12.2 因式分解的方法（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章 因式分解 12.2 因式分解的方法 （第2课时）平方差公式 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 知识 识别两项、平方、相减的结构，理解平方差公式的逆向应用。 方法 能先提取公因式，再用平方差公式，并检查是否分解完全。 应用 用因式分解简化求值，表示并计算图形的面积。 复习引入 复习　乘法公式的逆向思考 计算：。再把所得整式写成两个整式相乘的形式。 答：。 解 。 合并同类项得，逆向写出因式分解。 方法：利用已学乘法公式逆向思考。 注意：因式分解的结果应是整式的积。 复习引入 面积差的结构 条件 从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，其中。 面积 剩余面积为，两个面积都是边长的平方。 联系 如果把剩余部分拼成长方形，就会得到边长与的乘积。 知识讲授 平方差公式的两个方向 整式乘法 ，由积的形式得到差的形式。 因式分解 ，由差的形式得到积的形式。 关键 等式两边交换位置，数量关系不变，变形方向不同。 知识讲授 平方差公式 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解． 两个平方项相减，分解为两个底数的和与差的积。 公式中的、可以表示单项式或多项式。 知识讲授 公式的三个特征 项数 整式有两项，两项之间是减法关系。 平方 每一项都能写成一个整式的平方，例如。 对应 先找两个平方的底数，再写它们的和与差。 知识讲授 尝试　确定两个底数 把因式分解。 答： 解 ，。 。 代入平方差公式，得到。 方法：先标出两个平方的底数。 注意：的底数是，不是。 知识讲授 先看正负，再定顺序 可调序 ，可先把正的平方项写在前面。 平方和 是平方和，不能直接用平方差公式。 都为负 ，提取负号后仍是平方和。 知识讲授 多项式也可以作底数 整体 在中，两个底数分别是与。 代入 先写成。 化简 去括号时，减号后括号里的每一项都要变号。 环节归纳 知识归纳 结构识别 （1）两项都是整式的平方。 （2）两项之间必须是相减。 公式对应 （1）确定两个底数，再写和与差。 （2）多项式作底数时先保留括号。 例题讲解 例 3 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 套用平方差公式。 解第（2）题 先调序为。 两个底数为与。 第（1）题：把每一项写成平方。 注意：。 第（2）题：把正的平方项写在前面。 注意：调换项的位置，项的符号跟着移动。 例题讲解 例 3 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 先得。 合并括号内的同类项。 第（3）题：分数系数也要取平方底数。 注意：分子、分母分别对应。 第（4）题：把多项式看作整体。 注意：减去多项式时，各项变号。 例题讲解 变式 变式1　整体底数与去括号 因式分解：。 答： 解 两个底数分别是与。 先得。 化简两个括号，得。 方法：套公式后分别化简和与差。 注意：减去时，常数项变成。 例题讲解 例4（1）　先提取公因式 因式分解：。 答： 解 先提取公因式，得。 。 保留公因式，得。 方法：先提公因式，再检查括号内的结构。 注意：提取公因式后，不能漏写前面的。 例题讲解 例4（2）　连续使用平方差公式 因式分解：。 答： 解 。 第一次分解得。 还能分解为。 方法：逐个检查所得因式能否继续分解。 注意：本课范围内，不再分解。 例题讲解 变式 变式2　提取与连续分解 因式分解：。 答： 解 先提取，得。 。 继续分解，得最终结果。 方法：公因式优先，平方差可连续使用。 注意：不能停在。 知识讲授 分解完全的要求 当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解．因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取各项共有的因式，再判断剩余整式的结构。 最终结果的每个因式都应检查一次。 还能分解，在本课范围内不再分解。 环节归纳 例题归纳 公式使用 （1）分数系数也要准确找平方底数。 （2）多项式底数先整体代入公式。 分解顺序 （1）能提公因式时先提公因式。 （2）所得因式继续检查，直到分解完全。 课堂练习 练习1 （口答）下列整式能用平方差公式因式分解吗？为什么？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 不能。 两项是平方和，不是平方差。 解第（2）题 能，。 。 第（1）题：检查两项之间的符号。 注意：不能把平方和套成和与差的积。 第（2）题：找底数与。 注意：正的平方项在前。 课堂练习 练习1 （口答）下列整式能用平方差公式因式分解吗？为什么？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 能，。 调序得。 解第（4）题 不能。 提取负号后为，括号内是平方和。 第（3）题：调序后套用公式。 注意：项的负号须保留。 第（4）题：先看两项符号，再看是否相减。 注意：两个负项不能直接用平方差公式。 课堂练习 练习2 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 第（1）题：找平方底数。 注意：的底数是。 第（2）题：将分数项写成平方。 注意：平方底数中的系数是。 课堂练习 练习2 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 先提，得。 再分解。 解第（4）题 统一相反式，得。 平方差因式还可继续分解。 第（3）题：先提取公因式。 注意：字母取各项共有的最低次幂。 第（4）题：先统一相反式，再提公因式。 注意：换成时，须补一个负号。 课堂练习 练习3（1）　圆环面积的字母表示 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别为和。用含和的代数式表示圆环的面积。 O 答：。 解 大圆面积为，小圆面积为。 圆环面积。 用平方差公式，得。 方法：面积相减后，先提取公因式。 注意：外半径大于内半径，两条半径均从圆心出发。 课堂练习 练习3（2）　圆环面积的数值计算 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别为和。如果，，求圆环的面积（取）。 O 答：。 解 先分解：。 代入得。 计算得。 方法：先变形，再代数计算，可减少平方运算。 注意：两圆半径的和与差都要带括号。 环节归纳 课堂练习归纳 结构整理 （1）项的顺序可调整，符号跟随项。 （2）遇到相反式先统一为同一个因式。 面积计算 （1）面积相减写成平方差。 （2）先分解再代入，运算通常更简便。 课堂小结 平方差公式 结构特征 两个整式的平方相减，先找出两个底数，再建立原式与的对应关系。 基本公式 。结果是两个底数的和与差的积，多项式作底数时先保留括号。 分解顺序 先提取公因式，再用平方差公式。分解后检查每个因式，能继续分解的必须继续。 应用检验 求值和面积问题可先分解再计算。通过展开乘积检验结果，检查符号与公因式是否正确。 特别提醒：平方和不能直接套用平方差公式；去括号与提负号时注意每一项的符号。 针对训练 训练1　选择：公式适用条件 下列整式中，能直接用平方差公式因式分解的是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 A是平方和，C中的第二项不是整式的平方。 D中两项都为负；B为。 方法：同时检查两项是否为平方及是否相减。 注意：“有平方项”不是充分条件。 针对训练 训练2　填空：底数与因式 填空：。 答：两个空都填。 解 ，。 两因式的第一项都应是。 方法：先确定正的平方项的底数。 注意：两个空不能分别填与。 针对训练 训练3：平方差辨析 （1） 错 理由：两个因式应分别是与。 （2） 对 理由：两个平方的底数为与。 （3） 错 理由：右边展开是。 （4） 对 理由：连续使用两次平方差公式。 方法：通过展开右端检查等式。 注意：结果中仍有平方差因式时须继续分解。 针对训练 训练4　计算：字母乘积的平方 因式分解：。 答： 解 。 两个底数是与。 分解得。 方法：把系数和各字母共同组成平方底数。 注意：不要漏掉底数中的字母。 方法总结 训练方法一 公式识别 （1）先辨平方差，再确定底数。 （2）乘积的平方要照顾每个因子。 逆向检验 （1）展开两个因式，核对原式。 （2）专门检查中间两项是否抵消。 针对训练 训练5　计算：分数平方差 因式分解：。 答： 解 两个底数为与。 代入平方差公式，写出和与差的积。 方法：分数系数先分别找分子和分母的平方底数。 注意：不能把平方的系数原样搬进因式。 针对训练 训练6　计算：公因式与公式 因式分解：。 答： 解 公因式为。 原式。 再分解括号内的平方差。 方法：提公因式后重新观察剩余各项。 注意：提取后，原式各项都要除以它。 针对训练 训练7　计算：连续分解 因式分解：。 答： 解 先看作。 分解得。 继续分解。 方法：每次分解后检查所有因式。 注意：平方和在本课范围内不再分解。 针对训练 训练8　辨错：相反式的符号 小明写道：。指出错误并给出正确分解。 答：正确结果为。 解 ，第二项应变成。 提取后为。 再用平方差公式，得。 方法：统一相反式时明确写出负号。 注意：错误出在把直接换成。 方法总结 训练方法二 综合分解 （1）先提取公因式，再使用公式。 （2）连续分解时逐个检查所得因式。 符号处理 （1）相反式改写时补上负号。 （2）去括号时括号内各项一起变号。 针对训练 训练9　先分解后求值 已知，求的值。 答： 解 先分解为。 化简得。 代入，得。 方法：含相近数的平方差，先因式分解。 注意：代数式变形后再代入，避免繁琐的平方计算。 针对训练 训练10　说理：连续奇数的平方差 设为正整数，说明一定能被整除。 答：该式等于，所以一定能被整除。 解 用平方差公式得。 化简为。 为正整数，因此是的倍数。 方法：用因式分解显现所需的整数因子。 注意：整除结论需要说明是整数。 针对训练 训练11　应用：正方形边框 一个正方形相框的外边长为厘米，内部正方形照片的边长为厘米，其中。求边框面积的最简式，并求时的面积。 答：平方厘米；当时，平方厘米。 解 边框面积。 分解并化简得。 代入，得平方厘米。 方法：外正方形面积减去内正方形面积。 注意：保证内外边长为正，面积单位用平方厘米。 针对训练 训练12　应用：圆环步道 一个圆形花坛外有一条同心圆环步道。花坛半径为米，步道外边缘半径为米。求步道面积，并按每平方米元计算铺设费用（取）。 O 11米 9米 答：步道面积为平方米，费用为元。 解 步道面积。 用平方差公式得。 铺设费用为元。 方法：圆环面积先分解成半径和与半径差的乘积。 注意：给定的是半径，不能当作直径再除以。 方法总结 训练方法三 代数与整数性质 （1）先因式分解，再代入数值。 （2）整除问题把目标整数因子显现出来。 面积应用 （1）明确外部与内部的边长或半径。 （2）求面积后按单价计算，并写清单位。 $