第1章 图形的相似章节复习（12大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

专第4章 相似三角形章节复习 教学目标 1. 理解比例线段、黄金分割的概念，掌握比例的基本性质，认识相似图形，理解相似三角形的定义，分清相似三角形的对应边与对应角。 2. 掌握相似三角形的判定定理与性质定理，能判定两个三角形相似，利用相似求线段长度、角度及图形面积，会用相似解决简单测量问题。 3. 经历观察、类比、推理的探究过程，体会数形结合与转化思想，提升识图能力和逻辑推理能力，能规范书写几何推理步骤。 教学重难点 1.重点 （1）比例线段的相关计算，相似三角形的判定方法，能根据已知条件选择合适判定定理证明三角形相似，找准图形中的对应元素。 （2）相似三角形的性质，利用对应边成比例、周长比、面积比等于相似比的关系，进行线段、周长与面积的计算，解决简单实际应用问题。 2.难点 （1）在复杂几何图形中识别相似的基本模型，准确找到相似三角形的对应边、对应角，容易出现对应元素找错导致列式错误。 （2）构造相似三角形解决综合题型，结合之前的圆、勾股定理等知识进行几何综合推理，从实际问题中抽象出相似模型，完成求解。 知识点01 比例线段 成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点02 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 知识点03 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点04 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点05 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 题型01 比例线段 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若线段，，则，的比例中项线段是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了比例中项的定义，设线段a，b的比例中项为x，然后列比例式求解即可． 【详解】解：设线段a，b的比例中项为x，由题意得，，即 ∴（负值舍去）． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 【变式2】（25-26九年级下·广东汕头·期中）已知线段，，，成比例，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按给定线段顺序列出比例式，代入已知线段长度，求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：线段，，，成比例， ， ，，， ， 交叉相乘得：， 解得： 【变式3】（25-26八年级下·上海·开学考试）在的某地图上，量得甲地到乙地距离约为，那么甲地到乙地的实际距离约为__________． 【答案】 300 【分析】根据比例尺求出实际距离后，进行单位换算即可得到结果． 【详解】设甲地到乙地的实际距离为， 由题意得， 解得，经检验是方程的解且符合题意， ． 题型02 比例的性质 【典例1】（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可利用比例的性质，通过将a、c用b、d表示，再代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵，， ∴，， 将，代入得：， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（2026·江苏苏州·三模）若，则___________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，通过设参数表示x和y，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，一元一次方程的应用，求分式的值，代数式的值． （1）设，，（），代入计算即可； （2）设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】（1）解：∵， 设，，（）， ∴； （2）解：∵， 设，，（）， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03 平行线分线段成比例 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．1 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 【变式1】（2023·四川宜宾·一模）如图所示，，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，，则的长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例得到，继而解得，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴. 【变式3】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】（1）过点A作交BC于点M，根据平行线分线段成比例得到，，根据可知； （2）根据得到，由（1）得，根据得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：过点A作交BC于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 题型04 识别相似图形 【典例1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的概念，依据“对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形”，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：∵相似图形的定义是对应角相等且对应边成比例的图形． A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，∴不一定相似． B选项：两个直角三角形除直角外的两个锐角不一定对应相等，∴不一定相似． C选项：两个正方形的所有内角均为，对应角相等，且各边长度的比为定值，∴一定相似． D选项：两个菱形的对应角不一定相等，∴不一定相似． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江苏连云港·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，逐一判断选项即可求解． 本题考查相似图形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）． 【答案】⑥④⑤ 【分析】需逐一分析每个图形与其他图形的形状是否相同． 【详解】解：分析图形①：图形①与图形⑥形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形②：图形②与图形④形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形③：图形③与图形⑤形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 综上，图形①和图形⑥是相似图形，图形②和图形④是相似图形，图形③和图形⑤是相似图形． 故答案依次为：⑥、④、⑤． 【点睛】本题考查了相似图形的知识点，解题关键是理解相似图形形状相同、大小可不同的特点，通过观察图形的形状来判断是否为相似图形． 【变式3】（24-25八年级下·上海·期中）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 题型05 选择或补充条件使两三角形相似 【典例1】（26-27九年级上·四川·开学考试）如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 【变式2】（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当_____时，． 【答案】 【分析】本题考查了选择或补充条件使两个三角形相似，解题关键是掌握相似三角形的判定并能运用来求解． 根据相似三角形的判定求解． 【详解】解：当时，和满足： 为公共角，即， ． 根据两角对应相等的两个三角形相似，成立． 故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 题型06 求证两三角形相似 【典例1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 【变式1】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 【答案】(1) 证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，是边上的高，且． (1)求证； (2)求的大小． 【答案】(1) 证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由（1）知，然后根据相似三角形的对应角相等可得：，然后由，可得：，即． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 【答案】(1) 证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键． （1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作，垂足为G，容易证出，用相似三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出，进一步求出； （3）作，垂足为H，容易证出，得到的三边关系．根据可以证明，从而得到，利用相似的性质计算出，最后求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，， ∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型07 利用相似三角形的性质求解 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 【变式1】（22-23九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若，，，平分，平分，，则________． 【答案】12 【分析】利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，列比例式求解. 【详解】解：，，，平分，平分，， ∴， ∴. 【变式3】（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 题型08 相似三角形的判定与性质的综合 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 【变式3】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为____________． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． (2)3 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，进而可证，再根据即可得证； （2）设，则，根据相似三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ， ， ， ． 题型09 相似三角形的应用 【典例1】（2026·辽宁铁岭·二模）杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 【变式1】（2026·山东青岛·三模）崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】延长、交于点，设，则，容易证明，则，求得，则，，由计算出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得， 则， 则； ，，， ， 解得； （2），， ， ∵反射角等于入射角， ， ， ，                                         ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 题型10 相似多边形 【典例1】（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（22-23九年级上·全国·期末）如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】略 题型11 位似作图 【典例1】（2026·安徽安庆·三模）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 【变式1】（2026·安徽合肥·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点． (1)以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2； (2)无刻度直尺作图，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点D即为所求． 【分析】（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点连线即可； （2）以为边，在的上方构造正方形，再过点A连接对角线，交于点D，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 【变式3】（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到； （2）解：以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，分别延长、、到点、、，使得、、，得到放大后的． 题型12 利用位似图形的性质求解 【典例1】（第三十一章追梦基础训练卷（二））如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 【变式1】（2022·辽宁大连·模拟预测）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下列相似图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断是否是位似图形时注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：由各选项图形可知，A，B，C选项的相似图形是位似图形，D选项的相似图形不是位似图形． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．1 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行且相等的性质证明，结合中点定义得出相似比，进而推导线段与的数量关系． 【详解】解： 四边形是矩形， ，， ， ， 点是边的中点， ， ， ，即， ， ， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 二、填空题 6．（2026·江苏盐城·三模）平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 7．（25-26九年级上·河南开封·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．设纸筒的长度为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：设纸筒的长度为，根据光学原理，得到， ∴， ∴，即， 解得． 即纸筒的长度为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 9．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 10．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 12．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 15．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)已知平分，． ①如图2，若，求的长__________． ②如图3，过点作于点，连接．若，直接写出的面积_______． 【答案】(1)证明：∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①；②30 【分析】（1）先由同角的余角相等得到，再由等腰三角形得到，等量代换即可得证； （2）①过点A作于点H，过点E作于点N，先证得，由全等性质得到相关边与角度的相等关系，在中，解直角三角形得出相关边的关系，进而由平行线的性质得出，可设，则，，表示出相应线段长度，由列方程求出k，即可得到答案； ②先证得，再由平行线分线段成比例得到，从而得到相关线段关系及，设，表示出相关线段，再结合，可得，即可得到，在中，由勾股定理列方程求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①过点A作于点H，过点E作于点N，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， 由（1）得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示： ∵， ∴， 由（1）得：，由（2）①得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2026·甘肃平凉·三模）如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设卧佛的身长为米，根据肩宽与身长的比为，结合肩宽为米，列出比例式求解即可． 【详解】解：设卧佛的身长为米， 卧佛的肩宽身长，且肩宽为米， ， ， 解得， 即卧佛的身长为米． 2．（2026·吉林·一模）如图，，与相交于点G，若，，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法．如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面．视线与井口的直径交于点，如果测得m，m，m，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是熟练应用性质列出比例线段；由三角形相似可得即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 5．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形中，对角线交于点将线段沿射线方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段分别与交于点G，当点G是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到， 等量代换即可得出结果. 【详解】解：四边形是正方形， ， 由平移的性质得：， ， 点G是的中点， ， ， ， ， 二、填空题 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是__________． 【答案】9 【分析】通过位似得到四边形与四边形相似比为，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形， ∴， ∵ ， ∴ ． 7．（25-26八年级下·上海普陀·期末）在 中， ， ， ，那么 的重心G到斜边 的中点的距离是_____________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，即为的中点，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出中线的长，最后根据重心的性质计算的长即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点 ， ∵是的重心， ∴是的中线，即为的中点， ∵ ， ∴ ， 在 中，， ， ， ∴由勾股定理得： ， ∴， 根据重心的性质可知， ∴， 即的重心到斜边中点的距离是． 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 【答案】 【分析】过E作，然后根据平行可得，得出比例关系，再把已知中的比例关系进行转化从而得到答案． 【详解】解：过E作，如图所示： ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·福建莆田·模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 【答案】81米/ 【分析】由可得即，易得；同理依次求出、、、． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：． 10．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图矩形，对角线与交于点O，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在对角线上时，C、、三点共线，则的值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，取的中点，连接，设，，先求出，，，，，的长，再得出，进而可得的长，根据三角形的中位线定理可得的长，然后证出，得出，之间的等量关系，代入计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造中位线和相似三角形． 三、解答题 11．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， 且， 又， ， 且， 四边形为平行四边形． ， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】本题考查平行四边形，矩形的判定与性质，相似三角形的判定．第一小问的解题关键点是先通过边的等量代换证明四边形是平行四边形，再结合垂直条件证得矩形，第二小问通过设参数证明相似三角形建立方程求解的长度． 【详解】（1）略． （2）解：设， ， ，. 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍）， ． 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 14．（2026·河南三门峡·三模）综合与实践课上，某数学学习小组为测量校园内一棵大树的高度，设计了如下方案：如图，先在水平地面处竖立一根标杆，接着向后2米退至处，人伏着地向上看，此时点、标杆上的点、大树顶端恰在同一直线上，再向后退3米到达点处，人目着地向上看，此时点、标杆上的点、大树顶端也恰在同一直线上，经测量，米，米．请据此算出大树的高度（点在同一竖直平面内，点在同一水平线上）． 【答案】大树的高度为4.5米 【分析】证明，得①，②，联立方程组，可求出大树的高度为4.5米． 【详解】解：由题意，得． ， ， 由题意，得米，米， ， 整理，得①， 整理，得②， 联立①②，得 解得 答：大树的高度为4.5米． 15．（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ； ②直线与直线之间的位置关系是 ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)不成立，新结论为：；成立． 证明： 四边形和四边形都是矩形， ， ， 即 ， ， ， ， ，， 即， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． 综上，不成立，新结论为：；成立． (3) 【分析】（1）通过证明 ，得出线段相等和垂直关系． （2）利用两边对应成比例且夹角相等证明 ，从而探究线段的数量和位置关系． （3）先求出，结合得四边形为平行四边形，得。再由勾股定理求，最后由（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：①四边形和四边形都是正方形， ， 在 和 中： ， ， . ② 由①知 ， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． （2）略 （3）由（2）知，． ， ， 在 中，由勾股定理： ， ， ， 点在上方，且， 四边形为平行四边形， ， ， 在 中，由勾股定理： ， 由（2）中结论，可得． 16．（26-27九年级上·湖北·期中）江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 (1)如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当绕点逆时针旋转时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． 【答案】(1)， (2)不变，理由如下： 由旋转性质得：旋转角， 由（1）得， 在和中， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，因为，所以，且，可以解决问题； （2）由旋转性质得：旋转角，由（1）得，可证，根据全等三角形的性质得到．； （3）连接，延长，与交于点．在中，求出，长，然后证明，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， ∵，， ∴， ， ， ∵， ； （2）不变，理由：略 （3）连接，延长交于， 四边形是正方形，，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， 由（2）得， ， ， ， ，， ， ， ， 解得，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 专第 相似三角形 www.zxxk.com 上好每一堂课 4章相似三角形章节复习 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01比例线段 知识点02平行线分线段成比例定理 知识点03相似三角形的判定 2.知识清单 知识点04相似三角形的性质 知识点05位似图形 题型01比例线段 题型02比例的性质 题型03平行线分线段成比例 题型04识别相似图形 题型05选择或补充条件使两三角形相似 题型06求证两三角形相似 3.题型精讲 题型07利用相似三角形的性质求解 题型08相似三角形的判定与性质的综合 题型09相似三角形的应用 题型10相似多边形 题型1位似作图 题型12利用位似图形的性质求解 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.理解比例线段、黄金分割的概念，掌握比例的基本性质，认识相似图形，理解相 似三角形的定义，分清相似三角形的对应边与对应角。 2.掌握相似三角形的判定定理与性质定理，能判定两个三角形相似，利用相似求线 教学目标 段长度、角度及图形面积，会用相似解决简单测量问题。 3.经历观察、类比、推理的探究过程，体会数形结合与转化思想，提升识图能力和 逻辑推理能力，能规范书写几何推理步骤。 1.重点 (1)比例线段的相关计算，相似三角形的判定方法，能根据已知条件选择合适判定 定理证明三角形相似，找准图形中的对应元素。 (2)相似三角形的性质，利用对应边成比例、周长比、面积比等于相似比的关系， 进行线段、周长与面积的计算，解决简单实际应用问题。 教学重难点 2.难点 (1)在复杂几何图形中识别相似的基本模型，准确找到相似三角形的对应边、对应 角，容易出现对应元素找错导致列式错误。 (2)构造相似三角形解决综合题型，结合之前的圆、勾股定理等知识进行几何综合 推理，从实际问题中抽象出相似模型，完成求解。 知识清单 知识点01比例线段 成比例线段的概念 1.比例的项： a c 在比例式a:b=c:d(即bd)中，a,d称为比例外项，b,c称为比例内项.特别地，在比例式 a b a:b=b:c(即bc)中，b称为a,c的比例中项，满足b2=ac, 2.成比例线段： a_c 四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，即bd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成 比例线段，简称比例线段. 比例的性质 比例的性质 示例剖析 2/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)基本性质： a=S台ad=bcbd≠0) X_￥÷3x=2y 23 a c b d 台2=二(abcd≠0) 5台2g*0 2_3 (2)反比性质： b d a c (3)更比性质：方a今。a或 ；=⊙-2或y-3 dc 23 y3或 x2(xy≠0) ba(abcd≠0) a c a+b c+d (4)合比性质： 台 ⊙+y-2+3 b d b d(bd≠0) y 3 y 3(y≠0) a c (5)分比性质：bd a-b_c-d y 3 b (bd≠0) 0y-x-3-2 x 2 2(x≠0) a-c a+b c+d (6)合分比性质：ba今a-bc-d 2⊙+y2+3 y 3 x-y2-3(y≠0，x≠y) (bd≠0，a≠b,c≠d) (7)等比性质： 2_34 =…=m(b+d++n≠0) a-c 已知xy2,则当x+y+z≠0时， b d n 2_3-4_2+3+4 、a+c+…+m_a x y z x+y+z b+d+…+nb(b+d+…+n≠0) 黄金分割 如图，若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比 例中项（即AC2=AB,BC)，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中 4C-5-14B-0.6184B BC-3-15 AB 2 2 ≈0.382AB,AC与AB的比叫做黄金比.（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个.) B 知识点02平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理.如图：如果 AB DE AB DE BC EF 11八，则BCEF,ACDF,ACDF 3/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB)称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为 金，则呵以形家的衣不为宁卢，去去，否至 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图：如果 AE AF AE AF BE CF EF//BC,EB FC,AB AC,AB AC. A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 AE AF AE AF BE CF 若EBFC或ABAC或ABAC,则有EF/BC 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连 线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行. 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做EF/BC交AC于F'点，再证明 F'与F重合即可. 知识点03 相似三角形的判定 判定定理 简称为两角对应相等，两个三角形相 判定定理1： 似. 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 如图，如果∠A=∠A',∠B=∠B',则 两个角对应相等，那么这两个三角形相似. △ABC∽△A'B'C 4/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 简称为三边对应成比例，两个三角形相 判定定理2： 似. 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么 AB BC AC 这两个三角形相似. 如图，如果A8BCAC,则 △ABC∽△A'B'C' 简称为两边对应成比例且夹角相等，两 判定定理3： 个三角形相似·如图，如果 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且 AB AC A'B'A'C ∠A=∠A' 则 对应的夹角相等，那么这两个三角形相似. △ABC∽△A'B'C' 知识点04相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 如图，△ABC∽△AB'C',则有 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C' ②相似三角形的对应边成比例. 如图，△ABCn△AB'C',则有 AB BC AC A8BC=AC=k(k为相似比). ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角 的平分线成比例，都等于相似比. 如图，△ABC∽△AB'C,AM、AH和AD是 △ABC中BC边上的中线、高线和角平分线， AM'、A'H'和AD'是△A'B'C'中B'C'边上的中 线、高线和角平分线，则有 AB BC AC A'B' BCHC=太-=H加 AM AH AD ④相似三角形周长的比等于相似比、 如图，△ABC∽△A'B'C,则有 AB BC AC AB+BC+AC AB BC AC-AB+BC+AC-k. ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方. 5/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，△ABC∽△A'B'C',则有 SAABC= ·BC·AH BC AH S△ABc 2 BC.AH 1 B℃AH=K2 知识点05 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,且有 OP_k:OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： (1)尺规作图法：①确定位似中心：②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 (2)坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数K(k≠0)， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为内 题型精讲 题型01比例线段 【典例1】(25-26九年级上·浙江宁波期末)若线段a=4,b=9,则a,b的比例中项线段是（) A.4 B.5 C.6 D.9 【变式1】(25-26九年级下·黑龙江大庆·期中)下列各组线段是成比例线段的是() A.2,4,6,12 B.2,3,6,12 C.3,6,8,12 D.2,4,6,8 【变式2】(25-26九年级下广东汕头期中)已知线段a,b,d,c成比例，若a=5cm,c=3cm, d=4cm,则b= cm 【变式3】(25-26八年级下·上海开学考试)在1：500000的某地图上，量得甲地到乙地距离约为60cm, 那么甲地到乙地的实际距离约为」 km 题型02比例的性质 m=5 m-n 【典例1】(25-26九年级上广东茂名期中)已知m=4:则n的值为（) 6/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0-c1 a+c 【变式1】(25-26九年级上河南郑州：期中)已知6a2,且b+d≠0，则6+a的值是（) 1 3 A.3 C.3 D.2 x-2 2x+y= 【变式2】(2026江苏苏州三模)若y5,则2x-y 【变式3】(25-26九年级上安徽毫州期末)已知a:b:c=3:4:5 a求的直 (2)若2b-c=9,求a+2b-3c的值. 题型03 平行线分线段成比例 【典例1】(26-27九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)如图，直线‖bc,分别交直线m,n于点A,B, C,D,E,F.若AC:BC=5:2,DE=6,则EF的长为() 6 B E A.4 B.5 C.6 D.1 【变式1】(2023四川宜宾一模)如图所示，AD∥BE∥CF,直线4，与这三条平行线分别交于点 A、B、C和点D、E、F.若AB=4.5,BC=3,EF=2,则DE的长为() A.2 B.3 C.5 D.6 【变式2】(25-26八年级下山东烟台期中)如图，AD∥BE∥FC,AB:BC=3:5,EF=15,则DF的长 度是 7/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B E 【变式3】(25-26九年级下·安徽毫州期中)如图，在△ABC中，点D,E分别为BC,AC边上的点，连 接DE并延长交BA于点F,且BD=DC. B D AE FA (1)求证：ECFB: AE 1 (2)若AC4,4F=10求AB的长. 题型04 识别相似图形 【典例1】(25-26九年级上·福建漳州期末)下列图形一定是相似图形的是() A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形 C.两个正方形 D.两个菱形 【变式1】(25-26九年级上·江苏连云港·期末)下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是() 【变式2】(2025九年级全国·专题练习)如图，图形①②③分别和图形 是相似图形（填序号）· 口X ① ② ③ ⑤ 8/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式3】(2425八年级下·上海期中)将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量 中，被缩小的是一·（填序号） (1)图形的面积；(2)图形的周长：(3)角的度数；(4)边的长度 题型05选择或补充条件使两三角形相似 【典例1】(26-27九年级上四川开学考试)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列 所述四个条件中不能判断△CED∽△CAB的是() CD CE CD CE A.∠CED=∠A B.∠CDE=∠B C.CBCA D.CA AB 【变式1】(26-27九年级上·全国单元复习)己知，如图∠DAB=∠CAE，下列条件中不能判断 △DAE∽△BAC的是() 。.0 AD AE A.∠D=LB B. ∠E=∠C D.AB-AC 【变式2】(25-26九年级上广东梅州阶段检测)如图，已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 点E与点B是对应点，∠C=80°，当∠ADE=时，△ADE∽△ACB 【变式3】(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添加一个_条 件，使得△ABC△ADB. 9/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06求证两三角形相似 【典例1】(25-26九年级上湖南岳阳期末)如图，AE与BD相交于点C,已知AC=5,BC=3, EC=I0,DC=6.求证：△ACB∽△ECD.」 E 【变式1】(25-26九年级上·安徽池州期末)如图，在等边三角形ABC中，点D,E,F分别在AB, BC,AC边上，连接DE,DF,EF,且∠DEF=60°. (I)求证：△BDE∽△CEF (2)添加一个条件求证：△BDE≌△CEF AD CD 【变式2】(25-26九年级上江苏南通期末)如图，A4BC中，CD是边4B上的高，且CD=BD D (I)求证△ADC∽△CDB: (2)求∠ACB的大小. 【变式3】(25-26九年级上·福建福州阶段检测)如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接 10/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AC AD,作DA1AE,使得ADAE,连接DE交AC于点B,若AC=6?AB=8: (I)求证：△ABD~AACE: (2)若∠EAC=30°，求BD的长度： AF (3)当BD=2时，求CF的比值. 题型07利用相似三角形的性质求解 【典例1】(26-27九年级上全国课后作业)若△ABC∽△DEF,且对应中线比为2：3，则△ABC与 △DEF的周长比为() A.3:2 B.2:3 C.4:9 D.9:16 【变式1】(22-23九年级上：吉林长春开学考试)如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，若 AE:AD=1:3,则S△r:S△cr为() D E B A.1:16 B.1:9 C.1:6 D.1:3 【变式2】(26-27九年级上全国课后作业)若△ABCAAB'C,AB=16cm,A'B'=4cm,AD平分 ∠BAC,D'平分∠BAC,AD'=3cm,则AD=cm. 【变式3】(26-27九年级上·北京·课堂例题)如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到 BF 1 △EFG, 阴影部分面积记为s’若FD2,Sc=16,则S=一 11/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型08相似三角形的判定与性质的综合 【典例1】(26-27九年级上全国·单元复习)如图，在ABCD中，E为CD上一点，连结AE,BD,且 AE,BD交于点F,S,r:SAr=4:25，,若SaDr=8,则SAm=() D A.25 B.15 C.20 .9 【变式1】(26-27九年级上·全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,正方形DEFG 的顶点E、F在△ABC内，顶点D、G分别在AB、AC上，AD=AG=2.5,则DG的长为() A.3 B.2 c .32 【变式2】(25-26八年级下·山东泰安期末)如图，在△ABC中，点M、N分别是AB、BC的中点，连 接AN、CM交于点G,GF∥AC交BC于点F,那么S,NGF:S佛形AGC= A M G F 【变式3】(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点， 连结AC、BE,它们相交于点F,且∠ACB=∠ABE. 12/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：△FEA∽△AEB: (2)若AE=2,EF=1,则BF的长为 题型09 相似三角形的应用 【典例1】(2026辽宁铁岭·二模)杠杆原理在生活中随处可见.如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力 压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头.若动力臂OA=2OB,BD=20cm,则AC的长度是（） B A.80cm B 40cm C.20cm D.50cm 【变式1】(2026山东青岛·三模)崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史 传承功能.数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他 们借助附近一棵大树E℉（大树上的标志牌写着树高10.5m)测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度 CD约是() D E A 10.5m 1.5m F B← 18m 79m A.50米 B.48米 C.52米 D.54米 【变式2】(26-27九年级上·全国课后作业)邢窑是河北著名瓷窑.如图，小明用两根长度一样的木棍 AC_BD=4 AC,BD制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径AB的长.若两木棍交于点B,CE=DE ,CD=2cm,则AB的长为 cm 13/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式3】(2627九年级上·全国单元复习)如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左 往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经 过木板的边缘点F,落在墙上的点B处.点E到地面的高度ED=4m,点F到地面的高度FC=1.Sm,灯 泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CD=5m.已知光在镜面反射中的反射角等于入 射角，图中点A,B,C,D在同一水平面上. F G 墙 木板 、B 地面D C 平面镜A (1)求BC的长； (2)求灯泡到地面的高度AG 题型10 相似多边形 【典例1】(2026广东云浮一模)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH.若AB=5,EF=3,则它们的 面积之比为() D H A.5:3 B.3:5 C.25:9 D.无法确定 【变式1】(25-26九年级上河南周口期末)如图，已知六边形ABCDEF∽六边形A'B'CD'EF',若 AB 4 B7’CD=8,则CD的长为(). 14/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.12 B.13 C.14 D.15 【变式2】(22-23九年级上全国期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=10,点E,F分别在AD, BC上，若矩形ABFE矩形BCDA,则BF的长为一· F 【变式3】(2425八年级下·全国课后作业)如图所示，有一块长为2m、宽为lm的玻璃，为了保护玻璃， 需要镶上宽l0Cm的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ M E B 题型11位似作图 【典例1】(2026安徽安庆·三模)如图，在网格图中，己知△ABC和点M(1,0) ()以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A'B'C',使它与△ABC位似，且位似比为3； (2)写出△AB'C各顶点的坐标。 【变式1】(2026安徽合肥三模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直 角坐标系xOy,△ABC的三个顶点为格点. 15/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)以原点O为位似中心在第一象限画出△4BC,使它与△ABC的相似比为2： (②)无刻度直尺作图，在线段BC上找一点D,使得∠CAD=45°. 【变式2】(2026安徽阜阳·二模)在平面直角坐标系O少中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(-2,1),B(0,2),C(-3,4) B x (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△4BC,画出△4B,C,并写出点的坐标： (2以点O为位似中心，将△4BG放大得到△4，BC2,相似比为2，在网格图中画出△4，B,C2。 【变式3】(2026：安徽池州·二模)如图，在平面直角坐标系中，△40B的顶点坐标分别为4(2，) 0(0,0)、B(1,-2) 16/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△4OB; (②)以原点0为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△4OB放大后的△4，O,B. 题型12利用位似图形的性质求解 【典例1】（第三十一章追梦基础训练卷（二）)如图，在平面直角坐标系中，aOAB和△OCD是以原点 OA O为位似中心的位似图形，已知B(-4,0),D(2,0),则oC的值为() 3 A. B.2 c.2 D.3 【变式1】(2022辽宁大连模拟预测)如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到 △A'B'C',以下说法不正确的是（) A.AB:A'B'=1:2 B.点A,O,A'三点在同一条直线上 C.S.ABC SRc =1:2 D.BC B'C 17127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级下·山东泰安·期末)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如 图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC与△AB'C'成位似关系，则位似中心的坐标为. 8 5 4 以 B 2 1 A O12345678910x 【变式3】(25-26八年级下·吉林期末)如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O, OB:OE=2:3,若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为 D E A _-- 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26九年级上湖南岳阳阶段检测)下列相似图形不是位似图形的是() B E 2.(26-27九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)如图，直线a‖b‖c,分别交直线m,n于点A,B,C, D,E,F.若AC:BC=5:2,DE=6,则EF的长为() 18/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d D 6 C F A.4 B.5 C.6 D.1 3.(25-26九年级下·河北衡水阶段检测)如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，连接AE交对角 BD 线BD于点P,则DF =() B A.4 B.3 C.2 D.1 4.(2627九年级上·全国单元测试)如图，已知∠BAD=∠CAE,那么添加下列的一个条件后，仍无法 判定△ABCAADE的是() B H C ABAC A AD AE B.∠B=∠D AB BC C.ADDE D.∠ACB=∠E 5.(26-27九年级上陕西西安开学考试)如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF 并延长交BC于点E,若BF:FD=3:I,BC=10,则CE的长为() A B E 19/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 0 B.4 C.5 D.3 二、填空题 6.(2026江苏盐城：三模)平行四边形ABCD与平行四边形ABCD相似，AB=4,AB的对应边4B=5, 平行四边形ABCD的面积为8，则平行四边形ABCD的面积为 7.(25-26九年级上河南开封期末)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实 现图象投影的方法.如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置）AB=20cm,经小孔O 所成的像CD=5cm,蜡烛距离纸筒O的距离为60cm,则纸筒的长度为 cm 8.(25-26九年级上四川成都阶段检测)将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写 出一个与△ADE相似而不全等的三角形 ·（填写一个即可) E B 9.(2026江苏南通中考真题)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE, 垂足为G.若EG=3,则正方形ABCD的边长为 B 10.(26-27九年级上：陕西西安·开学考试)如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC边上的一点， BP 1 CP=2,D为AC边上的一点，连接AP,PD'若∠4PD=60°，则CD的长为— 20127 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 60° B 三、解答题 11. (26-27九年级上全国课后作业)如图，已知0为△ABC内一点，D、E、F分别是OA,OB,OC的中点. (I)求证：△DEF∽△ABC (2)图中还有哪几对相似三角形？ 12.(25-26八年级上·云南昆明·期末)如图，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE有公共顶点 A,且AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°，点E恰好落在边BC上（与点B、C不重合），AB与 DE相交于点F,连接BD B D (①)求证：BD=CE: (2)求证：△CAE∽△BEF 13.(24-25九年级上：安徽合肥期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=2AD, AC=2AE E B (I)求证：△ADE∽△ABC: 21/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SACDE ②若AD=6'AE=4连接DB'求3m的值. 14.(25-26八年级下·吉林期末)如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上一点，BE的延长线交 AC于F.已知AD=4,AB=3,∠BAD=90° C D B (1)求BC的长； (2)若AE=1,求AF:FC的值， 15.(26-27九年级上·辽宁沈阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上移动，过点D 作DE⊥AC交AB于点E,过点C作CF⊥CB交ED延长线于点F. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ABC=∠CFD: (2)已知CE平分∠BCF,BC=10. BE 2 ①如图2，若AB5,求EC的长_ ②如图3，过点B作BG⊥AC于点G,连接EG.若AE=BE,直接写出△EBG的面积 能力提升 一、单选题 1.(2026甘肃平凉·三模)如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大 佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值.现已知卧佛的肩宽：身长=5：23，且 肩宽为7.5米，则卧佛的身长为() 22127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.35.5米 B.35米 C.34.5米 D.34米 2.(2026吉林一模)如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,若AG=2,GD=1,DF=5,则 BC CE等于() G A. D.1 3.(25-26九年级上浙江嘉兴期末)己知：在矩形ABCD中，AD=1.将该矩形按如图方式分成三个相 同的小矩形，若每个小矩形都和矩形ABCD相似，则AB的长为() B A. B.3 C.2 D.5 4.(25-26九年级上江苏泰州·期末)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法. 如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水面D,视线BD与井口的直径 AC交于点E,如果测得AB=2m,AC=0.8m,AE=0.2m,那么CD为() B D 23/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4m B.6m C.8m D.10m 5.(26-27九年级上·全国单元测试)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.将线段AD沿射 线AB方向平移，点A,D的对应点分别为点E,F,线段EF分别与OA,OD交于点G,H.当点G是OA的 G 中点时， AB的值为() D H E G 1 A.2 c. 2 D.4 二、填空题 6.(2026九年级上全国·专题练习)如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形（四边形 OA 1 ABC'D),OA3,若四边形ABCD的面积是1，则四边形BC'D的面积是 D B 7.(25-26八年级下·上海普陀期末)在R1△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,那么△ABC的 重心G到斜边AB的中点的距离是 8.(26-27九年级上·全国单元测试)如图，△ABC中，D为BC边上一点，且BD:DC=1:2,E为AD中 点，则S△MBs:S△Br= D 9 (2026福建莆田模拟预测)如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、 “未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台(B点为看台底部)由近及远沿直线依次竖直摆放， 分别记五块标语牌为R职，BQ,…,Q,且B0=16米.为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好 能看到后四块标语牌的底部，则BO= 24/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y P P B 21 22 9 24 2 10. (26-27九年级上：广东深圳开学考试)如图矩形ABCD,对角线AC与BD交于点O,将△ABD绕点A AB 顺时针旋转得到△AB'D,当点g落在对角线BD上时，CB、Dy三点共线，则CD的值为 B D B 三、解答题 11.(26-27九年级上·浙江温州开学考试)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使 CF=BE,连接DF,AF,CD交AF于点G. (I)求证：四边形AEFD为矩形. (2)若AE=3,EC=2CF,CD⊥AF,求EF的长. 12.(26-27九年级上陕西西安开学考试)如图，等边△ABC的边长为2，点D,B,C,E在同一直线上， CE=4,∠BAD=∠E」 D B (I)求证：△ABD△ECA: (2)求AD的长. 13.(25-26八年级下山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,0), B(4,2),C(1,3).请解答下列问题： 25/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与△ABC位似的图形△ABG,使△ABG与△ABC的相似比为 2:1: (2②)直接写出C点坐标；若线段4B上点D的坐标为(a,b),则其对应点D的坐标： (3)求△ABC的面积 14.(2026河南三门峡三模)综合与实践课上，某数学学习小组为测量校园内一棵大树CE的高度，设计 了如下方案：如图，先在水平地面B处竖立一根标杆BG,接着向后2米退至A处，人伏着地向上看，此 时点A、标杆上的点D、大树顶端E恰在同一直线上，再向后退3米到达点F处，人目着地向上看，此时 点F、标杆上的点G、大树顶端E也恰在同一直线上，经测量，BD=1.5米，DG=1米.请据此算出大树 CE的高度（点AB,C,D,E,F,G在同一竖直平面内，点C,B,A,F在同一水平线上）· G 7 B A 15.(2026四川眉山模拟预测)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE, D C D D D E G G E E G E B 图1 图2 图3 图4 (I)【发现】当正方形AEFG绕点A旋转，如图2， ①线段DG与BE之间的数量关系是-： 26/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②直线DG与直线BE之间的位置关系是-； (2)【探究】如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE时，上述两个结 论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由 (③)【应用】在(2)的情况下，连接GE(点E在AB上方)，如图4，若GE‖AB,且AB=V5,AE=1, 求线段DG的长. 16.(26-27九年级上·湖北期中)江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后， 在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性.下面是江老师设计 的一个教学片段，请结合问题进行探究思考 【问题呈现】 在正方形ADEF的边AD,AF上分别有点B和C,AB=ADm,AC=AFm,m>0,连接BC,结合图形 旋转，探究BD,CF的数量关系. E F B 图1 图2 图3 【问题探究】 (I)如图1，此时BD与CF的数量关系是 位置关系是 (2)如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转0(0°<0<90)时，BD与CF的数量关系是否有变化？如果不变化， 请证明结论；如果变化，请说明理由。 【拓展应用】 (3)如图3，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H.已知AB=V2,AD=3,求线段DH 的长度 27/27