第四章 计数原理（单元分层自测·能力提升卷）高二数学湘教版选择性必修第一册

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】C 【详解】进景区有5种选择，出景区不能与进的门相同，有4种选择，总方式数为． 2．用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶数的个位数字只能为或，则三位偶数总个数为. 3．若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算即可. 【详解】由，得， 因为且，所以，解得. 当时，， 故. 4．假定有一排蜂房，其形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了伤只能爬，不能飞，而且只能从一间蜂房爬到与之相邻的右方（包括右上、右下）蜂房中去．若该蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的路线有（   ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】C 【详解】按每一步可到达的相邻右方蜂房展开树状图，如图， 由图可知从起点到4号蜂房的全部路线共8种． 5．设集合，，建立到的一个函数关系，：，为值域，且有，则从集合到集合的不同的函数的个数为（     ） A．3 B．12 C．27 D．36 【答案】B 【分析】先由把问题转化为“的象须同时取到与”，再从全部种对应中扣除象集缺少或缺少的情形，重复扣除的部分补回，即得所求函数的个数． 【详解】由知已含在值域中，而值域恰为， 故、都须在、、中取到． 暂不要求值域为时，、、各自可在中任取一值，共有种对应； 其中象集中不含的有种（象只能取自）， 象集中不含的也有种（象只能取自）， 象集中既不含又不含的有种（象只能取自）， 所以满足值域为的对应共有种． 6．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．80 D．100 【答案】C 【分析】由，利用展开式的通项即可求解. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，且， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为80. 7．某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研．每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型．若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有（    ）种不同的安排方案． A．160 B．320 C．480 D．540 【答案】A 【分析】按ChatGPT模型是否包含甲乙进行分组，再结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】①甲负责ChatGPT模型：从除甲、乙外的4人中选1人负责模型，有种； 剩余4人分配到Sora、GPT-4两种模型，共有种，剩余4人全在Sora模型或GPT-4模型，有2种，所以此类方案数：种. ②乙负责ChatGPT模型：有种. ③甲、乙都不负责ChatGPT模型：从剩余4人中选2人负责模型，有种. 甲负责Sora模型，则乙负责GPT-4模型，剩余2人均有2种选择，种， 乙负责Sora模型，则甲负责GPT-4模型，剩余2人均有2种选择，种， 所以此类方案数：种. 故共有种不同的安排方案. 8．如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（）    A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】首先根据总步数确定“向右”和“向上”的总次数，然后列举出所有可能的移动序列，最后利用排除法计算符合条件的路径数量. 【详解】蚂蚁从爬行到，在水平方向上需要向右移动4次，在竖直方向上需要向上移动4次.总的移动序列组合数为：(种). 用表示向右，用表示向上，其中包括“至少连续3次向右”或“至少连续3次向上”的情况： “至少连续3次向右()”：，共6个元素, 路径总数为， 同理，包含“”的路径总数也为， 同时出现 “”且 “”的路径，共有四个元素，路径总数为， 同一方向连续爬行超过格的路径总数为：， 根据容斥原理，符合条件的路径总数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列问题中哪些是排列问题（    ） A．从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法 B．从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法 C．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条 D．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条 【答案】AC 【详解】对于A，从全班40人中选出3人，有明确的职务，即选出的元素有顺序，故是排列问题，故A正确； 对于B，从全班40人中选出3人参加某项活动，选出的元素无顺序，故是组合问题，即B不符合题意； 对于C，以4个点中的2个点为端点的有向线段，显然有顺序，故是排列问题，故C正确； 对于D，以4个点中的2个点为端点的线段无顺序，故是组合问题，即D不符合题意. 10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第10行所有数字之和为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 【答案】BCD 【分析】由组合数的性质计算可判断A，由杨辉三角的每行系数和性质可判断B，  将所求和转化为组合数相加，通过在首项加上并在末尾减去1并结合即可求解，求和后转化为，利用二项式定理展开可判断D. 【详解】对于A，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字中最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确， 对于C，由题意可得 ，故C正确， 对于D，由上知第行的所有数字之和为 ， 由于能被7整除， 故第行的所有数字之和被7除的余数为1，故D正确. 11．在多项式中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”，例如： ， ，.则下列说法正确的有（    ） A．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同 B．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0 C．不同的“JKH操作”一共有12种 D．所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果 【答案】ACD 【分析】“JKH操作”本质是添加括号后把后一项负号改成正号，加括号只能选相邻间隙，且变号位置不能相邻，在此基础上对题目进行进一步求解. 【详解】对于A，取操作，去掉括号后结果为，与原多项式相同，故选项A正确. 对于B，所有操作后的系数恒为1，原多项式中的系数也为1，二者相加后的系数为2，不可能为0，故选项B错误. 对于C，原多项式有5个位置可进行“JKH操作”，只进行1次“JKH操作”，共有5种可能；进行2次“JKH操作”，选两个互不相邻位置，有，共6种可能；进行3次“JKH操作”，选三个互不相邻位置，只有这1种可能.所以不同的“JKH操作”共有种可能，故选项C正确. 对于D，根据选项C可知不同的“JKH操作”一共12种，我们通过枚举可知共有以下8种运算结果：不变号；变号；变号；变号；变号；变号；变号；变号；故选项D正确. 【点睛】抓住“JKH操作”这一新定义的本质，在问题求解过程中采取分类讨论思想，有条理地寻找所有不同操作. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 【答案】 【详解】 当时，， 则的系数为. 13．除以7的余数为_____. 【答案】1 【分析】利用二项式定理将展开即可求解. 【详解】因为 ， 所以除以7的余数为1. 14．定义：，已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有________个． 【答案】 【分析】观察条件，等价于任意内部位置都不是局部最大值，因此全局最大值只能出现在两端，去掉最大值后，剩余部分仍满足相同条件，于是可建立递推关系 ，由 得 ，代入 即得结果． 【详解】设排列为 ， 条件等价于， 即 不能同时大于其左右两个相邻元素，也就是 不是局部最大值， 在满足条件的排列中，最大值必定位于第 位或第 位，理由如下： 假设最大值 位于某个内部位置 ，则， 但与条件矛盾，故 只能在两端， 设 表示 个互不相等的实数满足类似条件（内部位置 满足 ）的排列数， 最大值可放在第位或第位（共种选择）， 去掉后，剩下的个数仍需满足同样的内部条件（因最大值在端点处不影响其他内部位置），故， 由递推式，逐项展开得， 对于（只有一个数），没有内部位置，条件自然满足，所以， 故，代入，得到． 所以该排列的所有可能结果有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列方程或不等式： (1). (2). 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）由，得． 因为，且，所以． 化简整理得，解得，（舍去），所以． （2）由题意得，化简得，即， 解得．由题意知，且，所以不等式的解集为． 16.（15分）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 【答案】(1)，和 (2)，，， 【详解】（1）由题可知，， 展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项. 展开式的通项公式为 ；. 综上，展开式中二项式系数最大的项为和； （2）由（1）知展开式的通项公式为， 有理项要求的指数为整数，即，其中， 易知当，，，时，其对应的项依次为： ；； ；. 17．（15分）①只有第7项的二项式系数最大；②第4项与第10项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为．先从上述三个条件中任选一个，补充在下面试题中的横线处，再解答本题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知，若的展开式中，________． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)选择条件①，12；选择条件②，12；选择条件③，12 (2). 【详解】（1）选择条件①：若的展开式中只有第7项的二项式系数最大， 则. 选择条件②：若的展开式中第4项与第10项的二项式系数相等， 所以. 选择条件③：若的展开式中所有二项式系数的和为，则. 所以. （2）由(1)知，则， 令，则，      令，则，           所以. 18．（17分）在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1)，，(2)(3)或 【详解】（1）的通项公式. 令，解得，对应有理项为，，. （2）的通项公式. 第4项系数为，第6项系数为. 因为系数比，所以，化简得，解得（舍去）. 令，则各项系数和为. （3）只有第5项二项式系数最大，所以为偶数，中间项为第5项，故. 设第项系数绝对值最大，则， 解得，即或. 当，系数绝对值最大的项； 当，系数绝对值最大的项. 19．（17分）已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. (1)若，写出的值； (2)当时，若恒成立，求证：； (3)对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，(2)略 (3)最大值为1，最小值为 【详解】（1）比较的第列，相同行有第行，故； 比较的第列，相同行有第行，故. （2）考虑的任意一行， 由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的， 即在的三个组合中，至少有一个组合满足， 按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为， 等价于所有组合的之和满足 结合条件，得，即. （3）由定义可知，则，而当的所有列完全相同时， 对任意都有，此时，因此的最大值为. 设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为 ， 该式对同样成立， 以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值， 当为偶数时，时有， 当为奇数时，时有， 采用与（2）相似的分析可知所有组合的之和为， 又的最大值为，所以， 可得，代入即可得. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C B C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）由，得．.................2分 因为，且，所以．.................4分 化简整理得，解得，（舍去），所以．.................6分 （2） 由题意得，.................8分 化简得，即，.................11分 解得．由题意知，且，所以不等式的解集为．.................13分 16．（15分） 【答案】(1)，和 (2)，，， 【详解】（1）由题可知，，.................1分 展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项..................2分 展开式的通项公式为.................4分 ；..................6分 综上，展开式中二项式系数最大的项为和；.................7分 （2）由（1）知展开式的通项公式为，.................8分 有理项要求的指数为整数，即，其中，.................9分 易知当，，，时，其对应的项依次为：.................11分 ；； ；..................15分 17．（15分） 【答案】(1)选择条件①，12；选择条件②，12；选择条件③，12 (2). 【详解】（1）选择条件①：若的展开式中只有第7项的二项式系数最大， 则..................6分 选择条件②：若的展开式中第4项与第10项的二项式系数相等， 所以. .................6分 选择条件③：若的展开式中所有二项式系数的和为，则. 所以..................6分 （2）由(1)知，则， 令，则，     .................9分 令，则，    .................12分       所以..................15分 18．（17分） 【答案】(1)，，(2)(3)或 【详解】（1）的通项公式..................2分 令，解得，对应有理项为，，..................5分 （2）的通项公式..................7分 第4项系数为，第6项系数为..................9分 因为系数比，所以，化简得，解得（舍去）..................10分 令，则各项系数和为..................11分 （3）只有第5项二项式系数最大，所以为偶数，中间项为第5项，故..................12分 设第项系数绝对值最大，则，.................14分 解得，即或..................15分 当，系数绝对值最大的项；.................16分 当，系数绝对值最大的项..................17分 19．（17分） 【答案】(1)，(2)略 (3)最大值为1，最小值为 【详解】（1）比较的第列，相同行有第行，故；.................2分 比较的第列，相同行有第行，故..................4分 （2）考虑的任意一行， 由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的， 即在的三个组合中，至少有一个组合满足，.................6分 按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为， 等价于所有组合的之和满足.................8分 结合条件，得，即..................10分 （3）由定义可知，则，而当的所有列完全相同时， 对任意都有，此时，因此的最大值为..................11分 设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为 ，.................12分 该式对同样成立， 以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值，.................13分 当为偶数时，时有，.................14分 当为奇数时，时有，.................15分 采用与（2）相似的分析可知所有组合的之和为， 又的最大值为，所以，.................16分 可得，代入即可得..................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 2．用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 3．若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．假定有一排蜂房，其形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了伤只能爬，不能飞，而且只能从一间蜂房爬到与之相邻的右方（包括右上、右下）蜂房中去．若该蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的路线有（   ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 5．设集合，，建立到的一个函数关系，：，为值域，且有，则从集合到集合的不同的函数的个数为（     ） A．3 B．12 C．27 D．36 6．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．80 D．100 7．某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研．每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型．若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有（    ）种不同的安排方案． A．160 B．320 C．480 D．540 8．如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（）    A．种 B．种 C．种 D．种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列问题中哪些是排列问题（    ） A．从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法 B．从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法 C．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条 D．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条 10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第10行所有数字之和为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 11．在多项式中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”，例如： ， ，.则下列说法正确的有（    ） A．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同 B．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0 C．不同的“JKH操作”一共有12种 D．所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 13．除以7的余数为_____. 14．定义：，已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列方程或不等式： (1). (2). 16．（15分）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 17.（15分）①只有第7项的二项式系数最大；②第4项与第10项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为．先从上述三个条件中任选一个，补充在下面试题中的横线处，再解答本题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知，若的展开式中，________． (1)求的值； (2)求的值． 18．（17分）在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 19.（17分）已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. (1)若，写出的值； (2)当时，若恒成立，求证：； (3)对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 2．用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 3．若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．假定有一排蜂房，其形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了伤只能爬，不能飞，而且只能从一间蜂房爬到与之相邻的右方（包括右上、右下）蜂房中去．若该蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的路线有（   ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 5．设集合，，建立到的一个函数关系，：，为值域，且有，则从集合到集合的不同的函数的个数为（     ） A．3 B．12 C．27 D．36 6．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．80 D．100 7．某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研．每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型．若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有（    ）种不同的安排方案． A．160 B．320 C．480 D．540 8．如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（）    A．种 B．种 C．种 D．种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列问题中哪些是排列问题（    ） A．从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法 B．从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法 C．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条 D．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条 10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第10行所有数字之和为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 11．在多项式中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”，例如： ， ，.则下列说法正确的有（    ） A．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同 B．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0 C．不同的“JKH操作”一共有12种 D．所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 13．除以7的余数为_____. 14．定义：，已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列方程或不等式： (1). (2). 16．（15分）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 17.（15分）①只有第7项的二项式系数最大；②第4项与第10项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为．先从上述三个条件中任选一个，补充在下面试题中的横线处，再解答本题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知，若的展开式中，________． (1)求的值； (2)求的值． 18．（17分）在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 19.（17分）已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. (1)若，写出的值； (2)当时，若恒成立，求证：； (3)对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $