12.2 因式分解的方法（第4课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章 因式分解 12.2 因式分解的方法 （第4课时）十字相乘法 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 识别结构 识别二次项系数为1的二次三项式，找到一次项系数与常数项。 掌握方法 寻找积为常数项、和为一次项系数的两个数，完成十字相乘。 迁移应用 处理含另一字母的三项式，用分解结果解决面积与数量问题。 复习引入 乘法与分解，方向相反 正向展开 观察来源 一次项系数；常数项。 反向寻找 把写成乘积，关键是同时找对两个数的和与积。 知识讲授 二次三项式的系数特征 是一个关于的二次三项式，其中二次项系数为1，常数项是两个数与的积，而一次项系数恰好是这两个数与的和． 二次项系数：。 一次项系数：。 常数项：。 知识讲授 分解条件：两个要求同时满足 如果关于的二次三项式的常数项能分解成两个因数与的积，且一次项系数又恰好等于，那么就可以进行如下的因式分解：． 找两个数，使且。 横向组成因式：。 知识讲授 先认清谁是“一次项系数” 单字母式 在中，一次项系数是，常数项是。 带着符号读 在中，一次项系数是，常数项是。 本课范围 先研究二次项系数为1的式子；有公因式时先提取。 知识讲授 探究　从最简单的三项式开始 如何将二次三项式因式分解？ 答：。 解 常数项，一次项系数。 横向读出两个因式：与。 方法：先分积，再验和 注意：只验乘积不够，还要验两数之和。 知识讲授 十字图怎样读 左边 把二次项系数写在左上、左下。 右边 把常数项的两个因数写在右上、右下。 交叉与横读 交叉相乘的和是；核对后，横向组成两个因式。 知识讲授 十字相乘法 像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法． 本课：。 必须同时满足与。 知识讲授 积确定候选，和确定选择 列出候选 若，正因数对有、、。 逐个比较 它们的和分别是、、，不能任意选一对。 精准锁定 分解应选；一次项系数决定最终配对。 知识讲授 先看符号，减少试算 常数项为正 两个数同号；一次项系数为正时都为正，为负时都为负。 常数项为负 两个数异号；绝对值较大的数与一次项系数同号。 仍需验算 符号判断只缩小范围，最后必须同时核对积与和。 知识讲授 探究　同号的两个负数 用十字相乘法将二次三项式因式分解。 答：。 解 ，且。 所以横向因式为与。 方法：积正、和负，选双负 注意：把负号与数一起写进十字图。 知识讲授 异号配对：看差的大小 确定异号 在中，常数项是，两个数应异号。 比较差值 因数绝对值的差是；一次项系数为正，取。 检查成立 ，。 环节归纳 环节归纳：十字相乘四步 找数配对 （1）看常数项，列因数对。 （2）结合一次项系数确定符号。 成式检查 （1）交叉乘积的和等于一次项系数。 （2）横向写因式，再展开检查。 例题讲解 例 7 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（1）题 ，。 横向写出两因式。 解第（2）题 。 ，两数都为负。 第（1）题：积为12、和为7 注意：3与4都为正。 第（2）题：积正、和负 注意：常数项为正不代表两数都为正。 例题讲解 例 7 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（3）题 。 ，正数绝对值更大。 解第（4）题 。 ，负数绝对值更大。 第（3）题：积负、和正 注意：异号两数之和看绝对值大小。 第（4）题：积负、和负 注意：1与-12的和才是-11。 例题讲解 辨析 变式1　辨析：只看常数项够不够 小明说：“因为，所以。”他的说法正确吗？请说明并改正。 答：不正确；应为。 解 ，一次项不符。 应选，它们的积为12、和为7。 方法：展开定位错误 注意：和与积两个条件缺一不可。 知识讲授 把另一个字母看作系数 观察 把看作关于的二次三项式。 对应 ，。 结论 。 例题讲解 例 8 因式分解： （1） ； （2） ． 解第（1）题 。 ，横向组成因式。 解第（2）题 。 。 第（1）题：将y连同数字配对 注意：右侧填2y与4y，不能漏y。 第（2）题：用-1与6配成系数 注意：-y中的负号不能遗漏。 例题讲解 变式 变式2　把y换成另一个整体 因式分解：。 答： 解 。 ，所以横向写出乘积。 方法：保留字母，核对系数 注意：分解后每个因式都应含m与n。 环节归纳 例题归纳：从数到含字母的式 单字母三项式 （1）确定p、q，保留它们的符号。 （2）找到和为p、积为q的数对。 含另一字母的三项式 （1）将另一字母看作系数的一部分。 （2）右侧两项相乘要产生其平方。 课堂练习 练习1 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（1）题 ，。 解第（2）题 ，。 第（1）题：积负选异号 注意：较大的绝对值配正号。 第（2）题：按和选-8与3 注意：不是-6与4，它们的和为-2。 课堂练习 练习1 因式分解： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解第（3）题 ，。 解第（4）题 ，。 第（3）题：积正、和正 注意：先列1与27、3与9再比较。 第（4）题：积正、和负 注意：两个因式都写减号。 课堂练习 练习2 因式分解： （1） ； （2） ． 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 。 第（1）题：一次项系数是y 注意：xy的数字系数1不能忽略。 第（2）题：和为-3y、积为-10y² 注意：每个数都要带y参与运算。 课堂练习 辨析 巩固　检查：一次项没有写系数1 因式分解时，有同学写成。请说明错误并写出正确结果。 答：错误；正确结果是。 解 所写乘积展开为。 应选，其和为、积为。 方法：把省略的1读出来 注意：一次项xy的系数是y，不是-5y。 环节归纳 课堂练习归纳：两次核对 分解前核对 （1）二次项系数是否为1？ （2）p、q的符号是否读准？ 分解后核对 （1）右侧两项的积是否为q？ （2）交叉乘积之和是否为p？ 课堂小结 十字相乘法 识别结构 对象是二次项系数为1的二次三项式；先准确读出带符号的与。 和积配对 寻找两个数，同时满足、；先根据积判断同异号，再用和筛选。 横向成式 十字图左侧为1与1，右侧为；交叉核对和后，写成。 检查应用 含另一字母时将它看作系数的一部分；展开检查恒等，再将两个因式解释为长度或数量。 特别提醒：只验积不验和会选错；负号和字母都要保留。 针对训练 训练1　选择：正确的因式是哪一组 的因式分解结果是（　）。 A． B． C． D． 答：B． 解 ，。 其余选项的和或积与原式不符。 方法：逐项核对和与积 注意：选项形式相似时仍要算一次。 针对训练 训练2　填空：同号的因数 填空：。 答：两空分别填3、7（顺序可交换）。 解 ，。 写成，空内填3与7。 方法：积正、和负选双负 注意：空格前已有减号，空内填写正数。 针对训练 训练3：判断并说明理由 （1）。 对 理由：2与3的积为6、和为5。 （2）。 错 理由：-1与-6的和是-7。 （3）。 对 理由：-3与2的积为-6、和为-1。 （4）常数项为负，两数必同号。 错 理由：两数的乘积为负时必须异号。 方法：先判符号，再核对和积 注意：判断错误时指出具体不符的一项。 针对训练 训练4　计算：异号配对 因式分解：。 答： 解 的正因数对是、。 取，积为、和为。 方法：用差值锁定异号因数 注意：一次项为正，绝对值较大的数取正。 方法总结 基础训练方法：先符号，后配对 符号筛选 （1）积为正，两数同号。 （2）积为负，两数异号。 （3）两数之和决定哪种符号组合。 数对筛选 （1）按因数从小到大列对。 （2）同时核对积与和。 （3）找到后横向写成乘积。 针对训练 训练5　计算：含两个字母 因式分解：。 答： 解 。 。 方法：把数字配对推广到含字母项 注意：最后用交叉项核对-2xy。 针对训练 训练6　填空：从因式读取系数 已知恒等式，求的值。 答：。 解 展开右边为。 对应一次项系数，得。 方法：系数来自和、常数来自积 注意：恒等式要求对应各项系数相等。 针对训练 训练7　计算：先提公因式 因式分解：。 答： 解 先提2：。 再用、分解括号。 方法：先提取，再十字相乘 注意：先让括号内二次项系数变为1。 针对训练 训练8　辨错：负号放在哪里 小林写：。请说明错误，写出正确分解。 答：应为。 解 原答案两数的和为，应为。 改为，积仍为，和为。 方法：积正确后再核对和 注意：交换两个因式顺序不能修正符号错误。 方法总结 提升训练方法：结构与检查 先整理结构 （1）有公因式先提取。 （2）将另一字母看作系数的一部分。 再作双重检查 （1）数对的和、积都要正确。 （2）展开检查一次项及其符号。 针对训练 训练9　说理：列出所有可能的系数 若，其中为正整数，求所有可能的值。 答：。 解 ，无序正整数对为。 由，分别得到。 方法：有序列举，避免遗漏 注意：交换a、b只得到相同的和。 针对训练 训练10　说理：找不到整数数对怎么办 能否找到整数，使？用和与积说明理由。 答：不能找到这样的整数。 解 由，整数数对只有与。 它们的和分别为2、-2，都不等于1。 方法：列尽整数候选再作判断 注意：结论限定为整数a、b，不扩大讨论范围。 方法总结 说理训练方法：把条件说完整 由积列举 （1）明确题目要求的数的范围。 （2）列出全部不同因数对。 由和判断 （1）逐对计算两数之和。 （2）保留符合条件者并说明完整性。 针对训练 训练11　应用：长方形展示板 长方形展示板的面积为平方米，宽米，其中。求长及展示板的周长。 米 答：长为米，周长为米。 解 面积分解：。 由面积÷宽得长；周长。 方法：把面积的因式解释为长和宽 注意：x>0保证两边长为正，周长要带米。 针对训练 训练12　应用：购买文具套装 班级购买同款文具套装，每套元，共花费元，其中为正整数。买了多少套？若再买2套，还需多少元？ 答：原来买了套；还需元。 解 总价，除以单价得套。 新增费用为元。 方法：先分解总量，再除以单位量 注意：x为正整数，使单价为正且套数为整数。 方法总结 应用训练方法：让因式有意义 从数量关系列式 （1）面积=长×宽，总价=单价×数量。 （2）把已知总量分解为乘积。 解释与检验 （1）对应已知因式，读取所求量。 （2）核对正值、整数条件与单位。 $