函数的奇偶性与对称性的综合应用专题训练-2027届高三数学一轮复习

函数的奇偶性与对称性的综合应用专题训练 一、单选题 1.已知定义域为R的函数fx满足fx+2=f-x,且f2x-1为奇函数，则一定有() A.f0=0 B.f2=0 c.f3=0 D.f4=0 2.已知函数fx的定义域为R,f2x+1为奇函数，fx+fx+2=2f1,则() A.fx为奇函数 B.fx的图象关于直线X=3对称 C.f2x的最小正周期为4 D.f2x的图象关于点，0对称 3.已知函数fx的定义域为R,且2x-1是奇函数，fx+1是偶函数，则下列命题正确的个数是 () ①fx=fx-16 ②f11=0 ③f2022=-f0 ④f2023=f-1 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知fx是定义在R上的奇函数，f2x+21的图象关于x=-对称，f1=1,则f2023=() A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知函数fx的定义域为R,值域为0，+oo,若fx+1fx-1=4,函数fx-2为偶函数， 2023 f2024=1则∑fn=（） A.4050 B.4553 c.4556 D.4559 6、已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R:记gx=fx”若f2x+3为偶函数·gx+1为奇函 数，则下列结论正确的是() A.gx的图象关于直线x=1对称 B.gx的图象关于点3,0对称 C.fx是偶函数 n=l D. 7.已知定义在R上的函数fx在-o,3上单调递增，且fx+3为偶函数，则不等式fx+1>f2x的 试卷第1页（共3页） 解集为(). ,副 B.(-co,1 U + c.-3,-2 D.-00,-3U-2,+∞ 8.已知定义在R上的函数fx在-1，+oo上单调递增，若f2=0,且函数fx-1为偶函数，则不等式 fx>0的解集为() A.2,+0 B.-4,-1U0,+o C.-4,+00 D.-4,0U2,+o 二、多选题 9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(f(x)=x,且f(x-1)为奇函数，则下列选项正确的是() A.fx)的图象关于直线y=x对称 B.f(0)+f(-1)=-2 C.f(-x)+f(x)=-2 D.f(1)+f(2)+.+f(40)=-860 10.设函数fx的定义域为R'fx+1为奇函数·fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=a-1og2x 则下列结论正确的是() A.f1=1 B.f8=-1 c.f1 206 10 D. ∑kfk=50 k 11.已知函数y=fx-1)的图象关于直线x=-1对称，且对Vx∈R有fx)+f(-x)=4.当x∈(0,2]时， f(x)=x+2,则下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期是8 B.f(x)的最大值为5 c.f(2022)=0 D.f(x+2)为偶函数 三、填空题 12.已知函数fx的定义域为R'y=fx-4-1是偶函数，当x≤-4时，fX=x+4?-2则不等式 f3x-5>f2x-4的解集为 1B.已知fx为定义在R上的奇函数，fx+2为偶函数，且对任意的xX,∈0,2X≠X都有 fx-fx<0:试写出符合上述条件的一个函数解析式f刊x= X1-X2 试卷第2页（共3页） 14.已知定义在R上的函数fx在-o,2上单调递增，若函数fx+2为偶函数，且f3=0,则不等式 fx>0的解集为 四、解答题 15.已知函数y=fx的定义域满足对称性前提，写出满足下列等式的函数y=fx的图象的对称性： 0)fx+1=f3-x (2fx+1=-f3-x 8fx+1=-f3-x+2 试卷第3页（共3页） 函数的奇偶性与对称性的综合应用专题训练 一、单选题 1．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 2．已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 3．已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（    ） ①        ②        ③        ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可得函数的周期性、对称性，然后逐一分析即可. 【详解】因为是奇函数， 所以，故，， 又因为是偶函数，则， ， 所以，， 所以，即函数的周期为8， 由可得， 由可得， 对于①，，正确； 对于②，，正确； 对于③，，正确； 对于④，，正确； 故选：D. 4．已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据函数对称性可以得到，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期进一步计算即可求出函数值. 【详解】因为的图象关于对称， 所以，于是， 又是定义在上的奇函数，所以， 则，即， 所以的周期为4， 所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：. 5．已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值. 【详解】由可得，① 对任意的，，所以，，② 由①②可得，所以函数是周期为的周期函数． 因为为偶函数，则， 因为，由可得，且， 由可得， 因为，所以，，故函数为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得， 因为，所以， . 故选：B. 6．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D． 【答案】B 【分析】由的偶函数条件得到的对称关系并求导判断B，再用反例排除A、C、D. 【详解】因为为偶函数，所以. 令，则，所以，即. 两边关于求导，得. 又，所以，即， 因此的图象关于点对称，B正确. 为排除A、C、D，取，则为偶函数， 且为奇函数，满足题设条件. 此时，，所以的图象不关于直线对称，A不正确. 又，所以不为偶函数，C不正确. 当时，依次为，并以为周期. 因为，所以，D不正确. 7．已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，可得对称轴为，且在上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需即可，解出不等式即可. 【详解】由题意可得，对称轴为，且在上单调递减.则由，可得出，即， 即，解得或. 所以，不等式的解集为. 故选：B. 8．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可. 【详解】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称， 因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减， 因为，则， 所以，由可得，由可得或， 解不等式，可得或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：D. 二、多选题 9．已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A项，可证明点同时满足即可；对于B项，可利用，且为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点对称，再结合函数关于对称，即可证明；对于D项，应用，可证明，可得，，， ，依次构成等差数列，进而可判断正误. 【详解】对于A项，设点是图象上任意一点， 则，而， 所以点也是图象上的点， 所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为为奇函数， 所以，取，可知，所以； 又因为，所以， 于是，故B项错误； 对于C项，因为为奇函数，所以， 即，令， 则，， 所以， 因为的值域为，所以该结论对任意实数都成立， 即，故C项正确； 对于D项，由以上推理知， 所以， 所以； 又因为，， 所以，，，，，，依次构成等差数列，其首项为，公差为， 所以，故D项正确； 故选：ACD. 【点睛】解题关键点：灵活应用性质“”与“为奇函数”是解题的关键点，在应用性质时，在判断C项正误中灵活使用，； 在应用为奇函数时，我们顺次采用了；两种形式. 10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由为奇函数与为偶函数，得到函数的对称性与周期性，先由特值待定，再根据性质求值即可， CD选项结合周期特点进行数列求和，使用并项求和法. 【详解】由为奇函数， 得关于对称，且满足； 由为偶函数， 得关于直线对称，且满足. 故， 所以是周期函数，且周期. 对选项A，由， 令，解得，故A错误； 对选项B，已知当时，， 则， 故当时，. 则，故B错误； 对选项C，，， ，，且周期. 则，故C正确． 对选项D， ，故D正确． 故选：CD． 11．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是8 B．的最大值为5 C． D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】利用对称关系以及恒等式对等式进行变形，可以得到函数的周期，即可判断选项A，由上述过程中可得，即可判断选项D，求出函数在，上的函数解析式，利用函数的图象关于直线对称，研究一个周期中的最大值，即可判断选项B，利用函数的周期性以及对称性求解，即可判断选项C． 【详解】解：因为函数的图象关于直线对称， 故的图象关于直线对称， 因为对有， 所以函数的图象关于点成中心对称， 所以，即， 又，即， 所以，所以， 所以，所以的周期为8，故A正确； 又，故函数为偶函数，故D正确； 因为当，时，，且， 则当，时，，， 所以，所以， 故当，时，， 又函数的图象关于直线对称， 所以在同一个周期，上，的最大值为， 故在上的最大值为4，故B错误； 因为，所以C正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，且该函数上单调递增，由可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，是偶函数， 则，即， 所以，函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递减， 故函数在上单调递增， 因为，则，即， 即，即，解得或， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 13．已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，，，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得函数的周期性，再结合单调性求解作答. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且， 又为偶函数，则，即， 于是，则，即是以为周期的周期函数， 对任意，，，都有，可得在单调递减， 不妨设，由题意，，所以，则， 当时，， 因为在上单调递减，且在上单调递增， 所以，不妨取，此时. 故符合上述条件的一个函数解析式，（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 14．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数的定义域满足对称性前提，写出满足下列等式的函数的图象的对称性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)关于轴对称； (2)关于中心对称； (3)关于中心对称． 【分析】（1）利用轴对称的性质求出对称轴，进而得出结论； （2）利用中心对称的性质求出对称中心，进而得出结论； （3）对函数变形，再利用中心对称的性质求出对称中心，进而得出结论． 【详解】（1）函数关于直线对称， 故函数图象关于对称． （2）函数对称中心横坐标为，纵坐标为0， 故函数图象关于点中心对称． （3）函数变形为， 对称中心横坐标为，纵坐标为， 故函数图象关于点中心对称． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $