专题06 数列（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高三数学上学期

专题06 数列 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点01 等差数列 1．C 2．A 3．B 4．ACD 5．A 6．C 7．【答案】 【分析】 利用等差数列的通项公式和求和公式即可求解. 【详解】 利用等差数列中的等差中项性质可知：， 由等差数列的通项公式可得：， 所以， 则， 故答案为： 8．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. （2）由题意可得，放缩可得，所以，再根据等比数列的前项和公式求解即可. (1) 小问详解： 设数列的公差为，由题得 ，解得 ， 所以. (2) 小问详解： 令，解得， 则，所以， 故. 考点02 等比数列 1．【答案】9 【分析】 根据等比数列下标和的性质即可求解. 【详解】 . 故答案为：9 2．【答案】 【分析】 应用等比数列的通项公式、前n项和公式列方程求公比. 【详解】 由题设，且， 所以，则， 所以，可得（舍）. 故答案为： 考点03 数列的通项公式与求和 1．【答案】（1）；     （2）。      【分析】 （1）应用的关系得，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）应用分组求和，并结合等差、等比数列前n项和公式求. (1) 小问详解： 由题设且，则，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； (2) 小问详解： 由（1）得， 所以. 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）应用与的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解. (1) 小问详解： 因为， 时，, 两式相减得，        ，，，， 相乘得，所以，        当时符合上式， 所以； (2) 小问详解： ， 当为奇数时， . 3．【答案】（1） 由，得， 所以． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故．     （2）．      【分析】 （1）根据递推关系式变形化简，利用等比数列的定义即可证明得解； （2）利用错位相减法求和即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知． 设的前项和为， 所以，① ，② ① －② 得 . 所以． 4．【答案】 【分析】 根据 进行求解，得到答案. 【详解】 当时，， 当时， ， 当时，， 故 ， 故答案为： 5．【答案】（1）；     （2）；     （3） 由（1）（2）得，显然且数列是递增的， 由成等差数列，得， 假设，则，即，整理得， 设，则 ， 因此数列是单调递增数列，则，即与矛盾， 于是假设不成立，所以成立.      【分析】 （1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论，结合等比数列定义求出通项公式. （2）根据给定条件，利用变形，再构造常数列求出通项公式. （3）由（1）（2）的结论，利用反证法推理得证. (1) 小问详解： 数列中，，， 当时，，则，当时，，则， 因此数列均是公比为4的等比数列，， 所以数列的通项公式是. (2) 小问详解： 在数列中，，当时，， 当时，，两式相减得，， 当时，， 即，因此当时，数列是常数列， ，整理得，显然满足上式， 所以数列的通项公式是. (3) 小问详解： 略 6．【答案】（1），     （2） ， 是递减数列，              当时，； 当时，； 当时，；              当时，              当时，      当时，                综上所述．      【分析】 （1）由题意得到，再利用等比数列的定义求解； （2）先证是递减数列，分析出的取值规律，从而得出 (1) 小问详解： 由题知：              数列是以为首项，为公比的等比数列              ，                                                                   两式作差得：                      (2) 小问详解： 略 7．【答案】（1） 已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.     （2）；     （3） 已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.      【分析】 （1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列是等比数列； （2）利用累乘法求得数列的通项公式； （3）利用裂项求和法求得，利用反证法证得数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛： 证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用. 当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧. 对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设. 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．【答案】（1），；     （2）；     （3） 由（1）得，，则数列单调递减，所以且， 所以，则， 所以， 故得证.      【分析】 （1）因为数列的前项积为，所以根据 求得数列的通项公式，代入求数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法可求得数列的前项和； （3）利用不等式对进行适当放缩，再用裂项相消求和法求和，可证明不等式成立． (1) 小问详解： 当时，； 当时，； 因为当时，也满足. 故数列的通项公式为. 因为， 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： 由（1）得，，则， 两边同乘以3，得： 两式相减得 所以数列的前项和. (3) 小问详解： 略 2．【答案】（1）     （2）① ；②3      【分析】 （1）利用的关系可得，进而计算可求通项公式； （2）① 由（1）得，由累加法可求得；② 利用，可求得，进而得，法一：令，则，由，解不等式可求得结论；法二：令函数，利用函数单调性可求得结论. (1) 小问详解： 当时，，即， ，， ，当时，， 两式作差可得， 即，， ，， 是以为首项，1为公差的等差数列， ． (2) 小问详解： ① 由（1）可知，，， ， 当时，，即， ． ② 易知， 记，， 则， 且， ， ， 不等式等价于，即， （方法一）令，则，由， 解得，或（舍去），易知， 使得成立的正整数的最小值为3， 使得不等式恒成立的正整数的最小值亦为3． （方法二）由，可得， 令函数，易知在区间上单调递增， 显然，使得不等式成立的正整数的最小值为3， 使得不等式恒成立的正整数的最小值亦为3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06数列 4大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列的通项公式与求和 考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 》 考点01等差数列 1.(25-26学年高三上吉林吉林九校：期中)记等差数列a的前n项和为S,a+a,=6,a12=17:则S16 A.120 B.140 C.160 D.180 2,(高三上内蒙古赤峰部分学校期中)在等差数列Q,中，S=33,则Q,+a。3Q A.5 B.4 C.3 D.2 3。(25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔期中)已知两个等差数列a,b.的前n项和分别是S,T。:且 Sn_2n+4,则a4=( T 3n+1 b5 3 9 A.A B.14 7 c. 3 4. (25-26学年高三上内蒙古包头期中)（多述)已知数列[a的前n顶和为S,a=9,a,=0,1+3则 下列说法正确的是( ) A.a5-a1=-12 B.{a,是递增数列 C.当n>4时，an<0 D.当n=3或4时，Sn取得最大值 1/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.（25-26学年高三上内蒙古包头期中)已知当x=Xax,∈0，n时，函数fx=sinx-2c0sx取到最 大值，且x,是等差数列a,的第5项，则ana,+ag=（ ) 4 4 3 C. D. 3 4 6.(25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中)单调递增的等差数列{口满足 a+|o++aol-a1-1+a,-l+…+lao-1=a+3l+la,+3++lao+3当公差d取最小值时， a1=( A.-15 B.-17 C.-19 D.-21 7。(高三上黑龙江哈尔滨期中)设等差数列a,]的前n项和为S,若a,+a,=02a,+a。=2:则S0= 8。（25-26学年高三上黑龙江龙东十校联：期中)已知数列a,为等差数列，它的前n顶和为S,Q。=13 S3=15. (1)求数列。的通项公式 (2)将数列a,中满足不等式2*<a,<21(k∈N)的项数记为b,:求数列b的前k项利Ix an 》 考点02等比数列 1.(25-26学年高三上：黑龙江龙东十校联期中)等比数列a,满足a,=3,则a,a, 2。(2526学年高三上内蒙古包头期中)记S,为公比不为1的等比数列Q,的前n项和，若0,5，=3 4 则公比q= D考点03数列的通项公式与求和 1.（高三上·黑龙江哈尔滨期中)已知数列a,的前n项和为S,'且a,=1,a1=S。+1n∈N 215 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求数列。的通项公式： an (2》设b,=a,-l1og0,1求数列b,的前n项和T。 (25-26学年高三上吉林吉林九校期中已知数列a,的前n项和为S,且满足S。=”)Q,a,卫 (1)求数列an 的通项公式： (2)设数列b.满足 2,n为偶数 b,=an+2+am-2,n为奇数 an an+2 ,求数列b,的前2n项和12n 3.（2526学年高三上吉林吉林九校期中)已知数列a,满是a,=一方30，=2a,-n-3neN (1)求证：数列a,+n为等比数列，并求a,的通项公式： 设，=n引a*n小b的前，和 (2 4. （高三上：黑龙江新时代高中：期中)已知数列[a,的前n项和为S,:满足s。=n2+3n+2则a,的通项 公式是 5。（25-26学年高三上黑龙江龙东十校联·期中)已知数列a,满足a,=1'0,a1=2n-15数列b,的前n 项和为5.S,=号6，+4,6，=5. (1)求数列a的通项公式. (2)求数列b的通项公式. (3)设数列c满足c,=a,+b,:若c中的三项cp,c,C〈p<k<g成等差数列，证明：q=k+1 6,(2026内蒙古赤峰一模)已知数列a,满足：Q=)2na1n+1)a,n∈N 315 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求数列a的通项公式及前n项和s: (2)记[网表示不超过x的最大整数，若T,-S,-S小证明T,<1 7. (25-26学年高三上黑龙江齐齐哈尔·期中)已知数列a满足a2=601-9a,n∈N.小且a1=3 a2=18」 (1)证明：数列 -1-3a,是等比数列： (2)求数列a 的通项公式； (3)若数列 2an+3m+1 anan-1 的前n装和为S,c,=n+1传S,n∈N压明：数列c,中红忘不同的三项 都不能构成等差数列. 》 考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1。(25-26学年商三上内蒙古包头期中)已知数列Q,的前n现积为，其中，=3宁，数列b,的通顶 1 公式为bm=410gam 1)求数列a.b.的通项公式 (2)求数列 n的前n项和S, bn (3)求证： b:-b+1 <▣ 2 2.（高三上内蒙古赤峰部分学校：期中)已知正项数列a]的前n项和为s,:且a+a,=2S。 1)求a,的通项公式： (2)若数列b满足b1=1b,+b1=2 ①求b2n: 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②。，营-1o小若不学式gc之0x2-6ma碳立，求上然药n的酸小值 515 专题06 数列 4大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点01 等差数列 1．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）记等差数列的前项和为，则（       ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【分析】 利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 2．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）在等差数列中，，则（     ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【分析】 根据等差数列求和公式得到，进而由等差数列通项公式基本量计算出答案. 【详解】 设公差为，，即，故， . 故选：A 3．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设出两个等差数列的前项和公式，利用等差数列的性质即可得出结论. 【详解】 由题意， 在两个等差数列中，前项和分别是，， 对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数）， ∴设，，为常数 ∴， 故选：B. 4．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】 由题意可知，数列是首项为9,公差为-3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可. 【详解】 因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列. 记公差为d,则,所以,. 选项A：.所以选项A正确. 选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误. 选项C：当，即.所以选项C正确. 选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确. 故选：ACD. 5．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题可得，结合同角三角之间的关系得出，，再利用等差数列的性质以及两角和差的正切公式即可计算. 【详解】 由辅助角公式可知的最大值为，故， 因，则， 即，得， 则， 则， 因是等差数列的第5项，则， 则. 故选：A 6．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等差数列的性质以及绝对值的几何意义，分析，，的特点，进而确定公差的最小值以及的值. 【详解】 设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，，  因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 7．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）设等差数列的前项和为，若，，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用等差数列的通项公式和求和公式即可求解. 【详解】 利用等差数列中的等差中项性质可知：， 由等差数列的通项公式可得：， 所以， 则， 故答案为： 8．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）已知数列为等差数列，它的前项和为，，． （1）求数列的通项公式． （2）将数列中满足不等式的项数记为，求数列的前项和． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. （2）由题意可得，放缩可得，所以，再根据等比数列的前项和公式求解即可. (1) 小问详解： 设数列的公差为，由题得 ，解得 ， 所以. (2) 小问详解： 令，解得， 则，所以， 故. 考点02 等比数列 1．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）等比数列满足，则　　　　　　 【答案】9 【分析】 根据等比数列下标和的性质即可求解. 【详解】 . 故答案为：9 2．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）记为公比不为1的等比数列的前项和，若，则公比　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用等比数列的通项公式、前n项和公式列方程求公比. 【详解】 由题设，且， 所以，则， 所以，可得（舍）. 故答案为： 考点03 数列的通项公式与求和 1．（高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；     （2）。      【分析】 （1）应用的关系得，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）应用分组求和，并结合等差、等比数列前n项和公式求. (1) 小问详解： 由题设且，则，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； (2) 小问详解： 由（1）得， 所以. 2．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足 ，求数列的前项和． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）应用与的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解. (1) 小问详解： 因为， 时，, 两式相减得，        ，，，， 相乘得，所以，        当时符合上式， 所以； (2) 小问详解： ， 当为奇数时， . 3．（25-26学年高三上·吉林吉林九校·期中）已知数列满足． （1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1） 由，得， 所以． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故．     （2）．      【分析】 （1）根据递推关系式变形化简，利用等比数列的定义即可证明得解； （2）利用错位相减法求和即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知． 设的前项和为， 所以，① ，② ① －② 得 . 所以． 4．（高三上·黑龙江新时代高中·期中）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据 进行求解，得到答案. 【详解】 当时，， 当时， ， 当时，， 故 ， 故答案为： 5．（25-26学年高三上·黑龙江龙东十校联·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式． （2）求数列的通项公式． （3）设数列满足，若中的三项（）成等差数列，证明：． 【答案】（1）；     （2）；     （3） 由（1）（2）得，显然且数列是递增的， 由成等差数列，得， 假设，则，即，整理得， 设，则 ， 因此数列是单调递增数列，则，即与矛盾， 于是假设不成立，所以成立.      【分析】 （1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论，结合等比数列定义求出通项公式. （2）根据给定条件，利用变形，再构造常数列求出通项公式. （3）由（1）（2）的结论，利用反证法推理得证. (1) 小问详解： 数列中，，， 当时，，则，当时，，则， 因此数列均是公比为4的等比数列，， 所以数列的通项公式是. (2) 小问详解： 在数列中，，当时，， 当时，，两式相减得，， 当时，， 即，因此当时，数列是常数列， ，整理得，显然满足上式， 所以数列的通项公式是. (3) 小问详解： 略 6．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知数列满足：. （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）记[x]表示不超过的最大整数，若，证明. 【答案】（1），     （2） ， 是递减数列，              当时，； 当时，； 当时，；              当时，              当时，      当时，                综上所述．      【分析】 （1）由题意得到，再利用等比数列的定义求解； （2）先证是递减数列，分析出的取值规律，从而得出 (1) 小问详解： 由题知：              数列是以为首项，为公比的等比数列              ，                                                                   两式作差得：                      (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1） 已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.     （2）；     （3） 已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.      【分析】 （1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列是等比数列； （2）利用累乘法求得数列的通项公式； （3）利用裂项求和法求得，利用反证法证得数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛： 证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用. 当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧. 对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设. 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26学年高三上·内蒙古包头·期中）已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为. （1）求数列及的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：. 【答案】（1），；     （2）；     （3） 由（1）得，，则数列单调递减，所以且， 所以，则， 所以， 故得证.      【分析】 （1）因为数列的前项积为，所以根据 求得数列的通项公式，代入求数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法可求得数列的前项和； （3）利用不等式对进行适当放缩，再用裂项相消求和法求和，可证明不等式成立． (1) 小问详解： 当时，； 当时，； 因为当时，也满足. 故数列的通项公式为. 因为， 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： 由（1）得，，则， 两边同乘以3，得： 两式相减得 所以数列的前项和. (3) 小问详解： 略 2．（高三上·内蒙古赤峰部分学校·期中）已知正项数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，． ①求； ②设，若不等式恒成立，求正整数的最小值． 【答案】（1）     （2）① ；②3      【分析】 （1）利用的关系可得，进而计算可求通项公式； （2）① 由（1）得，由累加法可求得；② 利用，可求得，进而得，法一：令，则，由，解不等式可求得结论；法二：令函数，利用函数单调性可求得结论. (1) 小问详解： 当时，，即， ，， ，当时，， 两式作差可得， 即，， ，， 是以为首项，1为公差的等差数列， ． (2) 小问详解： ① 由（1）可知，，， ， 当时，，即， ． ② 易知， 记，， 则， 且， ， ， 不等式等价于，即， （方法一）令，则，由， 解得，或（舍去），易知， 使得成立的正整数的最小值为3， 使得不等式恒成立的正整数的最小值亦为3． （方法二）由，可得， 令函数，易知在区间上单调递增， 显然，使得不等式成立的正整数的最小值为3， 使得不等式恒成立的正整数的最小值亦为3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $