第22章 直角三角形（复习课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

第22章 直角三角形 复习课件 沪教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 02 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 梳理性质判定 掌握锐角互余、 斜边中线等性质， 会使用直角 三角形全等的 判定定理。 理解角平分线 掌握角平分线 的性质与判定， 认识三角形 的内心，会 作简单图形。 掌握勾股关系 理解勾股定理 及其逆定理， 会求边长， 判定直角 三角形。 解决实际问题 会作辅助线， 用直角三角形 表示实际问题， 计算距离、 高度和面积。 单元重点难点 重 点 难 点 1．掌握直角三角形的性质及全等判定，能进行简单计算与证明。 2．掌握角平分线的性质与判定，理解内心及其等距关系。 3．理解勾股定理及其逆定理，能求边长并判定直角三角形。 4．会作辅助线，用直角三角形解决长度、面积和实际应用问题。 1．区分性质与判定的条件和结论，准确寻找对应边、对应角。 2．把角平分线转化为垂线段相等，辨清内心的等距对象。 3．认准斜边，选择平方和或平方差，区别定理与逆定理。 4．从实际情境提取垂直关系，构造直角三角形并检验结果。 知识图谱 直角三角形 直角三角形的性质和判定 ① 性质：锐角互余；斜边上的中线；30°角对应的边 ② 全等判定：斜边和一条直角边对应相等；尺规作图 角平分线 ③ 性质与判定：平分角与到两边所在直线等距 ④ 应用与内心：三条内角平分线相交；内心等距 勾股定理 ⑤ 勾股定理：直角三角形三边的平方关系 ⑥ 逆定理与勾股数　⑦ 应用：求长、求面积及作图 知识串讲 01　直角三角形的性质 ➤ 两个锐角与斜边上的中线 直角三角形的两个锐角互余． 两个锐角互余的三角形是直角三角形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 理解与运用 ① 先确定直角顶点，斜边位于直角的对面。 ② 图中M是AB的中点，故。 A B C M ▲ 易错提醒 ① “斜边上的中线”不能替换成任意一边上的中线。 ② 两个角互余时，还需结合三角形内角和判断第三个角。 知识串讲 01　直角三角形的性质 ➤ 含30°角的直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ，时，。 理解与运用 ① 取斜边中点，连接直角顶点，可得到等长线段。 ② 结合互余与等边三角形，把角的条件转化为边的关系。 ③ 求边时先辨认30°角所对的直角边。 A B C M 30° ▲ 易错提醒 ① 30°角所对的边是较短的直角边，不是斜边。 ② 斜边是这条直角边的2倍，不要把倍数关系颠倒。 知识串讲 02　直角三角形全等的判定 ➤ 斜边和一条直角边对应相等 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 理解与运用 ① 先确认两个三角形都有直角，再寻找对应边。 ② 公共边可以提供一组边相等的条件。 ③ 全等后，可进一步得到对应角或对应边相等。 A B C D E F ▲ 易错提醒 ① 这一判定的前提是两个三角形都是直角三角形。 ② “一条直角边相等”或“只有斜边相等”均不充分。 知识串讲 02　直角三角形全等的判定 ➤ 已知斜边和一条直角边的尺规作图 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 理解与运用 ① 先作给定直角边AC，再过C作AC的垂线。 ② 以A为圆心、斜边长为半径作弧，交垂线于B。 ③ 连接AB，核查直角、斜边长与直角边长。 ▲ 易错提醒 ① 斜边长必须大于给定的直角边长。 ② 作图依据是长度与垂直条件，不能凭目测画直角。 知识串讲 03　角平分线的性质与判定 ➤ 从平分角到等距，从等距到平分角 研究角平分线有关问题时，约定所涉及的角小于平角． 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等． 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上． 理解与运用 ① 点到直线的距离，用从该点所作垂线段的长度表示。 ② 性质用于由平分角得等距；判定用于由等距得平分角。 O A B P E F ▲ 易错提醒 ① 普通连线段的长度，不一定表示点到直线的距离。 ② 使用判定时，不能遗漏“在角的内部”这一条件。 知识串讲 03　角平分线的性质与判定 ➤ 角平分线的尺规作图 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等． 理解与运用 ① 以O为圆心任取半径作弧，交两边于D、E。 ② 分别以D、E为圆心，以DE长为半径作弧，交于角内C点。 ③ 作射线OC，利用三角形全等说明两角相等。 O A B D E C ▲ 易错提醒 ① 同一步中以D、E为圆心作弧，必须保持相同半径。 ② 最后作的是以O为端点的射线，不只是线段OC。 知识串讲 04　角平分线的应用与内心 ➤ 三角形的内心 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心． 理解与运用 ① 先作两个内角的平分线，它们的交点就是内心。 ② 由角平分线性质，内心到三边所在直线的距离相等。 ③ 连接内心与顶点，可用半角关系或面积相加求解。 A B C I D E F ▲ 易错提醒 ① 内心到三边所在直线的距离相等，不是到三个顶点等距。 ② 内心对应内角平分线，不能与边的中点混淆。 知识串讲 05　勾股定理 ➤ 斜边与直角边，点到直线的最短距离 在直角三角形中，斜边大于直角边． 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 理解与运用 ① 利用角的大小关系可说明斜边最长。 ② 从直线外一点向该直线作垂线，垂足确定最短线段。 ③ 比较线段前，先辨认斜边、直角边和垂线段。 A B C 垂线段 ▲ 易错提醒 ① “垂线段最短”比较的是同一点到同一直线上各点的连线段。 ② 距离是垂线段的长度，不是一条无限延伸的直线。 知识串讲 05　勾股定理 ➤ 勾股定理与边长计算 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 时，。 理解与运用 ① 求斜边：先求两条直角边的平方和，再开平方。 ② 求直角边：从斜边的平方中减去另一条直角边的平方。 ③ 由面积的分割与拼补，可解释勾股关系。 A B C b a c ▲ 易错提醒 ① 平方关系不是三条边长度直接相加的关系。 ② 计算平方差前，必须先确定哪一条边是斜边。 知识串讲 06　勾股定理的逆定理 ➤ 判定直角三角形与识别勾股数 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． 如果正整数满足，那么称为一组勾股数． 理解与运用 ① 找最长边，比较它的平方与另外两边的平方和。 ② 定理由直角得到边的关系；逆定理由边的关系得到直角。 ③ 勾股数同时满足正整数条件与平方关系。 ▲ 易错提醒 ① 检验平方关系时，不可随意把较短边当作斜边。 ② 满足平方关系的三个正数，不一定都是勾股数。 知识串讲 07　勾股定理的应用 ➤ 实际情境、辅助线与长度作图 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 直角三角形中：（为斜边长）。 理解与运用 ① 用示意图表示已知量，先说明直角从何而来。 ② 通过作垂线，把实际距离或待求线段放入直角三角形。 ③ 已知单位长度，可用适当直角边构造带根号的线段。 A B C 3a 4a 5a ▲ 易错提醒 ① 实际问题中的未知长度，应满足正值和情境中的限制。 ② 计算前统一单位；作图后用勾股关系核对所作长度。 题型全解 题型01 直角三角形的性质 例01　选择题 在中，，。 则等于（　　）。 A． B． C． D． A B C 38° 【答案】B 【解析】 直角三角形的两个锐角互余。 。 题型全解 题型01 直角三角形的性质 例02　简答题 在中，，。 ，是的中点， 求与。 A B C M 30° 18 【答案】，。 【解析】 是斜边上的中线，故。 由含角的直角三角形的边长关系，得。 考点串讲 题型01 直角三角形的性质 方法总结 方法1 由直角确定边角关系 ① 先找直角，确定其对边是斜边。 ② 用两个锐角互余列式，求出未知角。 ③ 遇到角，找准它所对的直角边。 方法2 围绕斜边中点转化 ① 确认中点在斜边上，再连接直角顶点。 ② 把斜边中线、两段半斜边联系起来。 ③ 利用所得等长关系，继续求边或求角。 题型全解 题型02 直角三角形全等的判定 例03　判断题 判断并说明理由：两个直角三角形只要有一条直角边对应相等，就一定全等。 A B C D E F 4 3 6 3 【答案】错误。 【解析】 一条直角边相等，不能确定另一条直角边。 例如两组直角边分别为与，它们不能重合。 题型全解 题型02 直角三角形全等的判定 例04　证明题 如图，， 。求证：。 A B C D 【答案】证明见解析。 【解析】 是两个直角三角形的公共斜边，且。 由直角三角形全等的判定定理，得。 所以（全等三角形的对应边相等）。 考点串讲 题型02 直角三角形全等的判定 方法总结 方法1 先配对，再判定全等 ① 明确两个三角形都是直角三角形。 ② 配对斜边，并找一组对应直角边相等。 ③ 检查对应顶点顺序，写出全等结论。 方法2 从公共边寻找条件 ① 标出公共边，判断它是斜边还是直角边。 ② 联系已知条件，补齐定理所需的另一组边。 ③ 由全等得到对应边或对应角相等。 题型全解 题型03 角平分线的性质与判定 例05　填空题 在的平分线上， ，。 若，， 则____。 O A B P E F 【答案】。 【解析】 角平分线上的点到两边所在直线的距离相等。 故，解得；此时。 题型全解 题型03 角平分线的性质与判定 例06　说明理由题 在内部，， ，且。 说明为什么平分。 O A B P E F 【答案】平分。 【解析】 是点到角的两边所在直线的距离。 由在角的内部且，根据角平分线的判定可得结论。 考点串讲 题型03 角平分线的性质与判定 方法总结 方法1 由平分角转化为等距 ① 确认点在角平分线上。 ② 作该点到两边所在直线的垂线段。 ③ 令两条垂线段相等，进行计算或证明。 方法2 由等距反推平分角 ① 先核实点在角的内部。 ② 核实两条线段均垂直于角的两边。 ③ 利用距离相等，得出该点在角平分线上。 题型全解 题型04 角平分线的应用与内心 例07　求角题 是的内心，。 求的度数。 A B C I 【答案】。 【解析】 。 由平分内角，得。 所以。 题型全解 题型04 角平分线的应用与内心 例08　面积题 是的内心，到边的距离为。的周长为，求它的面积。 A B C I D E F 【答案】面积为。 【解析】 由内心的性质，点到三边所在直线的距离都等于2。 连接，把原三角形分为三个小三角形。 面积和为。 考点串讲 题型04 角平分线的应用与内心 方法总结 方法1 把内心转化为平分角 ① 内心在三条内角平分线上。 ② 把原三角形的角转化为相应的半角。 ③ 结合三角形内角和求未知角。 方法2 把等距转化为等高 ① 从内心向三边所在直线作垂线。 ② 由角平分线性质得到三条垂线段相等。 ③ 分割三角形，用面积相加建立关系。 题型全解 题型05 勾股定理 例09　选择题 一个直角三角形的两条直角边长为与，则斜边长为（　　）。 A． B． C． D． A B C 9 12 【答案】C 【解析】 设斜边长为，则。 因为边长为正，所以。 题型全解 题型05 勾股定理 例10　计算题 等腰三角形中，，。求的面积。 A B C D 13 13 【答案】面积为。 【解析】 作，垂足为，则。 由勾股定理，得。 所以。 考点串讲 题型05 勾股定理 方法总结 方法1 认准斜边再列等式 ① 先确认直角，找出斜边。 ② 求斜边用平方和，求直角边用平方差。 ③ 由平方求边长时，取符合边长意义的正值。 方法2 作高转化为直角三角形 ① 需要求高时，向相应的底边作垂线。 ② 利用等腰三角形等性质确定分段长度。 ③ 用勾股定理求高，再计算面积。 题型全解 题型06 勾股定理的逆定理 例11　判断并证明 一个三角形的三边长分别为。判断它是否是直角三角形，并说明理由。 【答案】是直角三角形。 【解析】 最长边为；，。 因两条较短边的平方和等于最长边的平方，依据逆定理可得结论。 题型全解 题型06 勾股定理的逆定理 例12　辨析题 小林说：“是一组勾股数。”这句话正确吗？这些数能否作为直角三角形的三边长？ 【答案】说法错误；能作为直角三角形的三边长。 【解析】 勾股数须为正整数，不符合定义。 但，且这些数能组成三角形。 由勾股定理的逆定理，所成三角形是直角三角形。 考点串讲 题型06 勾股定理的逆定理 方法总结 方法1 排序后比较平方 ① 先找三条边中的最长边。 ② 分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方。 ③ 两者相等，才可由逆定理判定直角三角形。 方法2 区分判定与勾股数 ① 判定直角三角形，关注边长间的平方关系。 ② 判断勾股数，还要核实三个数都是正整数。 ③ 写明判定依据，避免只列计算没有结论。 题型全解 题型07 勾股定理的应用 例13　应用题 一架长米的梯子斜靠在竖直墙上。 梯脚离墙米，地面水平， 求梯顶离地面的高度。 A B C 7.5 m 4.5 m 【答案】梯顶离地面米。 【解析】 墙与地面垂直，梯子为所构成直角三角形的斜边。 设高度为米，则，得。 题型全解 题型07 勾股定理的应用 例14　作图题 已知单位线段长为。利用直角三角形，作出一条长为的线段，并说明依据。 O A B 3a a 【答案】所作线段的长为。 【解析】 作，过作的垂线。 在垂线上截取，连接。 由勾股定理，。 考点串讲 题型07 勾股定理的应用 方法总结 方法1 从情境中建立模型 ① 找水平与竖直等条件，确认直角。 ② 画示意图，标出已知量与待求量。 ③ 列勾股关系，求解后检查单位与实际意义。 方法2 借助辅助线转化 ① 在适当位置作垂线，构造直角三角形。 ② 把线段和、差或倍数转化为两条直角边。 ③ 用勾股关系求长度，并核查作图满足条件。 针对训练 训练01　填空题 一个直角三角形的两个锐角之比为，这两个锐角分别为____和____。 【答案】，。 【解析】 设两个锐角为，由互余得。 解得，故两个锐角为。 针对训练 训练02　选择题 一个直角三角形斜边上的中线长为，则斜边长为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 斜边上的中线等于斜边的一半。 所以斜边长为。 针对训练 训练03　辨错题 判断：“直角三角形的每一条中线，都等于斜边的一半。”若有错误，请改正。 A B C M 【答案】错误，应把“每一条中线”改为“斜边上的中线”。 【解析】 定理中的位置条件是斜边上，不能任意扩大适用范围。 连接直角顶点与斜边中点，才得到定理中的中线。 针对训练 训练04　选择题 下列条件中，能保证两个直角三角形全等的是（　　）。 A．斜边及一条直角边对应相等 B．仅斜边相等 C．仅一条直角边相等 D．两个锐角对应相等 【答案】A 【解析】 要在直角三角形中使用相应判定，须有斜边与一条直角边对应相等。 只给一组边相等，或只给两个锐角相等，都不充分。 针对训练 训练05　填空题 与中，，，。若，则____。 【答案】。 【解析】 由斜边和一条直角边对应相等，得。 根据全等三角形的对应角相等，。 针对训练 训练06　证明题 在同一直线上，，。求证：。 A D C B 【答案】证明见解析。 【解析】 与的斜边，且为公共直角边。 由直角三角形全等的判定定理得两三角形全等，故。 针对训练 训练07　填空题 在的平分线上，，。若，则____。 O A B P E F 【答案】。 【解析】 表示点到角两边所在直线的距离。 根据角平分线性质，。 针对训练 训练08　判断题 判断：“点到两边所在直线的距离相等，就一定在这个角的平分线上。” 【答案】错误，需补充“点在角的内部”。 【解析】 角平分线的判定包含位置条件。 只给到两条直线等距，不能保证点在指定角的内部。 针对训练 训练09　证明题 在内部，， ，。 求证：平分。 O A B P E F 【答案】证明见解析。 【解析】 与中，斜边公共，。 两三角形全等，得，所以平分。 针对训练 训练10　选择题 三角形的内心一定是（　　）。 A．三条中线的交点 B．到三个顶点等距的点 C．三条内角平分线的交点 D．任意两条高的交点 【答案】C 【解析】 三角形的内心由三个内角的平分线确定。 根据角平分线性质，内心到三边所在直线的距离相等。 针对训练 训练11　填空题 是的内心，， ，。 若，则____。 A B C I D E F 【答案】。 【解析】 内心到三边所在直线的距离相等，故。 所以。 针对训练 训练12　求角题 是的内心，。求。 A B C I 【答案】。 【解析】 。 因平分内角，，故。 针对训练 训练13　填空题 直角三角形的一条直角边长为，斜边长为，则另一条直角边长为____。 【答案】。 【解析】 设另一条直角边长为，则。 因，所以。 针对训练 训练14　计算题 长方形的长为，宽为。求对角线的长。 A B C D 12 16 【答案】。 【解析】 长方形的一个内角为直角，故是直角三角形。 ，所以。 针对训练 训练15　综合计算 等腰三角形中，，。求底边上的高及三角形的面积。 A B C D 【答案】高为，面积为。 【解析】 作，则。 由，得，故。 针对训练 训练16　选择题 下列各组数中，是勾股数的一组为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 逐组检查正整数条件及最长边的平方关系。 ，故B符合条件。 针对训练 训练17　判断并说明 一块三角形木板的三边长为。它有直角吗？请用计算说明。 【答案】没有直角。 【解析】 最长边为，，。 两者不相等，不满足直角三角形的勾股关系，因此没有直角。 针对训练 训练18　计算与判定 的三边为，，。判断直角的位置，并求其面积。 【答案】，面积为。 【解析】 。 由逆定理，所对的角为直角；。 针对训练 训练19　综合计算 中，，，，是的中点。求。 A B C M 【答案】。 【解析】 由勾股定理，。 由斜边上的中线等于斜边的一半，得。 针对训练 训练20　应用题 一块长方形草坪长米、宽米。 从顶点走到对角顶点， 沿对角线比沿两条邻边少走多少米？ A B C D 21 m 28 m 【答案】少走米。 【解析】 沿两条邻边需走米。 对角线长为米，因此少走米。 针对训练 训练21　应用题 水平地面上，竖直杆高米。 拉线的固定点距杆脚为米。 现把固定点移到同侧距为米的点，拉线至少增加多少米？ A B C D 12 m 【答案】至少增加米。 【解析】 地面水平，两次拉线长分别为米。 米，故需增加米。 单元总结/易错复盘 核心知识 ① 性质：锐角互余、 　斜边中线等于半斜边。 ② 全等：斜边和一条 　直角边对应相等。 ③ 角平分线、内心： 　到两边或三边等距。 ④ 勾股定理及逆定理： 　平方关系与直角。 易错复盘 ① 中线必须在斜边上。 ② 距离须由垂线段 　的长度表示。 ③ 内心不一定到三个 　顶点的距离相等。 ④ 求边与判定直角， 　不能混用条件。 思想方法 ① 对应关系：先配对， 　再判定全等。 ② 转化：角平分线 　与等距相互转化。 ③ 作垂线：构造 　直角三角形。 ④ 建模：画图、列式， 　检验结果的意义。 沪教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $