4.6 函数的应用(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 数学B版·必修第二册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 章末归纳提升 4．6　函数的应用(二) 课程标准 素养解读 1.了解函数模型的广泛应用 2.收集并能解决指数函数、对数函数等常见的函数模型，了解数学建模的过程 通过函数模型的应用提升数学建模，直观想象，数学运算素养 [情境引入] 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15 ∴需时间为15×3＝45分钟． [知识梳理] [知识点]　几种常见函数模型　 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？ 提示：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 2．在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？ 提示：当x>0，n>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数． [预习自测] 1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5% C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x 解析：D　[经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年， y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.] 2．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C 500只 D．600只 解析：A　[由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.] 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为　________　. 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝a·0.51＋b，,1.5＝a·0.52＋b))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，)) 所以y＝－2×(0.5)x＋2， 所以3月份产量为 y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75万件 　　　指数函数模型 [例1] 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人 (精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)． [思路点拨]　根据规律写出函数关系式y＝N(1＋p)x. [解析]　(1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口数为：100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)， (3)设x年后该城市人口将达到120万， 即100×(1＋1.2%)x＝120，所以1.012x＝1.20. 所以x＝log1.0121.20≈15(年)．即大约15年后，该城市人口将达到120万人． 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 3．增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图像近似求解．用函数的图像求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． [变式训练] 1．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为　________　kPa. 解析：将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝eq \f(ln 0.9,1 000)，y与x的函数关系可近似表示为y＝，当x＝2 000时，y＝100(eln0.9)2＝81. 答案：81 　　　对数函数模型 [例2] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕于的飞行速度可以表示为函数v＝5log2eq \f(Q,10)(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ [思路点拨]　代入求Q＝10，写出关系式，求解． [解析]　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中的函数关系式，可得0＝5log2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2eq \f(80,10)＝5log28＝15. 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [变式训练] 2．某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为　________　万元． 解析：依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.)) 解得a＝2，b＝－2. ∴y＝2log4x－2，当y＝8时，2log4x－2＝8， 解得x＝1 024. 故他的销售额应为1 024万元． 答案：1 024 　　　幂函数模型 [例3] 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图像如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金) [思路点拨]　设投入资金为x千万元，则A芯片的毛收入为y＝eq \f(x,4)(x>0)，将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa，得生产B芯片的毛收入为y＝eq \r(x)(x>0)． [解]　(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝eq \f(x,4)(x>0)． 将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝1，,k·4a＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝1，,a＝\f(1,2)，)) ∴生产B芯片的毛收入y＝eq \r(x)(x>0)． (2)由eq \f(x,4)>eq \r(x)，得x>16； 由eq \f(x,4)＝eq \r(x)，得x＝16； 由eq \f(x,4)<eq \r(x)，得0<x<16. ∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大． (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)＝eq \f(40－x,4)＋eq \r(x)－2＝－eq \f(1,4)(eq \r(x)－2)2＋9，故当eq \r(x)＝2，即x＝4千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 幂函数模型的应用求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式． [变式训练] 3．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量． 解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400， ∴k＝eq \f(400,81)，∴流量R的函数解析式为R＝eq \f(400,81)·r4. (3)∵R＝eq \f(400,81)·r4， ∴当r＝5 cm时，R＝eq \f(400,81)×54≈3 086(cm3/s)． 　　　以图表信息为背景的函数应用题 [例4] 已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足其中t为关税的税率，且t∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝eq \f(1,8)时的市场供应量曲线如图所示． (1)根据图像求b，k的值； (2)记市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值． [思路点拨]　首先根据图像求出函数P＝f(t)和Q＝g(t)的解析式，再由两者得到纯收益的函数解析式，进而求得函数的最值点． ⇒2(1－6t)＝eq \f(22－x,x－52)＝eq \f(17－x－5,x－52)＝eq \f(17,x－52)－eq \f(1,x－5). 令m＝eq \f(1,x－5)，则2(1－6t)＝17m2－m. ∵x≥9，∴m∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).当m＝eq \f(1,4)时，2(1－6t)取最大值eq \f(13,16)，故t≥eq \f(19,192)，即税率的最小值为eq \f(19,192). 1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形． 2．建立函数模型解决实际问题的基本思路 [变式训练] 4.某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k与a是常数)的图像． (1)写出服药后y关于t的函数关系式； (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？ 解：(1)当0≤t<1时，y＝8t； 当t≥1时，将A(1,8)，B(2,4eq \r(2))代入y＝kat， 得a＝eq \f(\r(2),2)，k＝8eq \r(2). 所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8t，0≤t<1，,8\r(2)×\f(\r(2),2)t，t≥1.)) (2)设第一次服药后最迟经过t h第二次服药， 依题意有t≥1. 所以8eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))t＝2， 解得t＝5. 因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h，即当天上午11：00服药． 　　　建立拟合函数模型解决实际问题 [例5] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示. 年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图像； (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？ [思路点拨]　解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型． [解]　(1)描点、作图如图(甲)所示． (2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)． 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)， 代入y＝a＋bx，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，)) 用计算器可得a≈2.2，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x. 作出函数图像如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系． (3)由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷． 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [变式训练] 5．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，不知投入A、B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 解：以投入额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示． 由散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟． 取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15， 所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟． 设y＝kx＋b，将点(1,0.25)和(4,1)代入， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝0.25，,b＝0，)) 所以y＝0.25x. 即前六个月所获纯利润y关于月投入A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投入B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.设下月投入A、B两种商品的资金分别为xA、xB(万元)，总利润为W(万元)，那么 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝12，,W＝yA＋yB＝－0.15xA－42＋2＋0.25xB.)) 所以W＝－0.15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(19,6)))2＋0.15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,6)))2＋2.6. 当xA＝eq \f(19,6)≈3.2时，W取最大值，约为4.1，此时xB＝8.8. 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投入A种商品，8.8万元投入B种商品，可获得最大利润，最大纯利润约为4.1万元． 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析：D　[分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个．所以函数关系式为y＝2x＋1.] 2．已知函数t＝－144lg(1－eq \f(N,100))的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是(　　) A．144 h B．90 h C．60 h D．40 h 解析：A　[由N＝90可知，t＝－144lg(1－eq \f(90,100))＝144 h．] 3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718……为自然对数的底数，k、b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是　________　小时． 解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48.)) 相除得e22k＝eq \f(1,4)，即e11k＝eq \f(1,2).∴x＝33时，y＝e33k＋b＝e22k＋b·e11k＝48×eq \f(1,2)＝24. 答案：24 4．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2019年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0<x<1)． (1)设第n(n∈N*)年(2019年记为第1年)的年产能为2018年的a倍，请用a，n表示x； (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%? (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解析：(1)依题意得(1－x)n＝a，则1－x＝eq \r(n,a)， 所以x＝1－eq \r(n,a)(n∈N*)． (2)设第m年的年产能不超过2018年的年产能的25%，则(1－10%)m≤25%，即(eq \f(9,10))m≤eq \f(1,4)，mlgeq \f(9,10)≤lg eq \f(1,4)，m(2lg 3－1)≤－2lg 2， m≥eq \f(2lg 2,1－2lg 3).因为eq \f(2lg 2,1－2lg 3)≈eq \f(2×0.301,1－2×0.477)＝eq \f(301,23)，所以m≥eq \f(301,23). 因为13<eq \f(301,23)<14，且m∈N*，所以m的最小值为14，所以至少要到2032年才能使年产能不超过2018年的产能的25%. [归纳提升] 　　　指数与对数的运算 指数运算与对数运算是两类重要的运算，它们也是学习指数函数、对数函数的基础． 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． (2)求值：eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245). (2)解法一：eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245) ＝lgeq \f(4\r(2),7)－lg 4＋lg 7eq \r(5)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),7)×\f(1,4)×7\r(5))) ＝lgeq \r(10)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2). 解法二：原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)·eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5 ＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5 ＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2). [变式训练] (2)(lg5)2＋lg 2×lg 500－eq \f(1,2)lgeq \f(1,25)－log29×log32 ＝(lg5)2＋lg 2×Ig 5＋2lg 2－lgeq \f(1,5)－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0. 　　指数函数、对数函数的图像及其应用 指数函数、对数函数的图像按底数a分为a>1和0<a<1两类，注意掌握它们的形状和画法，函数图像有着广泛的应用，利用函数的图像可以求函数的单调性、值域与最值等． [例2] (1)在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0<x1<x2<1时，使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)恒成立的函数的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [解析]　B　[feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)恒成立的图像是向上凸的，如图所示，故只有y＝log2x满足，故选B.] (2)设，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.2，c＝2eq \f(1,3)，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c [变式训练] 2．(1)在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝loga(x＋eq \f(1,2))(a>0，且a≠1)的图像可能是(　　) (2)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　) 解析：(1)D　(2)B　[(1)当0<a<1时，函数y＝ax的图像过定点(0,1)，在R上单调递减， 于是函数y＝eq \f(1,ax)的图像过定点(0,1)，在R上单调递增．函数y＝loga(x＋eq \f(1,2))的图像过定点(eq \f(1,2)，0)，在(－eq \f(1,2)，＋∞)上单调递减． 因此，选项D中的两个图像符合． 当a>1时，函数y＝ax的图像过定点(0,1)，在R上单调递增， 于是函数y＝eq \f(1,ax)的图像过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga(x＋eq \f(1,2))的图像过定点(eq \f(1,2)，0)，在(－eq \f(1,2)，＋∞)上单调递增． 显然A、B、C、D四个选项都不符合．故选D. (2)由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝(eq \f(1,3))x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符．故选B.] 　　　指数函数、对数函数的性质及应用 指数函数、对数函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点．注意掌握这些函数的性质，特别注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小，求函数的值域，解不等式等． [例3] 已知函数y＝loga(x2－3x＋3)，当x∈[1,3]时有最大值1，求a的值． [解]　令t＝x2－3x＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4)， 当x∈[1,3]时，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3)). ①若a>1，y＝logat在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3))上是增函数， 则ymax＝loga3＝1，∴a＝3，满足题意． ②若0<a<1，y＝logat在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3))上是减函数， 则ymax＝logaeq \f(3,4)＝1，∴a＝eq \f(3,4)，满足题意， 综上所述，a＝3或eq \f(3,4). [变式训练] 3．设a为常数且0<a<1，解关于x的不等式loga[4＋(x－4)a]<2loga(x－2)． [解]　∵0<a<1， ∴原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2>0，,4＋x－4a>x－22.)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>2，,x2－4＋ax＋4a<0.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>2，,x－4x－a<0.)) ∵0<a<1，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>2，,a<x<4，))∴2<x<4， ∴原不等式解集为(2,4)． 　　　与指数函数、对数函数有关的综合问题 综合问题常是指数函数、对数函数的复合函数问题，常考查函数的单调性、奇偶性、值域等． [例4] 已知函数f(x)＝log2eq \f(x＋1,x－1)＋log2(x－1)＋log2(p－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)解关于x的不等式：f(x)＞log2(2x2－2x－4)； (3)求函数f(x)的值域． [解]　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)＞0，,x－1＞0，,p－x＞0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞1或x＜－1，,x＞1，,x＜p，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞1，,x＜p.)) ∵函数的定义域不能为空集， ∴p＞1，函数的定义域为(1，p)． (2)f(x)＝log2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)x－1p－x))＝log2(x＋1)(p－x)，若1＜p≤2，解集为∅，若p＞2，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4＋p,3))). (3)f(x)＝log2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)x－1p－x)) ＝log2(x＋1)(p－x)＝log2[－x2＋(p－1)x＋p]，x∈(1，p) 令t＝－x2＋(p－1)x＋p＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p－1,2)))2＋eq \f(p＋12,4)＝g(x)， ①当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(p－1,2)＜1，,p＞1，))即1＜p＜3时，t在(1，p)上单调递减，g(p)＜t＜g(1)，即0＜t＜2p－2， ∴f(x)＜1＋log2(p－1)， 函数f(x)的值域为(－∞，1＋log2(p－1))； ②当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1≤\f(p－1,2)≤\f(p＋1,2)，,p＞1，)) 即p≥3时，g(p)＜t≤geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p－1,2)))， 即0＜t≤eq \f(p＋12,4). ∴f(x)≤2log2(p＋1)－2， 函数f(x)的值域为(－∞，2log2(p＋1)－2)． 综上，当1＜p＜3时，函数f(x)的值域为 (－∞，1＋log2(p－1))； 当p≥3时，函数f(x)的值域为(－∞，2log2(p＋1)－2)． [变式训练] 4．设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以eq \f(1＋ax,－x－1)＝eq \f(x－1,1－ax)， 即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)， 所以a＝－1(a＝1舍去)． 令u(x)＝1＋eq \f(2,x－1)(x>1)，对任意的1<x1<x2，有： u(x1)－u(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x1－1)))－(1＋eq \f(2,x2－1))＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1). 因为1<x1<x2，所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 所以eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1)>0，即u(x1)－u(x2)>0. 所以函数u(x)＝1＋eq \f(2,x－1)在(1，＋∞)上是减函数． 　　　函数的零点及零点的存在性判断 1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，若f(x)可化为f(x)＝g(x)－h(x)．则f(x)的零点⇔f(x)＝0的根⇔函数g(x)与h(x)图像交点的横坐标．零点、方程的根、图像交点问题可相互转化． 2．函数零点存在性判断 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 3．函数零点的个数 确定函数零点个数有两种方法，一是转化为判断函数图像交点个数，二是利用零点存在性定理判断零点是否存在，然后再结合函数单调性判断． [例5] 求函数f(x)＝ex＋4x－4的零点的个数． [解]　解法一：∵函数f(x)的图像是连续不断的， 且f(0)＝－3<0， f(1)＝e＋4×1－4＝e>0， ∴f(0)·f(1)<0， 又函数f(x)在R上是增函数， ∴函数f(x)在(0,1)之间有且只有一个零点． 解法二：根据函数零点与方程实根之间的关系，令f(x)＝0，即有ex＝4－4x.在同一直角坐标系中分别作出y＝ex，y＝4－4x的图像，如图所示，由图易知，两函数图像仅有一个公共点，故方程ex＝4－4x有唯一实根，从而函数f(x)＝ex＋4x－4有唯一的零点． [变式训练] 5．(1)已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) 解析：C　[因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 又f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0， f(4)＝eq \f(3,2)－log24＝－eq \f(1,2)<0， 所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间(2,4)内必存在零点．] (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2，,x－22，x>2，))函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：A　[函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即f(x)，g(x)图像的交点个数．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2，,x－22，x>2))和函数g(x)＝3－f(2－x)的大致图像，如图所示，其中函数g(x)的图像可由f(x)→f(－x)→f(2－x)→－f(2－x)→3－f(2－x)的图像变化得到．由图可知，函数f(x)，g(x)的图像有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.] 　　　函数模型及其应用 常见的函数模型有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型．常见的函数模型应用问题有三类： 1．利用给定的函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型已经给定，只需要根据模型解决问题即可； 2．建立确定性函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型是确定的，但没明确给出，需要根据题中数据信息先求出该模型，再运用它解决实际问题； 3．建立拟合函数模型解决实际问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型不确定，需要从实际问题中收集数据，根据散点图和已学过的模型函数的性质特点确定选什么函数模型，并求出来，然后检验拟合的效果，最后再应用它解决实际问题． [例6] 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时染污度为60，整治后前四个月的污染度如下表： 月数 1 2 3 4 … 污染数 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝eq \f(20,3)(x－4)2(x≥1)， h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度． (1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? [解]　(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下： 因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30； f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5. 由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理． (2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60. [变式训练] 6．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg(eq \f(I,10－12))给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12W/m2，求人听觉的声强级范围； (2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？ 解：(1)由题知10－12≤I≤1，∴1≤eq \f(I,10－12)≤1012， ∴0≤lg(eq \f(I,10－12))≤12，∴0≤L≤120，故人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)． (2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2， 由题知L1－L2＝20，则10lg(eq \f(I1,10－12))－10lg(eq \f(I2,10－12))＝20， ∴lgeq \f(I1,I2)＝lg 100，∴I1＝100I2. 故该女高音的声强是该男低音声强的100倍． $$