26.2.3用待定系数法求解析式 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

§26.2.3 待定系数法求二次函数解析式 答案 【知识解读】 二次函数解析式的三种常见形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①___一般式______：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②____顶点式_____：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③____交点式_____：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； 1. 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式， 从而代入数值求解． 一般地，当已知抛物线上三点时，常选择___一般式_____，用待定系数法列三元一次方程组来求解； 当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为___顶点式_____来求解； 当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为___交点式____来求解． 【类型1】顶点式 【例1】已知二次函数的顶点坐标为（3，﹣1），且其图象经过点（4，1），求此二次函数的解析式． 【变式训练】 1.如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是（　B　） A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2 2．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（   D  ） A． B． C． D． 3. 对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　C　） A．y＝﹣2x2+8x+3 B．y＝﹣2x‑2﹣8x+3 C．y＝﹣2x2+8x﹣5 D．y＝﹣2x‑2﹣8x+2 【类型2】一般式 【例1】已知抛物线与y轴交点C的纵坐标为﹣，且过点A（1，﹣6）和点B（﹣1，0）． （1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）写出点B关于抛物线对称轴的对称点E的坐标． 【变式训练】 1．如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； 2．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． (1)求的值； (2)求抛物线的表达式； 【类型3】两点式 【例1】如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标． 【变式训练】 1. 抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的函数关系式为（　D　） A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x+8 D．y＝﹣2x2+4x+6 2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标． 【综合练习】 1．已知二次函数 的图像经过点 ．求这个二次函数的解析式 解： 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． (1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入，求出的值，得出抛物线解析式，配方即可求出抛物线顶点坐标； （2）根据（1）中所求解析式，求出、坐标，即可求出的面积； （3）连接，交对称轴于，连接，根据二次函数的对称性得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，根据顶点坐标可得对称轴为直线，把代入的解析式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，连接，， 由（1）可知，抛物线的解析式为， ∴当时，，当时，， 解得，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：如图，连接，交对称轴于，连接， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得, ∴直线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点坐标为． 3．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． (1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)若，求； (2)若抛物线的顶点坐标为，求的值； (3)若，，求证：． (1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据对称性得到对称轴即可； （2）设抛物线的解析式为，再代入即可求解； （3）由题可知，代点可得，再作差证明即可． 【详解】（1）解：， ∴图象经过点和点．   ∴对称轴直线，解得； （2）解：依题意得，设抛物线的解析式为，   把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 把代入，得； （3）解：把点代入得； ； 把点代入得；   把代入得即； ， ．    ； ．   1 学科网（北京）股份有限公司 $ §26.2.3 待定系数法求二次函数解析式 【知识解读】 二次函数解析式的三种常见形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①_________：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②_________：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③_________：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； 1. 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式， 从而代入数值求解． 一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解； 当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为________来求解； 当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为_______来求解． 【类型1】顶点式 【例1】已知二次函数的顶点坐标为（3，﹣1），且其图象经过点（4，1），求此二次函数的解析式． 【变式训练】 1.如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2 2．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 3. 对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　） A．y＝﹣2x2+8x+3 B．y＝﹣2x‑2﹣8x+3 C．y＝﹣2x2+8x﹣5 D．y＝﹣2x‑2﹣8x+2 【类型2】一般式 【例1】已知抛物线与y轴交点C的纵坐标为﹣，且过点A（1，﹣6）和点B（﹣1，0）． （1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）写出点B关于抛物线对称轴的对称点E的坐标． 【变式训练】 1．如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； 2．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． (1)求的值； (2)求抛物线的表达式； 【类型3】两点式 【例1】如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标． 【变式训练】 1. 抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的函数关系式为（　　） A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x+8 D．y＝﹣2x2+4x+6 2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标． 【综合练习】 1．已知二次函数 的图像经过点 ．求这个二次函数的解析式 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 3．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)若，求； (2)若抛物线的顶点坐标为，求的值； (3)若，，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $