第 25 章 一元二次方程 【基础过关卷】2026-2027学年人教版九年级数学上册

第 25 章 《一元二次方程》【基础过关卷】2026-2027 学年人教版九年级上册数学 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 知识点与典型题型导引（人教版九年级上册） 章节 核心知识点梳理 典型题型总结 25.1 一元二次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的方程。 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项系数、一次项系数与常数项。 3. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 ① 判断方程是否为一元二次方程（注意化简及 a≠0 条件）。 ② 将方程化为一般形式并写出各项系数。 ③ 代入已知根求字母参数的值。 25.2 降次——解一元二次方程 1. 直接开平方法：解形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。 2. 配方法：移项→二次项系数化为1→配方→开方求解。 3. 公式法：（b²-4ac≥0）。 4. 因式分解法：提公因式、公式法或十字相乘，令各因式为0。 5. 根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根。 6. 韦达定理：两根 x₁、x₂ 满足 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 ① 针对方程特点选择最优解法（优先因式分解法）。 ② 规范书写配方法的推导与解题过程。 ③ 利用 Δ 判断根的情况或求参数取值范围。 ④ 韦达定理求代数式的值或构造新方程。 25.3 实际问题与一元二次方程 1. 基本思路：审、设、列、解、验、答（特别注意检验解是否符合实际意义）。 2. 常见模型： · 增长率模型：a(1±x)ⁿ=b · 面积模型：利用面积公式表示几何图形 · 传播/循环赛模型：单循环赛场数=n(n-1)/2 · 利润模型：总利润=单件利润×销售量 ① 增长率/降低率应用题（连续两次增减等）。 ② 几何图形面积计算（矩形围栏、道路宽度）。 ③ 握手问题、互赠礼物、比赛场次问题。 ④ 商品销售定价与利润最大化问题。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c=0（a、b、c 为实数）　　B．x2+−3=0　　C．3x2−2x−1=0　　D．x2+y−1=0 【答案】C 【解析】 一元二次方程须同时满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是 2，且二次项系数不为 0． A．当 a=0 时，ax2+bx+c=0 中二次项消失，不是一元二次方程，故 A 错误； B．方程分母中含未知数 x，是分式方程，故 B 错误； C．符合一元二次方程的三个条件，故 C 正确； D．方程含有两个未知数 x、y，不是一元二次方程，故 D 错误． 2．已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+m=0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．3　　D．−3 【答案】A 【解析】 把 x=2 代入 x2−3x+m=0，得 22−3×2+m=0，即 4−6+m=0， 解得 m=2． 3．用直接开平方法解方程 (x−2)2=4，则方程的根为（　　） A．x1=4，x2=0　　B．x=4　　C．x=0　　D．x1=4，x2=−4 【答案】A 【解析】 由 (x−2)2=4，得 x−2=±2，即 x−2=2 或 x−2=−2， 解得 x1=4，x2=0，故选 A． 易错提醒：D 选项误将 (x−2)2=4 当作 x2=4 求解；B、C 选项都漏了一个根． 4．若关于 x 的一元二次方程 (m−1)x2−2x+1=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为（　　） A．2　　B．1　　C．−2　　D．0 【答案】A 【解析】 由两个相等的实数根，得 Δ=(−2)2−4(m−1)×1=0， 即 4−4m+4=0，8−4m=0，解得 m=2． 当 m=2 时，二次项系数 m−1=1≠0，符合题意，故选 A． 5．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k>−1　　B．k>−1 且 k≠0　　C．k<−1　　D．k≥−1 且 k≠0 【答案】B 【解析】 ∵方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根， ∴Δ=22−4×k×(−1)>0，即 4+4k>0，解得 k>−1； 又∵方程是一元二次方程，∴二次项系数 k≠0． ∴k 的取值范围是 k>−1 且 k≠0，故选 B． 易错提醒：选项 A 漏掉了 k≠0 这一隐含条件；选项 D 误用 Δ≥0． 6．解方程 x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是（　　） A．两边同时除以 (x−1)，得 x=3　　B．整理得 x2−4x=−3，∵a=1，b=−4，c=−3，Δ=b2−4ac=28，∴x=2±　　C．整理得 x2−4x=−3，配方得 (x−2)2=−1，此方程无实数根　　D．移项得 x(x−1)−3(x−1)=0，则 (x−1)(x−3)=0，∴x1=1，x2=3 【答案】D 【解析】 原方程移项得 x(x−1)−3(x−1)=0，因式分解得 (x−1)(x−3)=0，∴x1=1，x2=3． A．当 x−1=0（即 x=1）时，不能两边同时除以 (x−1)，此解法丢了根 x=1，错误； B．整理应为 x2−4x+3=0，常数项 c=3 而不是 −3，正确解法为 Δ=(−4)2−4×1×3=4，x1=1，x2=3，错误； C．配方时应在 x2−4x=−3 两边同时加上 22=4，得 (x−2)2=1，错误； D．解法完全正确，故选 D． 7．用配方法解方程 x2+6x+4=0，配方后的正确结果是（　　） A．(x+3)2=5　　B．(x+3)2=4　　C．(x−3)2=5　　D．(x+6)2=4 【答案】A 【解析】 移项得 x2+6x=−4， 两边同时加上一次项系数一半的平方 32=9，得 x2+6x+9=−4+9， 即 (x+3)2=5，故选 A． 易错提醒：选项 B 误把 9 加到方程左边却忘记右边同步加 9；选项 C 符号错误． 8．已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根的个数是（　　） x 0 1 2 3 4 y 7 −5 −9 −5 7 A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．3 个 【答案】C 【解析】 当 x=0 时 y=7>0，x=1 时 y=−5<0，y 值由正变负，说明图象在 0<x<1 内穿过 x 轴一次； 当 x=3 时 y=−5<0，x=4 时 y=7>0，y 值由负变正，说明图象在 3<x<4 内又穿过 x 轴一次； 二次函数图象与 x 轴最多有两个交点， ∴方程 ax2+bx+c=0 有且只有 2 个实数根，故选 C． 9．定义一种新运算「☆」：a☆b=a2+b，例如 2☆3=22+3=7．若 x☆3=12，则 x 的值为（　　） A．±3　　B．3　　C．−3　　D．±6 【答案】A 【解析】 根据新运算的定义（a☆b 中 a 是第一个运算数，b 是第二个运算数），x☆3=x2+3， 由 x☆3=12，得 x2+3=12，∴x2=9，∴x=±3，故选 A． 易错提醒：若误把 3 作为第一个运算数，得 3☆x=9+x=12，x=3，漏掉负根，对应选项 B 的错误． 10．我国南宋时期数学家杨辉于 1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了 (a+b)n 展开式的系数规律： 　　　1　　　　　=1 　　1　1　　　　=a+b 　　1　2　1　　=a2+2ab+b2 　　1　3　3　1=a3+3a2b+3ab2+b3 当代数式 x4−12x3+54x2−108x+81 的值为 1 时，则 x 的值为（　　） A．2　　B．−4　　C．2 或 4　　D．2 或 −4 【答案】C 【解析】 由杨辉三角的系数规律可得：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 令 a=x，b=−3，则 (x−3)4=x4+4x3×(−3)+6x2×(−3)2+4x×(−3)3+(−3)4 =x4−12x3+54x2−108x+81． 由题意得 (x−3)4=1，∴x−3=±1，∴x=2 或 x=4，故选 C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．将方程 (2x−1)(x+2)=5 化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）是＿＿＿＿． 【答案】2x2+3x−7=0 【解析】 去括号：2x2+4x−x−2=5， 移项合并同类项，得 2x2+3x−7=0． 12．已知 (x2+y2+1)(x2+y2−3)=5，则 x2+y2 的值为＿＿＿＿． 【答案】4 【解析】 设 t=x2+y2，则 t≥0，原方程化为 (t+1)(t−3)=5， 整理得 t2−2t−8=0，因式分解得 (t−4)(t+2)=0，解得 t1=4，t2=−2． ∵t=x2+y2≥0，∴t=−2 舍去，∴x2+y2=4． 易错提醒：忽略 t≥0 这一条件而误填 4 或 −2． 13．若 m 是一元二次方程 x2−5x−2=0 的一个实数根，则代数式 m2−5m+2022 的值为＿＿＿＿． 【答案】2024 【解析】 ∵m 是 x2−5x−2=0 的实数根，∴m2−5m−2=0，即 m2−5m=2（降次）， ∴m2−5m+2022=2+2022=2024（整体代入）． 14．某学习小组的成员互赠新年贺卡，每两人都互赠一张，共用去 90 张贺卡，则该学习小组共有＿＿人． 【答案】10 【解析】 设该小组共有 n 人，每人要给其余 (n−1) 人各赠一张贺卡， 则共赠 n(n−1) 张，由题意得 n(n−1)=90， 即 n2−n−90=0，因式分解得 (n−10)(n+9)=0， 解得 n1=10，n2=−9（不合题意，舍去）．∴该小组共有 10 人． 15．定义：若一个一元二次方程的一个根是另一个根的 2 倍，则称这个方程为「倍根方程」．若关于 x 的一元二次方程 x2−6x+c=0 是倍根方程，则 c 的值为＿＿＿＿． 【答案】8 【解析】 设方程较小的根为 a，则另一个根为 2a． 由两根之和等于 6，得 a+2a=6，∴a=2，两根分别为 2 和 4； 由两根之积等于 c，得 c=2×4=8． 检验：x2−6x+8=(x−2)(x−4)=0，两根 2、4 恰满足一个根是另一个根的 2 倍，符合题意． 16．若关于 x 的一元二次方程 x2−(k+4)x+k+3=0 恰有一个根小于 0，则 k 的取值范围是＿＿＿＿． 【答案】k<−3 【解析】 把 x=1 代入方程左边：1−(k+4)+k+3=0 恒成立，∴x=1 恒是方程的一个根，且 1>0； 将左边因式分解：(x−1)(x−(k+3))=x2−(k+4)x+k+3， ∴方程的另一根为 k+3． 要使方程恰有一个根小于 0，而根 1>0，∴k+3<0，即 k<−3． 此时 Δ=(k+2)2>0 恒成立，方程确有两个不相等的实数根，符合题意． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6 分）解方程：(1) x2−3x−1=0；(2) 2x2−5x+2=0． 【答案】(1) x1=，x2=；(2) x1=，x2=2． 【解析】 (1) 这里 a=1，b=−3，c=−1， Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−1)=9+4=13>0， ∴x=，即 x1=，x2=． (2) 因式分解得 (2x−1)(x−2)=0， ∴2x−1=0 或 x−2=0，∴x1=，x2=2． 18．（6 分）求证：无论 m 取何值，一元二次方程 x2+mx−(m+2)=0 总有两个不相等的实数根． 【答案】证明见解析． 【解析】 Δ=m2−4×1×[−(m+2)]=m2+4m+8 =m2+4m+4+4 =(m+2)2+4． ∵(m+2)2≥0，∴Δ=(m+2)2+4≥4>0． ∴无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．（6 分）先阅读：∵x2≥0，∴x2+1 有最小值 1，此时 x=0．仿照上述方法解决下列问题： (1) 当 x 取何值时，代数式 x2−6x+5 有最小值？最小值是多少？ (2) 当 x 取何值时，代数式 −2x2+8x+1 有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) 当 x=3 时，有最小值 −4；(2) 当 x=2 时，有最大值 9． 【解析】 (1) x2−6x+5=x2−6x+9−9+5=(x−3)2−4． ∵(x−3)2≥0，∴当 x=3 时，x2−6x+5 取得最小值 −4． (2) −2x2+8x+1=−2(x2−4x)+1=−2(x2−4x+4)+8+1=−2(x−2)2+9． ∵−2(x−2)2≤0，∴当 x=2 时，−2x2+8x+1 取得最大值 9． 20．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+3m−2=0 有实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 若该方程的一个根为 4，求 m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1) m≤1；(2) m=−2，方程的另一个根为 x=−2． 【解析】 (1) ∵方程 x2−2x+3m−2=0 有实数根， ∴Δ=(−2)2−4×1×(3m−2)≥0，即 4−12m+8≥0，12−12m≥0， ∴m≤1，即 m 的取值范围是 m≤1． (2) 把 x=4 代入方程，得 42−2×4+3m−2=0，即 6+3m=0，解得 m=−2． 当 m=−2 时，原方程为 x2−2x−8=0，因式分解得 (x−4)(x+2)=0， ∴x1=4，x2=−2，即方程的另一个根为 −2． 21．（6 分）某市 2023 年投入老旧小区改造资金 1000 万元，2025 年投入资金增加到 1440 万元，假设这两年投入资金的年平均增长率相同． (1) 求这两年投入资金的年平均增长率； (2) 若按此增长率保持不变，预计 2026 年该市将投入资金多少万元？ 【答案】(1) 年平均增长率为 20%；(2) 预计 2026 年将投入资金 1728 万元． 【解析】 (1) 设年平均增长率为 x，由题意得 1000(1+x)2=1440， 即 (1+x)2=1.44，开方得 1+x=±1.2， ∴x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）． 答：这两年投入资金的年平均增长率为 20%． (2) 1440×(1+20%)=1440×1.2=1728（万元）． 答：预计 2026 年该市将投入资金 1728 万元． 22．（7 分）某水果店销售一种水果，进价为 40 元/千克．经市场调研，日销售量 y（千克）与售价 x（元/千克，50≤x<80）满足一次函数关系，部分数据如下表： 已知日销售利润=(售价−进价)×日销售量． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若某天该水果店销售这种水果的利润为 9000 元，求当天的售价 x． 售价 x（元/千克） 50 55 60 65 日销售量 y（千克） 500 450 400 350 售价 x（元/千克） 50 55 60 65 日销售量 y（千克） 500 450 400 350 【答案】(1) y=−10x+1000；(2) 当天的售价为 70 元/千克． 【解析】 (1) 设 y=kx+b．将 (50,500)、(55,450) 代入，得 50k+b=500，55k+b=450， 解得 k=−10，b=1000，∴y=−10x+1000． 检验：x=60 时 y=400，x=65 时 y=350，均与表格数据相符． (2) 当天销售利润为 (x−40)·y=(x−40)(−10x+1000) 元，由题意得 (x−40)(−10x+1000)=9000， 整理得 −10x2+1400x−49000=0，即 x2−140x+4900=0， 配方得 (x−70)2=0，解得 x1=x2=70（方程有两个相等的实数根，售价唯一）． ∵70 在 50≤x<80 范围内，符合题意． 检验：售价 70 元/千克时，日销售量为 −10×70+1000=300（千克），利润=(70−40)×300=9000（元）． 答：当天的售价为 70 元/千克． 23．（7 分）如图，在一块长 15 米、宽 10 米的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分栽种花草．要使绿化面积为 126 平方米，问： (1) 设道路的宽为 x 米，请用含 x 的代数式表示绿化面积，并列出方程（化为一般形式）； (2) 求道路的宽． 【答案】(1) 绿化面积为 (15−x)(10−x) 平方米，方程为 x2−25x+24=0；(2) 道路的宽为 1 米． 【解析】 (1) 把两条道路分别平移到矩形的一边，剩余绿化部分可看作长为 (15−x) 米、宽为 (10−x) 米的矩形， ∴绿化面积为 (15−x)(10−x) 平方米，即 (x2−25x+150) 平方米． 由题意得 (15−x)(10−x)=126， 整理得 x2−25x+24=0． (2) 因式分解得 (x−1)(x−24)=0，∴x1=1，x2=24． ∵道路的宽不能超过空地的宽 10 米，∴x=24 不合题意，舍去，∴x=1． 答：道路的宽为 1 米． 24．（8 分）我们规定：对于任意实数 a、b、c、d，有 [a,b]*[c,d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如 [3,2]*[5,1]=3×5−2×1=13． (1) 求 [−4,3]*[2,−6] 的值； (2) 已知关于 x 的方程 [x,2x−1]*[mx+1,m]=0 有两个实数根，求 m 的取值范围． 【答案】(1) 10；(2) m≤ 且 m≠0． 【解析】 (1) [−4,3]*[2,−6]=(−4)×2−3×(−6)=−8+18=10． (2) 由新定义得 [x,2x−1]*[mx+1,m]=x(mx+1)−(2x−1)m =mx2+x−2mx+m =mx2+(1−2m)x+m． ∴原方程即为 mx2+(1−2m)x+m=0． ∵该方程有两个实数根，∴m≠0，且 Δ=(1−2m)2−4×m×m=1−4m+4m2−4m2=1−4m≥0， 解得 m≤． ∴m 的取值范围是 m≤ 且 m≠0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 25 章 《一元二次方程》【基础过关卷】2026-2027 学年人教版九年级上册数学 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 知识点与典型题型导引（人教版九年级上册） 章节 核心知识点梳理 典型题型总结 25.1 一元二次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的方程。 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项系数、一次项系数与常数项。 3. 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 ① 判断方程是否为一元二次方程（注意化简及 a≠0 条件）。 ② 将方程化为一般形式并写出各项系数。 ③ 代入已知根求字母参数的值。 25.2 降次——解一元二次方程 1. 直接开平方法：解形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。 2. 配方法：移项→二次项系数化为1→配方→开方求解。 3. 公式法：（b²-4ac≥0）。 4. 因式分解法：提公因式、公式法或十字相乘，令各因式为0。 5. 根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根。 6. 韦达定理：两根 x₁、x₂ 满足 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 ① 针对方程特点选择最优解法（优先因式分解法）。 ② 规范书写配方法的推导与解题过程。 ③ 利用 Δ 判断根的情况或求参数取值范围。 ④ 韦达定理求代数式的值或构造新方程。 25.3 实际问题与一元二次方程 1. 基本思路：审、设、列、解、验、答（特别注意检验解是否符合实际意义）。 2. 常见模型： · 增长率模型：a(1±x)ⁿ=b · 面积模型：利用面积公式表示几何图形 · 传播/循环赛模型：单循环赛场数=n(n-1)/2 · 利润模型：总利润=单件利润×销售量 ① 增长率/降低率应用题（连续两次增减等）。 ② 几何图形面积计算（矩形围栏、道路宽度）。 ③ 握手问题、互赠礼物、比赛场次问题。 ④ 商品销售定价与利润最大化问题。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个正确选项） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c=0（a、b、c 为实数）　　B．x2+−3=0　　C．3x2−2x−1=0　　D．x2+y−1=0 2．已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+m=0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．3　　D．−3 3．用直接开平方法解方程 (x−2)2=4，则方程的根为（　　） A．x1=4，x2=0　　B．x=4　　C．x=0　　D．x1=4，x2=−4 4．若关于 x 的一元二次方程 (m−1)x2−2x+1=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为（　　） A．2　　B．1　　C．−2　　D．0 5．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k>−1　　B．k>−1 且 k≠0　　C．k<−1　　D．k≥−1 且 k≠0 6．解方程 x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是（　　） A．两边同时除以 (x−1)，得 x=3　　 B．整理得 x2−4x=−3，∵a=1，b=−4，c=−3，Δ=b2−4ac=28，∴x=2±　　 C．整理得 x2−4x=−3，配方得 (x−2)2=−1，此方程无实数根　　 D．移项得 x(x−1)−3(x−1)=0，则 (x−1)(x−3)=0，∴x1=1，x2=3 7．用配方法解方程 x2+6x+4=0，配方后的正确结果是（　　） A．(x+3)2=5　　B．(x+3)2=4　　C．(x−3)2=5　　D．(x+6)2=4 8．已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根的个数是（　　） x 0 1 2 3 4 y 7 −5 −9 −5 7 A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．3 个 9．定义一种新运算「☆」：a☆b=a2+b，例如 2☆3=22+3=7．若 x☆3=12，则 x 的值为（　　） A．±3　　B．3　　C．−3　　D．±6 10．我国南宋时期数学家杨辉于 1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了 (a+b)n 展开式的系数规律： 　　1　　　　　=1 　　1　1　　　　=a+b 　　1　2　1　　=a2+2ab+b2 　　1　3　3　1=a3+3a2b+3ab2+b3 当代数式 x4−12x3+54x2−108x+81 的值为 1 时，则 x 的值为（　　） A．2　　B．−4　　C．2 或 4　　D．2 或 −4 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．将方程 (2x−1)(x+2)=5 化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）是＿＿＿＿． 12．已知 (x2+y2+1)(x2+y2−3)=5，则 x2+y2 的值为＿＿＿＿． 13．若 m 是一元二次方程 x2−5x−2=0 的一个实数根，则代数式 m2−5m+2022 的值为＿＿＿＿． 14．某学习小组的成员互赠新年贺卡，每两人都互赠一张，共用去 90 张贺卡，则该学习小组共有＿＿人． 15．定义：若一个一元二次方程的一个根是另一个根的 2 倍，则称这个方程为「倍根方程」．若关于 x 的一元二次方程 x2−6x+c=0 是倍根方程，则 c 的值为＿＿＿＿． 16．若关于 x 的一元二次方程 x2−(k+4)x+k+3=0 恰有一个根小于 0，则 k 的取值范围是＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）解方程：(1) x2−3x−1=0；(2) 2x2−5x+2=0． 18． （6 分）求证：无论 m 取何值，一元二次方程 x2+mx−(m+2)=0 总有两个不相等的实数根． 19．（6 分）先阅读：∵x2≥0，∴x2+1 有最小值 1，此时 x=0．仿照上述方法解决下列问题： (1) 当 x 取何值时，代数式 x2−6x+5 有最小值？最小值是多少？ (2) 当 x 取何值时，代数式 −2x2+8x+1 有最大值？最大值是多少？ 20．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+3m−2=0 有实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 若该方程的一个根为 4，求 m 的值及方程的另一个根． 21．（6 分）某市 2023 年投入老旧小区改造资金 1000 万元，2025 年投入资金增加到 1440 万元，假设这两年投入资金的年平均增长率相同． (1) 求这两年投入资金的年平均增长率； (2) 若按此增长率保持不变，预计 2026 年该市将投入资金多少万元？ 22．（7 分）某水果店销售一种水果，进价为 40 元/千克．经市场调研，日销售量 y（千克）与售价 x（元/千克，50≤x<80）满足一次函数关系，部分数据如下表： 已知日销售利润=(售价−进价)×日销售量． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若某天该水果店销售这种水果的利润为 9000 元，求当天的售价 x． 售价 x（元/千克） 50 55 60 65 日销售量 y（千克） 500 450 400 350 23．（7 分）如图，在一块长 15 米、宽 10 米的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分栽种花草．要使绿化面积为 126 平方米，问： (1) 设道路的宽为 x 米，请用含 x 的代数式表示绿化面积，并列出方程（化为一般形式）； (2) 求道路的宽． 24．（8 分）我们规定：对于任意实数 a、b、c、d，有 [a,b]*[c,d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如 [3,2]*[5,1]=3×5−2×1=13． (1) 求 [−4,3]*[2,−6] 的值； (2) 已知关于 x 的方程 [x,2x−1]*[mx+1,m]=0 有两个实数根，求 m 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $