§26.2.3二次函数的图像与性质 第3课时讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

§26.2.3 二次函数的图像与性质 第3课时 【知识详解一】二次函数的图像与性质 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质.通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶. 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0，那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小，当 x > 时，y 随 x 的增大而增大；因此，当 a > 0时，抛物线 的顶点是最低点，也就是说当 x = 时，二次函数 有最小值. 如图 ，从二次函数 的图象可以看出：如果 a < 0，那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大，当 x >时，y 随 x 的增大而减小.因此，当 a < 0时，抛物线 的顶点是最高点，也就是说当 x = 时，二次函数 有最大值. 图 象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x= 顶点坐标 （） 增减性 当x<-时，y随x的增大而减小； 当x>-时，y随x的增大而增大. 当x<-时，y随x的增大而增大； 当x>-时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=-时，y最小值​= 顶点是抛物线的最高点. 当x=-时，y最大值​=. 【典例分析】【例1】先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着 x 的增大，y 的变化情况，再描点画图，求最值 (1) y = + 12x - 3; (2) y = - 24x + 26; (3) y = + 8x - 6; (4) y = - 2x - 1. 【类型1】顶点与最值 【例1】抛物线 y=x2﹣4x﹣3 的顶点坐标为（ ） A． （2，﹣7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（﹣2，7） 【例2】当二次函数 y=x2 +4 x+9 取最小值时， x 的值为（） A．-2 B．1 C．2 D．9 【例3】已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（　　） A．10 B．4 C．5 D．6 【例4】若抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，则b＝　 　． 【例5】二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x＝　 ． 【变式训练】 1.二次函数 y=x2﹣4x﹣4 的顶点坐标为（ ） A．（2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（﹣2，﹣8） 2. 抛物线 y=x2﹣2x+m2+2（m 是常数）的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线　 　． 4．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c的顶点为（m，3），则m＝　 　，c＝　　． 5. 抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为　 　． 6. 如果抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c＝　 　． 7. 抛物线y＝ax2+4ax﹣5的对称轴为（　　） A．x＝﹣2a B．x＝4 C．x＝2a D．x＝﹣2 【类型2】二次函数解析式性质 【例1】下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的有（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降 【变式训练】 1．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 2. 二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（　　） A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．顶点坐标是（1，﹣3） C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0） D．当x＜0时，y随x的增大而减小 3. 对于代数式x2﹣4x+6的值的情况，小明作了如下探究的结论，其中错误的是（　　） A．只有当x＝2时，x2﹣4x+6的值为2 B．x取大于2的实数时，x2﹣4x+6的值随x的增大而增大，没有最大值 C．x2﹣4x+6的值随x的变化而变化，但是有最小值 D．可以找到一个实数x，使x2﹣4x+6的值为0 【类型3】根据点坐标推二次函数性质 【例1】抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … ①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是x＝1；③抛物线与x轴有两个交点，它们之间的距离是；④在对称轴左侧y随x增大而增大．有上列说法：其中正确的说法是（　　） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①④ 【变式训练】 x … 0 3 5 y 0 1．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 2．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直线x＝，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型4】二次函数大小比较 【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2 【变式训练】 1. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、O（0，0）、B（﹣3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是　 　． 2．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 5. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【类型5】二次函数与一次函数图像 【例1】在同一坐标系中一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】直线 y=ax﹣6 与抛物线 y=x2﹣4x+3 只有一个交点，则 a 的值为（ ） A． a=2 B．a=10 C．a=2 或 a=﹣10 D．a=2 或 a=10 【变式训练】 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3. 已知二次函数 y=x2+x+2 与一次函数 y=2x﹣1 在同一坐标系中的交点个数是（） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无法确定 【类型6】二次函数图像的平移 【例1】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【例2】把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式是（　　） A． y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C.y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6 【变式训练】 1. 要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（　　） A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 2. 如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　） A． y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1 3. 把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线y=x2﹣2x﹣2，那么这条抛物线的解析式是　 　． 【类型7】二次函数的性质综合问题 1. 将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围　 　． 2．若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（     ） A．或 B． C． D． 4. 如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C13．若点P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝　　． 5. 如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　． 6．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ §26.2.3 二次函数的图像与性质 第3课时 【知识详解一】二次函数的图像与性质 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质.通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶. 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0，那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小，当 x > 时，y 随 x 的增大而增大；因此，当 a > 0时，抛物线 的顶点是最低点，也就是说当 x = 时，二次函数 有最小值. 如图 ，从二次函数 的图象可以看出：如果 a < 0，那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大，当 x >时，y 随 x 的增大而减小.因此，当 a < 0时，抛物线 的顶点是最高点，也就是说当 x = 时，二次函数 有最大值. 图 象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x= 顶点坐标 （） 增减性 当x<-时，y随x的增大而减小； 当x>-时，y随x的增大而增大. 当x<-时，y随x的增大而增大； 当x>-时，y随x的增大而减小. 最值 顶点是抛物线的最低点. 当x=-时，y最小值​= 顶点是抛物线的最高点. 当x=-时，y最大值​=. 【典例分析】【例1】先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着 x 的增大，y 的变化情况，再描点画图，求最值 (1) y = + 12x - 3; (2) y = - 24x + 26; (3) y = + 8x - 6; (4) y = - 2x - 1. 【类型1】顶点与最值 【例1】抛物线 y=x2﹣4x﹣3 的顶点坐标为（ A ） A． （2，﹣7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（﹣2，7） 【例2】当二次函数 y=x2 +4 x+9 取最小值时， x 的值为（ A ） A．-2 B．1 C．2 D．9 【例3】已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（　D　） A．10 B．4 C．5 D．6 【例4】若抛物线y＝x2+bx+1的顶点在x轴上，则b＝　 ± 2　． 【例5】二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x＝　 -1 ． 【变式训练】 1.二次函数 y=x2﹣4x﹣4 的顶点坐标为（ A ） A．（2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（﹣2，﹣8） 2. 抛物线 y=x2﹣2x+m2+2（m 是常数）的顶点在（ A ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线　 x=1 　． 4．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c的顶点为（m，3），则m＝　 -1 　，c＝　　． 5. 抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为　 4 　． 6. 如果抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c＝　 16 　． 7. 抛物线y＝ax2+4ax﹣5的对称轴为（　D　） A．x＝﹣2a B．x＝4 C．x＝2a D．x＝﹣2 【类型2】二次函数解析式性质 【例1】下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的有（　C　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降 【变式训练】 1．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（   C  ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 2. 二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（　B　） A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．顶点坐标是（1，﹣3） C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0） D．当x＜0时，y随x的增大而减小 3. 对于代数式x2﹣4x+6的值的情况，小明作了如下探究的结论，其中错误的是（　D　） A．只有当x＝2时，x2﹣4x+6的值为2 B．x取大于2的实数时，x2﹣4x+6的值随x的增大而增大，没有最大值 C．x2﹣4x+6的值随x的变化而变化，但是有最小值 D．可以找到一个实数x，使x2﹣4x+6的值为0 【类型3】根据点坐标推二次函数性质 【例1】抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … ①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是x＝1；③抛物线与x轴有两个交点，它们之间的距离是；④在对称轴左侧y随x增大而增大．有上列说法：其中正确的说法是（　D　） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①④ 【变式训练】 x … 0 3 5 y 0 1．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（  D   ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 2．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直线x＝，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（　C　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型4】二次函数大小比较 【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（　B　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2 【变式训练】 1. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、O（0，0）、B（﹣3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是　 > 　． 2．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________．（按从小到大表示） 5. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ A  ） A． B． C． D． 【类型5】二次函数与一次函数图像 【例1】在同一坐标系中一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　C　） A． B． C． D． 【例2】直线 y=ax﹣6 与抛物线 y=x2﹣4x+3 只有一个交点，则 a 的值为（ C ） A． a=2 B．a=10 C．a=2 或 a=﹣10 D．a=2 或 a=10 【变式训练】 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ C ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（  B  ） A． B． C． D． 3. 已知二次函数 y=x2+x+2 与一次函数 y=2x﹣1 在同一坐标系中的交点个数是（ A ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无法确定 【类型6】二次函数图像的平移 【例1】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线的解析式是（  C  ） A． B． C． D． 【例2】把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式是（　C　） A． y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C.y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6 【变式训练】 1. 要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（　D　） A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 2. 如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　C　） A． y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1 3. 把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线y=x2﹣2x﹣2，那么这条抛物线的解析式是　 　． 【类型7】二次函数的性质综合问题 1. 将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围　 　． 2．若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（ B  ） A． B． C． D． 3．若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（   B  ） A．或 B． C． D． 4. 如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C13．若点P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝　2　． 5. 如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　112 　． 6．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   C  ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 1 学科网（北京）股份有限公司 $