12.2 因式分解的方法（第5课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章 因式分解 12.2 因式分解的方法 （第5课时）分组分解 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 找结构 从多项式中识别可同组处理的项，分组后寻找公因式或公式结构。 学方法 掌握两两分组、三项与一项分组，必要时调整项的顺序。 重检查 正确处理添括号时的符号，分解后继续检查能否再分解。 复习引入 公因式也可以是一个多项式 已经会做 。 观察整体 把看成一个整体，它是两项共有的因式。 提出新问题 面对，怎样先让这个整体显现出来？ 复习引入 四项里藏着两组公因式 看前两项 有公因式，可写成。 看后两项 有公因式，可写成。 发现共同点 两组处理后都出现，就能再提一次公因式。 知识讲授 分组的目的是什么 原式难点 四项整体没有共同的字母因式，不能直接提取一个字母。 分组作用 先让每组分别变形，产生共同因式或公式结构。 结束标准 分组只是中间步骤，最终应写成几个整式的乘积。 知识讲授 适当分组，继续分解 观察整式的特征，通过适当分组，我们可以将某些整式因式分解． 先观察项数、符号和可用公式。 分组后继续使用提取公因式法或公式法。 直到各因式不能按已学方法继续分解。 知识讲授 两两分组：寻找同一个括号 第一步 把分为。 第二步 分别提取公因式，得。 第三步 继续提取，得到。 知识讲授 探究1　按前两项、后两项分组 如何将因式分解？ 答： 解 。 再提取公因式，得。 方法：先分组提取，再整体提取 注意：不能停在两个乘积的和上。 知识讲授 探究1　调整顺序，还能怎样分组 用另一种分组方法将因式分解，并比较结果。 答：，与前一种结果相同。 解 交换中间两项：。 提取后得。 方法：相同字母的项也能同组 注意：因式顺序不同，乘积仍可相同。 知识讲授 添括号时，负号管住整组 括号前是加号 。 括号前是减号 。 回头去括号 添好括号后先恢复原式检查；括号前是负号时，组内每项都变号。 知识讲授 三项一组：先凑出一个平方 观察前三项 符合完全平方公式。 把平方当整体 。 继续使用公式 再把它看作两个平方之差，用平方差公式分解。 知识讲授 探究2　完全平方后还有平方差 如何将因式分解？ 答： 解 先分组：。 再用平方差公式，得。 方法：先合成平方，再用平方差 注意：分成两组后，还要继续分解。 知识讲授 组内也可以先用公式 两项一组 一组可组成平方差，另一组可能恰好含它的某个因式。 例如结构 ，与有共同因式。 选择依据 分组前先想：两组变形后能否出现相同括号？ 环节归纳 环节归纳：分组的两条思路 产生共同因式 （1）两两分组，分别提取公因式。 （2）必要时先在一组使用公式。 产生公式结构 （1）寻找能合成完全平方的三项。 （2）再与剩余一项组成平方差。 例题讲解 例 9 因式分解： （1） ； （2） ． 解第（1）题 。 提取，得。 解第（2）题 。 。 第（1）题：把后两项看作1倍整体 注意：提取后保留系数1。 第（2）题：后一组提取-4 注意：括号前是减号，括号内两项都为正。 例题讲解 例9拓展　换一种分组，结果是否相同 对采用另一种分组方法因式分解，并与比较。 答：可得，结果相同。 解 分成。 得。 方法：换组也应产生相同括号 注意：比较乘积时允许交换因式顺序。 例题讲解 变式 变式1　提取负因数，要完整变号 因式分解：。 答： 解 分组为。 再提取，得。 方法：后两项提取-2 注意：-2x+2y=-2(x-y)，不能写成-2(x+y)。 例题讲解 例 10 因式分解： （1） ； （2） ． 解第（1）题 前三项合成平方：。 再用平方差公式得到两个因式。 解第（2）题 。 。 第（1）题：三项成平方，再作平方差 注意：完全平方的中间项是-4xy。 第（2）题：先造平方差，再提公因式 注意：单独的-(3a-b)提取后留下-1。 例题讲解 辨析 变式2　辨析：分成两组就是分解完了吗 有人把写成后说“已完成因式分解”。请判断，并写出最终结果。 答：没有完成；最终为。 解 仍是两个整式的差。 继续用平方差：。 方法：以乘积形式为完成标志 注意：合成平方只是中间一步。 例题讲解 变式 变式3　顺序打乱，也能寻找平方 因式分解：。 答： 解 调整顺序：。 变为，再用平方差公式。 方法：调整项序，凑齐三项 注意：移动项的位置时保留原来的符号。 环节归纳 例题归纳：选组与完成 怎样选组 （1）先找组内可提的公因式。 （2）再找平方差或完全平方结构。 （3）选能继续合并成乘积的分组。 怎样检查 （1）添括号、去括号应互相还原。 （2）最终是乘积，并继续查每个因式。 课堂练习 练习1 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（1）题 。 提取得到结果。 解第（2）题 。 。 第（1）题：后两项提取-2 注意：括号内应是a-b。 第（2）题：两组都出现a-3b 注意：第二组公因式为2c。 课堂练习 练习1 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（3）题 重排为。 ，再提取。 解第（4）题 ，提取。 继续分解。 第（3）题：按共同括号调整顺序 注意：3y移位后仍为正项。 第（4）题：两次分解才能完成 注意：不要停在含平方差的因式上。 课堂练习 练习2 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（1）题 前三个相关项合并：。 ，再用平方差。 解第（2）题 再用平方差，得到。 第（1）题：先调序再凑完全平方 注意：中间项-4xy不能漏掉。 第（2）题：后三项整体提负号 注意：减去(b-c)时要得到a-b+c。 课堂练习 练习2 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（3）题 重排为。 ，再提取。 解第（4）题 。 ，再提取。 第（3）题：平方差产生共同因式 注意：第二组为-2(x-3y)。 第（4）题：平方差与一次项同组对应 注意：提取后是a+b+2，不是a+b-2。 环节归纳 课堂练习归纳：从结果反看分组 共同因式路线 （1）两组提取后应出现相同括号。 （2）一组先用公式，也能产生相同括号。 公式路线 （1）三项合成完全平方。 （2）剩余一项与它组成平方差。 （3）分解完成后再展开核对符号。 课堂小结 分组分解 观察选组 观察项数、符号、公因式与公式特征；两两分组或三项一组，必要时调整项的次序。 提取路线 每组先提公因式，使两组出现相同的括号；把这个括号看成整体，再提取一次。 公式路线 一组先用完全平方或平方差公式；随后与另一组组成平方差，或产生共同因式。 检查到底 添括号须还原检查符号；最后应为乘积，还要检查每个因式是否可继续分解。 特别提醒：分组不是终点；括号前有负号时，组内每项都要变号。 针对训练 训练1　选择：找出共同括号 的因式分解结果是（　）。 A． B． C． D． 答：A． 解 原式。 提取，得到。 方法：两两分组提取 注意：展开选项可检查各项系数。 针对训练 训练2　填空：补全共同因式 填空：。 答：两空分别填4、y（顺序可交换）。 解 前两项提取x，后两项提取4。 。 方法：前后两组提取 注意：括号内填的是完整的项。 针对训练 训练3：判断并说明理由 （1）。 对 理由：两组都能提得x-y。 （2）。 错 理由：正确共同因式是x-y。 （3）分组后得到两项的和，就已分解完。 错 理由：最终必须写成整式的乘积。 （4）。 对 理由：前三项先成平方，再用平方差。 方法：检查符号与乘积形式 注意：判断错时说明是恒等错误还是未完成。 针对训练 训练4　计算：有系数的两两分组 因式分解：。 答： 解 。 再提取，得。 方法：每组先提净公因式 注意：两组括号应完全一致。 方法总结 基础训练方法：同组、同括号 先在组内提取 （1）把有共同字母的项放在一组。 （2）数与字母的公因式都提取干净。 再把整体提取 （1）检查两组括号完全相同。 （2）提取整体时保留剩余的系数。 针对训练 训练5　计算：三项成平方 因式分解：。 答： 解 前三项，原式。 再用平方差公式得到乘积。 方法：三项合平方，再两项平方差 注意：用2×x×3y核对中间项6xy。 针对训练 训练6　计算：平方差带来公因式 因式分解：。 答： 解 原式。 变为，再提取。 方法：先平方差，再提整体 注意：后一组提取-3，留下2a-b。 针对训练 训练7　计算：分解后还要检查 因式分解：。 答： 解 原式。 继续用平方差，得。 方法：先分组，再检查每个因式 注意：x²-4仍能分解，不能提前停止。 针对训练 训练8　辨错：提取整体别漏负号 小华写：。指出错误并改正。 答：最后一步错误；应为。 解 提取后，第二项剩下，不是。 所以。 方法：把单独的括号看作±1倍 注意：原式末两项-a+b=-(a-b)。 方法总结 提升训练方法：让结构逐层显现 公式与分组配合 （1）先找平方差或完全平方。 （2）再观察是否产生公因式。 分解与验算配合 （1）每提一次，检查符号与常数1。 （2）逐个检查因式，分解到不能再分。 针对训练 训练9　填空并说理：怎样得到同一括号 要使按前两项、后两项分组后，都能提得因式，应取为多少？再将原式因式分解。 答：；原式。 解 前两项为；后两项须为。 因此，再提得到。 方法：用目标括号确定缺项 注意：同一括号中的对应项系数应一致。 针对训练 训练10　迁移：六项也可以分两组 因式分解：。 答： 解 分组为。 得到，再用平方差公式。 方法：先合成两个完全平方 注意：减去c+d时，c与d都取负号。 方法总结 迁移训练方法：从目标反推分组 发现共同括号 （1）看已知组提取后的括号。 （2）按对应项补齐另一组。 发现两个平方 （1）分别识别完全平方的三项。 （2）负号统管后一组的所有项。 针对训练 训练11　应用：花圃的长与周长 长方形花圃的面积为平方米，宽米，其中。求长和花圃周长。 米 答：长为米；周长为米。 解 面积。 长为；周长。 方法：分组分解面积，识别长与宽 注意：x、y均为正，宽和长都为正。 针对训练 训练12　应用：正方形场地改造 如图，正方形ABCD边长为米，右上角边长为米的小正方形作为绿地。已知且。（1）将其余铺砖部分的面积表达式因式分解；（2）将铺砖部分等面积改为宽米的长方形，求其长。 米 米 绿地 答：铺砖面积为平方米；新长方形的长为米。 解 铺砖面积。 分解为；除以正的宽，长为。 方法：三项成平方，再解释面积乘积 注意：a+b>c保证剩余面积与新宽均为正。 方法总结 应用训练方法：面积与因式对应 从几何得到整式 （1）长方形面积等于长乘宽。 （2）剩余面积等于大面积减小面积。 从乘积解释结果 （1）分组得到已知边长这个因式。 （2）另一因式就是所求边长。 （3）检查长度正值和单位。 $