第一章 数列（单元分层自测·能力提升卷）高二数学湘教版选择性必修第一册

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 2．在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的定义及通项公式求解即得． 【详解】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 3．已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出和进行比较可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以比多的项数是. 故选：B. 4．已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与之间关系可求得，结合等比数列前项和可确定所求项为，由通项公式可求得结果. 【详解】当时，； 当时，满足； 综上所述：； 该数阵前行共有：个数， 则第行从左向右第个数为. 5．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项. 【详解】已知， 时，，是斜率为的一次函数，单调递增， ，函数为开口向下的二次函数， 对正整数，递增，即相邻的项满足：， 代入得：，解得：， 故要使时数列递增，需， 同时分段点处需满足， 即， 综上取值范围是. 故选：C 6．我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（    ） 参考数据：． A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】由题可知每年投入的研发资金数成以为公比，以为首项的等比数列，再令，通过取对数运算可得，进而可得所求年份. 【详解】由题意知，从年起，每年投入的研发资金数成以为公比的等比数列，设该数列为，则. 令，得，两边取对数，得， 即，所以，即. 所以时，该公司全年投入的研发资金开始超过亿元， 即研发资金开始超过亿元的年份为年． 7．已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由的通项公式，得首项，公差， 则等差数列的首项，设其公差为， 由于相邻两项之间插入2个数，故，则， 根据等差数列通项公式，， 因此. 8．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列前三项分别为，下列各式中，能作为数列的通项公式的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】取分别代入验证即可求解. 【详解】取分别代入验证可知A，C，D正确，B不正确． 故选：ACD 10．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】BC 【分析】根据条件，可得，结合条件，分析可得，即可得答案. 【详解】，, 故，又， 所以， 则当时，， 当时，． 故当或6时，最大． 故选：BC 11．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据题意，求得，可判定A，B都正确；化简，结合裂项法求和，求得，进而判定C正确，D不正确. 【详解】因为， 所以， 两式相减，可得，即，其中， 令，可得，适合上式， 所以数列的通项公式为，所以B正确； 当时，可得，所以A正确； 又由， 所以，所以C正确； 由，当时，的最小值为，D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【答案】 【详解】由题意得. 由等差数列的性质可知： ，，…，，， 所以. 13．已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，由数列的前项和与的关系得出数列的通项公式即可求解. 【详解】设数列的前项和为，由可得，， 当时，有，两式相减，， 化简得， 则当时， 解得，当时，，符合；当时，由求得，也符合. 所以. 14．在篮球训练场上，教练指导三名学员A，B，C进行传球训练，训练开始时，篮球在教练手中．由教练开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员A，B，C其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递，设表示经过n次传球后篮球在教练手中的概率，则________． 【答案】 【分析】由全概率公式得到递推关系式，从而求得通项公式. 【详解】设表示经过次传球后篮球在教练手中的概率， ， 且， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) () (2) () 【详解】（1）由 ，当时，得； 当 时，整理得 ， 故 为首项是 、公比是的等比数列，通项 () . （2）， 则() . 16.（15分）已知等差数列的前项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）及题设知， 因为， ， 两式相减，得 ， 所以． 17．（15分）已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足__________，求数列的前项的和. 从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1). (2)选择任意条件答案相同，的前项和为. 【详解】（1）因为是和的等差中项， 所以，即， 所以， 解得或（舍）， 所以， 所以； （2）选择①，，， 则有，解得， 且， 所以， 所以数列是以2为周期的周期数列， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 选择②，， 则，， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 18．（17分）已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】(1)略(2)①；② 【详解】（1）证明如下： 由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 19．（17分）设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】(1)略(2)略(3) 【详解】（1）已知，当时，， 两式相减得：， 整理得：，即， 当时，，解得， 可知满足条件， 又，因此是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，所以， 所以 所以， 因为，所以. （3）由得：，因此， 化简不等式左边：， 因此， 不等式恒成立，等价于对任意恒成立， 设，则， 当时，解得，即时，； 当时，解得，即时，， 因此的最大值为，故， 即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（    ） 参考数据：． A．年 B．年 C．年 D．年 7．已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 8．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列前三项分别为，下列各式中，能作为数列的通项公式的有（   ） A． B． C． D． 10．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 13．已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 14．在篮球训练场上，教练指导三名学员A，B，C进行传球训练，训练开始时，篮球在教练手中．由教练开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员A，B，C其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递，设表示经过n次传球后篮球在教练手中的概率，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 16．（15分）已知等差数列的前项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和， 17.（15分）已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足__________，求数列的前项的和. 从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（17分）已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 19.（17分）设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（    ） 参考数据：． A．年 B．年 C．年 D．年 7．已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 8．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列前三项分别为，下列各式中，能作为数列的通项公式的有（   ） A． B． C． D． 10．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 13．已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 14．在篮球训练场上，教练指导三名学员A，B，C进行传球训练，训练开始时，篮球在教练手中．由教练开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员A，B，C其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递，设表示经过n次传球后篮球在教练手中的概率，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 16．（15分）已知等差数列的前项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和， 17.（15分）已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足__________，求数列的前项的和. 从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（17分）已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 19.（17分）设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C C C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD BC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1) () (2) () 【详解】（1）由 ，当时，得；............2分 当 时，整理得 ，............5分 故 为首项是 、公比是的等比数列，通项 () .............6分 （2），............9分 则() .............13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，由，，............1分 得，解得，............6分 所以数列的通项公式为．............7分 （2）由（1）及题设知，............8分 因为，............9分 ，............10分 两式相减，得 ，............14分 所以．............15分 17．（15分） 【答案】(1). (2)选择任意条件答案相同，的前项和为. 【详解】（1）因为是和的等差中项，............1分 所以，即，............3分 所以， 解得或（舍），............5分 所以，............6分 所以；............7分 （2）选择①，，， 则有，解得，............8分 且，............9分 所以， 所以数列是以2为周期的周期数列，............10分 所以，............11分 设数列的前项的和， 则............13分 ............14分 ；............15分 选择②，，............8分 则，， 所以， 设数列的前项的和，............10分 则............12分 ............14分 ；............15分 18．（17分） 【答案】(1)略(2)①；② 【详解】（1）证明如下： 由．............2分 则数列是以为首项，2为公差的等差数列.............5分 （2）， 所以数列的通项公式为；............6分 ①由（1）得;............7分 则． 于是，............8分 以上两式相减得：............9分 ............10分 所以............11分 ②由，得．令，............12分 所以，............13分 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得，............15分 即数列的最大值为，所以，............16分 即的取值范围是............17分 19．（17分） 【答案】(1)略(2)略(3) 【详解】（1）已知，当时，，............1分 两式相减得：， 整理得：，即，............2分 当时，，解得，............3分 可知满足条件，............4分 又，因此是首项为1，公比为2的等比数列.............5分 （2）由（1）可知，所以，............6分 所以............7分 所以，............9分 因为，所以.............10分 （3）由得：，因此，............11分 化简不等式左边：，............12分 因此，............13分 不等式恒成立，等价于对任意恒成立，............14分 设，则，............15分 当时，解得，即时，； 当时，解得，即时，， 因此的最大值为，故，............16分 即的取值范围为.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $