苏州市2026-2027学年高一上学期数学第一次月考模拟试卷（1）

苏州市2026-2027学年高一秋季第一次月考模拟（1） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 2．已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 5．已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 6．设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 8．已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 10．已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 11．取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知不等式的解集为A，的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，那么实数m的取值范围是 . 13．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 14．已知函数是定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 16．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 17．已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 18．已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)已知函数满足以下两个条件：①的图象恒不在图象的上方；②对任意恒成立，求的最大值． 19．已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义．（约定）． (1)若，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由． 答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵，∴满足“，则”的的集合是的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.故选：B. 2．已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】命题p可利用参变分离法将原问题转化为，结合基本不等式即可求得a的范围，命题q直接利用判别式即可求得a的范围，取交集即可得答案. 【详解】∵愿明天即命题为真命题，，又，当且仅当，即时，等号成立，，∵命题，为真命题，或，∵命题p，q都是真命题，或．故选：C 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据高斯函数的定义即可得解. 【详解】由，得， 解得， 根据高斯函数的定义可得， 所以不等式 的解集为. 故选：D. 4．已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】由可得，代入，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为12. 故选：A. 5．已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 6．设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【详解】对于A，因为的解集为， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，“”时，“”一定成立， 反之“”成立时，“”不一定成立，如举例， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，“”不一定成立， 例如，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当 “”时，满足“”；当“”时， 但不一定“”，例如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：B 7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 【答案】B 【分析】A由一元二次不等式解集为空直接判断；B令即可判断；C根据解集判断参数关系，结合目标不等式求解即可；D根据题设得，且，将目标式化为含的表达式，再令，代换原表达式并结合基本不等式求最值. 【详解】A：由无解，则且，对； B：令，若，则等价于， 此时，关于的不等式的解集不为，错； C：由题设，则等价于， 所以，可得或，对； D：由题设，则，且， 所以，令，则， 所以上式为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，对. 故选：B 8．已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出时，的范围，进而可知的范围为，因为时，或；时，或，所以当时，；当时，，求出的取值即可. 【详解】函数的图象如图所示，当，，此时 因为时，或；时，或 又因为函数的值域为， 当，即时，需满足，此时满足不等式； 当，即时，需满足，此时满足不等式； 综上所述：实数的取值集合为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确. 【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确； 对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确. 故选：ACD. 10．已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据解集以及根与系数的关系得到可判断A，根据基本不等式可得到B，根据和为1的形式可得到选项C和D. 【详解】对于A：由不等式的解集为， 可得，且方程的两根为-1和， 所以所以，， 所以，所以A正确； 对于B：因为，，所以，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，所以C正确； 对于D：由得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，所以D错误， 故选：ABC． 11．取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】由③可知的图象关于点对称，即可判断B；赋值可求，，，，，，即可判断C，结合①分析AD即可. 【详解】由可知：的图象关于点对称，故B正确； 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 因为，可知在上不是单调递增，故A错误； 且任意，，可知当时，， 由，令，可得，即，故C正确； 由，令，可得，即， 且任意，，可知当时，， 又因为当时，， 可知当时，，所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知不等式的解集为A，的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，那么实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】计算得到，根据题意得到，设，得到 ，计算能得到答案. 【详解】等式的解集为A，则，“”是“”的充分不必要条件，则. 设，则 解得 故答案为： 13．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据条件先得，再利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知，则， 所以 ， 当且仅当时取得最大值. 故答案为： 14．已知函数是定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为，所以， 即，即在上单调递增. 又，所以. 由，即. 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 16．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【详解】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由如下： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； （2）（i）由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立； （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 17．已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)①；② 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【详解】（1）因为，所以，则， 又， 当时，， 所以，又， 所以； （2）依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则. 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则； 当，即，对称轴，开口向下， 则， 当，即时，开口向下，； 综上，. ②当时，，则，解得或（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 综上，或，即. 18．已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)已知函数满足以下两个条件：①的图象恒不在图象的上方；②对任意恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）设，，由题意条件，待定系数法求出函数解析式； （2）当时，，换元得到，利用基本不等式进行求解； （3）得到，令得，在R上恒成立，故，结合得到，从而，消元得到，配方后得到最大值，验证后得到结论. 【详解】（1）设，， ， 因为，故， 所以， 故，解得， 故二次函数为； （2）当时，， 令， 故， 由基本不等式得，当且仅当，即，时，等号成立， 故. （3）由题意得， 令得，故， 恒成立，即在R上恒成立， 故， 故 ， 故，即， 所以， 此时 ， 当且仅当时，等号成立， 此时中， ， 满足的图象恒不在图象的上方， 综上，的最大值为. 19．已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义．（约定）． (1)若，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)、、、； (3)存在，n的所有取值为，理由见解析. 【分析】（1）根据定义依次写出、即可得结果. （2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果； （3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值. 【详解】（1），由题意，，，，，，，. （2）由且，①，当或1时，，同理，或1时，，或1时，，或1时，，所以①等价于，则，，当，，则为满足；当，，则为满足，当，，则为满足，当，，则为满足，综上，的所有可能结果、、、. （3）存在正整数n使且，理由如下：由，则，所以，若，，所以，若，则，，，所以，对都有，当时，恒成立， 综上，n所有取值为使成立. 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $