第 25 章 《一元二次方程》【素养培优卷】2026-2027 学年人教版数学九年级上册

第25章 一元二次方程 素养培优卷（人教版九年级上册） 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 【本章核心知识点】 25.1 一元二次方程 ①定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程；②一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项；③判定三条件缺一不可：整式方程、只含一个未知数、最高次数为 2 且二次项系数不为 0；④使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）． 25.2 解一元二次方程 ①基本思路：降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；②四种解法：直接开平方法（形如 (x+m)2=n，n≥0）、配方法（二次项系数化为 1，两边加上一次项系数一半的平方）、公式法（x=，前提 Δ=b2−4ac≥0）、因式分解法（化为两个一次因式的积为 0）；③根的判别式 Δ=b2−4ac：Δ>0 有两个不相等的实数根；Δ=0 有两个相等的实数根；Δ<0 没有实数根；④根与系数的关系：若 x1、x2 是 ax2+bx+c=0 的两根，则 x1+x2=−，x1x2=；⑤方法选择：先考虑直接开平方或因式分解，其次用公式法或配方法． 25.3 实际问题与一元二次方程 ①常见模型：增长率（降低率）问题 a(1±x)2=b；传播、分裂问题 (1+x)2 型或倍增型 k2 型；面积问题（平移法处理道路，注意借助墙、门等实际约束）；销售利润问题（利润=每件利润×销售量，注意涨价降价与销量的变化关系）；单循环计数问题（比赛 场、互赠礼物 n(n−1) 件）；②解题步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验根是否符合实际意义→作答． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个正确选项） 1．若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+a=0 的两个实数根中，一个根大于 1，另一个根小于 1，则 a 的取值范围是（　　） A．a<1　　B．a>1　　C．a<−1　　D．−1<a<1 【答案】A 【解析】 设两个根为 x1、x2． 由根与系数的关系得 x1+x2=2，x1x2=a． ∵一个根大于 1、另一个根小于 1，∴(x1−1)(x2−1)<0． 而 (x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=a−2+1=a−1， ∴a−1<0，即 a<1． 检验：a<1 时 Δ=4−4a>0，方程确有两个不相等的实数根，符合题意． 故选 A． 易错提醒：本题的关键是把「两根分布在 1 的两侧」转化为 (x1−1)(x2−1)<0，直接去解不等式组既麻烦又容易漏掉 Δ>0 的检验． 2．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2a−1)x+a2−a=0 的两个实数根 x1、x2 满足 x1<0<x2，则 a 的取值范围是（　　） A．0<a<1　　B．a>1　　C．a<0　　D．0≤a≤1 【答案】A 【解析】 Δ=(2a−1)2−4(a2−a)=4a2−4a+1−4a2+4a=1>0， ∴无论 a 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 又 x2+(2a−1)x+a2−a=(x+a)(x+a−1)， ∴方程的两个根为 x1=−a，x2=1−a． 由 x1<0<x2 得 −a<0<1−a， ∴a>0 且 a<1，即 0<a<1．故选 A． 易错提醒：把两个根都求出来再比较，比用 x1x2=a2−a<0 更稳妥——后者还需要与 Δ>0 联立，容易多算一步。 3．设 x1、x2 是一元二次方程 2x2−4x−1=0 的两个实数根，则 x12+x22+x1x2 的值为（　　） A．　　B．5　　C．　　D．4 【答案】A 【解析】 先判断根的存在性：Δ=(−4)2−4×2×(−1)=16+8=24>0，方程确有两个实数根． 由根与系数的关系得 x1+x2=−=2，x1x2==−． ∴x12+x22+x1x2=(x1+x2)2−2x1x2+x1x2 =(x1+x2)2−x1x2=22−(−)=4+=． 故选 A． 易错提醒：二次项系数为 2 时，x1+x2=−、x1x2= 中的分母 2 不能丢． 4．阅读材料：若 x1、x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 x1+x2=−，x1x2=． 根据上述材料，以 、 为两个根的一元二次方程是（　　） （其中 x1、x2 是方程 x2−2x−1=0 的两个根） A．y2+2y−1=0　　B．y2−2y−1=0　　C．y2+2y+1=0　　D．y2−2y+1=0 【答案】A 【解析】 ∵x1、x2 是方程 x2−2x−1=0 的两个根， ∴x1+x2=2，x1x2=−1． 所求方程的两个根为 、，设这个方程为 y2+py+q=0，则 −p=+===−2，∴p=2； q=·===−1． ∴所求方程为 y2+2y−1=0，故选 A． 易错提醒：不要先把 x1、x2 解出来（含根号，很繁），用两根之和与两根之积「整体」构造新方程才是通法． 5．某企业 2024 年的产值为 100 万元．2025 年的产值比 2024 年增长 x，2026 年的产值比 2025 年增长 2x．若 2026 年的产值为 132 万元，则 x 的值为（　　） A．5%　　B．10%　　C．15%　　D．20% 【答案】B 【解析】 2025 年的产值为 100(1+x) 万元， 2026 年的产值为 100(1+x)(1+2x) 万元． 由题意得 100(1+x)(1+2x)=132， 整理得 (1+x)(1+2x)=1.32，即 2x2+3x−0.32=0． 这里 a=2，b=3，c=−0.32， Δ=32−4×2×(−0.32)=9+2.56=11.56，=3.4， ∴x=，解得 x1=0.1=10%，x2=−1.6． ∵增长率不能为负数，∴x=−1.6 不合题意，舍去． ∴x=10%，故选 B． 检验：100×(1+10%)×(1+20%)=100×1.1×1.2=132（万元），符合题意． 6．若实数 m、n 满足 m2+n2+4m−6n+13=0，则 m+n 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．5　　D．−5 【答案】A 【解析】 把等式左边配方： m2+4m+4+n2−6n+9=0， 即 (m+2)2+(n−3)2=0． ∵(m+2)2≥0，(n−3)2≥0，两个非负数的和为 0， ∴(m+2)2=0 且 (n−3)2=0， ∴m=−2，n=3，∴m+n=1．故选 A． 易错提醒：凑不出完全平方是本题最大的障碍——常数 13 要拆成 4+9，分别配给含 m 与含 n 的两组． 7．若关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m=0 的两个实数根都是整数，则符合条件的正整数 m 的个数是（　　） A．2 个　　B．3 个　　C．4 个　　D．5 个 【答案】B 【解析】 ∵方程有两个实数根，∴Δ=(−6)2−4×1×m=36−4m≥0，∴m≤9． 又 x==3±， 要使根为整数，只需 9−m 是完全平方数． ∵m 为正整数且 m≤9，∴9−m 是小于 9 的非负整数， 9−m=0，1，4，9（其中 9−m=9 时 m=0，不是正整数，舍去）， ∴m=9，8，5，共 3 个．故选 B． 检验：m=9 时 x1=x2=3；m=8 时 x1=2，x2=4；m=5 时 x1=1，x2=5，均为整数． 8．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(m−1)x+m2−3=0 有两个正实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．<m≤2　　B．m≤2　　C．m>　　D．1<m≤2 【答案】A 【解析】 设两个正根为 x1、x2，则需同时满足三个条件： ① 有两个实数根：Δ=[−2(m−1)]2−4×1×(m2−3)=−8m+16≥0，∴m≤2； ② 两根之和为正：x1+x2=2(m−1)>0，∴m>1； ③ 两根之积为正：x1x2=m2−3>0，∴m> 或 m<−． 三个条件同时成立，取交集得 <m≤2．故选 A． 易错提醒：只想到「两根之积为正」而漏掉「两根之和为正」，会得到 m>，从而错选 C（当 m>2 时 Δ<0，方程根本没有实数根）． 9．已知一个等腰三角形的两条边的长恰好是关于 x 的一元二次方程 x2−11x+m=0 的两个根，且该等腰三角形的周长为 19，则 m 的值为（　　） A．24　　B．　　C．24 或 　　D．30 【答案】C 【解析】 设方程的两个根为 a、b，则 a+b=11． ∵等腰三角形的周长为 19，∴第三边长为 19−11=8． 分两种情况讨论： ① 8 为腰：则另一条腰也为 8，底边为 19−8−8=3， 此时 a、b 就是 8 和 3，a+b=11 成立， ∴m=ab=8×3=24（此时 Δ=121−96=25>0，两根确为 8 和 3）； ② 8 为底：则两条腰相等，均为 =， 此时 a=b=，a+b=11 成立， ∴m=ab=×=（此时 Δ=0，方程有两个相等的实数根）． 两种情况都满足三角形三边关系（3+8>8，+>8）． ∴m=24 或 ，故选 C． 易错提醒：本题必须分类讨论「8 是腰还是底」，只答一种情况是常见失分点． 10．已知关于 x 的一元二次方程 x2−(2m+1)x+m2+m=0（m 为实数）． 甲：该方程总有两个不相等的实数根； 乙：该方程的两个根一定都是整数； 丙：该方程的两个根之差的绝对值恒为 1； 丁：若 m>1，则该方程的两个根都是正数． 以上说法中，正确的是（　　） A．甲、乙、丙　　B．甲、丙、丁　　C．乙、丙、丁　　D．甲、乙、丁 【答案】B 【解析】 Δ=(2m+1)2−4×1×(m2+m)=4m2+4m+1−4m2−4m=1>0， ∴无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根，甲正确． 又 x2−(2m+1)x+m2+m=(x−m)[x−(m+1)]， ∴方程的两个根为 x1=m，x2=m+1． 乙：当 m= 时，两个根为 与 ，都不是整数，∴乙错误； 丙：|x2−x1|=|(m+1)−m|=1 恒成立，∴丙正确； 丁：当 m>1 时，m>0 且 m+1>0，两个根都是正数，∴丁正确． ∴正确的是甲、丙、丁，故选 B． 易错提醒：判断「两根都是整数」时要想到 m 可以是分数，用 m= 一举就能举出反例． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 a 是一元二次方程 x2+3x−2=0 的一个根，则 a3+4a2+a 的值为＿＿＿＿． 【答案】2 【解析】 ∵a 是方程 x2+3x−2=0 的根，∴a2+3a−2=0， ∴a2=2−3a（降次）． ∴a3=a·a2=a(2−3a)=2a−3a2=2a−3(2−3a)=2a−6+9a=11a−6． ∴a3+4a2+a=(11a−6)+4(2−3a)+a =11a−6+8−12a+a=2． 即 a3+4a2+a 的值恒为 2，与 a 取哪一个根无关． 易错提醒：不要试图解出 a 的具体值（含根号，代入后极繁）；「先降次、再整体代入」是这类高次求值题的通法． 12．若关于 x 的方程 mx2+2x−1=0 有实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 【答案】m≥−1 【解析】 本题需分两种情况讨论（题目说的是「方程」，没有说「一元二次方程」）： ① 当 m=0 时，方程化为 2x−1=0，有实数根 x=，符合题意； ② 当 m≠0 时，方程为一元二次方程， 由 Δ=22−4×m×(−1)=4+4m≥0，得 m≥−1． 两种情况合并，得 m≥−1． 易错提醒：若直接默认它是一元二次方程（丢掉 m=0 的情况），会误写成「m≥−1 且 m≠0」而漏掉 m=0． 13．已知关于 x 的方程 (m2−1)x2+(m+1)x−2=0．若该方程是一元二次方程，则 m 的取值范围是＿＿＿＿；若该方程是一元一次方程，则 m 的值为＿＿＿＿． 【答案】m≠±1；m=1 【解析】 ① 若该方程是一元二次方程，则二次项系数不为 0， 即 m2−1≠0，∴m≠1 且 m≠−1； ② 若该方程是一元一次方程，则二次项系数为 0 且一次项系数不为 0， 即 m2−1=0 且 m+1≠0， 由 m2−1=0 得 m=1 或 m=−1，再由 m+1≠0 得 m≠−1， ∴m=1． 检验：m=1 时原方程为 2x−2=0，确为一元一次方程． 易错提醒：判断「是一元一次方程」时，只让二次项系数为 0 是不够的，还必须保证一次项系数不为 0，否则方程会退化成 −2=0 这种恒不成立的式子． 14．某实验室培养一种细菌，每个细菌每经过 1 轮繁殖就变成 k 个细菌．开始时培养皿中有 3 个细菌，经过 2 轮繁殖后共有 75 个细菌，则 k 的值为＿＿＿＿． 【答案】5 【解析】 经过 1 轮繁殖后，细菌数为 3k； 经过 2 轮繁殖后，细菌数为 3k·k=3k2． 由题意得 3k2=75，∴k2=25，∴k=5 或 k=−5． ∵k 是每轮繁殖的倍数，必须为正数，∴k=−5 不合题意，舍去． ∴k=5． 检验：3×5=15（个），15×5=75（个），符合题意． 易错提醒：本题是「每轮每个都变成 k 个」的倍增模型，两轮后是 3k2 而不是 3(1+k)2，读题时要区分「变成 k 个」与「增加 k 个」． 15．已知关于 x 的方程 (x2−2x)2−2(x2−2x)−3=0，则 x2−2x 的值为＿＿＿＿． 【答案】3 或 −1 【解析】 观察方程的结构，把 x2−2x 看成一个整体，设 t=x2−2x， 则原方程化为 t2−2t−3=0， 因式分解得 (t−3)(t+1)=0，∴t=3 或 t=−1． 回代检验 t 的取值能否使关于 x 的方程真的有实数根： ∵t=x2−2x=(x−1)2−1≥−1， ∴t=3 时方程为 x2−2x−3=0，Δ=4+12=16>0，有实数根； t=−1 时方程为 x2−2x+1=0，即 (x−1)2=0，有实数根 x1=x2=1． ∴x2−2x 的值为 3 或 −1． 易错提醒：换元求出 t 之后必须回代检验「关于 x 的方程是否真的存在实数根」；本题 t=−1 恰好落在 t≥−1 的边界上，是成立的，不能想当然地舍去． 16．若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个实数根 x1、x2，则代数式 x12+x22 的最小值是＿＿＿＿． 【答案】2 【解析】 ∵方程有两个实数根，∴Δ=(−2)2−4×1×m=4−4m≥0，∴m≤1． 由根与系数的关系得 x1+x2=2，x1x2=m． ∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=22−2m=4−2m． ∵m≤1，∴−2m≥−2，∴4−2m≥4−2=2， 即 x12+x22≥2，当 m=1（此时方程 x2−2x+1=0 有两个相等的实数根 x1=x2=1）时取等号． ∴x12+x22 的最小值是 2． 易错提醒：一定要先由 Δ≥0 求出 m≤1 的范围，再在「约束条件」下取最小值；如果把 m 当成任意实数，会得出最小值 −∞ 的错误结论． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−4x+k=0． (1) 当 k 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出此时方程的根； (2) 当 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，且两根之积比两根之和小 6？ 【答案】(1) k=4，此时方程的根为 x1=x2=2；(2) k=−2． 【解析】 (1) ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=(−4)2−4×1×k=16−4k=0，∴k=4． 当 k=4 时，方程为 x2−4x+4=0，即 (x−2)2=0， ∴x1=x2=2． (2) 设方程的两个根为 x1、x2，由根与系数的关系得 x1+x2=4，x1x2=k． 由题意得 x1x2=(x1+x2)−6，即 k=4−6=−2． 检验：k=−2 时 Δ=16−4×(−2)=24>0，方程确有两个不相等的实数根，符合题意． ∴k=−2． 18．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(m−1)x+m2−2m=0． (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程的两个根都是整数，且 m 为整数，当 m 取何值时，方程两根之积最小？最小值为多少？ 【答案】(1) 证明见解析；(2) 当 m=1 时，方程两根之积最小，最小值为 −1． 【解析】 (1) 证明： Δ=[−2(m−1)]2−4×1×(m2−2m) =4(m2−2m+1)−4(m2−2m) =4m2−8m+4−4m2+8m=4． ∵Δ=4>0 与 m 的取值无关， ∴无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2) 把方程左边分解因式： ∵m(m−2)=m2−2m，且 m+(m−2)=2(m−1)， ∴x2−2(m−1)x+m2−2m=(x−m)[x−(m−2)]=0， ∴方程的两个根为 x1=m，x2=m−2． ∵m 为整数，∴两个根都是整数，符合题意． ∴两根之积 x1x2=m(m−2)=m2−2m=(m−1)2−1． ∵(m−1)2≥0，∴(m−1)2−1≥−1，当 m=1 时取等号． ∴当 m=1 时，方程两根之积最小，最小值为 −1（此时两个根为 1 和 −1）． 19．（6 分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时每月可售出 100 件．为增加利润，商店决定涨价销售．经市场调查发现：售价每上涨 2 元，月销量就减少 4 件．要使每月销售这种商品的利润达到 2400 元，售价应定为每件多少元？ 【答案】售价应定为每件 70 元或 80 元． 【解析】 设售价每件上涨 2x 元（x>0），则 每件利润为 60+2x−40=(20+2x) 元， 月销量为 (100−4x) 件． ∴每月销售利润为 (20+2x)(100−4x) 元． 由题意得 (20+2x)(100−4x)=2400， 整理得 2000−80x+200x−8x2=2400， 即 −8x2+120x−400=0，∴x2−15x+50=0， 因式分解得 (x−5)(x−10)=0，∴x1=5，x2=10． 当 x=5 时，涨价 2×5=10（元），售价为 60+10=70（元）， 月销量为 100−4×5=80（件），利润为 (20+10)×80=2400（元）； 当 x=10 时，涨价 2×10=20（元），售价为 60+20=80（元）， 月销量为 100−4×10=60（件），利润为 (20+20)×60=2400（元）． 两种定价都使每月利润由涨价前的 (60−40)×100=2000（元）增加到 2400 元，均符合题意． 答：售价应定为每件 70 元或 80 元． 20．（6 分）如图，某农户要用总长为 40 m 的篱笆围成一个矩形羊圈 ABCD，羊圈的一边 AD 利用一堵长为 15 m 的旧墙（该边不占用篱笆），其余三边用篱笆围成．设羊圈中垂直于墙的一边 AB 的长为 x m． (1) 用含 x 的代数式表示羊圈另一边 BC 的长，并写出 x 的取值范围； (2) 若羊圈的面积为 150 m2，求垂直于墙的一边 AB 的长． 【答案】(1) BC=(40−2x) m，x 的取值范围是 12.5≤x<20；(2) 垂直于墙的一边 AB 的长为 15 m． 【解析】 (1) ∵垂直于墙的两条边 AB、CD 都用篱笆，且 AB=CD=x m， ∴与墙平行的边 BC=(40−2x) m． ∵BC 边借助旧墙，而旧墙的长只有 15 m， ∴BC≤15，即 40−2x≤15，解得 x≥12.5； 又 BC>0，即 40−2x>0，解得 x<20． ∴x 的取值范围是 12.5≤x<20． (2) 由题意得 x(40−2x)=150， 整理得 40x−2x2=150，即 2x2−40x+150=0， 两边同除以 2 得 x2−20x+75=0， 因式分解得 (x−5)(x−15)=0，∴x1=5，x2=15． ∵12.5≤x<20，∴x=5 不合题意，舍去，∴x=15． 检验：x=15 时 BC=40−2×15=10（m），10≤15 墙够用， 羊圈面积为 15×10=150（m2），符合题意． 答：垂直于墙的一边 AB 的长为 15 m． 易错提醒：本题的 x=5 是「数学上成立、实际中不成立」的根——此时 BC=30 m 超过了旧墙的长 15 m，必须舍去． 21．（6 分）某公司 2023 年的年销售额为 2000 万元，2025 年的年销售额为 2880 万元，且 2023 年至 2025 年的年销售额的年平均增长率保持不变．该公司这三年的年销售额记录如下表，其中 2024 年的数据被墨水污染看不清了： (1) 求 2023 年至 2025 年该公司年销售额的年平均增长率； (2) 该公司计划 2027 年的年销售额突破 4000 万元，若继续保持这个增长率，这个计划能否实现？请通过计算说明理由． 年份 2023 2024 2025 年销售额（万元） 2000 （被墨水污染） 2880 【答案】(1) 年平均增长率为 20%；(2) 能够实现，2027 年的年销售额约为 4147.2 万元，超过了 4000 万元． 【解析】 (1) 设年平均增长率为 x． 2024 年的年销售额为 2000(1+x) 万元，2025 年的年销售额为 2000(1+x)2 万元， 由题意得 2000(1+x)2=2880， ∴(1+x)2=1.44，开方得 1+x=±1.2， ∴x1=0.2=20%，x2=−2.2． ∵年销售额的增长率不能为负数，∴x=−2.2 不合题意，舍去． ∴年平均增长率为 20%． （顺便可以补全表格中被污染的数据：2024 年的年销售额为 2000×1.2=2400 万元．） (2) 能够实现．理由如下： 2026 年的年销售额为 2880×(1+20%)=2880×1.2=3456（万元）； 2027 年的年销售额为 3456×1.2=4147.2（万元）． ∵4147.2>4000， ∴该公司原计划能够在 2027 年实现（2026 年尚未突破，2027 年首次突破）． 答：年平均增长率为 20%；按此增长率发展，该公司 2027 年的年销售额为 4147.2 万元，能实现突破 4000 万元的计划． 22．（7 分）阅读理解：若 x1、x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 x1+x2=−，x1x2=． 定义：若一个一元二次方程的两个根 x1、x2 满足 x1x2−x1−x2=1，则称这个方程为「友好方程」． (1) 判断一元二次方程 x2−3x−2=0 是否为「友好方程」，并说明理由； (2) 若关于 x 的一元二次方程 x2−(3m+1)x+(m2+2m)=0 是「友好方程」，求 m 的值； (3) 若关于 x 的一元二次方程 x2−px+q=0 是「友好方程」，且它的两个根都是正整数，求这两个根． 【答案】(1) 不是「友好方程」，理由见解析；(2) m=2 或 m=−1；(3) 这两个根分别是 2 和 3． 【解析】 (1) 对于方程 x2−3x−2=0，由根与系数的关系得 x1+x2=3，x1x2=−2． ∴x1x2−x1−x2=−2−3=−5≠1， ∴该方程不是「友好方程」． (2) 由根与系数的关系得 x1+x2=3m+1，x1x2=m2+2m． ∵该方程是「友好方程」，∴x1x2−x1−x2=1， 即 (m2+2m)−(3m+1)=1， ∴m2−m−2=0，因式分解得 (m−2)(m+1)=0， ∴m=2 或 m=−1． 检验：Δ=(3m+1)2−4(m2+2m)=5m2−2m+1， ∵该式的判别式 (−2)2−4×5×1=−16<0，且首项系数 5>0， ∴5m2−2m+1>0 恒成立，方程总有两个不相等的实数根， ∴m=2 与 m=−1 均符合题意． (3) ∵该方程是「友好方程」，∴x1x2−x1−x2=1， ∴(x1−1)(x2−1)=x1x2−x1−x2+1=2． ∵x1、x2 都是正整数，∴x1−1、x2−1 都是非负整数， ∴只能是 x1−1=1 且 x2−1=2，或 x1−1=2 且 x2−1=1， ∴这两个根分别是 2 和 3． 检验：2×3−2−3=1，确为「友好方程」的条件，符合题意． 23．（7 分）如图，在 △ABC 中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm．点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动．当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为 t（s）． (1) 求 t 的取值范围，并用含 t 的代数式表示线段 PB、BQ 的长； (2) 当 t 为何值时，线段 PQ 的长为 4 cm？ 【答案】(1) 0≤t≤4，PB=(6−t) cm，BQ=2t cm；(2) t=2 或 t=． 【解析】 (1) 点 P 从 A 运动到 B 需要 6÷1=6（s），点 Q 从 B 运动到 C 需要 8÷2=4（s）． ∵当其中一点到达终点时两点同时停止运动，∴0≤t≤4． ∴AP=t，PB=AB−AP=(6−t) cm；BQ=2t cm． (2) ∵∠B=90°，∴在 Rt△PBQ 中，由勾股定理得 PQ2=PB2+BQ2=(6−t)2+(2t)2 =36−12t+t2+4t2=5t2−12t+36． 由 PQ=4 得 PQ2=(4)2=32， ∴5t2−12t+36=32，即 5t2−12t+4=0． 这里 a=5，b=−12，c=4，Δ=(−12)2−4×5×4=144−80=64>0， ∴t==， ∴t1==2，t2==． ∵0≤t≤4，∴t=2 与 t= 都符合题意． 检验：t=2 时 PB=4，BQ=4，PQ2=42+42=32； t= 时 PB=，BQ=，PQ2=()2+()2===32．均符合题意． ∴当 t=2 或 t= 时，线段 PQ 的长为 4 cm． 24．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(m+1)x+m2+2m=0． (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两个根为 x1、x2（x1<x2），用含 m 的代数式表示 x1、x2； (3) 若 x1、x2 恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，且该直角三角形的斜边长为 ，求 m 的值． 【答案】(1) 证明见解析；(2) x1=m，x2=m+2；(3) m=1． 【解析】 (1) 证明： Δ=[−2(m+1)]2−4×1×(m2+2m) =4(m+1)2−4(m2+2m) =4m2+8m+4−4m2−8m=4． ∵Δ=4>0 与 m 的取值无关， ∴无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2) 把方程左边分解因式： ∵m(m+2)=m2+2m，且 m+(m+2)=2(m+1)， ∴x2−2(m+1)x+m2+2m=(x−m)[x−(m+2)]=0， ∴方程的两个根为 x=m 与 x=m+2． ∵x1<x2，∴x1=m，x2=m+2． (3) 由 (2) 知两条直角边的长分别为 m 和 m+2． ∵两条直角边的长都必须为正数，∴m>0． 由勾股定理得 m2+(m+2)2=()2， ∴m2+m2+4m+4=10，即 2m2+4m−6=0， 两边同除以 2 得 m2+2m−3=0， 因式分解得 (m+3)(m−1)=0，∴m=−3 或 m=1． ∵m>0，∴m=−3 不合题意，舍去，∴m=1． 检验：m=1 时两条直角边长分别为 1 和 3， 斜边长为 =，符合题意． ∴m=1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 25 章 《一元二次方程》【素养培优卷】2026-2027 学年人教版九年级上册数学 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 25.1 一元二次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的方程。 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项系数、一次项系数与常数项。 3. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 ① 判断方程是否为一元二次方程（注意化简及 a≠0 条件）。 ② 将方程化为一般形式并写出各项系数。 ③ 代入已知根求字母参数的值。 25.2 降次——解一元二次方程 1. 直接开平方法：解形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。 2. 配方法：移项→二次项系数化为1→配方→开方求解。 3. 公式法：（b²-4ac≥0）。 4. 因式分解法：提公因式、公式法或十字相乘，令各因式为0。 5. 根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根。 6. 韦达定理：两根 x₁、x₂ 满足 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 ① 针对方程特点选择最优解法（优先因式分解法）。 ② 规范书写配方法的推导与解题过程。 ③ 利用 Δ 判断根的情况或求参数取值范围。 ④ 韦达定理求代数式的值或构造新方程。 25.3 实际问题与一元二次方程 1. 基本思路：审、设、列、解、验、答（特别注意检验解是否符合实际意义）。 2. 常见模型： · 增长率模型：a(1±x)ⁿ=b · 面积模型：利用面积公式表示几何图形 · 传播/循环赛模型：单循环赛场数=n(n-1)/2 · 利润模型：总利润=单件利润×销售量 ① 增长率/降低率应用题（连续两次增减等）。 ② 几何图形面积计算（矩形围栏、道路宽度）。 ③ 握手问题、互赠礼物、比赛场次问题。 ④ 商品销售定价与利润最大化问题。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个正确选项） 1．若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+a=0 的两个实数根中，一个根大于 1，另一个根小于 1，则 a 的取值范围是（　　） A．a<1　　B．a>1　　C．a<−1　　D．−1<a<1 2．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2a−1)x+a2−a=0 的两个实数根 x1、x2 满足 x1<0<x2，则 a 的取值范围是（　　） A．0<a<1　　B．a>1　　C．a<0　　D．0≤a≤1 3．设 x1、x2 是一元二次方程 2x2−4x−1=0 的两个实数根，则 x12+x22+x1x2 的值为（　　） A．　　B．5　　C．　　D．4 4．阅读材料：若 x1、x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 x1+x2=−，x1x2=． 根据上述材料，以 、 为两个根的一元二次方程是（　　） （其中 x1、x2 是方程 x2−2x−1=0 的两个根） A． y2+2y−1=0　　B．y2−2y−1=0　　C．y2+2y+1=0　　D．y2−2y+1=0 5．某企业 2024 年的产值为 100 万元．2025 年的产值比 2024 年增长 x，2026 年的产值比 2025 年增长 2x．若 2026 年的产值为 132 万元，则 x 的值为（　　） A．5%　　B．10%　　C．15%　　D．20% 6．若实数 m、n 满足 m2+n2+4m−6n+13=0，则 m+n 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．5　　D．−5 7．若关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m=0 的两个实数根都是整数，则符合条件的正整数 m 的个数是（　　） A．2 个　　B．3 个　　C．4 个　　D．5 个 8．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(m−1)x+m2−3=0 有两个正实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．<m≤2　　B．m≤2　　C．m>　　D．1<m≤2 9．已知一个等腰三角形的两条边的长恰好是关于 x 的一元二次方程 x2−11x+m=0 的两个根，且该等腰三角形的周长为 19，则 m 的值为（　　） A．24　　B．　　C．24 或 　　D．30 10．已知关于 x 的一元二次方程 x2−(2m+1)x+m2+m=0（m 为实数）． 甲：该方程总有两个不相等的实数根； 乙：该方程的两个根一定都是整数； 丙：该方程的两个根之差的绝对值恒为 1； 丁：若 m>1，则该方程的两个根都是正数． 以上说法中，正确的是（　　） A．甲、乙、丙　　B．甲、丙、丁　　C．乙、丙、丁　　D．甲、乙、丁 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 a 是一元二次方程 x2+3x−2=0 的一个根，则 a3+4a2+a 的值为＿＿＿＿． 12．若关于 x 的方程 mx2+2x−1=0 有实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 13．已知关于 x 的方程 (m2−1)x2+(m+1)x−2=0．若该方程是一元二次方程，则 m 的取值范围是＿＿＿＿；若该方程是一元一次方程，则 m 的值为＿＿＿＿． 14．某实验室培养一种细菌，每个细菌每经过 1 轮繁殖就变成 k 个细菌．开始时培养皿中有 3 个细菌，经过 2 轮繁殖后共有 75 个细菌，则 k 的值为＿＿＿＿． 15．已知关于 x 的方程 (x2−2x)2−2(x2−2x)−3=0，则 x2−2x 的值为＿＿＿＿． 16．若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个实数根 x1、x2，则代数式 x12+x22 的最小值是＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−4x+k=0． (1) 当 k 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出此时方程的根； (2) 当 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，且两根之积比两根之和小 6？ 18．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2−2m=0． (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程的两个根都是整数，且 m 为整数，当 m 取何值时，方程两根之积最小？最小值为多少？ 19． （6 分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时每月可售出 100 件．为增加利润，商店决定涨价销售．经市场调查发现：售价每上涨 2 元，月销量就减少 4 件．要使每月销售这种商品的利润达到 2400 元，售价应定为每件多少元？ 20．（6 分）如图，某农户要用总长为 40 m 的篱笆围成一个矩形羊圈 ABCD，羊圈的一边 AD 利用一堵长为 15 m 的旧墙（该边不占用篱笆），其余三边用篱笆围成．设羊圈中垂直于墙的一边 AB 的长为 x m． (1) 用含 x 的代数式表示羊圈另一边 BC 的长，并写出 x 的取值范围； (2) 若羊圈的面积为 150 m2，求垂直于墙的一边 AB 的长． 21．（6 分）某公司 2023 年的年销售额为 2000 万元，2025 年的年销售额为 2880 万元，且 2023 年至 2025 年的年销售额的年平均增长率保持不变．该公司这三年的年销售额记录如下表，其中 2024 年的数据被墨水污染看不清了： (1) 求 2023 年至 2025 年该公司年销售额的年平均增长率； (2) 该公司计划 2027 年的年销售额突破 4000 万元，若继续保持这个增长率，这个计划能否实现？请通过计算说明理由． 年份 2023 2024 2025 年销售额（万元） 2000 （被墨水污染） 2880 22．（7 分）阅读理解：若 x1、x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 x1+x2=−，x1x2=． 定义：若一个一元二次方程的两个根 x1、x2 满足 x1x2−x1−x2=1，则称这个方程为「友好方程」． (1) 判断一元二次方程 x2−3x−2=0 是否为「友好方程」，并说明理由； (2) 若关于 x 的一元二次方程 x2−(3m+1)x+(m2+2m)=0 是「友好方程」，求 m 的值； (3) 若关于 x 的一元二次方程 x2−px+q=0 是「友好方程」，且它的两个根都是正整数，求这两个根． 23．（7 分）如图，在 △ABC 中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm．点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动．当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为 t（s）． (1) 求 t 的取值范围，并用含 t 的代数式表示线段 PB、BQ 的长； (2) 当 t 为何值时，线段 PQ 的长为 4 cm？ 24．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2(m+1)x+m2+2m=0． (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两个根为 x1、x2（x1<x2），用含 m 的代数式表示 x1、x2； (3) 若 x1、x2 恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，且该直角三角形的斜边长为 ，求 m 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $