第1～3章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1~3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：苏科版九上第1章一元二次方程； 第2章 反比例函数；第3章 圆 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 2．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，再根据y的符号推导出对应x的符号，即可得到三者的大小关系． 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限， 第一象限满足，第三象限满足． 又∵， ∴，可得点在第一象限，因此； ，可得点在第三象限，因此． ∴大小关系为． 4．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是一个圆中最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．切线垂直于过切点的半径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、半径、切线和弧的概念，对圆相关概念的准确理解是解题关键． 根据圆的性质，A、B、C选项均正确，D选项错误，因为等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧． 解：∵ 直径是过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故A正确； ∵ 同圆中所有半径相等，故B正确； ∵ 圆的切线垂直于过切点的半径，故C正确； ∵ 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧，故D不正确． 故选：D． 6．（24-25九年级下·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 7．（25-26九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 先求出点A，B的坐标，连接并延长交于点D，过点B作轴，根据已知条件可得，所求长的最小值，即求的长最小，即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小，由勾股定理可得，即可求解． 解：连接并延长交于点D，过点B作轴， 根据题意，联立，得， 解得，， ∴，， ∴点O为中点， ∵Q是的中点， ∴，， ∴若长最小，则的长最小， 即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小， ∵，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴． 故选：A． 2、 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 10．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 【答案】 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值，再验证判别式符合有两个实数根的条件． 解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 对于一元二次方程，由根与系数的关系可知，两根之和为，两根之积为， ，解得， 方程的两个根为和， ， 验证得此时判别式，方程有两个实数根，符合题意． 11．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．求解，，设，利用中点坐标公式可得的坐标，再代入反比例函数解析式建立方程求解即可． 解： ∵直线与坐标轴交于A、B两点， ∴将代入，得，将代入，得， ∴，， ∵，设， ∴， ∴， ∴， ∵点C在上， ∴． ∴， ∵反比例函数图像在第一、三象限， ∴． 故答案为：． 12．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积，且射线OF与反比例函数（）的交点A恰好在小正方形的边上，则________． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题．由题意得到，求出直线的解析式为，把点的纵坐标为3代入得到，则，得到，由射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积得到，解方程即可得到答案． 解：如图，由图可知，点的横坐标为2，点的纵坐标为3， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 设直线的解析式为，把代入得到， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 把点的纵坐标为3代入得到 解得， ∴ ∴， ∵射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意． 故答案为： 13．（2026·广西·模拟预测）如图，某校八年级7班的小明在班徽设计大赛中通过网格和圆规设计了如下图形，既包含了数字“7”的样式，也蕴含着奋力冲刺，一往无前的拼搏精神．该图形由四段四分之一圆的弧组成，若小正方形网格的边长为1，则该图形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的面积，根据原图的特征转化为新图形，但仍保持面积不变，结合扇形面积以及小正方形面积列式计算，即可作答． 解：如图： 整理得出下图： 故答案为： 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 【答案】 / 【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到半径． （2）先由折叠性质推出，再证明弧的对称性得到，结合圆心角与圆周角的关系得出，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出，从而得到 解：（1）连接， ∵矩形内接于，，， ∴，，， ∴对角线为的直径， ∵，， ∴， ∴半径， （2）连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弧沿折叠交于， ∴和关于直线对称，点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵是圆周角， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． （1）若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． （2）若，则的度数为________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 （1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 16．（2026·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、的坐标，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段为，此时最小，等积法求出的长即可． 解：设， 点是点的“的和谐点”， ， 点在函数的图象上， ，， 即：或（舍去）， ， 点在直线上运动， ∴当直线时，的长最小， 设直线与轴、轴相交于点、，过点作，垂足为， 则、， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 17．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，的长分别是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径为_______，内切圆的半径为_______． 【答案】 5 2 【分析】此题考查三角形的内切圆，解一元二次方程．先解一元二次方程可得和的长，根据勾股定理计算的长，进而解答即可． 解：∵和的长分别是一元二次方程的两根， 可得：， 解得或8， 不妨设， ∴，， ∵， ∴， 设圆O切于D，切于F，切于E，内切圆的半径为，连接、， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得，， ∴，即， ∴， ∴的外接圆的半径为5，内切圆的半径为2， 故答案为：5；2． 18．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是_________． 【答案】25 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出是等边三角形是解本题的关键．先设点，根据对称性质得，再证是等边三角形，用两点间的距离公式列出等式，再求解即可得出结论． 解：设点， 反比例函数的图象与半径为10的交于两点， 所以两点关于直线对称， ， 的半径为10， ， ，即， ， 是等边三角形， ， ，即， 化简得：， ， ， 在反比例函数的图象上， ， 故答案为：25 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题8分）（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ， ∵ 无论取何值，， ∴ ， ∴ 无论取何值，这个方程总有实数根； （2）的周长为． 【分析】（1）计算并配方方程的判别式，利用平方的非负性证明； （2）分为腰长、底边长两种情况求解方程的根，结合三角形三边关系验证后计算周长． 解：（1）略 （2）解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时，是方程的一个根， 将代入方程得： 解得， 将代入原方程，得， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三边关系， 周长为； ② 当为底边长时，，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时方程为， 解得， 三角形三边长为，，， ∵ ，不满足三边关系，舍去， 综上所述，的周长为． 20.（本题8分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为；（2）售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． （1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 21.（本题6分）（25-26九年级上·安徽合肥·期中）直线与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）令直线与反比例函数的函数值为，求出，的横坐标，根据的长列出方程求解即可． （1）解：∵点在直线上， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的交点为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 22.（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． （1）求证：； （2）过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2） 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 解：（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 23.（本题6分）（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． （2） 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 解：（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 24.（本题8分）（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）或；（3）点P的坐标为或． 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． （1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 25.（本题8分）（2025·山东烟台·模拟预测）如图，为轴上一点，点坐标为，且，点是的内心，过点的反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点的左侧）． （1）求的值； （2）若与直线相切于点，求线段的长． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查了三角函数，一次函数与反比例函数综合． （1）由三角函数得到，，，设的半径为r，根据等面积法求出，即可得解； （2）求出直线的解析式，联立得，则，由勾股定理得，过M作轴，连接，则，即可得解． 解：（1）∵点坐标为，， ∴，，， 设的半径为r， ∴， 解得 ∴； （2）由（1）可知：， 设直线的解析式为， 将代入可得 ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴， ∴ 过M作轴，连接， ∴ ∴ 26.（本题8分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点．    （1）__________； （2）当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； （3）当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 【答案】（1）；（2）①如图，即为所求（答案不唯一）．    ②；③ （3） 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）①作的垂直平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，长为半径作，交边于点，即为所求； ②根据平行线的性质得出，利用勾股定理求出，得出，利用三角函数求出，进而求出； ③连接，根据等腰三角形的性质求出，利用弧长公式即可求出劣弧的长． （3）根据与线段恰好有且只有一个公共点得出与相切，分两种情况：①当线段与相切时，设切点为，则，利用含角的直角三角形的性质求出的长即可得答案，②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点． （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵是的垂直平分线，， ∴点在以为直径的圆上， ∵点是的中点， ∴即为所求； ②∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． ③如图，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴劣弧的长为． （3）解：∵与线段恰好有且只有一个公共点， ∴分下面2种情况讨论： ①当线段与相切时， 如图，设切点为，连接，过点作于，    ∵与相切，切点为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点，故此情况不存在． 综上所述：． 27.（本题8分）（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． （1）求k的值及直线的解析式； （2）点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1），；（2），的最大值为；（3）或 【分析】（1）先将点，代入求出，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）先由求解点的坐标，然后根据中点坐标公式求解点，再联立直线与反比例函数表达式求解点坐标，再根据平移以及对称的性质求解最大值即可； （3）连接，过点作轴于点，当点在点上方时，记为，此时点记为，证明出，然后通过联立直线与求解点；当点在点下方时，记为，此时点记为，此时，则，可得，通过中点坐标公式求解点，再通过联立直线与求解点即可． （1）解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴，反比例函数表达式为， 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵的中点是， ∴，即， 设直线， 则代入、同理可求直线， 联立得，， 解得， ∴； 将点向右平移1个单位得到，再过点作轴的对称点，连接，，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最大值为， ∵, ∴的最大值为； （3）解：连接，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 当点在点上方时，记为，此时点记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴同理可求直线， ∴设直线， 代入点可得，，解得， ∴直线， 联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 当点在点下方时，记为，此时点记为， 此时， ∴， ∵， ∴， 联立直线与直线得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴同理可求直线， 再联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 综上：符合条件的点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1~3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：苏科版九上第1章一元二次方程； 第2章 反比例函数；第3章 圆 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是一个圆中最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．切线垂直于过切点的半径 D．长度相等的弧是等弧 6．（24-25九年级下·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，当________时，的最大值是________． 10．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 11．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 12．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积，且射线OF与反比例函数（）的交点A恰好在小正方形的边上，则________． 13．（2026·广西·模拟预测）如图，某校八年级7班的小明在班徽设计大赛中通过网格和圆规设计了如下图形，既包含了数字“7”的样式，也蕴含着奋力冲刺，一往无前的拼搏精神．该图形由四段四分之一圆的弧组成，若小正方形网格的边长为1，则该图形的面积是______． 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． （1）若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． （2）若，则的度数为________． 16．（2026·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 17．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，的长分别是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径为_______，内切圆的半径为_______． 18．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是_________． 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题8分）（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20.（本题8分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 21.（本题6分）（25-26九年级上·安徽合肥·期中）直线与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 22.（本题6分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． （1）求证：； （2）过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 23.（本题6分）（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 24.（本题8分）（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 25.（本题8分）（2025·山东烟台·模拟预测）如图，为轴上一点，点坐标为，且，点是的内心，过点的反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点的左侧）． （1）求的值； （2）若与直线相切于点，求线段的长． 26.（本题8分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点．    （1）__________； （2）当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； （3）当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 27.（本题8分）（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． （1）求k的值及直线的解析式； （2）点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $