专题04 平面直角坐标系重难点四大题型突破专题训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题04 平面直角坐标系重难点四大题型突破 【题型1 两点间距离】 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 【题型1 两点间距离】 1．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 2．在平面直角坐标系中，已知点、． (1)求、两点间的距离； (2)如果点在轴上，且满足，求点的坐标． 3．阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知，求C、D两点间的距离； (2)已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 4．材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉． 例如：已知，求的值． 解： ． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 5．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为_______； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，的最小值为_______； (3)应用平面内两点间的距离公式，代数式的最小值为_______； (4)应用拓展：如图，若点在上运动，，，，连接，，求的周长的最小值． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 6．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 8．如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 10．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2、3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请说明理由并求出的面积；若变化，请说明理由． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 11．嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 13．如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 14．如图，一动点在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2026次运动后的坐标为_______． 15．如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，，依此规律继续跳动下去第2026次跳动至点的坐标是_____． 16．横、纵坐标均为整数的点称为整点．一列有规律的整点如图排列，从第一个点开始，它们的坐标依次为，，，，，，根据这个规律，第2026个整点的坐标为______． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为个单位长度的细铁丝的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细铁丝的另一端所在位置的点的坐标是____． 18．将非零自然数依次按如图所示的规律排列下去，其中第一行排1个，第二行排2个，第三行排3个，…，若用有序实数对表示第m行从左到右第n个数．例如表示的数为9，那么2026这个数用有序实数对可表示为______． 19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是______． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 20．如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求的面积； (2)求原点到的距离； (3)在轴上确定点，使得为等腰三角形，直接写出满足这样条件的点坐标． 23．已知平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中作出关于轴对称的； (2)直接写出的面积， ； (3)在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． (1)求点的坐标． (2)若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 25．已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系重难点四大题型突破 【题型1 两点间距离】 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 【题型1 两点间距离】 1．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)13 (2)8 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离； （2）解：由题意，得：A，B两点间的距离． 2．在平面直角坐标系中，已知点、． (1)求、两点间的距离； (2)如果点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）设，根据，利用两点间距离公式列出方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点、， ∴、两点间的距离为． （2）解：∵点在轴上， ∴设， ∵，、， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴点的坐标为． 3．阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知，求C、D两点间的距离； (2)已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)6； (3)解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）判断两点的横坐标相同，计算即可． （3）利用公式计算三边的长，进而判断即可． 【详解】（1）解：根据给出的公式得， ∴C、D两点间的距离为； （2）解：∵M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为， ∴， ∴M、N两点间的距离为6； （3）略 4．材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉． 例如：已知，求的值． 解： ． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，推出，求出，，即可解决问题． （2）由代数式 ，可知求代数式的最小值，可以转化为找一点，使得点到，的距离之和最小，这个最小值要求的最小值，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解： 而可看作到，的距离之和，如图： 根据两点之间，线段最短可知，当点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 5．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为_______； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，的最小值为_______； (3)应用平面内两点间的距离公式，代数式的最小值为_______； (4)应用拓展：如图，若点在上运动，，，，连接，，求的周长的最小值． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式，把两点代入求解即可； （2）作点B关于x轴对称的点，连接，，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，求出的坐标，再利用两点之间距离公式求解即可； （3）代数式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短可知点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小，再利用两点之间距离公式求解即可； （4）过A作，作B关于直线的对称点，连接，，由对称性可证的周长的最小值为，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：作点B关于x轴对称的点，连接，， ， 当共线时取得最小值， 即直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，如图， B关于x轴对称的点， 点的坐标为， ， ， 的最小值为； （3）解：代数式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短可知，点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小， 的最小值为：； （4）解：过A作，作B关于直线的对称点，连接，， B，关于直线对称， ，，， ， 的最小值为， 的周长的最小值为， ，，， ， ， 在中，， 的周长的最小值为． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 6．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，． (2)． (3)见解析，将线段向左平移个单位长度得到线段． (4)点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形变化，三角形面积，垂线段的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，进行解答，即可． （1）根据平面直角坐标系中点的性质，即可； （2）根据题意，描点得到，过点作轴的平行线，过点作于点，根据垂线段最短，此时的横坐标与点的横坐标相等，即求出； （3）根据平移的性质，画出平移的线段，即可； （4）根据，求出点的坐标，根据，三角形的面积等于四边形面积的，即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上，点在轴上，，， ∴，． （2）解：如图所示，描点得到， 过点作轴的平行线，过点作于点， ∴点即为所求， ∵，， ∴． （3）解：如图，点即为所求． 平移的过程为：将线段向左平移个单位长度得到线段． （4）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设点的坐标为， ∵三角形的面积等于四边形面积的， ∴ ， 解得或， ∴点的坐标为或． 7．如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解： ， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 8．如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在．点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由（1）得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）解：存在．∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)平行于轴 (3)或 (4)存在，满足条件的点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质，得到，，，然后计算即可得出答案； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5，点、的横坐标为4，可以求得的值有两种情况，然后代入计算的面积即可； （4）分两种情况进行讨论，当或时，根据四边形与三角形的面积关系列出方程，解得的值，然后写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴； （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时， ， 当时， ， 综上可得：或； （4）解：存在，理由如下： 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2、3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为 ． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请说明理由并求出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积不变，的面积为2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形； （1）过点C作轴于点D，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点，同（1）得出，即可得出点C的坐标； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点D， 点坐标为， ， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点， 点坐标为， ， 同（1）理可得：， ， 则点C纵坐标为2，横坐标为， ， 故答案为：； （3）解：∵，则， 设点B坐标为，当时， 如图，过点A作轴，过点C、B分别作的垂线，交于点E、F， ， 同理可得：， ， 则点C纵坐标为2， ； 当时，如图，过点C作轴于点D， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 则点C纵坐标为2， ； 综上所述，点B在y轴运动过程中（点B不与点O重合），的面积不变，面积为2． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 11．嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点对称的中点性质求出前几个点的坐标，找出坐标循环规律，再通过计算余数得到目标点的坐标． 【详解】解：∵若点关于对称的点为，根据对称中心是两点中点，可得，． 依次计算各点坐标：初始点， 第一次跳动得， 第二次跳动得， 第三次跳动得， 第四次跳动得， 第五次跳动得， 第六次跳动得， ∴坐标每次跳动为一个循环，回到初始坐标． ，余数为， 的坐标与相同，为． 12．如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其横坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；纵坐标在和之间循环，由的奇偶性决定，确定对应的值即可求解． 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点， 第个等腰直角三角形的斜边长为， 该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正， ， 点是第个等腰直角三角形的直角顶点； 是奇数， 点的横坐标为； 点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； …… 由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为； 是奇数， 点的纵坐标为； 综上所述，点的坐标为． 13．如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【答案】 【详解】解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． 14．如图，一动点在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2026次运动后的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点的运动方式得出点第次运动到的点的坐标为 为正整数），进一步可得答案. 【详解】解：由题知， 点第一次运动到， 点第六次运动到， 点第十一次运动到， ， 由此可见，点第次运动到的点的坐标为 为正整数）． 当时， ，， 即点第2026次运动后的坐标为． 15．如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，，依此规律继续跳动下去第2026次跳动至点的坐标是_____． 【答案】 【分析】设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律，，，（n为自然数），依此规律结合可得出点的坐标． 【详解】解：设第n次跳动至点， 观察发现：，，，，，，，，， ， ，，，（n为自然数）， ， ，即． 16．横、纵坐标均为整数的点称为整点．一列有规律的整点如图排列，从第一个点开始，它们的坐标依次为，，，，，，根据这个规律，第2026个整点的坐标为______． 【答案】 【分析】观察图中点的坐标可知，当n为奇数时，第个整点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：∵第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， …… ∵， ∴第个整点的坐标为， ∴第2026个整点的坐标为． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为个单位长度的细铁丝的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细铁丝的另一端所在位置的点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据点的坐标求出四边形各边的长度，进而求出四边形的周长，用总长度除以周长得到商和余数，根据余数确定细铁丝另一端的位置． 【详解】解：∵ ，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为 ， ∵， ∴细铁丝的另一端在绕四边形圈后的第个单位长度的位置， ∵从点出发，按的规律，， ∴细铁丝的另一端所在位置的点，坐标为 ． 18．将非零自然数依次按如图所示的规律排列下去，其中第一行排1个，第二行排2个，第三行排3个，…，若用有序实数对表示第m行从左到右第n个数．例如表示的数为9，那么2026这个数用有序实数对可表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有序实数对表示位置；根据题意，得出前行数的总个数，得出数排在第行的左起第个位置，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为第一行排个，第二行排个，第三行排个，， 所以前行数的总个数可表示为：． 当时， ， 所以第行的最后一个数为． 因为， 所以数排在第行的左起第个位置， 即这个数用有序实数对可表示为． 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数． 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数， 第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为，则第2024个数一定在第64列，由下到上是第8个数． 因而第2024个点的坐标是． 故答案为：． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 20．如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：如图， 则在x轴上共有4个这样的P点． 故选：C． 21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】易得，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，轴， ∵点是的中点， ∴， ∵是腰长为5的等腰三角形， ∴①当时，则， ∴； ②当，点在点左侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 当，点在点右侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 综上点共有3个. 22．如图，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求的面积； (2)求原点到的距离； (3)在轴上确定点，使得为等腰三角形，直接写出满足这样条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的点的坐标为或或或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1），其中的长为点纵坐标的绝对值； （2）由勾股定理求出的长，再根据，即可求出的长，即原点到的距离； （3）为等腰三角形，则底边是、或，分情况解答即可． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为， ，， ，， ； （2）解：过点作于， ，， ，，， ， 在中，利用勾股定理可得：， ， 解得：， 原点到的距离； （3）解：当时，点在点左侧，且，则，则点的坐标为； 当时，若点在点右侧，则，点的坐标为； 若点在点左侧，则，点的坐标为； 若，此时点与点重合，则点的坐标为； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 23．已知平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中作出关于轴对称的； (2)直接写出的面积， ； (3)在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标 ． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2)2.5 (3)或或 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，等腰三角形的定义和两点的距离公式等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点、、关于轴的对称点，顺次连接即可得； （2）割补法求解可得； （3）分两种情况：以为腰时，可以令，为顶角，根据图形和两点的距离即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， 故答案为：2.5； （3）解：如图，有两种情况： ①当是顶角时，； ②当是顶角时，设， ， ， 或， 综上，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 24．如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． (1)求点的坐标． (2)若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后根据勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解； （2）先根据中点坐标公式求出点E的坐标，然后分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵点是的中点， ∴，即 当时，如图，、符合题意， ∴， 解得， ∴，； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得， ∴， 综上，点M的坐标为或或或． 25．已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）利用非负数的性质求出、、的值可得结论； （2）证明 ，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解； （3）分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：，，， ，，； （2），，， ，， ， ， ， ； （3），，， ， 点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的， ， 当点在上，时， ； 当点在上时，，可得 ； 当时，设， 则在中，有， 解得：， ； 当时，可得 ． 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $