甘肃省兰州市贺阳教育集团兰州校区2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

2025-2026学年甘肃省兰州市贺阳教育集团兰州校区高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线l经过点，，则l的斜率为(    ) A. B. C. D. 2.直线：与：的交点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.若，，三点在同一条直线上，则实数(    ) A. B. C. 2 D. 4 4.直线必过定点(    ) A. B. C. D. 5.记为等比数列的前n项和.若，，则(    ) A. B. C. D. 6.直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(    ) A. B. C. D. 7.已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是(    ) A. B. C. D. 8.已知，，直线l经点，若直线l与线段AB相交，则直线l斜率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在下列四个命题中，正确的有(    ) A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10.数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是(    ) A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11.已知直线：，：，则(    ) A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若与相互平行，则或1 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点到直线l：的距离是      . 13.数列满足为正整数，且与的等差中项是5，则首项      . 14.已知数列满足，则数列的通项公式为      . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： 经过点，平行于直线l：； 倾斜角是，截距是4； 经过点，点； 经过点，且在两坐标轴上截距的和为 16.本小题15分 计算： 已知直线l的倾斜角为，求l的方向向量和法向量； 已知直线l经过点和，求直线l的方向向量和法向量. 17.本小题15分 已知等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列． 求数列通项公式； 设，求数列的前n项和 18.本小题17分 已知数列的前n项和为 求，的值； 求的通项公式； 设，是数列的前n项和，求 19.本小题17分 设直线l的方程为 Ⅰ若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； Ⅱ若l不经过第二象限，求实数a的取值范围； Ⅲ若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：已知直线l经过点，， 则l的斜率为 故选： 利用两点的斜率公式即可求解． 本题考查了直线斜率的计算，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：联立方程组解得， 故与的交点坐标为 故选： 联立两直线方程，求出交点坐标． 本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题． 3.【答案】C  【解析】解：因为，，三点在同一条直线上， 所以，即，解得 故选： 根据三点共线，得直线AB，BC斜率相等，即可列式计算． 本题主要考查三点共线的性质，属于基础题． 4.【答案】B  【解析】解：将直线整理可得， 令，解得，， 即直线恒过定点 故选： 将直线方程整理，可得关于x，y的方程组，求出恒过的定点的坐标． 本题考查直线恒过定点的求法，属于基础题． 5.【答案】C  【解析】解：为等比数列的前n项和，，， 设等比数列的公比为，由得，可得， 所以， 所以 故选： 设等比数列的公比为，根据已知条件求出q的值，再利用等比数列的求和公式可求出的值． 本题主要考查等比数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查直线的斜截式方程，属于基础题． 分别判断两条直线的斜率和截距的符号是否一致即可． 【解答】 解：的斜率，截距，的斜率，截距，两个图象不一致， B.的斜率，截距，的斜率，截距，两个图象不一致， C.的斜率，截距，的斜率，截距，两个图象不一致， D.的斜率，截距，的斜率，截距，两个图象有可能一致， 故选： 7.【答案】D  【解析】解：设直线的倾斜角为，则， 直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 故直线的方程是，即 故选： 由正切的和角公式与直线方程的点斜式，即可求解． 本题主要考查直线方程的点斜式，属于基础题． 8.【答案】B  【解析】解：，， ， ，， 则 当直线l绕点P从PB位置旋转到与y轴重合时， 斜率的范围是； 当直线l绕点P从与y轴重合旋转到PA位置时，斜率的范围是 故直线l斜率的取值范围为 故选： 先求出直线PA与直线PB的斜率，再结合直线l与线段AB相交的条件，确定直线l斜率的取值范围． 本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 9.【答案】BC  【解析】解：A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率， 故坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率不成立，故A错误； B，由直线倾斜角的取值范围，可知直线的倾斜角的取值范围是故B正确； C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为，故C正确； D，若直线的倾斜角为，则直线斜率不存在，故D错误． 故选： 由直线倾斜角与斜率的关系逐项判断即可． 本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 10.【答案】CD  【解析】解：因为数列的前n项和为，，， 即， 故数列是首项为6，公差为的等差数列， 故是递减数列，，故AB错误； 所以， 故，可得，可得CD正确． 故选： 根据等差数列的性质逐项判断即可． 本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 11.【答案】CD  【解析】解：对于A：当时，：，此时直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为，由于与不共线，所以A错误； 对于B：若与相互平行，则，即，解得或1， 当时，：，：，两直线平行； 当时，，：，两直线重合，不符合条件，故B错误； 对于C：若，则，解得故C正确； 对于D：因为：，即， 若不经过第二象限，则，解得，故D正确． 故选： 根据直线一般式方程，逐个判断即可． 本题考查了直线方程的应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：根据题意，根据点到直线的距离公式， 点到直线l：的距离 故答案为： 根据点到直线的距离公式即可求解． 本题考查点到直线的距离公式，注意点到直线的距离公式，属于基础题． 13.【答案】1  【解析】解：数列满足为正整数， 则数列为等比数列， 不妨设其公比为q， 则， 与的等差中项是5， 则，即，解得 故答案为： 根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 故答案为： 根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得． 本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题． 15.【答案】解：所求直线平行于直线l：； 则所求直线斜率为3， 所求直线经过点， 故方程为，整理得 由直线倾斜角是得直线斜率为， 当直线在y轴上截距是4时，直线方程为，整理得， 当直线在x轴上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得， 综上得，直线方程为 由条件得直线的两点式方程为：，整理得 由题意得，直线在x轴上的截距为2，故在y轴上的截距为3， 所以直线的截距式方程为，整理得  【解析】由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式； 截距为4分为在x轴上截距为4和在y轴上的截距为4，根据条件写出直线方程； 写出直线的两点式方程，化为一般式； 分析直线在x轴、y轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式． 本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 16.【答案】方向向量为，法向量为  方向向量为，法向量为  【解析】先证明结论：若直线l的一个方向向量为，其中，则直线l的一个法向量可为 因为直线l的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线l的一个法向量可为 因为直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线l的一个方向向量为，则直线l的方向向量为， 直线l的法向量为 因为直线l经过点和，则直线l的一个方向向量为， 所以，直线l的方向向量为，法向量为 求出直线l的斜率，可得出直线l的方向向量与法向量； 分析可知，直线l的一个方向向量为，由此可得出直线l的方向向量与法向量． 本题考查了直线的斜率与倾斜角，方向向量和法向量，是中档题． 17.【答案】解：由题意知，解得，，或，， 所以，， ，或， 当时，， 当时，  【解析】利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与，，等比数列关系组成方程组求得和d，最后根据等差数列的通项公式求得 把中求得，或，进而根据分组求和求得答案． 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用． 18.【答案】，；   ；    【解析】由， 可得； 当时，由， 可得， 上式对也成立，所以； ， 所以 由，分别令，求解； 当时，由求解； 利用裂项相消法求解． 本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 19.【答案】解：Ⅰ当直线过原点时满足条件，此时，解得，化为， 当直线不过原点时，则直线斜率为，故，解得，可得直线l的方程为： 综上所述，直线l的方程为或 Ⅱ， 不经过第二象限，，解得 实数a的取值范围是 Ⅲ令，解得，解得； 令，解得，解得或 综上有 ， 当且仅当时取等号． 为坐标原点面积的最小值是6， 此时直线方程，即  【解析】Ⅰ根据直线过原点与直线不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线l的方程． Ⅱ将直线方程化为斜截式，再结合l不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数a的取值范围． Ⅲ根据A，B两点的位置确定A，B的坐标以及a的取值范围，求得面积的表达式，结合a的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线 l的方程． 本题考查直线方程的几种形式所满足的条件，属于基础题． 第8页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $