九上·浙江初中浙派联盟·月考)已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 10．(2025·湖南省长沙市·模拟)求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”． (1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； (2)如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； (3)如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围． 11．(2025·湖北武汉市·二模)如图，在等边中，点，分别在边，上，点在边的延长线上，连接，，，． (1)如图（），若，点在上，连接，，求证：； (2)如图（），若，探究，，之间的数量关系； (3)如图（），连接交于点，若平分，求的值（用含的式子表示）． 12．(2026·广州深圳·二模)我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行． 例如图1所示，若，，则称四边形为对等补四边形，且有． (1)以下图形属于对等补四边形的有__________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，四边形为对等补四边形（），小明发现当时，四边形恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； (3)如图3，四边形为对等补四边形，，，对角线平分角，求线段AC的长度 (4)在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形为对等补四边形，线段与线段交于点Q，请直接写出线段的长． 13．(25-26八上·陕西西安滨河学校·期中)问题引入：在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点称为“等距点”．如图，轴，轴，且，那么点就叫“等距点”，此时四边形是正方形． (1)请你写出一个在第一象限的“等距点” ． 问题探究： (2)如图，点、点分别在轴、轴上，四边形的内角与互补，，点是第一象限内的“等距点”，求四边形的面积． 问题解决： (3)如图，是等边三角形，点，点是第四象限的“等距点”，连接并延长交的延长线于点，连接，此时，点是线段上的点，连接并延长交轴于点，当时，求的面积． 14．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形中，若，则 ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 15．(25-26九上·浙江温州龙湾初中协作校·期中)定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 16．(25-26八下·广西南宁天桃实验中学·期中)综合与探究 在《第二十一章 四边形》学习过程中，我们积累了四边形的研究经验，请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是 （填序号）． ①平行四边形；     ②矩形；      ③菱形；      ④正方形． (2)【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：； (3)如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形． (4)【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数． 17．(25-26九上·山东九年级多校联考·月考)【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【问题提出】 利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形． 【方案设计】 甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答， 【测量工具】量角器、铅笔、纸等． 【操作步骤】 分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示： 【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）． 【交流讨论】 （2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【定义应用】 （3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展反思】 （4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？ 18．(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 19．(25-26八上·贵州安顺·期末)学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．          （1）操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图①-④所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_____；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图1，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．求证：平分； （3）拓展应用：如图2，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 20．(25-26九上·辽宁丹东东港·期中)定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $