第一章 数列（单元分层自测·基础通关卷）高二数学湘教版选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 4．在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 8．在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 11．已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知在等比数列中，，，则等比数列的公比的值为________． 13．已知为等差数列，，，则公差__________． 14．如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16．（15分）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17.（15分）数列中，，. (1)求数列的前n项和； (2)求使得数列是递增数列的n的取值范围． 18．（17分）已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列满足：，求的前项和． 19.（17分）已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 4．在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 8．在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 11．已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知在等比数列中，，，则等比数列的公比的值为________． 13．已知为等差数列，，，则公差__________． 14．如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16．（15分）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17.（15分）数列中，，. (1)求数列的前n项和； (2)求使得数列是递增数列的n的取值范围． 18．（17分）已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列满足：，求的前项和． 19.（17分）已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A A D A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AD CD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．/ 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以为等差数列，设公差为d，............1分 则，解得，............2分 又，可得，............3分 所以，解得，则.............6分 （2）由（1）得，............7分 所以，............9分 则.............13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，............1分 又，，所以，即，解得.............3分 因为，且，所以，即，解得.............6分 故.............7分 （2）由（1）知，则.............8分 所以 .............9分 设等比数列的前项和为，则，............12分 设等差数列的前项和为，则，............14分 所以.............15分 17．（15分） 【答案】(1)； (2). 【详解】（1），所以，............1分 数列是以为首项，3为公差的等差数列，............3分 所以数列的前n项和为，即............7分 （2）的对应函数为，............8分 它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为 ·............10分 当 时，函数是增函数.............11分 因为，且，所以.............14分 综上，可知使得数列是递增数列的n的取值范围是............15分 18．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 可得，............3分 可得数列是首项为1，公差为3的等差数列；............4分 （2）由（1）可得，............6分 则；............8分 （3）由题可知，............9分 则前项和， ， 两式相减可得............11分 ，............15分 化简可得．............17分 19．（17分） 【答案】(1)，；，． (2)，． (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则公差．............1分 ，．............2分 设等比数列的公比为，则．............4分 ，．............5分 （2）............6分 ，．............8分 （3）由（1）可得，，............9分 若数列中的最大项是第项， 则，............11分 即，............13分 化简得，解得，............16分 又，所以.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第一章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式. 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列， 所以此数列的一个通项公式为，故C正确. 2．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 3．已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】A 【详解】由得； 由，得， 联立两式作差得，解得公差，代回，得首项， 故 . 4．在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该等比数列为，，由题意得，, 根据等比数列通项公式代入 可得：， 将、代入上式：， 整理得， 所以． 5．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 6．设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，且，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较， 所以的最小值为. 7．设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，； 当时，由， 得， 两式相减得，所以， 又不适合上式，所以的通项公式为. 所以. 8．在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，得到，结合等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是方程的两根，可得， 又由等比数列的性质，可得，所以. 显然存在（还有其它情况）满足题设. 故选：AD 10．已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】CD 【分析】根据通项公式判断负项和零项，进而判断取得最小值时的n. 【详解】由，即，得． 所以所有负项的和最小，即， 故或24， 故选：CD. 11．已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，利用赋值法得到；B选项，验证，即可证明不是等差数列；C选项，，然后利用赋值法并项求和即可；D选项，，利用转化为等差数列求和即可. 【详解】A选项，令，则， 令，则，于是解得，A正确. B选项，令，则，解得， 因为，所以不是等差数列，B错误. C选项， ，C正确. D选项， ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知在等比数列中，，，则等比数列的公比的值为________． 【答案】/ 【分析】由等比数列下标性质，，代入条件可直接求出等比数列公比. 【详解】，即，，解得 13．已知为等差数列，，，则公差__________． 【答案】2 【详解】因为，即， 所以 14．如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______． 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式、累加法求得正确答案. 【详解】由图中实心点的个数得 ，， ， 相邻两数之差依次构成首项为 、公差为 的等差数列，故 ， 则 ， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 15．已知数列满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以为等差数列，设公差为d， 则，解得， 又，可得， 所以，解得，则. （2）由（1）得， 所以， 则. 16.（15分） 16．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 17．（15分） 17．数列中，，. (1)求数列的前n项和； (2)求使得数列是递增数列的n的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1），所以， 数列是以为首项，3为公差的等差数列， 所以数列的前n项和为，即 （2）的对应函数为， 它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为 · 当 时，函数是增函数. 因为，且，所以. 综上，可知使得数列是递增数列的n的取值范围是 18．（17分） 18．已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列满足：，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 可得， 可得数列是首项为1，公差为3的等差数列； （2）由（1）可得， 则； （3）由题可知， 则前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 19．（17分） 19．已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 【答案】(1)，；，． (2)，． (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则公差． ，． 设等比数列的公比为，则． ，． （2） ，． （3）由（1）可得，， 若数列中的最大项是第项， 则， 即， 化简得，解得， 又，所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $