第一章 勾股定理单元练习题2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理单元练习题 一、单选题 1．如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四张这样的直角三角形纸片，把它们按如图②所示的方式放入一个边长为3的正方形中（纸片不重叠，无缝隙），则图②中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．4 D． 2．如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 3．下列条件无法判定是直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D．，， 4．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°，AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为(　　) A．(2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（　　） A． B． C． D． 7．已知，对于以为三边长的三角形的形状，你认为以下判断中最准确的是（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为2尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是（　　） A．5.25尺 B．7.25尺 C．12尺 D．13尺 10．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．24 二、填空题 11．如图，有一个高为12厘米，底面周长为10厘米的圆柱形陶罐，在陶罐上沿口的点B处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的陶罐内壁底A处有一滴蜂蜜．则蚂蚁从B处沿内壁爬行到A处吃到蜂蜜的最短路径长为　 　厘米． 12．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=　 　. 13．如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是　 　． 14． 如图，在中，，，点，，分别在边，上，连接，，．点和点关于直线对称，设，若，则　 　（结果用含的代数式表示）． 三、解答题 15．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米． （1）求小溪流AC的长． （2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号） 16．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． （1）______，______； （2）连接，判断是什么三角形，并说明理由． 17．小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 18． （1）如图1，长方体的长为4 cm，宽为 3c m，高为12 cm，求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4 cm，宽为3cm，高为12 cm，现有一只蚂蚁从点A 处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离底部5cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm与饭粒相对的点 A 处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程. 19．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 20．已知：如图1，在等腰中，． （1）求的值． （2）如图2，为线段上一点，连接，作点关于直线的对称点，连接PE，DE， ①如图3，若点落在线段上时，求此时的值． ②如图4，若点落在线段上时，求此时的面积． 21．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 22．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点，，，在同一平面内 （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 23．在平面直角坐标系中，的半径为，给定直线与点，对于不在直线上的点给出如下定义：作点关于直线的对称点，若点位于上或内，且点到定点的距离为所有符合条件的中的最大值或最小值，则称点为点关于直线与的“反射极值点”，对应最大值的点称为“反射极大值点”，对应最小值的点称为“反射极小值点”． （1）已知直线． 点，在点中，点关于直线与的“反射极值点”是______； 若点为直线上的动点，且点到其关于直线与的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，直接写出点的坐标； （2）已知点，直线恒过定点，记点关于直线与⊙的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为，当直线绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知直角三角形纸片的斜边长为3， ∵一条直角边长为2， ∴另一条直角边长为， ∴图②中阴影部分的面积为4×， 故答案为：A． 【分析】本题根据题意，利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边长，而阴影部分的面积是4个相同的直角三角形构成，因此结合三角形面积公式计算即可。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：， ∴∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，，， ， ，， ∴BC=2BD=6， ∴的周长为； 故答案为：A. 【分析】首先根据勾股定理算出BD的长，然后根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD=6，最后根据三角形周长计算方法可算出△ABC的周长. 3．【答案】D 4．【答案】B 【解析】【解答】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4， AE=AD+DE=4+2 . 故答案为B 【分析】由题意和图形入手，先识别△ADB是直角三角形，结合条件AD=2BD设未知数；再利用勾股定理列出方程求出BD、AD的长度；由图可知DE=BC=2m，最后由AE=AD+DE算出云梯顶端离地面的距离AE，选出正确选项. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：B． 【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为、，根据勾股定理，结合图形即可计算出、、，再根据即可列式计算的值. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 【分析】分别设正方形的边长为，根据勾股定理即可求出答案. 7．【答案】D 8．【答案】D 【解析】【解答】解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行， 甲共行， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故选：D． 【分析】设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行，甲共行，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：设芦苇的长度为x尺，由题知CB'=5尺，CA=(x-2)尺， 在 中， 解得：x=7.25， 故选： B. 【分析】设出芦苇的长度，再根据勾股定理列出方程. 10．【答案】B 11．【答案】13 【解析】【解答】解：圆柱形陶罐的侧面展开图如下，即为最短路径， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 即蚂蚁从B处沿内壁爬行到A处吃到蜂蜜的最短路径长为13厘米， 故答案为：13． 【分析】将圆柱侧面展开，则即为最短路径，然后利用勾股定理计算即可. 12．【答案】24 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB==5， ∵AD=13，BD=12， ∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形， 阴影部分的面积=AB×BD -BC×AC=30-6=24． 答：阴影部分的面积=24． 故答案为24． 【分析】先利用勾股定理求出AB，再根据勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，利用求出两个三角形的面积差求出阴影部分的面积即可． 13．【答案】 14．【答案】 【解析】【解答】解：连接， ∵点和点关于直线对称， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴设，则 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【分析】先证明，然后设，则，设，由“双勾股”可得，即可求解，即可求解． 15．【答案】（1）千米； （2）平方千米 16．【答案】（1）， （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． ​​​​​​​ 【解析】【解答】（1）解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； 【分析】（1）因为每一个小正方形的边长都是1，所以利用勾股定理求解即可； （2）在小方格中，利用勾股定理分别求出BC、CD、BD的长度，发现BC=BD，且三边满足 ，所以此三角形是等腰直角三角形． （1）解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． 17．【答案】解：过点B作BC⊥OP于点C，则ABCO为矩形 设AB=m，则OC=m，BP=10-m，PC=9-m， 在△BCP中，由勾股定理得， 解得m=5，故折断处B离地面5尺. 【解析】【分析】过点B作BC⊥OP于点C得到矩形ABCO和直角三角形BCP，设AB=m，则可分别求出PC和BP的长，由勾股定理即可得m的值. 18．【答案】（1）解：如图1，该长方体中能放入木棒的最大长度是 （2）解：如图2， 如图3， 如图4，AG= ，∴最短路程为 （3）解：∵高为12cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部5cm 的点B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1cm与饭粒相对的点A 处，将容器的一半沿侧面展开，如图5，作点A 关于EC的对称点A'，连接A'B 交EC 于点F，连接AF，则A'B 即为最短路程，过点A'作A'D⊥BC交BC的延长线于点D， ∴A'D=6cm，BD=12-5+1=8（cm)， ∴最短路程为10 cm.​​​​​​​ 【解析】【分析】(1)利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可. (2)将长方体展开，利用勾股定理解答即可； (3)将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点.A'，根据两点之间线段最短可知.A'B的长度即为所求. 19．【答案】（1） （2）解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是 （3）解：由材料中的解法可知， ， ， 即， ， ， ， ，即是直角三角形 【解析】【分析】解：（1）由材料中的解法可知， ， 故答案为： 【分析】本题考查阅读理解，涉及配方法的应用、因式分解、求代数式最值以及三角形形状判定.解决本题的核心是”加、减同一个数构造完全平方式“，利用完全平方式的非负性解决因式分解、最值、非负数和为0等问题. （1）对先配方，再用平方差公式分解因式即可得到答案； （2）先将多项式分组配方，再由平方的非负性即可求出多项式有最小值； （3）移项后配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，用勾股定理逆定理即可判断的形状． （1）解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： （2）解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是； （3）解：由材料中的解法可知， ， ， 即， ， ， ， ，即是直角三角形． 20．【答案】（1）解：∵， ∴， 在中，； （2）解：①过点作，设， ∵对称， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 在等腰中，则； ②连接， ∵， ∴， ∴， ∵内角和为， ∴， ∴， ∴，即， 设， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据三线合一得到BD=DC=3，然后根据勾股定理解答即可； （2）①过点作，设，根据角平分线的性质得到，根据列方程求出x的值解答即可； ②连接，设，在和中，根据勾股定理得到方程，求出a的值，即可得到EC长，再利用三角形的中线分出的三角形的面积相等解答即可． 21．【答案】（1）该空地的面积为； （2）此块空地全部种植花卉共需花费元． 22．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点， 在中，，，，由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ∵，∴． （2）解：如图所示，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则， 在中，，，，由勾股定理，得， ∴或（舍去），． 答：小明同学应该再放出8米线． 【解析】【分析】本题以放风筝的实际问题为背景，考查勾股定理的应用。 （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出 AC，再结合线段和差关系得到 AD 的长度。 （2）在 ED 长度不变的前提下，风筝上升12米相当于 CF = AC + 12，再次利用勾股定理求出新的风筝线长 BF，减去原线长 AB 即为需要放出的米数。 （1）解：如图，过点作于点， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ∵， ∴． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ． 答：小明同学应该再放出8米线． 23．【答案】（1），；或； （2），． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $