23.3 锐角三角函数（第1课时 锐角三角函数的认识）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

【新教材】华东师大版·九年级上册 第23章 解直角三角形 23.3 锐角三角函数 锐角三角函数的认识 章节导读 23.1测量 23.2直角三角形的性质 用计算器求锐角三角函数 锐角三角函数 仰角 俯角问题 测量 特殊三角函数值 23.3锐角三角函数 直角三角形的性质 23.4解直角三角形 解直角三角形及应用 坡度问题 2 学 习 目 标 1 2 3 理解锐角三角函数的定义； 掌握三角函数之间的关系； 利用锐角三角函数解决问题. 复习回顾 求操场旗杆的高度的方法： ， 两种方法有什么共同特点呢？ 新知探究 两种方法中的三角形都是直角三角形，并且相似，利用了相似三角形的性质。 锐角三角函数的认识 做一做 任意画一个直角三角形,∠，记作Rt△。 斜边 直角所对的边称为斜边，用表示； 另两条直角边为的对边和邻边，分别用表示； ∠的邻边 ∠的对边 新知探究 锐角三角函数的认识 做一做 再画一个直角三角形, 使. 因为，所以,，即。 斜边 ∠的邻边 ∠的对边 斜边 ∠的邻边 ∠的对边 结论：在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠的对边与斜边的比是一个固定值. 新知探究 锐角三角函数的认识 在R中，只要一个锐角的大小不变（如∠），那么不管这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与邻边的比值都是一个固定的值.当锐角取其他确定值时，∠角的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？ 如图，观察Rt和Rt，你能得到什么结论？ 思考 探索 分析：因为, 所以. 新知探究 锐角三角函数的认识 因为， 所以. 由此可见， Rt中，对于锐角的每一个确定值，其对边与邻边的比值都唯一确定. ∠的邻边 ∠的对边 结论：根据直角三角形相似的判定，包含锐角的直角三角形均相似，因此，其对边与斜边、邻边与斜边的比值和对边与邻边的比值一样也是唯一确定的. 斜边 对边与斜边、邻边与斜边和对边与邻边的比值叫作锐角的函数，分别记作，统称为锐角的三角函数。 归纳总结 归纳总结 正弦 余弦 正切 锐角三角函数的认识 斜边 ∠的邻边 ∠的对边 新知探究 锐角三角函数的特性 锐角的正弦、余弦的值有什么特点呢？ 思考 斜边 ∠的邻边 ∠的对边 根据定义， ， 因为边长都是正数， 所以。 又因为在直角三角形中，直角边一定小于斜边， 所以 对于，是否有类似的结论呢？ 新知探究 锐角三角函数的特性 锐角的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 思考 斜边 ∠的邻边 ∠的对边 根据定义， 当，即为等腰直角三角形时， 1, 当时， 1 。 根据定义，还可以得到. 你能证明吗？试一试吧. 定义中应该注意的几个问题： 1. sin A、cos A、tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sin A、 cos A、tan A 是一个比值（数值）. 3. sin A、 cos A 、tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 归纳总结 锐角三角函数的特性 归纳总结 典例分析 锐角三角函数的应用 例 如图，在Rt中，，，.试求出的三个三角函数值. 解：AB＝＝ ＝ 17, ＝＝ , ＝＝ , ＝＝ . 随堂练习 1.如图，在Rt中，，则： 的对边是____，的邻边是____； 的对边是____，的邻边是____； 基础过关(P124) MN PN NP MN 随堂练习 2.如图，在Rt△中，，，.试求出的三个三角函数值. 基础过关(P124) 解：＝ ＝ 8， sin ＝＝＝， cos ＝＝＝， tan ＝＝＝. 随堂练习 3.在Rt△中，，的对边分别为根据下列所给条件，分别求出的三个三角函数值: (1)； (2). 解：(1) c ＝＝ ＝ 5， sin ＝＝， cos＝＝， tan＝＝. 基础过关(P124) A B C a b c (2) b＝＝ ＝ 12， sin ＝＝， cos＝＝， tan＝＝. 注意数形结合 随堂练习 4.在Rt△中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角的各个三角函数值（　　） A.不变化 B.扩大2倍 C.缩小 D.缩小2倍 解:三角函数值与三角形的大小无关。 能力提升 A 随堂练习 5.如图，在△中，，，求sin，cos，tan的值． 能力提升 解：过点A作AD⊥BC于D， 则∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC＝6， 在Rt△ABD中，AD＝ ＝8， ∴sin B＝＝＝， cos C＝＝＝， tan B＝＝＝. A B C D 随堂练习 6.若是锐角，cos，则的取值范围是(　　) A. B． C． D. 能力提升 解:∵ ∴ 解得 A 随堂练习 7.已知为锐角，若sin＋cos＝，则sincos的值为_____． 能力提升 解:已知 sin+cos， 两边平方： 2 由 ， 代入：12sin cos 得2sincos 设 t=sin−cos， 两边平方： = 所以 ，即 sincos。 随堂练习 8.如图，在中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 能力提升 (1)证明：∵是的中点， ∴． 在与中，， ∴； 随堂练习 8.如图，在中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 能力提升 （2）解：由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 课堂小结 正弦sin= 锐角三角函数 余弦cos= 正切tan= 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $