专题8.9 双曲线（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.9 双曲线（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 (2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率) (3)了解双曲线的简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 双曲线的方程与性质 新课标I卷：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第5题，5分 全国一卷：第3题，5分 全国二卷：第11题，6分 全国一卷：第12题，5分 全国二卷：第4题，5分 命题规律分析 1、双曲线 双曲线的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、标准方程与双曲线的离心率、渐近线方程等知识，主要以单选题、多选题、填空题的形式出现，难度不大；在解答题中双曲线考查较少，有时双曲线的标准方程、双曲线的离心率的求解会在解答题的第一小问中考查，复习时要加强这方面的训练。 与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解。 考点1 双曲线的方程与性质 知识点1 双曲线的方程及其性质 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 4．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 知识点2 双曲线方程的求解方法 1．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. (3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. 知识点3 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 知识点4 双曲线的离心率或其范围的解题策略 1．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 知识点5 双曲线中的最值问题的解题策略 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0). 【题型1 双曲线的定义及其应用】 【例1】（2026·四川·二模）双曲线 两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【解题思路】由双曲线的定义和性质可得； 【解答过程】由题意可得，即， 又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以. 故选：C. 【变式1-1】（2025·河南焦作·三模）若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解题思路】先利用双曲线的标准方程确定焦点坐标，再利用双曲线的定义求解即可． 【解答过程】由题意可知，，则， 则双曲线的左、右焦点分别为， 因或，且，故． 故选：B. 【变式1-2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）设P是双曲线C：上一点，，是C的左、右焦点，若，则（   ） A．10或4 B．13或1 C．10 D．13 【答案】D 【解题思路】先利用双曲线的定义得出或，再结合双曲线的性质得出即可. 【解答过程】根据双曲线的定义，知， 因为，所以或， 又，所以. 故选：D. 【变式1-3】（2026·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【解题思路】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【解答过程】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A. 【题型2 双曲线的标准方程】 【例2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【解答过程】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 故选：A. 【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据渐近线设双曲线方程为，再根据点即可求解. 【解答过程】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以， 所以双曲线为. 故选：B. 【变式2-2】（2026·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【解答过程】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A. 【变式2-3】（2026·重庆九龙坡·一模）双曲线的焦距为，其一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求得的值，即可得到双曲线的方程. 【解答过程】设双曲线的焦距为，则，解得. 所以双曲线的方程为. 故选：A. 【题型3 曲线方程与双曲线】 【例3】（2026·新疆·一模）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线方程的特征得到不等式，求解不等式即可. 【解答过程】因为表示双曲线，所以，解得或， 故选：C. 【变式3-1】（2026·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】表示双曲线时， 等价于，解得或. 因为由可推出或，但是由或，不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可. 【解答过程】由题意可得， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式3-3】（2026·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【解答过程】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4】（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【解答过程】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 故选：D. 【变式4-1】（2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程. 【解答过程】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式4-2】（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【解答过程】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【解答过程】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 故选：C． 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 【例5】（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【解题思路】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得. 【解答过程】法一：设，，则由双曲线定义可得， ，则， ，即， 则，故. 法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得. 故选：D． 【变式5-1】（2026·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【解题思路】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【解答过程】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D. 【变式5-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义和已知条件求出，再判断的形状，进而求出其面积. 【解答过程】根据可知，双曲线的半焦距，由（），得. 根据双曲线的定义，，即，可得或. 当时，点在轴上，不符合题意， 当，由于，， 可知是直角三角形，边为斜边， 的面积， 故选：A. 【变式5-3】（2026·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D. 【题型6 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线】 【例6】（2026·福建·二模）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据离心率求出，即可得双曲线线的渐近线方程.. 【解答过程】因为， 所以，即， 因为双曲线的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 故选：B． 【变式6-1】（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义及标准方程求解即可. 【解答过程】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 故选：D. 【变式6-2】（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】根据题意得到焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解． 【解答过程】解：双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 故选：D. 【变式6-3】（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【解题思路】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【解答过程】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 故选：D. 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例7】（2026·海南海口·模拟预测）双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据双曲线求出顶点以及渐近线，再根据题意列出方程求出关系进而求出离心率. 【解答过程】双曲线右顶点为，渐近线. 顶点到渐近线的距离. 因为双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍， 所以，即，化简得，进而. 已知，则，因为，所以. 故选：D. 【变式7-1】（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】利用焦点在x轴上的双曲线渐近线斜率得到，再结合双曲线的关系和离心率公式计算得到离心率. 【解答过程】对于焦点在轴上的双曲线，它的渐近线方程为， 由题意得， 所以. 故选：A. 【变式7-2】（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过原点的直线交于两点，且．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】判断为直角三角形且，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求值． 【解答过程】如图所示，设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为，即为直角三角形，所以， 又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有， 连接与左焦点，由，可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知， 所以双曲线的离心率为，故B正确． 故选：B. 【变式7-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义可得，由几何关系可得，且，利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解. 【解答过程】、为双曲线右支上两点且， 所以， 设，可得， 由于且，所以，且 在直角三角形中，， 在中由余弦定理，， 由可得，即， 化简得，可得 可得， 所以， 化简得，即， 所以， 解得：或（舍去） 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 【题型8 与双曲线有关的最值问题】 【例8】（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【解答过程】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 【变式8-1】（2026·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【解答过程】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式8-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【解答过程】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【解题思路】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【解答过程】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 【题型9 双曲线的实际应用】 【例9】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线方程，再求出塔顶的纵坐标，从而计算塔高． 【解答过程】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 【变式9-2】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【解答过程】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【解答过程】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D. 一、单选题 1．（2026·河北·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出双曲线的实半轴长，虚半轴长，求出，求出渐近线的方程. 【解答过程】因为双曲线的方程为，所以， 所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以， 所以渐近线方程为. 故选：D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【解答过程】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 故选：D． 3．（2026·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 【答案】B 【解题思路】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得. 【解答过程】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，， 根据双曲线定义，， 解得或1，又，所以. 故选：B. 4．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【解答过程】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 故选：B. 5．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，得到，结合双曲线定义即可求解. 【解答过程】设，， 则由已知得， 又， 所以，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 6．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【解答过程】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 故选：B. 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义和已知比例关系求得，借助余弦定理建立等量关系，求得的关系，从而求得离心率. 【解答过程】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 故选：D. 8．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【解答过程】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 故选：D． 二、多选题 9．（2026·安徽·模拟预测）设双曲线：的左、右焦点分别为，，点的坐标为，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【解题思路】根据标准方程求出，再结合双曲线的定义、几何性质逐一判断选项. 【解答过程】由双曲线，可得，因此， 即； 选项A：双曲线的焦距，A正确； 选项B：双曲线的渐近线方程为，不是，B错误； 选项C：双曲线的离心率，C正确； 选项D：将代入双曲线方程，左边，满足方程， 故在双曲线右支上，根据双曲线定义，右支上的点满足，D正确. 故选：ACD. 10．（2026·山东·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 【答案】ABD 【解题思路】利用双曲线方程及其性质,即可通过方程求解来判断各选项. 【解答过程】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ， 又由双曲线渐近线为，得 ​，即， 代入，得， 因此双曲线的方程为，故A正确； 离心率，故B正确； 到直线的距离： ，故C错误； 由，可知在以为直径的圆上， 联立渐近线：代入得， 可得交点纵坐标， 即的面积为： ，故D正确. 故选：ABD. 11．（2026·山东聊城·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（    ） A． B． C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【解题思路】从已知双曲线方程得到，利用焦点到渐近线的距离公式求出，结合条件得出，判断A正确.通过作垂线构造相似三角形，证明与不重合，从而否定，判断B错误.在直角三角形中利用双曲线定义和勾股定理建立关于的方程，解得，进而求出离心率，判断C正确.最后利用三角形面积关系求得，判断D正确. 【解答过程】由题意知，由双曲线方程得，即. 又，故，焦点到渐近线的距离. 由条件，故选项A正确； 易知，，，过作垂直于，垂足为. 如图，过作于. 由，且，得. 又， 则，与不重合。 故，故选项B错误； 在中，，，， 则，即， 解得，则，所以，故C选项正确； ，故D选项正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则___________． 【答案】/2.25 【解题思路】利用双曲线的渐近线求解. 【解答过程】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 故答案为：. 13．（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则___________． 【答案】5 【解题思路】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【解答过程】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 故答案为：5． 14．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解题思路】先根据题意求出，然后利用双曲线的定义得到，利用直角三角形和面积公式列出关于的两个方程，求解出，进而求出离心率. 【解答过程】双曲线的左右焦点分别为，， 直线与双曲线的右支交于点且，的中点为，且 ， 的中点记为，的中点记为， 则，， ，则，，即，整理得①. 又，即，整理得②. 联立，解得或（舍）. 则双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【解答过程】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 16．（2026·山东聊城·二模）已知双曲线的一个焦点是，一条渐近线方程是. (1)求双曲线的方程； (2)斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点为线段的中点，点，若以为直径的圆过点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，联立方程组求出，利用即可. 【解答过程】（1）由题意得，，，，解得， 则双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，， 联立，得，此时， 由韦达定理得，所以，即. 因为以为直径的圆过点，所以，即， 因为，所以，得， 所以直线的方程为， 17．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆，双曲线分别为的离心率，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的上顶点为，经过上焦点的直线与的上支相交于两点，直线分别与轴相交于两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理得到斜率范围，分别得到的坐标，根据三角形面积代入化简求解即可. 【解答过程】（1）由题可知，， ， 解得或（舍）， ∴双曲线的标准方程为． （2）由题可知，直线斜率存在，设直线的方程为，设． 由，消去，得， ，由韦达定理，得．． 直线AM的方程为，令，即， 同理，得． ， 当即时，取最小值为1， 的最小值为1． 18．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【解答过程】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中，所以， 即离心率：； （2） 设，直线方程为， 令，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或（因为此时与点重合故舍去），即； （3）证明：设，由 关于原点对称得， 计算得直线 的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 19．（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.9 双曲线（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 (2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率) (3)了解双曲线的简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 双曲线的方程与性质 新课标I卷：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第5题，5分 全国一卷：第3题，5分 全国二卷：第11题，6分 全国一卷：第12题，5分 全国二卷：第4题，5分 命题规律分析 1、双曲线 双曲线的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、标准方程与双曲线的离心率、渐近线方程等知识，主要以单选题、多选题、填空题的形式出现，难度不大；在解答题中双曲线考查较少，有时双曲线的标准方程、双曲线的离心率的求解会在解答题的第一小问中考查，复习时要加强这方面的训练。 与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解。 考点1 双曲线的方程与性质 知识点1 双曲线的方程及其性质 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 4．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 知识点2 双曲线方程的求解方法 1．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. (3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. 知识点3 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 知识点4 双曲线的离心率或其范围的解题策略 1．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 知识点5 双曲线中的最值问题的解题策略 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0). 【题型1 双曲线的定义及其应用】 【例1】（2026·四川·二模）双曲线 两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【变式1-1】（2025·河南焦作·三模）若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式1-2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）设P是双曲线C：上一点，，是C的左、右焦点，若，则（   ） A．10或4 B．13或1 C．10 D．13 【变式1-3】（2026·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【题型2 双曲线的标准方程】 【例2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·重庆九龙坡·一模）双曲线的焦距为，其一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 曲线方程与双曲线】 【例3】（2026·新疆·一模）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4】（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 【例5】（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【变式5-1】（2026·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式5-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式5-3】（2026·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【题型6 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线】 【例6】（2026·福建·二模）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-3】（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例7】（2026·海南海口·模拟预测）双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式7-1】（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【变式7-2】（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过原点的直线交于两点，且．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【题型8 与双曲线有关的最值问题】 【例8】（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】（2026·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式8-3】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【题型9 双曲线的实际应用】 【例9】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式9-2】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式9-3】（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·河北·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 4．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 5．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（2026·安徽·模拟预测）设双曲线：的左、右焦点分别为，，点的坐标为，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 10．（2026·山东·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 11．（2026·山东聊城·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（    ） A． B． C．的离心率为 D． 三、填空题 12．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则___________． 13．（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则___________． 14．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为___________． 四、解答题 15．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 16．（2026·山东聊城·二模）已知双曲线的一个焦点是，一条渐近线方程是. (1)求双曲线的方程； (2)斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点为线段的中点，点，若以为直径的圆过点，求直线的方程. 17．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆，双曲线分别为的离心率，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的上顶点为，经过上焦点的直线与的上支相交于两点，直线分别与轴相交于两点，求的最小值． 18．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 19．（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $