湖南省衡阳市衡阳县第五中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

衡阳县五中2026年秋9月月考试卷 高一数学 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.命题“,”的否定为( ) A., B., C., D., 3.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 4.设,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知x,y均为正数,满足,则的最小值为( ) A.1 B. C.15 D.25 6.某公司一年购买某种货物900 t,每次均购买,运费为3万元/次,一年的总存储费用为3x万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买( ) A.20 t B.30 t C.40 t D.60 t 7.集合,,间的关系是( ) A. B. C. D. 8.下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.若,,则 C.若,则 D.若,则 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知集合A,B是全集的子集,则下列结论一定成立的有( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 10.下列命题是真命题的是( ) A.若,则 B.若,,则 C.若,则 D.若,且,则 11.下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.“”是“”的充分不必要条件 C.命题“若,则关于x的方程0有实数根”的否定 D.若,则且 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知,则的最大值是. 13.当时,,就称集合P为具有“匹配关系”集合.在集合的所有子集中,为具有“匹配关系”集合的个数是. 14.如图,据监测,目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头的点A处,并以的速度向正北方向移动,距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时长为h. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合,或,. (1)求; (2)若,求m的取值范围. 16.(15分)已知命题,;命题,. (1)若为真命题,求实数a的取值范围; (2)若命题p和命题q至少有一个真命题,求实数a的取值范围. 17.(15分)如图,某蛋糕店制作一块长为,宽为的矩形双拼水果蛋糕ABCD,点E,F,M,N分别在线段AB,AD,BC,CD上(不包含端点),点G,Q,H,P均在线段BD上,要在矩形EFHG与矩形MNPQ两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设,铺满水果的区域面积为. (1)已知,求常数a,b的值; (2)已知蛋糕店内的芒果原料充足,但蓝莓至多能铺满,若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于,求EF的取值范围. 18.(17分)已知,,. (1)求的最小值; (2)求的最小值; (3)求的最小值. 19.(17分)对于四个正数x,y,z,w,如果,那么称是的“下位序列”. (1)对于2,3,7,11,试求的“下位序列”; (2)设a,b,c,d均为正数,且是的“下位序列”,试判断,,之间的大小关系,并证明你的结论; (3)设正整数n满足条件:对集合内的每个,总存在正整数k,使得是的“下位序列”,且是的“下位序列”,求正整数n的最小值. 答案与解析 1.答案:C 解析:由题意得.故选C. 2.答案:D 解析:根据存在量词命题的否定,可得命题的否定为“,”.故选D. 3.答案:B 解析:由题得,,则,故选B. 4.答案:A 解析:因为,且,但推不出,所以“”是“”的充分不必要条件,故选A. 5.答案:D 解析:,当且仅当,即,时取等号,所以的最小值为25. 6.答案:B 解析:某公司一年购买某种货物900 t,每次都购买,则需购买次,故一年的总运费与总存储费用之和为,当且仅当,即时等号成立.所以每次购买30 t时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 7.答案:C 解析:任取,则,,所以,所以,任取,则,,所以,所以,所以.任取,则,,所以,所以,又,,所以.所以,故选C. 8.答案:D 解析:对于A,,因为,所以,,所以,即,故A错误; 对于B,因为,所以,又,所以,故B错误; 对于C,当时,,故C错误; 对于D,若,则,,所以,故D正确.故选D. 9.答案:ACD 解析:对于A,若,则,故A正确;对于B,若,则,则,故B错误;对于C,若,则,即,故C正确;对于D,若,因为,所以,所以,故D正确. 10.答案:ABD 解析:对于A,,所以,A正确;对于B,,则的两边同乘以,得,B正确;对于C,由,得,即,C错误;对于D,由,,知,,则,,故,D正确. 11.答案:ABD 解析:把代入中,成立,所以命题“若,则”为真命题,A正确;由,解得或,又是的真子集,所以“”是“”的充分不必要条件,B正确;因为,所以,所以时,方程有实数根,故命题“若,则关于x的方程有实数根”为真命题,所以该命题的否定为假命题,C错误;因为,所以且,所以命题“若,则且”为真命题,D正确. 12.答案: 解析:由知,则,当且仅当,即时等号成立. 13.答案:7 解析:由具有“匹配关系”集合的定义可得,集合的子集中为具有“匹配关系”集合的有,,,,,,,共7个. 14.答案:30 解析:记热带风暴中心t小时后到达点B处,如图,自B向x轴作垂线,垂足为C.由题意,知,则,.若在点B处受到热带风暴的影响,则,即,可得,解得,所以该码头将受到热带风暴影响的时长为. 15.答案:(1) (2)或 解析:(1),或,, 所以. (2), 若,,则,满足. 若,,则或解得或. 综上所述,m的取值范围是或. 16.答案:(1) (2) 解析:(1)由题意得,,,为真命题, 则,即, 故为真命题时,a的取值范围为. (2)当p为真命题时,,即,所以p为假命题时,; 当q为真命题时,,即,所以q为假命题时,; 若p,q同时为假命题,则,所以若p,q至少有一个真命题时,. 故实数a的取值范围是. 17.答案:(1), (2)或(单位:cm) 解析:(1)易知矩形EFHG与矩形MNPQ全等, ,所以, ,所以. 又因为, 所以, 所以. 又因为,则,. (2)由(1)可知,解得, 因为蓝莓至多能铺满,若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于, 则整理可得,解得或. 因为, 当时,;当时,. 所以或(单位:cm). 18.答案:(1)5 (2)8 (3)5 解析:(1)因为,,, 所以,所以解得, 所以, 当且仅当,即,时取等号, 所以的最小值为5. (2),当且仅当, 即,时取等号, 所以的最小值为8. (3)因为,且,所以, 所以 , 当且仅当,即,时取等号, 所以的最小值为5. 19.答案:(1) (2),证明见解析 (3)4049 解析:(1)由题意可知,此时,, 则的“下位序列”为. (2)由题意可知,此时, 取,,,,则, 猜想, 先证左边,,则 再证右边,,则. 综上,. (3)由题意可知① 又,则 此时,于是,解得, 又对集合内的每个,上式都成立, 则, 下证满足题意, 由①可知, 再由(2)可知, 即对集合内的每个,总存在是满足题意的. 综上所述,正整数n的最小值为4049. 学科网(北京)股份有限公司 $