专题04 一元二次方程十一大题型突破-2026-2027学年北师大版九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题04 一元二次方程十一大题型突破 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型11：新定义综合】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列关于的方程，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 4．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型02 ：一元二次方程的解】 5．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 6．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 7．如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 8．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【题型03：解一元二次方程】 9．解方程： (1)； (2)． 10．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 13．解方程： (1)； (2)． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 14．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 15．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 16．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 17．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 19．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 20．若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（     ） A． B． C． D． 21．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 22．一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 23．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 24．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 25．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 26．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 27．某学校在校师生及工作人员共600个人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64个人患了该病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少个人未被传染（第三轮传染后仍未有治愈者）？ 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 28．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 29．如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 30．如图，有一块长为、宽为的长方形硬纸片，在四角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长． 31．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 32．项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 33．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 34．某款发卡在某电商平台上月日的销量为个，月日和月日的总销量是个．若月日和日较前一天的增长率均为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 35．随着我国汽车产业的快速发展以及居民收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，截至2020年底，该市汽车保有量为15万辆；截至2022年底，汽车保有量已达万辆．若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长率． 36．松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 38．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 39．自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 40．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．近期统计发现：每周销售量（千克）与销售单价（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价（元/千克） 周销售量（千克） 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为元，且销售量不低于千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 41．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度运动，动点Q同时从点C出发沿方向以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是? (2)请根据题目情境提出一个新问题，并加以解决． 42．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 43．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 44．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿向点移动．如果，分别从，同时出发，设移动的时间为．求： (1)当为多少时，的面积等于？ (2)当为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 45．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【题型11：新定义综合】 46．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 47．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 48．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程十一大题型突破 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型11：新定义综合】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列关于的方程，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 2．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 4．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 【题型02 ：一元二次方程的解】 5．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 6．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的定义与方程的求解．利用方程根的性质化简得到，求解方程得两根后计算出，再代入求出结果． 【详解】∵是方程的根， ∴，即． ∴． 解方程： 判别式， ∴， 得两根，， 故． ∴． 故选：A． 7．如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 8．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 【题型03：解一元二次方程】 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，． 10．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解： 开平方得 解得，； （2）解： 整理得 则或、 解得； （3）解： 则或 解得． （4）解： 整理得 则 或 解得． 11．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）解：， ， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 解得； （4）解：， ， ， ， 或， 解得. 12．解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ，； (2) ，； (3) ，． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程即可； （2）运用公式法解方程即可； （3）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 左右两边同除以5，得， 开平方，得， 解得； （2）解：， 这里， ， ∴， ∴； （3）解：， 移项，得，即， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 【题型04：一元二次方程根的判别式】 14．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 15．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 16．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 17．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 18．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 19．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 20．若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 解得，， ． 21．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 22．一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 23．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 24．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 25．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 26．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 27．某学校在校师生及工作人员共600个人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64个人患了该病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少个人未被传染（第三轮传染后仍未有治愈者）？ 【答案】(1)7个人 (2)88个人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64个人患了该病列出方程，解方程即可； （2）先算出被传染的人数，然后用总人数减去被传染的人数即可得出答案． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）解：第三轮传染后可以传播的人数为： （人）， 第三轮传染后学校还剩未被传染的人数为： （人）， 答：第三轮传染后学校还剩未被传染的人数为88人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，解方程即可． 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 28．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 29．如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 30．如图，有一块长为、宽为的长方形硬纸片，在四角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长． 【答案】 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为，依题意，得 ， 整理，得， 解得，， 不合题意，应舍去， 答：剪去的小正方形的边长是． 31．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1) ，； ； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】 根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 32．项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2) ； 解：不能； 理由：∵，，但，， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可； 求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 略 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 33．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 34．某款发卡在某电商平台上月日的销量为个，月日和月日的总销量是个．若月日和日较前一天的增长率均为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是增长率问题，理清不同日期的销量关系是解题的关键．设增长率为，根据 “现期量基期量 (增长率)”，可分别表示出月日和日的销量，再根据两天的总销量为个列出方程． 【详解】解：设月日和日较前一天的增长率均为， 月日销量为个， 月日销量为，月日销量为， 又月日和月日的总销量是个， 可列方程， 故选：． 35．随着我国汽车产业的快速发展以及居民收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，截至2020年底，该市汽车保有量为15万辆；截至2022年底，汽车保有量已达万辆．若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长率． 【答案】这个增长率为． 【分析】根据2020年底与2022年底的汽车保有量，结合年均增长率相同的条件建立一元二次方程求解． 【详解】解：设该市这两年汽车保有量的增长率为x，2020年底汽车保有量为15万辆，年均增长率相同，2022年底汽车保有量可表示为万辆，根据题意得 ， 解得，． ∵增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． ∴增长率为． 答：这个增长率为． 36．松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 【答案】(1)； (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 【分析】（1）根据每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，求解，再根据题意取合适的值即可． 【详解】（1）解：由题可得降价后商场日销售量是件，每件商品盈利元； （2）解：根据题意，可列方程， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 则每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 38．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价元． 39．自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【详解】（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 40．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．近期统计发现：每周销售量（千克）与销售单价（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价（元/千克） 周销售量（千克） 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为元，且销售量不低于千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ 【答案】(1)； (2)应将这种绿茶的周销售单价定为元． 【分析】本题主要考查一次函数和一元二次方程在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题． （1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值． （2）计算期望利润为元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于千克的条件进行筛选． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 代入，和，，得： ， 解得，， ∴与的函数关系式为：； （2）由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵销售量不低于千克， ∴，解得：， ∴， ∴应将这种绿茶的周销售单价定为元． 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 41．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度运动，动点Q同时从点C出发沿方向以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是? (2)请根据题目情境提出一个新问题，并加以解决． 【答案】(1)出发后经过或时，两点之间的距离是 (2)问题：当为何值时，四边形是矩形？ 解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴ 解得， ∴此时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）过作于，得矩形，故．用时间表示、，推得水平距离．在中，由勾股定理列方程，结合验根，得到两个符合条件的解； （2）可设问题为：当为何值时，四边形是矩形？，由矩形性质得，只需满足即可先判定平行四边形，结合即可得矩形．根据、，列方程求解，即可得到对应时间． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． 设运动时间为， 由题意得，，， ∴，， ∴， 在中， 解得或； 由题意得，点到达终点的时间为，点到达终点的时间为， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ∴的取值范围为． ∵，，均符合题意， 答：出发后经过或时，两点之间的距离是； （2）略 42．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 43．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 44．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿向点移动．如果，分别从，同时出发，设移动的时间为．求： (1)当为多少时，的面积等于？ (2)当为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)为秒或秒 (2)为秒或秒 【分析】本题利用了三角形的面积公式，勾股定理，以及解一元二次方程； （1）若移动时间为，那么可以用含的代数式表示中，，那么利用面积公式就可以得到关于的一元二次方程，解即可，并要根据实际意义确定的值； （2）用含t的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解： ，，， 的面积等于 则 整理得，解得， 即当为秒或秒时，的面积等于； （2）解：依题意，，，， 是以为斜边的直角三角形 ，即， 整理得，解之得， 即当为秒或秒时，是以为斜边的直角三角形． 45．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 【题型11：新定义综合】 46．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，，1 (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接根据计算即可； （2）把右边的写成求解即可； （3）利用配方法，结合求解． 【详解】（1）解：；；；； 故答案为：，1，，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴， 解得：，． 47．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【答案】(1) ① (2) 的值为或 (3) ，， 【分析】（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可； （2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值； （3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值． 【详解】（1）解： 或 所以：， ， 所以是和谐方程； 或， 所以：， ， 所以：不是和谐方程； 所以：不是和谐方程； （2） 或， 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 综上所述，m的值为1或2； （3）设方程两根为，且， 根据根与系数的关系，可以得：，， ，， ，， 将代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 解得：， 当时，，， 方程为， 解得，满足、，符合题意； 当时，，， 方程为， 解得，，不满足，不符合题意，舍去； 综上所述，，，． 【点睛】本题属于新定义型问题，主要考查一元二次方程的解法和根与系数的关系的综合应用． 48．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 1 学科网（北京）股份有限公司 $