专题4.1 二次函数（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

专题4.1 二次函数 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【即学即练】1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在函数解析式是整式的前提下，如果把解析式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A、函数含，它不是整式，故本选项的解析式不是二次函数； B、函数可化简为，故本选项的解析式不是二次函数； C、函数是二次函数，本选项符合题意； D、函数不是二次函数． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵ 是关于 的二次函数， ∴， ∴． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练】4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 【答案】 2 1 【分析】明确二次函数一般形式为（），所以需要先将给定的乘积形式展开．运用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到一般形式．对照一般形式，直接对应找出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：∵， ∴二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为． 6．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 【变式1】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得，， 故选：D． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 【详解】解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 题型03 二次函数的一般形式 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）把二次函数化为一般形式为：________． 【答案】 【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式． 【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12， 故答案为y=−8x2+20x+12. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式. 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________． 【答案】 【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式． 【详解】y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12， 故答案为y＝−8x2＋20x＋12． 【点睛】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键． 题型04 二次函数的各项系数 【典例1】（25-26九年级下·全国·随堂练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，，，， ∴ 一次项系数是. 故选：B． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【变式2】（25-26九年级下·全国·单元测试）二次函数的一次项系数是_____． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课前预习）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 【详解】由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先把二次函数化成一般式，然后再确定二次项系数和一次项系数，然后再求和即可． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数为2，一次项系数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：． 故答案为：． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值． (2)为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)2或 (2)当时，该二次函数有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义求出k的值． （1）根据二次函数的定义求出k的值即可解决问题； （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答即可． 【详解】（1）解：是关于x的二次函数， ， 解得：， 满足条件的k的值为2或． （2）解：当二次函数有最大值时，其图象的开口向下， ，即， 由（1）得， ， 该二次函数为， 二次函数最大值为， 当时，该二次函数有最大值，最大值为． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 一、单选题 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：这是的形式（），是正比例函数，不是反比例函数． B选项：这是的形式（），符合反比例函数定义． C选项：化简：这不是的形式，不是反比例函数． D选项：化简：这是二次函数，不是反比例函数． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．将二次函数整理成一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，． 故选：D 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·北京·期末）若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：根据题意可知，且，所以． 故答案为： 7．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 8．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：二次函数与轴的一个交点是 ∴将，代入解析式，得 即 ∴ 则 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】 解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 【分析】本题主要考查二次函数的相关定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 由二次函数的定义可得①②③是二次函数，然后分别写成各二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】略 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】(1) (2)S和V都是关于x的二次函数 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求解即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ； （2）解：根据二次函数的定义，可知 是S关于x的二次函数， 是V关于x的二次函数， 即S和V都是关于x的二次函数． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 二次函数 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【即学即练】1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练】4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 6．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是_________． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 题型03 二次函数的一般形式 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）把二次函数化为一般形式为：________． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________． 题型04 二次函数的各项系数 【典例1】（25-26九年级下·全国·随堂练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26九年级下·全国·单元测试）二次函数的一次项系数是_____． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课前预习）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【变式3】（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为_____________． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 三、解答题 8．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值． (2)为何值时，该二次函数有最大值？最大值是多少？ 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 一、单选题 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 二、填空题 5．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 6．（24-25九年级上·北京·期末）若是关于的二次函数，则的值为______． 7．（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 8．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 9．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 三、解答题 10．（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $