第21章 一元二次方程（复习课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

第21章 一元二次方程 复习课件 沪教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 02 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 理解概念性质 理解一元二次 方程与实数根， 会化一般形式、 识别各项系数， 用判别式判断 实数根的情况。 掌握求解方法 掌握因式分解 法、配方法与 公式法，会直接 开平方求解， 根据方程特点 选择适当方法。 运用根的关系 掌握韦达定理， 用两根的和、积 求值及待定系数； 利用方程的根 分解二次三项式， 注意实数条件。 解决实际问题 找准等量关系， 用一元二次方程 或可化为它的 分式方程求解， 做好验根及 实际意义检验。 单元重点难点 重 点 难 点 1．理解一元二次方程及其实数根，掌握一般形式与各项系数。 2．掌握因式分解法、配方法与公式法，会选择合适方法求解。 3．掌握判别式与韦达定理，会在实数范围内分解二次三项式。 4．会解可化为一元二次方程的分式方程，运用方程解决实际问题。 1．准确配方、化简求根公式，保留两根，防止约去因式而漏根。 2．用根的情况求参数时，兼顾二次项系数不为0与判别式条件。 3．将关于两根的代数式化为和、积的形式，注意实数根前提。 4．从实际问题中建立等量关系，分清增根与不合实际意义的根。 知识图谱 一元二次 方　　程 一元二次方程 01 概念、一般形式与实数根 整理、辨认、代入检验 方程的解法 02 因式分解法　03 直接开平方 04 配方法　　　05 公式法 由二次转化为一次 判别式 06 判别式与根的情况 07 判别式的应用 判断根的情况，求参数条件 韦达定理 08 韦达定理 09 根与系数关系的应用 不求根，利用两根的和与积 方程的应用 10 因式分解　11 几何与数量关系 12 增长率、利润与计数 13 分式方程　14 分式方程的应用 建立方程，求解并检验 知识串讲 01　一元二次方程的概念 ➤ 概念、一般形式与各项系数 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫作一元二次方程． 一元二次方程的一般形式是 （、、为已知数，且）， 其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项， 是一次项系数；叫作常数项． 理解与运用 ① 先去括号、移项、合并同类项，再辨认方程的次数。 ② 确定系数时连同符号一起看，缺少的一次项或常数项记为0。 ▲ 易错提醒 ① 必须是整式方程，且化简后二次项系数不为0。 ② 不能只根据原式中出现平方项，就判定为一元二次方程。 知识串讲 01　一元二次方程的概念 ➤ 实数根的意义与代入检验 满足方程（）的实数叫作这个 方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根． 对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断 一个未知数的值是不是这个方程的根． 代入检验：计算方程左边的值，核对是否等于右边。 理解与运用 ① 代入负数时保留括号，按先乘方、后乘除、再加减计算。 ② 已知一个根，可将它代入原方程，求出待定系数。 ③ 求出待定系数后，还须检查二次项系数不为0。 ▲ 易错提醒 ① 根是使等式成立的未知数的值，不是方程的系数。 知识串讲 02　因式分解法 ➤ 利用积为零，将二次方程化为一次方程 如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少 有一个等于0；反之，如果两个因式中至少有一个 等于0，那么这两个因式的积也等于0． 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法． ，则或。 理解与运用 ① 先移项使一边为0，再把另一边分解为两个一次因式的积。 ② 分别令两个因式为0，求出两个一元一次方程的根。 ③ 先观察公因式，再考虑公式法或十字相乘法进行分解。 ▲ 易错提醒 ① 不能随意除以含未知数的因式，否则可能漏根。 ② 两个因式中“至少一个为0”，不是要求两个同时为0。 知识串讲 03　直接开平方求解 ➤ 平方根与整体开平方 可以直接通过求平方根来解某些特殊的一元二次方程．如一元二次方程 ）可以变形为若将记为d，则原方程转化为. （1）当时，方程有两个不相等的实数根：，； （2）当时，方程有两个相等的实数根：； （3）当时，方程没有实数根． 理解与运用 ① 上述分类对应方程，先把平方项的系数化为1。 ② 把括号内的式子看作整体，开平方后再解一次方程。 ▲ 易错提醒 ① 正数的平方根有正、负两个，开平方不能漏写±。 ② 平方等于负数时，应写“没有实数根”。 知识串讲 04　配方法 ➤ 配成完全平方式，再开平方 像这样给加上25配成完全平方式 的过程，简称“配方”． 像上面这样，通过“配方”来解一元二次方程的方法， 可称为配方法． 理解与运用 ① 先将二次项系数化为1，再把常数项移到另一边。 ② 两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式。 ▲ 易错提醒 ① 配方时要在方程两边同时加同一个数。 ② 取的是一次项系数“一半的平方”，不是“平方的一半”。 知识串讲 05　公式法 ➤ 一元二次方程的求根公式 对一元二次方程（），当时， 它的实数根可以写成的形式． 这个式子叫作一元二次方程（） 的求根公式． 理解与运用 ① 先化成一般形式，确定、、，特别注意符号。 ② 先计算，非负时才在实数范围内代入求根公式。 ③ 当时，两个实数根相等。 ▲ 易错提醒 ① 分母是2a，要除整个分子，不能只除根式。 ② 负系数代入平方时加括号；根式结果应化简。 知识串讲 05　公式法 ➤ 公式法的计算顺序与适用条件 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式 （），如果，那么把、、 的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根； 如果，那么原方程没有实数根．这种解 一元二次方程的方法称为公式法． 公式法适用所有的一元二次方程． 理解与运用 ① 按“化一般形式—确定系数—计算—判断—代入”的顺序求解。 ② 公式中的正号、负号分别对应两个根；相等时写出重根。 ▲ 易错提醒 ① 移项后再确定常数项，不能沿用移项前的符号。 ② 有无实数根须先判断，不能对负数直接开实数平方根。 知识串讲 06　判别式与根的情况 ➤ 判别式的意义与三种根的情况 一元二次方程的判别式为． 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 理解与运用 ① 判别式用于一元二次方程，须先确认。 ② 判断根的情况只需计算判别式，通常不必求出具体的根。 ③ 含参数时，可把判别式配成平方或说明其恒非负。 ▲ 易错提醒 ① “有实数根”包含两根相等与两根不等两种情况。 ② 根的情况由判别式的符号决定，不由或单独决定。 知识串讲 07　判别式的应用 ➤ 由根的情况反求参数条件 当方程有两个不相等的实数根时，； 当方程有两个相等的实数根时，； 当方程没有实数根时，． 一元二次方程有实数根指的是方程有两个不相等的 实数根或有两个相等的实数根． 理解与运用 ① 先把含参数的方程化成一般形式，写清二次项系数不为0。 ② 把根的情况转化为关于判别式的等式或不等式。 ③ 解出参数条件后，与二次项系数不为0的条件共同检验。 ▲ 易错提醒 ① “有两个实数根”对应，不能漏掉等号。 ② 参数出现在二次项系数中时，要排除使方程降为一次的值。 知识串讲 08　韦达定理 ➤ 两根的和、积与系数的关系 韦达定理　如果一元二次方程（） 的两个实数根分别是、，那么 ，　． 理解与运用 ① 应用定理前，方程应有两个实数根，即。 ② 先确定一般形式中的系数，根的和是一次项系数的相反数除以二次项系数。 ③ 已知一个根，可用两根的和或积求另一根及待定系数。 ▲ 易错提醒 ① 两根之和有负号，两根之积没有额外负号。 ② 二次项系数不是1时，不能漏除。 知识串讲 09　根与系数关系的应用 ➤ 用两根的和、积进行整体求值 利用韦达定理求关于、的代数式的值时，通常 先把代数式化为由和表示的形式， 再代入求值． ·（） 理解与运用 ① 先变形再整体代入，通常不必分别求出两个根。 ② 由两根关系求参数后，还要检验。 ▲ 易错提醒 ① 含倒数时先检查两根的积不为0。 知识串讲 10　二次三项式的因式分解 ➤ 在实数范围内，由根写出因式 如果一元二次方程的两个实数根 分别是、，那么 ． 但如果，那么二次三项式 在实数范围内就不能因式分解． 理解与运用 ① 把二次三项式对应到方程，先判断根的情况。 ② 有实数根时，求出两根并写成相应一次因式的乘积。 ③ 两个根相等时，结果中会出现相同一次因式的平方。 ▲ 易错提醒 ① 分解结果不能漏掉原来的二次项系数。 ② 因式中写的是，根为负数时注意减负数。 知识串讲 11　几何与数量关系应用 ➤ 面积关系、数量关系与实际意义 在列方程解决应用问题时，要检验方程的根是否符合 实际意义． 长方形面积长宽；周长。 只围三边时：平行于墙的一边长围栏总长另一边长。 理解与运用 ① 选择一条边长或一个数作为未知数，用含未知数的式子表示其他量。 ② 根据面积、周长、乘积等关系列出一元二次方程。 ③ 求出根后，检查长度为正、墙长限制、整数等实际条件。 ▲ 易错提醒 ① 四周同宽边框使长、宽都增加两倍边框宽度。 ② 一个方程有两个根，不代表实际问题一定有两个答案。 知识串讲 12　增长率、利润与计数 ➤ 分阶段变化、销售利润与不重复计数 存款到期后的利息＝本金×利率×存期． 本利和＝本金＋利息． 每月的销售利润＝单个货品的销售利润×货品的 月销售量． 连续两次按同一增长率变化：末量初量。 每两人恰好比赛一局，人比赛总局数为。 理解与运用 ① 增长或降低都以前一次变化后的量作为下一次的基数。 ② 总利润同时受单件利润和销售量影响，两者都要表示。 ▲ 易错提醒 ① 连续变化率不能直接相加；不重复的两两配对要除以2。 知识串讲 13　可化为一元二次方程的分式方程 ➤ 去分母、解二次方程与验根 例如：，去分母得。 在求解上面的分式方程时，去分母后所得到的整式 方程是一个一元二次方程，所以上面的分式方程是 可化为一元二次方程的分式方程，其求解步骤与解 可化为一元一次方程的分式方程类似． 理解与运用 ① 先分解分母、找公分母，两边每一项都乘公分母。 ② 选择恰当方法解去分母后的一元二次方程。 ③ 将求得的每个值代入原分式方程检验，舍去增根。 ▲ 易错提醒 ① 去分母后所得整式方程的根可能使原分母为0，必须验根。 知识串讲 14　分式方程的应用 ➤ 用时间、速度或效率建立等量关系 行程问题有三个基本量：时间、速度与路程， 它们间的基本关系是． 在列方程解决应用问题时，要检验方程的根是否符合 实际意义． 时间；工作时间。 理解与运用 ① 先设未知数，表示变化前后的量，统一时间等单位。 ② 用“时间差”“速度差”等相等关系列出分式方程并求解。 ③ 先检验是否为原方程的根，再检验实际意义。 ▲ 易错提醒 ① 舍去负值等不合题意的根，与舍去增根的原因不同。 题型全解 题型01 一元二次方程的概念 例01　选择题 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D．（有两个未知数） 【答案】B。 【解析】 B化简为，符合三个条件。 A化简后是一次方程；C是分式方程；D含两个未知数。 题型全解 题型01 一元二次方程的概念 例02　填空题 将化成一般形式为________； 其中二次项系数、一次项系数、常数项依次为________。 【答案】；、、。 【解析】 去括号得。 移项并合并同类项，得。 各项的系数必须连同符号一起确定。 考点串讲 题型01 一元二次方程的概念 方法总结 方法1 先整理，再辨认方程 ① 去括号、移项，使方程一边为0，并合并同类项。 ② 检查一个未知数、最高次数2、整式方程三个条件。 ③ 按一般形式读出各项系数，注意负号与缺项。 方法2 代入原式，检验是否为根 ① 将给定值代入方程，负数用括号括起。 ② 分别计算两边的值，判断它们是否相等。 ③ 含待定系数时先求系数，再检查方程类型。 题型全解 题型02 因式分解法 例03　解方程 用因式分解法解方程：。 【答案】，。 【解析】 提取公因式，得。 由或，得到两个根。 不能把两边直接除以，否则会漏掉根。 题型全解 题型02 因式分解法 例04　解方程 解方程：。 【答案】，。 【解析】 移项并提取公因式：。 整理为。 分别令或，得到两个根。 考点串讲 题型02 因式分解法 方法总结 方法1 化为零积，分别求根 ① 先整理方程，使等号右边为0。 ② 将左边分解为两个一次因式的积。 ③ 分别令每个因式等于0，写全方程的两个根。 方法2 保留公因式，防止漏根 ① 发现两边有相同因式时，先移项到同一边。 ② 通过提取公因式分解，不能直接将该因式约去。 ③ 分别检查两个因式，代回原方程核对结果。 题型全解 题型03 直接开平方求解 例05　解方程 解方程：。 【答案】，。 【解析】 两边开平方：或。 分别解这两个一次方程，得或。 题型全解 题型03 直接开平方求解 例06　判断说理题 小卓认为方程有两个实数根。 判断他的说法，并说明理由。 【答案】错误；这个方程没有实数根。 【解析】 整理得。 任何实数的平方都不小于0，不可能等于负数。 考点串讲 题型03 直接开平方求解 方法总结 方法1 先化成平方等于常数 ① 移项并将平方项的系数化为1。 ② 检查右边常数的正负，确定是否有实数根。 ③ 右边为正数时写出正、负两个平方根。 方法2 括号作整体，分步求解 ① 把括号内的一次式 看作一个整体。 ② 开平方后，分别得到两个一元一次方程。 ③ 求出未知数，化简根式并把两个根写完整。 题型全解 题型04 配方法 例07　填空与求解 用配方法解时，两边应同加________， 得到________，再求出方程的根。 【答案】；；，。 【解析】 移项得，补上。 两边同加25，得。 开平方得，再移项即可。 题型全解 题型04 配方法 例08　解方程 用配方法解方程：。 【答案】，。 【解析】 移项并两边同除以3，得。 两边同加4，得。 开平方：，所以。 考点串讲 题型04 配方法 方法总结 方法1 二次项系数先化为1 ① 先移项，把常数项移到方程右边。 ② 方程两边同除以二次项系数，注意逐项相除。 ③ 根据新的一次项系数确定需要补上的常数。 方法2 两边配方，保留两根 ① 两边同加一次项系数一半的平方。 ② 把左边写成完全平方式，计算右边的值。 ③ 右边非负时开平方求解，注意正、负两种情况。 题型全解 题型05 公式法 例09　解方程 用公式法解方程：。 【答案】，。 【解析】 ，，，有。 代入求根公式：。 分别取加号和减号，得到两个根。 题型全解 题型05 公式法 例10　解方程 用公式法解方程：。 【答案】，。 【解析】 ，，，有。 。 正、负两种取法都要保留。 考点串讲 题型05 公式法 方法总结 方法1 规范整理，先算根式内的量 ① 把方程化成一般形式， 逐项写出、、。 ② 计算，乘法与平方都注意符号。 ③ 结果为负时直接说明没有实数根，不再套求根公式。 方法2 整体代入，化简两个根 ① 将系数带着符号代入求根公式。 ② 先化简根式，再分别计算加号、减号对应的值。 ③ 分子、分母能约分时应约分，最后写出两个根。 题型全解 题型06 判别式与根的情况 例11　选择题 不解方程，判断的实数根的情况（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．仅有一个实数根 【答案】C。 【解析】 。 判别式大于0，所以有两个不相等的实数根。 题型全解 题型06 判别式与根的情况 例12　说理题 证明：无论实数取何值，方程 都有两个不相等的实数根。 【答案】成立，因为判别式恒为。 【解析】 。 二次项系数为1，且判别式恒大于0，结论成立。 考点串讲 题型06 判别式与根的情况 方法总结 方法1 化为一般形式，再判断符号 ① 先整理成一边为0的形式，确定三个系数。 ② 计算判别式，注意平方与乘积中的负号。 ③ 对照正、零、负，完整写出根的情况。 方法2 用平方说明根一定存在 ① 将含参数的判别式合并、因式分解或配方。 ② 利用实数的平方不小于0判断其符号。 ③ 区分恒大于0与可能等于0，表述根是否相等。 题型全解 题型07 判别式的应用 例13　填空与求解 若有两个相等的实数根，则________， 此时方程的根为________。 【答案】；。 【解析】 由两个相等的实数根，得，所以。 代回原方程，得，两根均为3。 题型全解 题型07 判别式的应用 例14　求参数范围 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围。 【答案】且。 【解析】 一元二次方程要求，即。 两根不相等要求，得。 两个条件同时满足，所以还须排除。 考点串讲 题型07 判别式的应用 方法总结 方法1 把根的条件化为式子 ① 根据题意，选择、或等条件。 ② 将一般形式中的系数代入，解关于参数的式子。 ③ 题目要求根时，将参数值代回原方程求解。 方法2 兼顾次数条件，检验参数 ① 先检查二次项系数是否含有参数。 ② 写出二次项系数不为0的限制。 ③ 把所得参数与该限制一起检查，舍去不符合题意的值。 题型全解 题型08 根与系数的关系 例15　填空题 已知的两个实数根为、， 则________，________。 【答案】；。 【解析】 ，，。 由根与系数的关系，得，。 题型全解 题型08 根与系数的关系 例16　求根与系数 方程的一个根是3， 不解这个方程，求另一个根及的值。 【答案】另一个根是，。 【解析】 设另一根为，由两根之和得，所以。 由两根之积得，所以。 将、代回原方程，等式成立。 考点串讲 题型08 根与系数的关系 方法总结 方法1 识别系数，求和与积 ① 将方程化为一般形式， 确定、、。 ② 已知有两个实数根后， 分别代入和、积公式。 ③ 注意两根之和前的负号，最后化简结果。 方法2 利用已知根求另一根 ① 先根据已知系数判断使用根的和还是根的积。 ② 把已知的一个根代入，求出另一个根。 ③ 再用另一个关系求待定系数，代回原方程检验。 题型全解 题型09 根与系数关系的应用 例17　求值题 设的两根为、。 求及的值。 【答案】；。 【解析】 由根与系数的关系，得，。 平方和为。 倒数和为。 题型全解 题型09 根与系数关系的应用 例18　综合求参数 关于的方程有两个实数根， 且两根的平方和为9，求。 【答案】。 【解析】 由根与系数的关系，得，即。 候选值为或，而。 当时，舍去；当时，符合。 考点串讲 题型09 根与系数关系的应用 方法总结 方法1 先变形，再整体代入 ① 把平方和、差的平方等 化为两根和、积的形式。 ② 利用根与系数的关系求出两根的和与积。 ③ 代入后按运算顺序计算，涉及除法时检查分母。 方法2 由根的关系求参，再检验 ① 用两根的和、积表示题目给定的关系。 ② 列出关于参数的方程，求出所有可能的值。 ③ 逐个检查判别式非负及题目中的其他条件。 题型全解 题型10 二次三项式的因式分解 例19　因式分解题 在实数范围内因式分解：。 【答案】。 【解析】 对应方程可配方为，两根为。 将两根代入即可。 题型全解 题型10 二次三项式的因式分解 例20　判断说理题 能否在实数范围内分解为两个一次因式的积？ 说明理由。 【答案】不能。 【解析】 对应方程的。 方程没有实数根，因此原三项式不能在实数范围内这样分解。 考点串讲 题型10 二次三项式的因式分解 方法总结 方法1 先求方程的根，再分解 ① 令二次三项式等于0，得到一元二次方程。 ② 利用恰当方法求出方程的两个实数根。 ③ 写成， 保留系数。 方法2 检查范围与分解结果 ① 先判断判别式是否非负，确认实数因式存在。 ② 根相等时写成平方，根含根式时保留准确形式。 ③ 用整式乘法还原，检查各项系数与符号。 题型全解 题型11 几何与数量关系应用 例21　应用题 一个长方形展板的周长为34米、面积为60平方米， 求展板的长和宽。 【答案】长12米，宽5米。 【解析】 设一边为米，邻边为米，则。 整理得，解得或。 两根对应同一个长方形的两条邻边，故长12米、宽5米。 题型全解 题型11 几何与数量关系应用 例22　应用题 一张海报长18厘米、宽12厘米，四周外围加同宽边框。 边框面积为136平方厘米，求边框的宽。 【答案】2厘米。 【解析】 设边框宽厘米，。 整理得，解得或。 边框宽为正数，舍去负根，所以宽为2厘米。 考点串讲 题型11 几何与数量关系应用 方法总结 方法1 用一个未知数表示各量 ① 选择合适的边长或数量 作为未知数，写明单位。 ② 依据周长、相差关系等，表示其余量。 ③ 再由面积或乘积关系列方程，不遗漏重复部分。 方法2 检验几何与数量限制 ① 求出方程的全部根，逐个代回实际关系。 ② 检查正值、整数、范围等要求，说明舍根原因。 ③ 求出题目所问的量，带上单位并核对结果。 题型全解 题型12 增长率、利润与计数 例23　应用题 某校园绿植养护项目第一年有800盆植物，连续两年按相同 百分率增加后共有968盆。求每年的增长率。 【答案】10%。 【解析】 设增长率为，得。 ，解得或。 增长率不为负，舍去负值，所以增长率为10%。 题型全解 题型12 增长率、利润与计数 例24　应用题 某水杯进价12元，原售价20元时每月售300个；每涨价1元， 月销量减少10个。售价不超过30元，月利润3120元时售价多少？ 【答案】24元。 【解析】 设涨价元，，且。 整理得，解得或。 由售价限制取，所以售价为元。 考点串讲 题型12 增长率、利润与计数 方法总结 方法1 逐次表示，明确变化基数 ① 设每次变化的百分率，用小数或分数表示。 ② 先写第一次变化后的量，再表示第二次。 ③ 根据末量列方程，检验增长率或降低率的范围。 方法2 确定乘积，避免重复计数 ① 利润题分别表示 单件利润与销售量，再相乘。 ② 计数题先判断每一对是否被重复计算。 ③ 求根后检查售价范围、人数为正整数等条件。 题型全解 题型13 可化为一元二次方程的分式方程 例25　解分式方程 解方程：。 【答案】，。 【解析】 ，两边同乘，得。 因式分解得，候选根为3和。 经检验，与均使原方程两边相等，均为原方程的根。 题型全解 题型13 可化为一元二次方程的分式方程 例26　解分式方程 解方程：。 【答案】。 【解析】 两边同乘，得。 整理得，候选根为2和。 2使原分母为0，是增根；代入两边均为，是原方程的根。 考点串讲 题型13 可化为一元二次方程的分式方程 方法总结 方法1 先去分母，再解二次方程 ① 先因式分解分母，明确原方程的取值限制。 ② 两边每一项同乘公分母，整式项不能漏乘。 ③ 整理成一元二次方程，用适当方法求出全部根。 方法2 逐个验根，保留合法的根 ① 每个候选根都代回原方程，不能只检验一个。 ② 使原分母为0的值是增根，应明确舍去。 ③ 其余值核对两边是否相等，再写出原方程的根。 题型全解 题型14 分式方程的应用 例27　应用题 骑行20千米，若速度每小时提高5千米，可少用20分钟。 求原来的骑行速度。 【答案】15千米/时。 【解析】 设原速度千米/时，得。 去分母得，解得或。 两根均通过验根，负速度不合题意，故取15千米/时。 题型全解 题型14 分式方程的应用 例28　应用题 原计划装配600套学具，后将总量增加20%，每天多装配10套， 反而提前2天完成。求原计划每天装配多少套。 【答案】30套。 【解析】 设原计划每天套，得。 去分母得，解得或。 验根后取正值30；原计划20天，实际18天，符合题意。 考点串讲 题型14 分式方程的应用 方法总结 方法1 表示前后数量，找准等式 ① 设变化前或变化后的一个量为未知数，注明单位。 ② 用含未知数的式子表示 另一个速度、效率或数量。 ③ 根据题目的时间差等关系，列出分式方程。 方法2 验根后，再检查实际条件 ① 去分母并解一元二次方程，先找全候选根。 ② 代回原分式方程，检查分母与等式是否成立。 ③ 再检查正值、整数、范围等条件，写出完整答案。 针对训练 训练01　填空题 若是关于的一元二次方程， 则应满足________。 【答案】。 【解析】 二次项系数是，必须不为0。 所以；时方程降为一元一次方程。 针对训练 训练02　求参数 已知是方程的一个根，求。 【答案】。 【解析】 将代入，得。 整理得，所以。 针对训练 训练03　解方程 用因式分解法解方程：。 【答案】，。 【解析】 因式分解得。 由或，得两个根。 针对训练 训练04　辨错改正题 小明把两边同除以，得到唯一的根。 指出错误，并写出原方程的全部根。 【答案】漏掉；原方程的根是和。 【解析】 移项并分解得。 当时，，不能直接除以它。 所以应分别求两个因式为0时的根。 针对训练 训练05　解方程 解方程：。 【答案】，。 【解析】 两边同除以2，得。 开平方得，所以或。 针对训练 训练06　解方程 解方程：。 【答案】，。 【解析】 开平方得。 移项后两边同除以2，得到两个根。 针对训练 训练07　配方法解方程 用配方法解方程：。 【答案】，。 【解析】 两边同加36，得。 开平方得，再移项求解。 针对训练 训练08　配方法解方程 用配方法解方程：。 【答案】，。 【解析】 移项并两边同除以2，得。 两边同加4，得。 开平方得，再移项求解。 针对训练 训练09　公式法解方程 用公式法解方程：。 【答案】，。 【解析】 ，，，有。 代入求根公式，得。 针对训练 训练10　判断说理题 有人把的根写成。 判断并改正。 【答案】错误；原方程没有实数根。 【解析】 。 被开方数应为，不能擅自改成32。 针对训练 训练11　选择题 方程的实数根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A。 【解析】 。 判别式为0，方程有两个相等的实数根。 针对训练 训练12　判断题 判断正误：“方程的二次项系数为正， 所以它有两个实数根。” 【答案】错误；该方程没有实数根。 【解析】 。 二次项系数为正不能保证有实数根，应根据判别式判断。 针对训练 训练13　求参数范围 若有两个实数根，求的取值范围。 【答案】。 【解析】 有两个实数根，要求。 解得，其中时两根相等，不能漏掉。 针对训练 训练14　求参数与根 若有两个相等的实数根， 求及对应的根。 【答案】时两根均为1；时两根均为。 【解析】 ，所以或。 重根为，分别代入即可。 针对训练 训练15　填空题 已知的两个实数根为、， 则________，________。 【答案】，。 【解析】 由一般形式读出、、。 根据根与系数的关系，得两根的和为，积为。 针对训练 训练16　求根与系数 方程的一个根是2，求另一根及。 【答案】另一根是，。 【解析】 两根之积为，所以另一根为。 两根之和为0，故，得到。 针对训练 训练17　求值题 设、是的两个根， 求的值。 【答案】。 【解析】 两根的和为5，积为3。 。 针对训练 训练18　综合求参数 关于的方程有两个实数根， 且两根的平方和为6，求。 【答案】。 【解析】 ，整理得。 当时，，不符合有两个实数根。 当时，，所以。 针对训练 训练19　因式分解题 在实数范围内因式分解：。 【答案】。 【解析】 对应方程化为，两根为。 原三项式分解时，前面的二次项系数3不能漏掉。 针对训练 训练20　辨错改正题 小洁写出。 指出错误，并写出正确的因式分解结果。 【答案】漏掉系数2；正确结果为。 【解析】 对应方程的两个根都是2，但原二次项系数为2。 所以原式。 针对训练 训练21　数量关系题 两个相邻正偶数的积为168，求这两个数。 【答案】12和14。 【解析】 设较小数为，则。 整理得，解得或。 取正偶数，另一个数为14。 针对训练 训练22　几何应用题 用62米围栏靠墙围一个长方形，只围三边。墙长32米， 围成的面积为420平方米，求垂直于墙和平行于墙的边长。 【答案】垂直于墙21米，平行于墙20米。 【解析】 设垂直边为米，得，即。 若，平行边为42米，超过墙长，应舍去。 若，平行边为20米，满足墙长与面积要求。 针对训练 训练23　增长率应用题 某款学习用品原价500元，连续两次按相同百分率降价后为405元。 求每次降价的百分率。 【答案】10%。 【解析】 设每次降价百分率为，，且。 ，由，得。 所以，即每次降价10%。 针对训练 训练24　计数应用题 若干支队伍参加单循环比赛，每两队恰好比赛一场，共进行了66场。 求参赛队伍数。 【答案】12支。 【解析】 设有支队伍，得。 整理得，候选值为12和。 队伍数须为正整数，所以有12支队伍。 针对训练 训练25　解分式方程 解方程：。 【答案】，。 【解析】 原方程要求，去分母得。 解得或，两者均使原分母不为0。 经检验，与均使原方程两边相等，均为原方程的根。 针对训练 训练26　解分式方程 解方程：。 【答案】。 【解析】 两边同乘，得。 整理得，候选根为3和。 3是增根；代入原方程，两边均为，所以根为。 针对训练 训练27　应用题 某小组打包720份资料，实际每天比原计划多打包6份，提前4天完成。 求原计划与实际每天各打包多少份。 【答案】原计划每天30份，实际每天36份。 【解析】 设原计划每天份，得。 去分母得，解得或。 验根后舍去负值；原计划24天、实际20天，符合题意。 针对训练 训练28　应用题 用240元买同一种笔记本。每本降价2元后，同样的钱能多买10本。 求降价前可以买多少本，以及降价前每本的价格。 【答案】降价前可以买30本，每本8元。 【解析】 设原来可买本，得。 去分母得，解得或。 验根后取30；原价8元、现价6元，240元可多买10本，符合题意。 单元总结/易错复盘 核心知识 ① 方程的一般形式， 　系数与实数根。 ② 因式分解、开平方， 　配方法与公式法。 ③ 判别式、韦达定理， 　二次三项式分解。 ④ 实际应用问题， 　分式方程转化求解。 易错复盘 ① 二次项系数不能为0， 　各项系数连同符号。 ② 配方要两边同加， 　保留两根，防止漏根。 ③ 利用根与系数关系， 　须有实数根。 ④ 分式方程求解须验根， 　应用题检验实际意义。 思想方法 ① 将二次转化为一次， 　依据结构选解法。 ② 用判别式的符号 　判断实数根的情况。 ③ 用两根的和、积 　进行整体代入。 ④ 找等量关系，列方程。 　求解并检验。 沪教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $