第三章 图形的相似（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得； 5．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而得出，根据三角形的中线性质得到，根据三角形中位线定理得到，，证明得到，进而可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即四边形与的面积之比为． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 8．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 9．如图，在矩形中，为边的中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点．已知，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形的性质可证，然后根据相似比求出，再由证明，可得，再根据求出． 【详解】解：∵在矩形中，为边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 10．（2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 12．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 15．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质得到，利用角平分线的定义得出，从而得到是黄金三角形，利用底与腰的比值为，得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即：是黄金三角形， ∴， 解得：． 16．在矩形中，，P为平面内一点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，当点B，D，E在一条直线上时，的长为____ ． 【答案】或/或 【分析】分点E在的延长线上和点E在线段上两种情况，通过作辅助线构造相似三角形，求得相关线段长度后，利用勾股定理计算的长．正确分类讨论是解题关键． 【详解】解：∵在矩形中，， ，，， ， 分两种情况讨论： ①当点E在的延长线上时，过点P作于点F，如下图， 线段绕点逆时针旋转得到线段，点，，共线， ，， ， ∴， ， 又， ∴， ∴，即， 解得，， 此时， 在中，由勾股定理得； ②当点E在线段上时，过点P作于点F，如下图， 同理可得， ∴，即， 解得，， 此时， 在中，由勾股定理得． 综上所述，的长为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，一元一次方程的应用，求分式的值，代数式的值． （1）设，，（），代入计算即可； （2）设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】（1）解：∵， 设，，（）， ∴； （2）解：∵， 设，，（）， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 19．如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 【答案】(1) (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． 20．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似的，且使得它与的位似比为，并写出坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，坐标为 【分析】（1）作出A、B、C关于轴对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）把A，B，C的坐标都乘以得到点，，，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴坐标为． 22．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 24．三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 【答案】(1) (2) ①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ② 【分析】（1）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （2）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． （2）解：① 略 ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 25．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 5．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 7．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 8．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 9．如图，在矩形中，为边的中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点．已知，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知，则的值是____________． 12．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 13．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 15．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 16．在矩形中，，P为平面内一点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，当点B，D，E在一条直线上时，的长为____ ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 18．如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 19．如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 20．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似的，且使得它与的位似比为，并写出坐标． 22．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 23．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 24．三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 25．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm,甲、乙两地的实际距离是7500m,则该张地图的比例尺为 () A.1:1500 B.1:15000 C.15000:1 D.1:150000 2.(25-26八年级下·山东淄博期末)已知a、b、c、d为成比例线段，其中a=4cm,b=5cm, c=10cm,则d为() 25 4 A.4cm B.2 cm C.5cm D.5cm 3.(25-26八年级下·吉林长春期末)下列条件中，不能判定△ABC∽aAB'C'的是() AB BC AC A.∠A=∠A,∠B=∠B B.4B=BC=4CT AB BC AB AC C.AB=B'C,且∠B=∠B D.ArB=AC,且LC=∠C 4,(25.26八年级下山东烟台期末)如图，直线4C和DF被山，所截，直线 1423 AB=3,4C=7,EF=2,则DE的长为（） D -h F A.1 D.2 5.(25-26八年级下·重庆期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,AD⊥BD于点D,AD的延长线交 BC于点E,F是AC中点，连接DF,若BC=2AB,则四边形CEDF与△ABC的面积之比为() 118 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. P 6.(25-26八年级下·山东烟台·期末)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具 美感的黄金比.如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=50,则BC长为() A 75-25V5 B.50V5-50 C.25v5-25 D 25√5+25 7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支 点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头 的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm, BD=20cm,则AC的长度是( D 甲 乙 A.80cm B.60cm C.50cm D.45cm 8.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△AB'C,以下说法中错误的是（) A.△ABCAA'B'C B.点C、点O、点C'三点在同一直线上 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.A0:A4'=1:2 D.AB∥A'B 9.如图，在矩形ABCD中，E为CD边的中点，连接AE并延长交BC边的延长线于点G,对角线BD交 AG于点F.己知AF=6,则线段AG的长为() G A.6 B.9 C.12 D.18 10.(2026甘肃兰州中考真题)敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋 十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”.如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角 交错套叠而成，层层递进极具纵深感.如图2是抽象的几何图形，外切于⊙O的正方形ABCD,正方形 EFGH,正方形UKL以45度角交错套叠而成，其中∠EAD=∠IEF=45°，则正方形ABCD与正方形IWKL 的相似比是( 图1 图2 A.1:v2 B.1:2 c.1:22 D.1:4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） a-b 4 b 11.(25-26九年级下山东烟台期末)已知2a+b13,则。的值是 12.已知在△ABC和△DEF中，AB=2,BC=3,AC=4,DE=6,EF=9,DF=12,则△ABC与 △DEF的关系是」 一（填“相似”或“不相似”)· 13.(25-26九年级上：广东佛山期末)如图，在8×8网格中，若△ABC和△A'B'C位似，则位似中心应为 点 318 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B R -B 14.(25-26九年级下·山东烟台期末)如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖 格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上.若线段BC=l2Cm,则线段AB的 长为 A ⊙ 5-1 15.我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为2.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,若BC=4,则CD的长为 PD,P 16.在矩形 BCD中，D=21B=8,P为平面内一点，且PD=5 ，连接 C,将线段PD绕点D逆 时针旋转9O°得到线段DE,当点B,D,E在一条直线上时，PC的长为一· 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分，第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(25-26九年级上安徽毫州期末)已知a:b:c=3:4:5 a+b (1)求c-a的值. (2)若2b-c=9,求a+2b-3C的值. 18.如图，四边形ABCD∽四边形AB'CD', 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o D a 9 6 140° P 人62° 158 y B B (1)求：0= (2)求边x、y的长度. 19.如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高 CD=1.7m,影长为PD.若小明距旗杆底部的距离BD=7.6m,且此时测得lm高的杆在地上的影长为2m 求： (1)小明的影长 (2)旗杆的高度AB 20.如图，直线ab‖c,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点D,E,F. m n D a B b F -c (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长； AB 2 (②)若BC=3,DE=6,求DF的长. 21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC A(0,2)B(-1,3)C(-2,1) 的顶点坐标分别为 518 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出△ABC关于y轴对称的图形△ABC: (②以O点为位似中心，在原点O的异侧画出与△4BC位似 的△4B,C,且使得它与△MBC的位似比为21 并写出C坐标， 22.(25-26九年级上广东佛山期末)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上， DEAC EFI‖AB B (I)求证：△BDE∽△EFC AF 1 (②)若FC2,BC=6,求BE的长 23.如图三角形ABC中，BC=12,AD是BC边上的高且AD=8.P,N分别是AB,AC边上的点，O, M是BC上的点，连接PO、MN,PN交AD于E. DM B 图1 图2 618 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若四边形POMN是正方形，求PO的长： PO 1 (②)如图2，若四边形PQMN是矩形，且PN-2,求PQ、PN的长. 24.三角形的内角平分线定理： AB BD 如图1，在AABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D'则ACCD B D B 图1 图2 图3 (I)如图2，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F.若AB=I1,AC=15, 求线段FC的长： (2)如图3，△ABC中，AD平分∠BAC,BC的延长线交△ABC外角角平分线AF于点F. ①找出AB、AC、BF、CF这四条线段的比例关系，并证明： ②若BD=2,CF=4,则CD=」 25.己知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G. D 图1 图2 图3 【问题发现】 DE (I)如图L,若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G,则C 【拓展研究】 DE (2)如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G,AB=3,AD=5,则CF=一， 【解决问题】 DE AD (3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180时，求证：CF=CD: 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 88可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D 8 A C 0 B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.7 12.相似 13.P 14.6cm/6厘米 15.2W5-2 16.57欧55或5 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分， 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：a:b:c=3:4:5, 设a=3k,b=4k,c=5k(k≠0)， a+b_3k+4k_7k_7 c-a5k-3k2k2:3分 (2)解：.a:b:c=3:4:5, 设a=3k,b=4k,c=5k(k≠0)， 又.2b-c=9」 .2×4k-5k=9, k=3, a=3k=9,b=4k=12,c=5k=15, a+2b-3c=9+2×12-3×15=-12.6分 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18 【详解】(1)解：：四边形ABCD∽四边形A'B'CD', ∴.∠A'=∠A=62°，∠B=∠B=75°， .a=360°-∠A-∠B-∠D'=360°-62°-75°-140°=83°，…3分 (2)解：：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D', BC AB AD ·B'C A'B'A'D, .=y=9 .8116 33 解得x=12,y=2.6分 19. 【详解】(1)解：，此时测得lm高的杆在地上的影长为2m. 小明的影长为PD=2CD=3.4m;2分 (2)解：由题意可得：CDP=∠ABP=90°，LCPD=∠APB, ∴.△CPD∽AAPB CDPD1.73.4 ABBP,即AB3.4+7.6, .AB=5.5米， 即旗杆的高度AB为5.5米.6分 20. 【详解】(1)解：a∥b∥c, .AB_DE BCEF· 34 即5EF’ :EF-20 3分 (2)解：a∥b∥c, .AB DE ACDF· 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 2 BC3· AB 2 AC 5 62 DF5· DF=15.6分 21. 【详解】(1)解：如图，△4BC即为所求；3分 (2)解：如图， △A,B,C即为所求： B (A) 6分 :C坐标为 4,-2) 8分 22.(1) 证明：：DE‖AC,EF‖AB ∴.∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, .△BDEn△EFC;4分 AF 1 (2)解：FC=2,EFI‖AB, BE AF 1 EC-FC-2 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE-BC, 3 ,BC=6 E6-2.-8分 23. 【详解】(1)解：：四边形PQMN为正方形，AD是BC边上的高， ∴.PQ=PN=EDPN∥QM ∴.△APN△ABC. PN AE PO 8-PO 8CAD,即12=8， P0 5;3分 (2)解：：四边形PQMN是矩形， PN∥QM,PQ=ED, ∴.△APN∽△ABC, PN AE BC AD 设P№=y则PN=2y, 即28，解得少=24 2y8-y 7 ∴PQ=24,PN=48 7， 7.8分 24. 【详解】(1)解：：AD平分∠BAC,AB=11,AC=15, AB BD 11 .AC CD 15 0m, 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=BD+CD= CD, 26 CD-15 BC 26 E是BC的中点， C-oc EF∥AD, FC CE 13 AC CD 15 BC 15, 26 .FC=13.4分 (2) AB BF ①AB、AC、BF、CF这四条线段的比例关系：AC=CF,理由如下： 如图：作CE∥AF交AB于点E, M A ABBF· D F.AE CF ∠MAF=∠AEC∠CAF=∠ACE :AF平分∠CAM ∠MAF=∠CAF, .∠AEC=∠ACE, :AE=AC, AB BF ACCF.8分 ②：AD平分∠BAC, AB BD .AC CD AB BF 由①知ACCF 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF BD ∴.CFCD BD=2,CF=4, 2+CD+4_2 .4 CD' 解得CD=-3士V7 CD=-3-V17 不符合题意，舍去， CD=-3+V17 12分 25. 【详解】(1)解：~四边形ABCD是正方形， ∠A=∠FDC=90°，AD=DC, .∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, .∠DFC+∠ADE=90° .∠AED=∠DFC, ∴.△AED≌△DFC(AAS) .DE=CF, 器1,4分 (2)解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠FDC=90°，DC=AB=3, .∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, .∠DFC+∠ADE=90°， ∴.∠AED=∠DFC. .△AED∽△DFC, DE AD 5 CFDC3;8分 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明：~四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,∠B=∠CDF, .∠B+∠A=180°， :∠B+∠EGC=180°， ∠EGD=∠A, .∠EGD=∠DGF, .∠DGF=∠A, ∠FDG=∠EDA, .∴AFDG△EDA, DG DF DADE· DG DA DF DE :∠B+∠EGC=180°，∠B=∠CDF, .∠CDF+∠EGC=180°， :∠CGD+∠EGC=180°， ∠CGD=∠CDF, :∠DCG=∠FCD .ADCGOAFCD DG CD FDCF· DA CD DE CF DE AD ÷CFcD.12分 7/7