13.1 分式及其性质（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第13章 分式 13.1 分式及其性质 （第1课时）分式的概念与取值 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从除法到分数 把和写成分数；说出被除数、除数分别位于哪里。 答：，。 解 被除数写在分子位置。 除数写在分母位置。 方法：先找清除法中的两个数量。 注意：除数不能为。 复习引入 长方形的面积与宽 长方形的面积是，长是，宽是多少？ 答：宽是。 解 宽面积长。 。 方法：先用文字写出数量关系。 注意：作为实际长度，。 复习引入 分母也可以是一个多项式 走一段千米的路，骑车需用小时，步行需用的时间是骑车的倍还多小时。步行的速度是多少？ 答：步行速度是千米/时。 解 步行时间为小时。 速度路程时间。 方法：先表示时间，再表示速度。 注意：分母是完整的。 复习引入 表示部分占整体的几分之几 一名篮球运动员在一场比赛中投进个罚球（每个球得分）、个分球、个分球。这名运动员的分球得分占其总得分的几分之几？ 答：。 解 总得分为。 分球得分为。 方法：比值的分子、分母都要用得分。 注意：总得分应大于。 新知讲授 分式的概念 定义 一般地，对于两个整式、（是非零整式）， 可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式， 其中称为分子，称为分母。 本章重点 本章主要讨论分母中含有字母的分式。 观察 的分子是；的分母是。 新知讲授 认清分子和分母 分别指出下列分式的分子和分母： （1） （2） 解第（1）题 分子；分母。 分数线之上是。 分数线之下是整个。 解第（2）题 分子；分母。 与都是整式。 非零常数可以作分母。 方法：把分子、分母各看作一个整体。 注意：分母不一定含有字母。 新知讲授 分母为非零整式是什么意思 下列说法正确的是哪一项？ A. 分式的分子不能为 B. 分式的分母必须含字母 C. 也是分式 D. 是分式 答：C 解 分子允许是零整式。 分母可以是非零常数。 方法：按定义核对两个整式和分母条件。 注意：非零整式在某个取值下仍可能为。 新知讲授 分式的值 含义 用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值就是分式的值。 代入 当时，。 注意 同一字母的每一处都要代入同一个数；负数代入要加括号。 例题讲解 例 1 当，时，分别计算下列分式的值： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先代入，再分别算分子和分母。 注意：负数代入时加括号，分数线表示除法。 例题讲解 变式 例 1 当，时，分别求下列分式的值： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 分母为，可以求值。 方法：把字母替换成带括号的数。 注意：代入后是。 新知讲授 分母为零时还能求值吗 求分式的值时，能取吗？ 答：不能。 解 当时，。 除数不能为，分式无意义。 方法：判断能否代入，先检查分母。 注意：无论取什么值，零分母都不允许。 新知讲授 分式有意义的条件 条件 一般地，分母的值为时，分式无意义； 分母的值不为时，分式有意义。 判断 有意义，需要。 例子 有意义：，即。 例题讲解 例 2 当取什么值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 解第（1）题 。 令，得。 排除。 解第（2）题 。 令，得。 排除。 方法：先找使分母为零的值，再排除。 注意：求有意义的条件只看分母。 例题讲解 例 2 当取什么值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 解第（3）题 取一切数。 ，所以。 分母始终不为。 方法：利用平方非负判断分母。 注意：时第（3）题仍有意义。 例题讲解 变式 例 2 当满足什么条件时，下列分式有意义？ （1） （2） 解第（1）题 。 ，得。 所以。 解第（2）题 取一切数。 。 分母不会等于。 方法：能解一次方程的先求禁取值。 注意：分子的零值不影响有意义。 例题讲解 辨析 辨析　有意义看哪里 （1）没有意义。 × 当时有意义，值为。 （2）有意义的条件是。 × 分母不为，条件是。 （3）在时有意义。 √ 分母为，不是。 方法：有意义只要求分母不为零。 注意：不要误把分子也要求为非零。 新知讲授 分式的值为零的条件 条件 在分式中，只有当分子的值为且分母的值不为时，分式的值才为。 两步判断 先令分子为零，再检验分母非零。 对照 ；无意义。 例题讲解 例 3 当取什么值时，分式的值为？ 答：。 解 由，得。 此时。 方法：令分子为零后，必须检验分母。 注意：答案需同时满足两个条件。 例题讲解 变式 例 3 当取什么值时，下列分式的值为？ （1） （2） 解第（1）题 。 ，得。 此时。 解第（2）题 。 ，得。 此时。 方法：分子求值，分母验值。 注意：不要把分母为零的值写成答案。 例题讲解 辨析 辨析　分子为零还不够 小明说：当时，的分子为，所以分式的值为。他的结论对吗？ 答：不对；不存在使该分式值为的。 解 分子为只能得到。 此时分母也为，分式无意义。 方法：把分子给出的候选值代入分母。 注意：无意义。 例题讲解 同一个分式，三个不同问题 对于分式，分别说明：何时有意义？何时值为？当时值是多少？ 答：；；值为。 解 有意义看；零值看。 时，。 方法：先辨清所问条件，再选择计算步骤。 注意：零值候选使分母为。 方法总结 把两种条件分清 方法1　判断有意义 ① 只检查分母。 ② 先求分母为零的值，再排除。 ③ 平方加正数可直接判断非零。 方法2　判断值为零 ① 令分子等于零。 ② 将所得值代入原分母。 ③ 只有原分母非零时才保留。 课堂练习 练习1 将下列式子表示为分式： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 被除数是，除数是。 所以写成。 解第（2）题 。 被除数是，除数是。 所以写成。 方法：除号前后分别放在分数线上下。 注意：除数为整体，且其值不能为零。 课堂练习 练习1 将下列式子表示为分式： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 把整体作分子。 把作分母。 解第（4）题 。 把作分子。 把整体作分母。 方法：多项式作分子或分母时保留全部项。 注意：第（4）题分母是。 课堂练习 练习2 当满足什么条件时，下列分式有意义？分式的值为？ （1） （2） 解第（1）题 有意义：；值为零：。 ，得。 得，分母为。 解第（2）题 有意义：；值为零：。 ，得。 得，分母为。 方法：每小题分别回答两个问题。 注意：值为零的答案要通过分母检验。 课堂练习 练习3 当，时，计算下列分式的值： （1） （2） 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 。 方法：先算分子、分母，再相除。 注意：减去负数与加上负数要分清。 课堂总结 分式的概念 与取值 概念 ；、是整式，为非零整式。 有意义 分母的值不为。 值为零 分子为，且分母不为。 代入求值 先检验分母，再代入、计算。 特别提醒：零分母无意义；分子为零不代表分式一定为零。 针对训练 训练1　选择：理解概念 关于分式，下列说法正确的是哪一项？ A. 分式的分母不能为常数 B. 是分式 C. 在任何值下都有意义 D. 的分母永不为零 答：B 解 分母为非零常数也符合定义。 非零整式在特定取值下可能为零。 方法：按定义逐条辨析。 注意：不要把“非零整式”理解为“值永不为零”。 针对训练 训练2　填空：写成分式 把下列除法写成分式，并指出分母： （1） （2） 解第（1）题 ；分母。 被除数作分子。 除数作分母。 解第（2）题 ；分母。 分子为。 分母为整个。 方法：被除数写在上，除数写在下。 注意：不要漏掉多项式中的项。 方法总结 从数量关系到分式结构 方法1　列出分式 ① 先写出所求量的数量关系。 ② 确定谁除以谁。 ③ 多项式按整体写入分子、分母。 方法2　核对结构 ① 分子、分母都应为整式。 ② 分母应为非零整式。 ③ 实际问题还要满足情境条件。 针对训练 训练3　求有意义的条件 当满足什么条件时，下列分式有意义？ （1） （2） 解第（1）题 。 ，得。 排除。 解第（2）题 。 ，得。 排除。 方法：令分母为零得到禁取值。 注意：最终答案用“不等于”。 针对训练 训练4　选择：始终有意义 下列分式中，取一切数都有意义的是哪一个？ A. B. C. D. 答：D 解 ，所以。 其余分母均可取到。 方法：判断分母能否等于零。 注意：分母含字母不表示一定有禁取值。 针对训练 训练5　求分式值为零的条件 当取什么值时，下列分式的值为？ （1） （2） 解第（1）题 。 ，得。 此时。 解第（2）题 。 ，得。 此时。 方法：分子求候选值，分母作检验。 注意：不要省略分母的检验。 针对训练 训练6　判断并改正 （1）无意义时，。 √ 只在时成立。 （2）的值为时，。 × 应为，此时分母为。 （3）在时的值是。 × 此时分母为，分式无意义。 方法：先区分“无意义”和“值为零”。 注意：零分子也不能配零分母。 方法总结 用条件检查答案 方法1　有意义或无意义 ① 有意义：分母不等于零。 ② 无意义：分母等于零。 ③ 回答时分清等于和不等于。 方法2　分式值为零 ① 分子等于零只是第一步。 ② 分母不能等于零。 ③ 没有合格候选值时，说明不存在。 针对训练 训练7　代入求值 当，时，求下列分式的值： （1） （2） 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 。 方法：先算乘方、乘法，再算加减。 注意：分子、分母分别算完再相除。 针对训练 训练8　负数与乘方 当时，求的值。 答：。 解 。 方法：负数代入平方底数时加括号。 注意：，不是。 针对训练 训练9　从给定数中筛选 在、、、中，哪些数可代入分式？哪一个使分式的值为？ 答：可代入、、；时值为。 解 分母不为零要求。 分子为零得，分母为。 方法：先排除使分母为零的数。 注意：筛选“可代入”后，再判断零值。 针对训练 训练10　是否存在零值 是否存在一个，使分式的值为？说明理由。 答：不存在。 解 分子为零只能得到。 此时，分式无意义。 方法：从零分子得到唯一候选值后检验。 注意：不能把无意义的值留下。 针对训练 训练11　开放题：写出一个分式 写出一个分式：当时无意义，当时值为。 答：例如。 解 时，分母。 时，分子为、分母为。 方法：用分母体现禁取值，用分子体现零值。 注意：答案不唯一，但必须检验两个条件。 方法总结 求值与反向构造 方法1　代入求值 ① 先确认原分母不为零。 ② 负数代入加括号。 ③ 分别算出分子、分母再相除。 方法2　按条件构造 ① 分母负责“何时无意义”。 ② 分子负责“何时可能为零”。 ③ 把指定值代回原分式检验。 针对训练 训练12　应用：笔记本单价 班级有元班费，先用去元购买文具，再用余款购买本同样的笔记本。用分式表示每本笔记本的单价；当，时，单价是多少元？ 答：单价为元；此时为元。 解 余款为元，单价余款本数。 （元）。 方法：先找出实际用于购买笔记本的金额。 注意：实际问题中，为正整数。 针对训练 训练13　应用：行驶速度 一辆汽车行驶千米，途中停车休息小时，从出发到到达共用小时。用分式表示汽车实际行驶的平均速度；当时，平均速度是多少？ 答：速度为千米/时；此时为千米/时。 解 实际行驶时间为小时。 （千米/时）。 方法：用路程除以实际行驶时间。 注意：情境要求。 方法总结 应用题的两种检查 方法1　检查数量关系 ① 先写出所求量的文字关系。 ② 分子、分母使用对应的量。 ③ 代入前统一单位。 方法2　检查取值与结果 ① 实际量通常还需满足正数条件。 ② 分母的值不能为零。 ③ 结果带上单位，并回看是否合理。 $