第二章 机械振动（举一反三·单元复习讲义）物理人教版选择性必修第一册

第二章《机械振动》单元复习 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+4个题型）+课后作业】 知识归纳 【知识点1 简谐运动综合理解】 1. 机械振动：物体或物体的一部分在__________附近做__________运动。 · 平衡位置：__________力为零的位置，物体在此处合外力__________零。 · 振动位移：以__________为原点指向__________的有向线段，是__________，位移不从__________算起。 2. 简谐运动：最基础的理想化振动，物体受到的回复力满足__________，即回复力大小与____________________成正比，方向始终指向__________。 · 回复力是__________力，可以是某个力、合力或者分力，受力分析中__________单独分析回复力；式中的比例系数k由__________决定，__________是弹簧的劲度系数。 · 简谐运动运动的状态变化规律： 运动过程 位移大小 回复力、加速度 速度 动能 振动势能 振子远离平衡位置 （向最大位移处） _____ _____ _____ _____ _____ 振子向平衡位置靠近 _____ _____ _____ _____ _____ 关键位置： · 平衡位置：位移__________，回复力、加速度为__________，速度达到__________。 · 最大位移处：位移__________，回复力、加速度__________，速度等于__________。 3、简谐运动x‑t图像： （1）图像为__________；只反映__________随时间的变化，__________振子实际运动的轨迹。 （2）图像信息读取： · 纵坐标：某时刻相对平衡位置的__________； · 图线斜率：代表__________，斜率绝对值表示__________，正负表示__________； · 相邻两个波峰（或波谷）的时间间隔等于__________。 4、描述简谐运动的物理量： （1）振幅A：振子离开平衡位置的__________位移的大小，__________，描述振动__________；振幅恒为__________值，__________位移。 （2）周期T、频率f： · 全振动：振子回到__________、____________________完全相同的状态，即为完成一次全振动，仅回到同一位置__________完成了全振动。 · 周期T：完成__________的时间。频率：__________内完成全振动的次数。关系：__________。 · 固有周期/固有频率：简谐运动由____________________决定，与振幅__________，体现简谐运动的__________性。 （3）角频率ω、相位、初相位： · 振动表达式：____________________ · 角频率：____________________。 · 相位__________：描述振动所处运动阶段；__________为初相位，代表__________时刻的振动状态； · 相位差：用于对比两个__________简谐运动的振动步调；相位差为0为__________，相位差为__________。 5、简谐运动系统的能量规律： （1）无阻力理想条件下，做简谐运动的振动系统总机械能__________。 注意：是__________守恒，单个物体的机械能__________守恒（弹簧振子的弹性势能属于__________与__________共同组成的系统）。 （2）能量形式：__________与____________________相互转化。 · 平衡位置：动能__________，势能__________。 · 最大位移处：动能为__________，势能__________。 （3）总机械能由__________决定：__________越大，系统总机械能越__________。 【例1】有一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝小幅度上下振动（可视为竖直方向的简谐运动），某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化的规律如图所示。取竖直向上为正方向，则下列说法正确的是（　　） A．t2时刻，小鸟受到的回复力最大 B．t1时刻，小鸟的速度最小 C．0时刻与t2时刻，小鸟的振幅不相同 D．从t1到t2，小鸟的加速度逐渐减小 【变式1-1】某质点做简谐振动的位移一时间关系图像如图所示（为未知量）时刻该质点处于平衡位置，已知质点的振动周期为，振幅为A，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，质点的加速度最小 B．0时刻质点正在向最大位移处运动 C．质点的振动方程为 D． 【变式1-2】装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（　　） A．位移满足 B．玻璃管及内部液体受到重力、浮力和回复力的作用 C．振动过程中玻璃管及内部液体的机械能守恒 D．在时间内，位移减小，速度减小，加速度增大 【变式1-3】如图1所示，弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，图2是该弹簧振子的振动图像，t=0时刻振子 在B点，则下列说法正确的是（　　） A．振幅是16cm B．振动周期是5s C．t=121s时刻振子动能最大，速度方向指向B点 D．从t=0时刻开始经过30s，振子通过的路程是2.40m 【例2】如图所示，将质量为m的小球用轻弹簧竖直悬挂，用外力将小球沿竖直方向移至某一位置后由静止释放，释放瞬间小球的加速度大小为g、方向竖直向上。不计空气阻力，弹簧的劲度系数为k，且始终在弹性限度内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球振动的振幅为 B．小球振动的回复力由弹簧弹力提供 C．当小球的动能最大时，弹簧的弹性势能为零 D．当弹簧的弹性势能为零时，小球的动能也为零 【变式2-1】图甲是一个竖直放置的弹簧振子，M为振子振动的最低点，N为振子振动的最高点，图乙是其振动图像，下列说法正确的是（　　） A．t=1s时，振子位于M位置 B．该振子的振动周期为4s C．N→M的过程中，只有重力势能和弹性势能相互转化 D．振子处于平衡位置时，弹簧的长度等于原长 【变式2-2】如图所示，一水平弹簧振子在、间做简谐运动，振幅为，取平衡位置处为原点，向右为正，以振子向右经过平衡位置时为时刻，下列加速度-时间（）图像、动量-时间（）图像、速度-位移图像（）、动能-位移图像（）中可能正确的是（　　）（已知弹簧弹性势能的表达式为：，默认原长为零势能点，为形变量） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，一可以视为质点的物块放置于一竖直轻弹簧上，弹簧原长为4cm，轻弹簧下端与桌面栓接，上端与物块不栓接；物块在轻弹簧上平衡时，弹簧长度压缩为2cm，弹簧一直处于弹性限度内，整个过程中物体只在竖直方向上运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若将物块下压至弹簧长度为1cm，静止释放，则之后的运动中物块的机械能守恒 B．若将物块抬升至弹簧长度为3cm，静止释放，则简谐振动的振幅为1cm C．若将物块抬升至弹簧长度为3cm，静止释放，一个周期内弹簧对物体的冲量为0 D．若将弹簧劲度系数变为原来的2倍，用手提起物块至距离桌面上方5cm处，静止释放，则物块最低点在距离桌面上方1cm处 【知识点2 单摆】 1、单摆模型： · 理想化模型：细线__________、质量__________，摆球视为__________；只有摆角__________时，单摆的运动才可看作简谐运动。 · 摆长L：__________到摆球__________的距离，__________细线长度。 · 回复力来源：______________________________充当回复力；______________________________提供圆周运动的向心力。 2、单摆周期公式：__________ 周期仅由__________、__________决定，与__________、__________无关，体现单摆的__________性。 3、等效单摆（类单摆）： （1）等效摆长：摆动圆弧的__________到摆球__________的距离。 （2）等效重力加速度g'：摆球静止于__________时，摆线拉力除以摆球质量；在加速参考系、叠加电场力等场景，需要代入等效g'计算周期。 4、实验：用单摆测定重力加速度 （1）原理：__________。 （2）需测量的物理量：摆长L（__________）；利用多次全振动的总时间求周期T（__________或__________）。 （3）操作要点：摆角__________；从__________开始计时，减小计时误差。 （4）主要误差来源：摆长测量，摆角过大，计时起点选最大位移处，形成圆锥摆…… 【例3】如图所示，细绳一端固定在P点，另一端系一个小球，先将小球拉至平衡位置右侧的A点，此时细绳与竖直方向的夹角为θ（θ<5°），再将小球由静止释放，使其在竖直平面内摆动，平衡位置为O点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球做机械振动的回复力由小球受到的合外力来提供 B．小球由A点运动到O点的过程中，绳子的拉力越来越小 C．若将细绳偏离竖直方向的夹角θ减小，其周期保持不变 D．小球运动到O点时，速度达到最大，合外力为0 【变式3-1】如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取，忽略一切阻力。下列说法正确的是（    ） A．时小球位于C点 B．时小球位于B点 C．OA之间的距离为0.4m D．OP之间的距离为0.3m 【变式3-2】在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间F-t图像。下列说法正确的是（　　） A．t=0.1 s时刻摆球运动到最低点 B．单摆振动周期T=0.8 s C．若仅将摆球质量变小，单摆周期不变 D．摆球摆动过程合力方向始终沿绳指向悬挂点 【变式3-3】如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 【知识点3 阻尼振动、受迫振动、共振】 1、阻尼振动：实际振动所受__________、__________，称为阻尼。振幅不断衰减的振动为__________振动。 · 特点：振动能量持续__________，振幅不断__________；但系统的固有周期、固有频率__________。 · 理想无阻尼简谐运动，振幅__________。 2、受迫振动：物体在驱动力作用下发生的振动。 · 频率：受迫振动的频率等于__________的频率，和系统本身的固有频率__________。 · 区分三个频率：固有频率（__________）、驱动力频率（__________）、受迫振动的频率（等于__________频率）。 3、共振： （1）条件：驱动力频率__________系统固有频率。 （2）现象：发生共振时，受迫振动的振幅达到__________。 （3）共振曲线：横坐标为__________，纵坐标为__________，峰值位置对应系统__________频率。 （4）共振的利用与防止： · 利用共振：共振筛、共鸣音箱…… · 防止共振：错开驱动力频率和固有频率，如部队过桥便步走、大型设备加装配重底座…… 【例4】如图所示，四个摆的摆长分别为，，，现用一个周期等于2秒的驱动力，使它们做受迫振动，那么当它们振动稳定时，下列判断正确的是（　　） A．四个摆的周期和振幅都相等 B．四个摆的周期不等但振幅相等 C．四个摆的周期振幅都不等 D．摆3的振幅最大 【变式4-1】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2Hz，然后匀速转动摇把，转速为240r/min，当振子振动稳定后，它的振动周期为（　　） A．s B．s C．2s D．4s 【变式4-2】如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约为。现使圆盘以的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．此时系统的频率振动约为 B．此时系统的振动频率约为 C．若圆盘匀速转动的周期增大，小球振动的振幅变小 D．若圆盘匀速转动的周期增大，系统稳定时的振动频率变大 【变式4-3】甲、乙两位同学利用假期分别在两个地方做“用单摆测重力加速度的实验”，回来后共同绘制了T2－l图像，其中T为单摆振动的周期，l为摆长，如图甲中A、B所示，此外甲同学还顺便利用其实验的单摆探究了受迫振动，并绘制了单摆的共振曲线，如图乙所示，那么下列说法中正确的是（　　） A．由图甲分析可知A图线所对应的实验地点重力加速度较小 B．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆固有周期为0.5s C．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆摆长为8 cm D．若将单摆放入绕地球稳定飞行的宇宙飞船中，利用单摆可以测出飞船轨道处的引力加速度 【补充】 1、平衡位置与最大位移处对比： 位置 位移 回复力 加速度 速度 动能 势能 平衡位置 __________ __________ __________ __________ __________ __________ 最大位移处 __________ __________ __________ __________ __________ __________ 2、固有周期与驱动力周期对比： 类别 决定因素 固有周期 振动系统本身（弹簧振子由__________、__________决定；单摆由__________、__________决定），与外界条件__________ 驱动力周期 由____________________决定，和振动系统本身__________ 受迫振动的周期__________驱动力周期；当两者相等，发生__________。 3、全章易错点： ①振动位移原点是__________，__________运动起点。x‑t图像只描述__________随时间变化，__________振子运动轨迹。 ②回复力属于__________力，受力分析__________直接画出回复力；中的k__________弹簧劲度系数。 ③完成一次全振动，必须__________、____________________全部相同，仅回到同一位置__________一次全振动。 ④单摆摆长为__________到__________；只有摆角__________，才能使用简谐运动和单摆周期公式。 ⑤单摆回复力是重力的__________，单摆的__________提供向心力，不要错误认为回复力是重力和绳拉力的合力。 ⑥阻尼振动只是振幅__________，固有周期__________。 ⑦受迫振动的频率__________驱动力频率，__________固有频率；只有__________时二者才相等。 ⑧简谐运动具有__________性：周期和振幅__________，振幅变大周期__________。 ⑨简谐运动的__________机械能守恒，弹簧振子模型中振子个体的机械能__________。 一、单选题（共10道） 1．有两个简谐运动的振动方程：，，则下列说法中错误的是（　　） A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 2．下列关于机械振动的说法正确的是（　　） A．受迫振动稳定后，其振动的周期总等于系统的固有周期 B．阻尼振动振幅逐渐减小，同时能量逐渐消失 C．当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大 D．为避免共振现象发生，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率 3．一个理想单摆，已知周期为T。若由于某种原因自由落体加速度变为原来的，则它的周期变为（　　） A． B． C． D． 4．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动。振子的位移随时间的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．振子的振幅为12m B．从0.4s到0.8s的过程中，振子的速度变大，为负方向 C．从0.8s到1.2s的过程中，振子的加速度逐渐减小，为正方向 D．1.6s时振子的速度最大，机械能最小 5．某质点做简谐振动，其位移x与时间t关系如图所示，则该质点（　　） A．振动周期为1s B．0.2s时的速率比0.4s时的大 C．0.1s时的回复力与0.3s时的相等 D．在0~0.4s内通过路程为5.0cm 6．如图所示，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球套在水平光滑细杆上，O为平衡位置，小球在A、B间做简谐运动，小球从O到A的过程中（　　） A．弹簧的弹性势能越来越小 B．小球的加速度越来越小 C．小球的速度越来越大 D．回复力做负功 7．如图为甲、乙两个质点简谐运动的振动图像，则甲和乙两个简谐运动（　　） A．相位差为π B．频率之比为1∶2 C．0.25s时速度方向相反 D．0.45s时加速度方向相反 8．在北京研学的同学们看到街头有一个摆钟，如图所示，大家纷纷议论了起来，已知此摆钟在北京走时准确。关于同学们的议论下列说法正确的是（　　） A．小华同学认为如果将摆钟带回广州，摆钟走时还会像在北京一样准确 B．小明同学说摆球在摆动中的回复力是摆绳拉力和摆球重力的合力 C．小张同学说摆球运动到两侧最高点时摆绳的拉力最大 D．小王同学说如果能让此摆钟加速上升，摆钟的摆动周期一定减小 9．如图甲、乙所示，同一单摆先后做简谐运动和圆锥摆运动，已知摆球的最大高度相同。则两次运动相比较，简谐运动中摆球的（　　） A．运动的周期小 B．运动的周期大 C．二者周期相等 D．无法判断 10．如图所示，M沿边长为L的正方形ABCD的边AB做匀速率往复运动，M运动的周期为T，沿边运动的位移满足，M、N都从A点出发，P在正方形ABCD平面内，且始终有、，则P的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（共5道） 11．一列简谐波沿直线传播，先后经过a、b两点，a、b两点间距为1m，如图甲为a点振动图像，如图乙为b点振动图像。下列说法正确的是（　　） A．波的周期为4s B．波的速度可能为0.25m/s C．波的速度可能为1m/s D．时，b点向轴负方向运动 12．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图，以下说法正确的是（　　） A．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最小 B．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最大 C．时刻摆球速度为零，绳对它的拉力最小 D．时刻摆球速度最小，绳对它的拉力最大 13．如图所示，固定倾斜直管内壁光滑，底部连接一劲度系数为k的轻质弹簧，其上端位于O点。将一质量为m的小球（直径略小于管的内径）由A点静止释放，最低运动至B点。不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。已知弹簧振子简谐运动的周期公式为，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时速度最大 B．小球从A点运动到B点的过程，小球与弹簧组成的系统机械能守恒 C．小球从O点运动到B点的时间为 D．若将小球由O点静止释放，运动到最低点的时间为 14．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，金属杆相应的曲线方程为（单位：），式中。将一小环套在该金属杆上，并从处以的初速度沿杆向下运动，则该环（　　） A．沿曲线作简谐运动 B．时加速度为0 C．运动到时速度大小为 D．在轴方向最远能运动到处 15．如图所示，质量为的木板与直立轻弹簧的上端拴接，弹簧下端固定在地面上。平衡时弹簧的压缩量为，一质量为的物块从木板正上方距离为的高处自由落下，打在木板上并与木板粘在一起向下运动（A、B可以看作质点）。从A、B碰撞后到两者到达最低点经历的总时间为，已知弹簧的弹性势能，为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为，空气阻力忽略不计。则在时间内，下列说法正确的是（　　） A．A、B碰后的速度为 B．A和B碰后弹簧最大形变量为 C．A和B一起运动的最大加速度是 D．A、B碰撞后一起做简谐振动的周期 三、实验题（共2道） 16．某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图甲所示，轻质弹簧上端连接力传感器，力传感器固定在铁架台上，弹簧下端挂有钩码，并与计算机相连，通过计算机软件可获得传感器受到的弹力随时间变化的图像。 （1）测出钩码的质量和弹簧的劲度系数。 （2）悬挂钩码，钩码处于静止状态后，竖直向下拉动钩码，释放钩码并开始记录力传感器受到的弹力大小随时间变化的曲线，如图乙所示。根据图像可知，钩码做简谐运动的周期____________（用“”表示），振幅____________（用“”和“”表示）。 （3）多次更换弹簧和钩码重复上述步骤，实验测得数据如下表所示。分析数据可知，弹簧劲度系数一定时，在误差范围内弹簧振子振动周期的平方（）与质量（）的关系是____________（填“线性的”或“非线性的”）。 0.010 100 0.063 0.0039 0.020 100 0.089 0.0079 0.040 100 0.126 0.0158 0.010 200 0.044 0.0020 0.020 200 0.063 0.0039 0.040 200 0.089 0.0079 （4）结合（3）中实验数据，弹簧振子振动周期的表达式可能是____________（填正确答案标号）。 A．    B．   C．    D． 17．同学利用在半径的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。 （1）该同学首先利用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径________mm。 （2）该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则小球摆动的周期T=________s。（结果保留两位有效数字） （3）当地重力加速度g的表达式为________（用π、d、T、R表示），代入已知数据后即可获得当地的重力加速度。 四、解答题（共2道） 18．如图甲所示，质量为3m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，求： （1）物体A的振动方程； （2）物体B对地面的最大压力大小。 19．如图所示，一个身高h的人从湖边很高的平台上做“蹦极跳”，弹性绳的一端系在他的脚上，另一端固定在平台上，他从静止开始下落。弹性绳的长度和劲度系数选择使得他的头顶触及湖面时，其速度恰好减小为零，已知绳的原长为，当悬挂人体平衡后，绳的长度为l，忽略空气阻力。 （1）求跳台离水面的高度； （2）判断在跳下过程中何处速度最大？何处加速度最大？并求出相应的大小（设人的质心位于人体几何中心）； （3）求从开始下落到最低点所用的时间。 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《机械振动》单元复习 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+4个题型）+课后作业】 知识归纳 【知识点1 简谐运动综合理解】 1. 机械振动：物体或物体的一部分在平衡位置附近做往复运动。 · 平衡位置：回复力为零的位置，物体在此处合外力不一定等于零。 · 振动位移：以平衡位置为原点指向振子所在位置的有向线段，是矢量，位移不从初始位置算起。 2. 简谐运动：最基础的理想化振动，物体受到的回复力满足，即回复力大小与相对平衡位置的位移大小成正比，方向始终指向平衡位置。 · 回复力是效果力，可以是某个力、合力或者分力，受力分析中不能单独分析回复力；式中的比例系数k由系统自身结构决定，不一定是弹簧的劲度系数。 · 简谐运动运动的状态变化规律： 运动过程 位移大小 回复力、加速度 速度 动能 振动势能 振子远离平衡位置 （向最大位移处） 增大 增大 减小 减小 增大 振子向平衡位置靠近 减小 减小 增大 增大 减小 关键位置： · 平衡位置：位移，回复力、加速度为0，速度达到最大值。 · 最大位移处：位移最大，回复力、加速度最大，速度等于0。 3、简谐运动x‑t图像： （1）图像为正弦或余弦曲线；只反映位移随时间的变化，不是振子实际运动的轨迹。 （2）图像信息读取： · 纵坐标：某时刻相对平衡位置的位移； · 图线斜率：代表瞬时速度，斜率绝对值表示速度大小，正负表示速度方向； · 相邻两个波峰（或波谷）的时间间隔等于周期T。 4、描述简谐运动的物理量： （1）振幅A：振子离开平衡位置的最大位移的大小，标量，描述振动强弱；振幅恒为正值，不等同于位移。 （2）周期T、频率f： · 全振动：振子回到位移、速度（大小、方向）完全相同的状态，即为完成一次全振动，仅回到同一位置不一定完成了全振动。 · 周期T：完成一次全振动的时间。频率：单位时间内完成全振动的次数。关系：。 · 固有周期/固有频率：简谐运动由系统自身属性决定，与振幅无关，体现简谐运动的等时性。 （3）角频率ω、相位、初相位： · 振动表达式： · 角频率：。 · 相位：描述振动所处运动阶段；为初相位，代表时刻的振动状态； · 相位差：用于对比两个同频率简谐运动的振动步调；相位差为0为同相，相位差为反相。 5、简谐运动系统的能量规律： （1）无阻力理想条件下，做简谐运动的振动系统总机械能守恒。 注意：是系统守恒，单个物体的机械能不一定守恒（弹簧振子的弹性势能属于弹簧与振子共同组成的系统）。 （2）能量形式：动能Ek与振动势能（弹性势能或重力势能）Ep相互转化。 · 平衡位置：动能最大，势能最小。 · 最大位移处：动能为0，势能最大。 （3）总机械能由振幅决定：振幅越大，系统总机械能越大。 【例1】有一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝小幅度上下振动（可视为竖直方向的简谐运动），某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化的规律如图所示。取竖直向上为正方向，则下列说法正确的是（　　） A．t2时刻，小鸟受到的回复力最大 B．t1时刻，小鸟的速度最小 C．0时刻与t2时刻，小鸟的振幅不相同 D．从t1到t2，小鸟的加速度逐渐减小 【答案】A 【详解】依据题目和图像判断，小鸟随树枝做竖直方向简谐运动，回复力与位移关系为，加速度与位移关系为，回复力和加速度的大小都与位移大小成正比。 A．时刻小鸟处于负向最大位移处，位移大小最大，由可知回复力大小最大，故A正确； B．时刻小鸟经过平衡位置，位移为，简谐运动中平衡位置处速度最大，故B错误； C．简谐运动的振幅是离开平衡位置的最大距离，同一次小幅振动中振幅不变，时刻与时刻对应的最大位移大小相同，振幅相同，故C错误； D．从到，小鸟从平衡位置运动到负向最大位移处，位移大小逐渐增大，由可知加速度大小逐渐增大，故D错误。 故选A。 【变式1-1】某质点做简谐振动的位移一时间关系图像如图所示（为未知量）时刻该质点处于平衡位置，已知质点的振动周期为，振幅为A，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，质点的加速度最小 B．0时刻质点正在向最大位移处运动 C．质点的振动方程为 D． 【答案】C 【详解】A．由题图可知，时刻，质点的纵坐标为，故此时质点的加速度最大，而不是最小，A错误； B．由题图可知，0时刻质点在处，经过时间，质点到达处，故质点正在向平衡位置运动，而不是向最大位移处运动，故B错误； CD．设质点的振动方程为 将、代入质点的振动方程有 将、代入质点的振动方程有 联立解得， 质点的振动方程为，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1-2】装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（　　） A．位移满足 B．玻璃管及内部液体受到重力、浮力和回复力的作用 C．振动过程中玻璃管及内部液体的机械能守恒 D．在时间内，位移减小，速度减小，加速度增大 【答案】A 【详解】A．由题意可知玻璃管做简谐运动，振幅，周期，则角频率 设振动方程为 由图乙可知时且图像斜率为负即向负方向运动，代入得 解得 因时速度，即，故初相位 位移满足，故A正确； B．玻璃管及内部液体受到重力和浮力作用，回复力是重力和浮力的合力，效果力不是物体实际受到的力，故B错误； C．振动过程中，水对玻璃管的浮力做功，玻璃管及内部液体的机械能不守恒，故C错误； D．在时间内，由图乙可知玻璃管从负向位移处向平衡位置运动，位移大小减小，速度增大，加速度减小，故D错误。 故选A。 【变式1-3】如图1所示，弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，图2是该弹簧振子的振动图像，t=0时刻振子 在B点，则下列说法正确的是（　　） A．振幅是16cm B．振动周期是5s C．t=121s时刻振子动能最大，速度方向指向B点 D．从t=0时刻开始经过30s，振子通过的路程是2.40m 【答案】D 【详解】A．根据图像，振幅，故A错误； B．根据图像，完成一个完整周期波形的时间是4s，即，故B错误； C．第121s末的运动状态与第1s末的运动状态完全相同，此时，振子恰好经过平衡位置O，此时位移最小，速度最大，因此动能最大。时，振子在B点，此时图像显示位移为8cm，这表明规定的正方向是指向B点的方向。时，图像正在向负半轴延伸（切线斜率为负），说明振子的速度方向沿负方向，即背离B点，指向C点。故C错误； D． 即经过了7.5个周期，则 故D正确。 故选D。 【例2】如图所示，将质量为m的小球用轻弹簧竖直悬挂，用外力将小球沿竖直方向移至某一位置后由静止释放，释放瞬间小球的加速度大小为g、方向竖直向上。不计空气阻力，弹簧的劲度系数为k，且始终在弹性限度内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球振动的振幅为 B．小球振动的回复力由弹簧弹力提供 C．当小球的动能最大时，弹簧的弹性势能为零 D．当弹簧的弹性势能为零时，小球的动能也为零 【答案】D 【详解】A．小球静止时弹簧伸长量为，满足，静止时的位置为小球的平衡位置，由于释放瞬间小球的加速度大小为g、方向竖直向上，由牛顿第二定律 解得 因此释放位置的弹簧伸长量 所以振幅，A错误； B．回复力是弹簧弹力与重力的合力，B错误； C．动能最大的位置是平衡位置，此时弹簧仍处于伸长状态，弹性势能不为零，C错误； D．小球能到达的最高点为平衡位置上方处，恰好为弹簧原长位置，所以弹簧振子在最高点的速度为零，因此动能也为零，D正确。 故选D。 【变式2-1】图甲是一个竖直放置的弹簧振子，M为振子振动的最低点，N为振子振动的最高点，图乙是其振动图像，下列说法正确的是（　　） A．t=1s时，振子位于M位置 B．该振子的振动周期为4s C．N→M的过程中，只有重力势能和弹性势能相互转化 D．振子处于平衡位置时，弹簧的长度等于原长 【答案】B 【详解】A．t=1s时，振子处于正的最大位移处，即振子应处于N处，故A错误； B．由乙图可知，周期，故B正确； C．N→M过程中，重力势能、弹性势能、动能三者相互转化，故C错误； D．振子处于平衡位置，合力为零，即 即弹簧处于伸长状态，故D错误。 故选B。 【变式2-2】如图所示，一水平弹簧振子在、间做简谐运动，振幅为，取平衡位置处为原点，向右为正，以振子向右经过平衡位置时为时刻，下列加速度-时间（）图像、动量-时间（）图像、速度-位移图像（）、动能-位移图像（）中可能正确的是（　　）（已知弹簧弹性势能的表达式为：，默认原长为零势能点，为形变量） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．由题可知，其中x=Asinωt 则有，因此a-t图像不是线性关系，故A错误； B．根据简谐振动位移与时间的关系x=Asinωt，则其速度 结合动量p=mv=mAωcosωt 即p-t图像为一条余弦函数，故B错误； D．根据机械能守恒定律可知，振子的动能和势能之和为定值，即Ek+Ep=E 则有 其中E为定值，则Ek-x的图像应为开口向下的抛物线，故D错误； C．设平衡位置O处振子速度为v0，振子运动过程中，振子和弹簧组成的系统机械能守恒，则有 整理可得，则v-x的图像是椭圆，故C正确。 故选C。 【变式2-3】如图所示，一可以视为质点的物块放置于一竖直轻弹簧上，弹簧原长为4cm，轻弹簧下端与桌面栓接，上端与物块不栓接；物块在轻弹簧上平衡时，弹簧长度压缩为2cm，弹簧一直处于弹性限度内，整个过程中物体只在竖直方向上运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若将物块下压至弹簧长度为1cm，静止释放，则之后的运动中物块的机械能守恒 B．若将物块抬升至弹簧长度为3cm，静止释放，则简谐振动的振幅为1cm C．若将物块抬升至弹簧长度为3cm，静止释放，一个周期内弹簧对物体的冲量为0 D．若将弹簧劲度系数变为原来的2倍，用手提起物块至距离桌面上方5cm处，静止释放，则物块最低点在距离桌面上方1cm处 【答案】B 【详解】A．物块与弹簧的总机械能守恒，对于物块而言，机械能不守恒，故A错误； B．平衡位置在距离桌面处，抬升至距离桌面处意味着偏离平衡位置，因此简谐振动振幅为，故B正确； C．一个周期内物块速度变化量为，所以弹力和重力的总冲量为，由于重力的冲量不为，所以弹力的总冲量也不为，故C错误； D．当劲度系数翻倍，平衡时弹簧形变量应为原来的一半，因此劲度系数倍增后，平衡位置在距离桌面上方处。弹簧原长为，将物块抬升至距离桌面5cm处时，物块已经离开弹簧，此后释放物块，物块不做简谐振动。如果物块做简谐振动，其振幅应为，最低点应在离桌面处，而由于现在物块不做简谐振动，因此最低点并不在离桌面处。故D错误； 故选B。 【知识点2 单摆】 1、单摆模型： · 理想化模型：细线不可伸长、质量不计，摆球视为质点；只有摆角时，单摆的运动才可看作简谐运动。 · 摆长L：悬点到摆球球心的距离，不等于细线长度。 · 回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力充当回复力；重力沿半径方向的分力与绳子拉力的合力提供圆周运动的向心力。 2、单摆周期公式： 周期仅由摆长L、当地的重力加速度g决定，与摆球质量m、振幅A无关，体现单摆的等时性。 3、等效单摆（类单摆）： （1）等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球球心的距离。 （2）等效重力加速度g'：摆球静止于平衡位置时，摆线拉力除以摆球质量；在加速参考系、叠加电场力等场景，需要代入等效g'计算周期。 4、实验：用单摆测定重力加速度 （1）原理：。 （2）需测量的物理量：摆长L（）；利用多次全振动的总时间求周期T（或）。 （3）操作要点：摆角；从平衡位置开始计时，减小计时误差。 （4）主要误差来源：摆长测量，摆角过大，计时起点选最大位移处，形成圆锥摆…… 【例3】如图所示，细绳一端固定在P点，另一端系一个小球，先将小球拉至平衡位置右侧的A点，此时细绳与竖直方向的夹角为θ（θ<5°），再将小球由静止释放，使其在竖直平面内摆动，平衡位置为O点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球做机械振动的回复力由小球受到的合外力来提供 B．小球由A点运动到O点的过程中，绳子的拉力越来越小 C．若将细绳偏离竖直方向的夹角θ减小，其周期保持不变 D．小球运动到O点时，速度达到最大，合外力为0 【答案】C 【详解】A．小球在运动过程中受竖直向下的重力G和沿轻绳的拉力F的作用，小球做机械振动的回复力由小球受到的重力沿运动圆弧切线方向的分力来提供，故A错误； B．设小球运动中细绳与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律可得 小球由A点运动到O点的过程中，逐渐减小，逐渐增大，逐渐增大，所以绳子的拉力越来越大，故B错误； C．若将细绳偏离竖直方向的夹角θ减小，小球做简谐运动的振幅减小，由小球运动周期公式可知小球运动的周期不变，故C正确； D．由动能定理得 可知小球运动到O点时，速度达到最大；小球运动到O点时，合外力提供向心力，由牛顿第二定律可得 可知小球运动到O点时，合外力不为零，故D错误。 故选C。 【变式3-1】如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取，忽略一切阻力。下列说法正确的是（    ） A．时小球位于C点 B．时小球位于B点 C．OA之间的距离为0.4m D．OP之间的距离为0.3m 【答案】A 【详解】AB．由图像可知，内应该对应着摆球在CB之间的摆动；内应该对应着摆球在BA之间的摆动，因时摆线拉力最小，可知小球位于C点，时小球位于A点，选项A正确，B错误； C．摆球在AB之间摆动的周期为T1=0.8πs，根据，可得L1=1.6m 即OA之间的距离为1.6m，选项C错误； D．摆球在BC之间摆动的周期为T2=0.4πs，根据，可得L2=0.4m 即PB之间的距离为0.4m，OP之间的距离为1.2m，选项D错误。 故选A。 【变式3-2】在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间F-t图像。下列说法正确的是（　　） A．t=0.1 s时刻摆球运动到最低点 B．单摆振动周期T=0.8 s C．若仅将摆球质量变小，单摆周期不变 D．摆球摆动过程合力方向始终沿绳指向悬挂点 【答案】C 【详解】A．单摆振动过程中，在最低点时绳子拉力最大，在最高点时绳子拉力最小，由图像可知，在时拉力最小，说明摆球此时运动到最高点，故A错误； B．摆球在一个周期内两次经过最低点（即两次拉力达到最大值），从最低点到相邻的最高点，再到最低点，为半个周期，由图乙可知，相邻两个拉力最小值之间的时间间隔为 因此单摆的振动周期为，故B错误； C．根据单摆周期公式，单摆的周期仅由摆长和当地重力加速度决定，与摆球质量无关，因此，若仅将摆球质量变小，单摆周期不变，故C正确； D．摆球摆动过程中做圆周运动，其合力可分解为切向合力与径向合力，由于摆球在运动，其合力方向并不是始终沿绳指向悬挂点，故D错误。 故选C。 【变式3-3】如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 【答案】A 【详解】A．时，甲单摆摆球在平衡位置处，重力势能最小，乙单摆摆球在振动的正方向最大位移处，动能为零，故A正确； B．由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为4s、8s，甲、乙两摆的周期之比为1∶2，故B错误； C．由单摆的周期公式可得，甲、乙两单摆的摆长之比，故C错误； D．摆球实际在做竖直面的圆周运动，在最低点时有向心加速度，加速度不为0，故D错误。 故选A。 【知识点3 阻尼振动、受迫振动、共振】 1、阻尼振动：实际振动所受空气阻力、摩擦阻力，称为阻尼。振幅不断衰减的振动为阻尼振动。 · 特点：振动能量持续损耗，振幅不断减小；但系统的固有周期、固有频率保持不变。 · 理想无阻尼简谐运动，振幅恒定不变。 2、受迫振动：物体在驱动力作用下发生的振动。 · 频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，和系统本身的固有频率无关。 · 区分三个频率：固有频率（系统自身）、驱动力频率（外界）、受迫振动的频率（等于驱动力频率）。 3、共振： （1）条件：驱动力频率等于系统固有频率。 （2）现象：发生共振时，受迫振动的振幅达到最大值。 （3）共振曲线：横坐标为驱动力频率，纵坐标为振幅，峰值位置对应系统固有频率。 （4）共振的利用与防止： · 利用共振：共振筛、共鸣音箱…… · 防止共振：错开驱动力频率和固有频率，如部队过桥便步走、大型设备加装配重底座…… 【例4】如图所示，四个摆的摆长分别为，，，现用一个周期等于2秒的驱动力，使它们做受迫振动，那么当它们振动稳定时，下列判断正确的是（　　） A．四个摆的周期和振幅都相等 B．四个摆的周期不等但振幅相等 C．四个摆的周期振幅都不等 D．摆3的振幅最大 【答案】D 【详解】ABC．根据单摆的周期公式可知，将四个单摆的摆长代入公式，可求得它们的固有周期分别为，，， 当四个摆振动起来后，驱动力使得摆做受迫振动，由于受迫振动物体的周期等于驱动力的周期，所以四个摆振动起来后的振动周期都等于，故各摆振动的周期都相等；由于四个摆的摆长不同，固有周期不同，故振幅不全相同。故ABC错误； D．当驱动力的周期接近物体的固有周期时，其振幅最大，此时物体发生共振。由于摆的固有周期与驱动力的周期相等，故摆发生共振，振幅最大，故D正确。 故选D。 【变式4-1】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2Hz，然后匀速转动摇把，转速为240r/min，当振子振动稳定后，它的振动周期为（　　） A．s B．s C．2s D．4s 【答案】B 【详解】振子在摇把的驱动下做受迫振动，受迫振动的周期等于驱动力的周期，与振子的固有周期无关。摇把的转速为 即 驱动力的频率等于摇把转动的频率，即 驱动力的周期 所以振子振动稳定后的周期为。 故选B。 【变式4-2】如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约为。现使圆盘以的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．此时系统的频率振动约为 B．此时系统的振动频率约为 C．若圆盘匀速转动的周期增大，小球振动的振幅变小 D．若圆盘匀速转动的周期增大，系统稳定时的振动频率变大 【答案】C 【详解】AB．圆盘匀速转动时，小圆柱通过T形支架对下面的系统施加一个周期性的驱动力，驱动力的频率等于圆盘转动的频率。系统在驱动力作用下做受迫振动，稳定后的振动频率等于驱动力的频率，与系统本身的固有频率无关。驱动力频率，故AB错误； C．受迫振动时，系统振幅与驱动力频率和固有频率的接近程度有关，越接近共振频率，振幅越大。若圆盘匀速转动的周期增大，驱动力频率减小。原来驱动力频率已远小于固有频率，周期再增大，频率更小，更远离共振区，因此振幅变小，故C正确； D．稳定时振动频率等于驱动力频率，圆盘匀速转动的周期增大则驱动力频率减小，所以振动频率变小，故D错误。 故选C。 【变式4-3】甲、乙两位同学利用假期分别在两个地方做“用单摆测重力加速度的实验”，回来后共同绘制了T2－l图像，其中T为单摆振动的周期，l为摆长，如图甲中A、B所示，此外甲同学还顺便利用其实验的单摆探究了受迫振动，并绘制了单摆的共振曲线，如图乙所示，那么下列说法中正确的是（　　） A．由图甲分析可知A图线所对应的实验地点重力加速度较小 B．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆固有周期为0.5s C．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆摆长为8 cm D．若将单摆放入绕地球稳定飞行的宇宙飞船中，利用单摆可以测出飞船轨道处的引力加速度 【答案】A 【详解】A．根据单摆的周期 变形可得 因此在图像中，其斜率为 解得 由甲图可知，A图线的斜率大于B图线的斜率，因此A图线所对应的实验地点重力加速度较小，故A正确； B．由题图乙可知，当驱动力的频率为时，摆球发生共振，故系统的固有频率为 则单摆的固有周期，故B错误； C．根据单摆的周期公式 解得单摆的摆长，故C错误； D．若将单摆放入绕地球稳定飞行的宇宙飞船中，摆球处于完全失重状态，不能在竖直平面内来回摆动，无法测出飞船轨道处的引力加速度，故D错误。 故选A。 【补充】 1、平衡位置与最大位移处对比： 位置 位移 回复力 加速度 速度 动能 势能 平衡位置 0 0 0 最大 最大 最小 最大位移处 最大 最大 最大 0 0 最大 2、固有周期与驱动力周期对比： 类别 决定因素 固有周期 振动系统本身（弹簧振子由k、m决定；单摆由L、g决定），与外界条件无关 驱动力周期 由周期性驱动力决定，和振动系统本身无关 受迫振动的周期＝驱动力周期；当两者相等，发生共振。 3、全章易错点： ①振动位移原点是平衡位置，不是运动起点。x‑t图像只描述位移随时间变化，不是振子运动轨迹。 ②回复力属于效果力，受力分析不能直接画出回复力；中的k不一定是弹簧劲度系数。 ③完成一次全振动，必须位移、速度的大小和方向全部相同，仅回到同一位置不等于一次全振动。 ④单摆摆长为悬点到球心；只有摆角小于5°，才能使用简谐运动和单摆周期公式。 ⑤单摆回复力是重力的切向分力，单摆的径向合力提供向心力，不要错误认为回复力是重力和绳拉力的合力。 ⑥阻尼振动只是振幅减小，固有周期不会改变。 ⑦受迫振动的频率等于驱动力频率，不等于固有频率；只有共振时二者才相等。 ⑧简谐运动具有等时性：周期和振幅无关，振幅变大周期不变。 ⑨简谐运动的系统机械能守恒，弹簧振子模型中振子个体的机械能不守恒。 一、单选题（共10道） 1．有两个简谐运动的振动方程：，，则下列说法中错误的是（　　） A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 【答案】D 【详解】A．简谐运动表达式为 其中为振幅。两式中振幅均为，故A正确； B．两式角频率均为，由 整理得=，两者周期相同，故B正确； C．两式角频率相同，相位差= 不随时间变化，故C正确； D．只有相位差为（为整数）时两振动步调一致，本题相位差为，故D错误。 故选D。 2．下列关于机械振动的说法正确的是（　　） A．受迫振动稳定后，其振动的周期总等于系统的固有周期 B．阻尼振动振幅逐渐减小，同时能量逐渐消失 C．当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大 D．为避免共振现象发生，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率 【答案】C 【详解】A．受迫振动稳定后，其振动周期由驱动力周期决定，而非系统的固有周期，故A错误； B．阻尼振动中振幅减小是因能量转化为其他形式（如热能），但总能量守恒，并未“消失”，故B错误； C．当驱动力频率等于系统固有频率时，发生共振，此时振幅最大，故C正确； D．为避免共振需使驱动力频率远离固有频率，而非接近或等于，故D错误。 故选C。 3．一个理想单摆，已知周期为T。若由于某种原因自由落体加速度变为原来的，则它的周期变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据单摆周期公式，当重力加速度变为原来的时，即 新周期为 因此周期变为原来的倍。 故选C。 4．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动。振子的位移随时间的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．振子的振幅为12m B．从0.4s到0.8s的过程中，振子的速度变大，为负方向 C．从0.8s到1.2s的过程中，振子的加速度逐渐减小，为正方向 D．1.6s时振子的速度最大，机械能最小 【答案】B 【详解】A．振子的振幅为12cm，A错误； B．从0.4s到0.8s的过程中，振子从位移最大的位置N向平衡位置O运动，则振子的速度变大，为负方向，B正确； C．从0.8s到1.2s的过程中，振子从O点到M点运动，则振子的加速度逐渐增大，为正方向，C错误； D．1.6s时振子在平衡位置，速度最大，振子的机械能守恒，D错误。 故选B。 5．某质点做简谐振动，其位移x与时间t关系如图所示，则该质点（　　） A．振动周期为1s B．0.2s时的速率比0.4s时的大 C．0.1s时的回复力与0.3s时的相等 D．在0~0.4s内通过路程为5.0cm 【答案】C 【详解】A．振动周期为T=0.8s，A错误； B．根据图像的斜率表示速度，由图像可知0.2s时的质点的速率为零，0.4s时速率最大，B错误； C．0.1s时的位移与0.3s时的相等，则回复力相等，C正确； D．在0~0.4s内通过路程为2A=10cm，D错误。 故选C。 6．如图所示，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球套在水平光滑细杆上，O为平衡位置，小球在A、B间做简谐运动，小球从O到A的过程中（　　） A．弹簧的弹性势能越来越小 B．小球的加速度越来越小 C．小球的速度越来越大 D．回复力做负功 【答案】D 【详解】小球从O到A的过程正在远离平衡位置，回复力做负功，速度越来越小，弹性势能正在变大，回复力正在变大，加速度越来越大。 故选D。 7．如图为甲、乙两个质点简谐运动的振动图像，则甲和乙两个简谐运动（　　） A．相位差为π B．频率之比为1∶2 C．0.25s时速度方向相反 D．0.45s时加速度方向相反 【答案】C 【详解】A．由图可见，甲的周期，乙的周期，两者频率不等，相位差不恒定，故 A 错误。 B．频率之比等于周期的反比为2：1，故B错误。 C．图像的斜率代表速度，0.25s时甲的斜率为正，乙的斜率为负，速度方向相反，故 C 正确。 D．根据可知，在t＝0.45 s时，甲的位移为负，乙的位移为负，所以加速度方向相同，故D错误。 故选C。 8．在北京研学的同学们看到街头有一个摆钟，如图所示，大家纷纷议论了起来，已知此摆钟在北京走时准确。关于同学们的议论下列说法正确的是（　　） A．小华同学认为如果将摆钟带回广州，摆钟走时还会像在北京一样准确 B．小明同学说摆球在摆动中的回复力是摆绳拉力和摆球重力的合力 C．小张同学说摆球运动到两侧最高点时摆绳的拉力最大 D．小王同学说如果能让此摆钟加速上升，摆钟的摆动周期一定减小 【答案】D 【详解】A．如果将摆钟从北京带回广州，重力加速度变小，根据单摆周期公式 可知周期变大，所以摆钟走时将不准确，故A错误； B．摆球在摆动中重力沿切线方向的分力提供摆球做简谐运动的回复力，故B错误； C．摆球运动到最低点时速度最大，根据牛顿第二定律 可知在最低点时线的拉力最大，两侧最高点时，速度最小，摆绳的拉力最小，故C错误； D．如果能让此摆钟加速上升，等效重力加速度变大，根据单摆周期公式 可知周期变小，故D正确。 故选D。 9．如图甲、乙所示，同一单摆先后做简谐运动和圆锥摆运动，已知摆球的最大高度相同。则两次运动相比较，简谐运动中摆球的（　　） A．运动的周期小 B．运动的周期大 C．二者周期相等 D．无法判断 【答案】B 【详解】设单摆的摆长为，最大夹角为，根据单摆周期公式 根据合力充当向心力 解得 所以 故选B。 10．如图所示，M沿边长为L的正方形ABCD的边AB做匀速率往复运动，M运动的周期为T，沿边运动的位移满足，M、N都从A点出发，P在正方形ABCD平面内，且始终有、，则P的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，由于沿边运动的位移满足 根据简谐运动周期公式，竖直方向运动的周期为 而水平方向做匀速率往复运动，其周期为 在一个完整的运动周期内，无论水平方向还是竖直方向，完成一次完整往复的运动路程均为 设合成运动的总时间为，则： ①水平方向完成的周期数为 ②竖直方向完成的周期数为 因此，水平方向与竖直方向的总运动路程之比为 A．由图A可知，水平方向完成个完整波形时，竖直方向完成个波形，路程比为，不符题意，故A错误； B．由图B可知，水平方向完成个完整波形时，竖直方向完成个波形，路程比为，不符题意，故B错误； C．由图C可知，水平方向完成个完整波形时，竖直方向完成个波形，路程比为，符合题意，故C正确； D．由图D可知，水平方向完成个完整波形时，竖直方向完成个波形，路程比为，不符题意，故D错误。 故选C。 二、多选题（共5道） 11．一列简谐波沿直线传播，先后经过a、b两点，a、b两点间距为1m，如图甲为a点振动图像，如图乙为b点振动图像。下列说法正确的是（　　） A．波的周期为4s B．波的速度可能为0.25m/s C．波的速度可能为1m/s D．时，b点向轴负方向运动 【答案】ACD 【详解】A．分析振动图像可知，周期，故A正确； BC．根据振动图像可知，时，质点在平衡位置沿轴负方向振动时，质点位于波峰，则两质点的间距满足 则波长 根据波长、波速和周期的关系可知 当时，；当时，，故B错误，C正确； D．时，分析图乙可知，质点位于平衡位置沿轴负方向运动，故D正确； 故选ACD。 12．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图，以下说法正确的是（　　） A．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最小 B．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最大 C．时刻摆球速度为零，绳对它的拉力最小 D．时刻摆球速度最小，绳对它的拉力最大 【答案】BC 【详解】AC．由图可知，和时刻摆球分别位于正、负向最大位移处，速度均为零。设摆线与竖直方向的夹角为，绳长为，沿摆线方向有 在最大位移处且最大，右侧两项均取最小值，绳的拉力最小，故A错误，C正确。 BD．和时刻摆球均经过平衡位置，速度大小最大，且，由 可知绳的拉力最大，故B正确，D错误。 故选BC。 13．如图所示，固定倾斜直管内壁光滑，底部连接一劲度系数为k的轻质弹簧，其上端位于O点。将一质量为m的小球（直径略小于管的内径）由A点静止释放，最低运动至B点。不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。已知弹簧振子简谐运动的周期公式为，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时速度最大 B．小球从A点运动到B点的过程，小球与弹簧组成的系统机械能守恒 C．小球从O点运动到B点的时间为 D．若将小球由O点静止释放，运动到最低点的时间为 【答案】BD 【详解】A．当小球所受合力为零时，速度最大，则 此时小球位于点下方，故A错误； B．直管内壁光滑，不计空气阻力，只有重力和弹簧弹力（系统内力）做功，因此小球从A点运动到B点的过程，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，B正确； C．小球接触弹簧后，受力满足简谐运动条件，简谐运动周期为 小球从A点运动到O点时已经获得向下的速度，O点并非平衡位置，故小球从O点到B点的时间不等于，故C错误； D．从O点静止释放后，小球做简谐运动，平衡位置距离O点 O点正好是简谐运动的一个最大位移处，小球运动到另一侧最低点（另一个最大位移处）的时间为半个周期，即，故D正确。 故选BD。 14．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，金属杆相应的曲线方程为（单位：），式中。将一小环套在该金属杆上，并从处以的初速度沿杆向下运动，则该环（　　） A．沿曲线作简谐运动 B．时加速度为0 C．运动到时速度大小为 D．在轴方向最远能运动到处 【答案】CD 【详解】A．简谐运动的核心条件是回复力满足 小环沿弯曲杆运动时，受到杆的弹力和重力，合力并不满足简谐运动的回复力特征，因此小环不做简谐运动，故A错误； BD．当时，代入曲线方程得 小环出发点对应的纵坐标 根据机械能守恒定律，小环运动到时，速度大小满足 解得 故小环在轴方向最远能运动到处，在该位置，小环的重力存在沿杆切线方向的分量，因此小环切向合力不为0，加速度不为0，故B错误，D正确； C．小环运动到时，代入曲线方程得 根据机械能守恒定律，小环的速度大小满足 解得，故C正确。 故选CD。 15．如图所示，质量为的木板与直立轻弹簧的上端拴接，弹簧下端固定在地面上。平衡时弹簧的压缩量为，一质量为的物块从木板正上方距离为的高处自由落下，打在木板上并与木板粘在一起向下运动（A、B可以看作质点）。从A、B碰撞后到两者到达最低点经历的总时间为，已知弹簧的弹性势能，为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为，空气阻力忽略不计。则在时间内，下列说法正确的是（　　） A．A、B碰后的速度为 B．A和B碰后弹簧最大形变量为 C．A和B一起运动的最大加速度是 D．A、B碰撞后一起做简谐振动的周期 【答案】AD 【详解】A．设物块A与木板B碰前瞬间的速度为，则根据机械能守恒定律有 解得 物块A与木板B碰撞过程，根据动量守恒定律有 解得物块A与木板B碰后瞬间的速度大小为，故A正确； B．木板B静止时有 解得 设从A、B相碰到两者到达最低点的过程，A、B下落的高度为，则根据系统机械能守恒有 解得 所以弹簧的最大压缩量为，故B错误； C．当弹簧压缩量最大时，A和B一起运动的加速度有最大值，则根据牛顿第二定律有 解得A和B一起运动的最大加速度大小为，故C错误； D．当弹簧弹力与A、B的重力相等时，A和B一起运动的速度最大，设此时弹簧压缩量为，则由共点力平衡可得 解得 由分析可知A、B粘在一起后做简谐运动，其振幅为 其振动过程如图所示 设其振动方程为 在C点A、B碰撞，则从C到O有 解得 由题意可知经历的时间为，则有 解得简谐运动的周期为，故D正确。 故选AD。 三、实验题（共2道） 16．某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图甲所示，轻质弹簧上端连接力传感器，力传感器固定在铁架台上，弹簧下端挂有钩码，并与计算机相连，通过计算机软件可获得传感器受到的弹力随时间变化的图像。 （1）测出钩码的质量和弹簧的劲度系数。 （2）悬挂钩码，钩码处于静止状态后，竖直向下拉动钩码，释放钩码并开始记录力传感器受到的弹力大小随时间变化的曲线，如图乙所示。根据图像可知，钩码做简谐运动的周期____________（用“”表示），振幅____________（用“”和“”表示）。 （3）多次更换弹簧和钩码重复上述步骤，实验测得数据如下表所示。分析数据可知，弹簧劲度系数一定时，在误差范围内弹簧振子振动周期的平方（）与质量（）的关系是____________（填“线性的”或“非线性的”）。 0.010 100 0.063 0.0039 0.020 100 0.089 0.0079 0.040 100 0.126 0.0158 0.010 200 0.044 0.0020 0.020 200 0.063 0.0039 0.040 200 0.089 0.0079 （4）结合（3）中实验数据，弹簧振子振动周期的表达式可能是____________（填正确答案标号）。 A．    B．   C．    D． 【答案】 线性的 A 【详解】[1]根据图乙可知，在时间内弹簧振子完成了10次全振动，因此振动周期。 [2]由图像可知，弹簧弹力的最大值为，最小值为0（弹簧处于原长状态）。弹簧的最大伸长量，最小伸长量为0，根据简谐运动的对称性，振幅。 [3]分析表中数据可知，当弹簧劲度系数一定时（如），随着质量的增大，周期的平方等比例增大；同理，当时也有相同规律。这说明在一定时，与成正比，即与的关系是线性的。 [4]由第[3]空分析可知，，即。进一步分析表中数据可知，当质量相同，弹簧劲度系数加倍时，减半，说明与成反比。综合以上分析可得。再结合量纲分析，的量纲为时间，即写成等式需要添加比例系数，对应四个选项则有弹簧振子的周期公式可能为。 故选A。 17．同学利用在半径的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。 （1）该同学首先利用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径________mm。 （2）该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则小球摆动的周期T=________s。（结果保留两位有效数字） （3）当地重力加速度g的表达式为________（用π、d、T、R表示），代入已知数据后即可获得当地的重力加速度。 【答案】（1）7.882/7.883/7.884 （2）2.0 （3） 【详解】（1）固定刻度：露出半毫米刻度，读数为 可动刻度：对齐刻度为格，读数为 故读数为 （2）小球在最高点时对传感器压力最小，由丙图可知：相邻两次最小压力的间隔为，对应半个周期（小球从一侧最高点到另一侧最高点为半个周期），因此周期 （3）小球在光滑圆弧上做简谐运动，等效于单摆，等效摆长为圆弧球心到小球球心的距离 根据单摆周期公式 变形得 四、解答题（共2道） 18．如图甲所示，质量为3m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，求： （1）物体A的振动方程； （2）物体B对地面的最大压力大小。 【答案】（1）cm （2） 【详解】（1）图乙可知振幅为A=10cm 周期为T=1.0s 角速度为rad/s 规定向上为正方向，t=0时刻位移为0.05m，表示振子由平衡位置上方0.05m处开始运动，所以初相为 则振子的振动方程为 （2）物体A在最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零，此时弹簧的拉力为F=3mg 对于物体A，由牛顿第二定律，有 解得a=2.5g 当物体A运动到最低点时，物体B对水平面的压力最大，由简谐运动的对称性可知，物体A在最低点时加速度向上，且大小等于2.5g，由牛顿第二定律,得 解得F′=7mg 由物体B的受力可知，物体B受水平面的最大支持力为 由牛顿第三定律=10mg 19．如图所示，一个身高h的人从湖边很高的平台上做“蹦极跳”，弹性绳的一端系在他的脚上，另一端固定在平台上，他从静止开始下落。弹性绳的长度和劲度系数选择使得他的头顶触及湖面时，其速度恰好减小为零，已知绳的原长为，当悬挂人体平衡后，绳的长度为l，忽略空气阻力。 （1）求跳台离水面的高度； （2）判断在跳下过程中何处速度最大？何处加速度最大？并求出相应的大小（设人的质心位于人体几何中心）； （3）求从开始下落到最低点所用的时间。 【答案】（1） （2）人在平衡位置处速度最大，，人在最低点处加速度最大，方向竖直向上， （3） 【详解】（1）如图所示，装置中人的脚与平台固定端由弹性绳相连，人的身高为，平台到湖面的高度为；该示意图用于确定最低点绳长与人的重心下降高度。弹性绳未伸长时人自由下落。设人的质量为，弹性绳劲度系数为。人静止悬挂平衡时，绳的伸长量为，由平衡条件得 最低点时人的头顶恰好接触湖面，因此脚到平台固定端的绳长为，绳的伸长量为。从开始下落到最低点，人的重心下降，且初、末速度均为零；由机械能守恒得 代入 并整理，得 最低点必须位于平衡位置下方，故 应取正号，因此 （2）弹性绳绷紧后，取竖直向下为正方向，设绳伸长量为。人的合力为 平衡位置满足 所以人在平衡位置处合力为零；从开始下落到平衡位置，人的重心下降，由机械能守恒得 代入 整理得 最低点相对平衡位置的位移最大，合力大小最大且方向向上。由牛顿第二定律 代入小问1结果，得，方向竖直向上。 （3）弹性绳绷紧前，人做自由落体运动，重心下降，故 从而 绷紧后，以平衡位置为简谐运动的平衡位置，角频率为 振幅为 从绳刚绷紧的点到最低点，相位变化为，且 因此 所以总时间为 即 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $