15.1.2线段的垂直平分线（第一课时 线段垂直平分线的判定与性质）（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 15.1.2线段的垂直平分线 参考答案 A组 巩固过关 斯型nM 垂直平分线的性质 1.D 2.B 题型02 利用垂直平分线的性质求线段长 3.D 4.6 题型n3 利用垂直平分线的性质求周长 5.14 6.17 7.1<AB<5 题型04 原命题与逆命题 8.C 9.假 题型0 利用垂直平分线的性质证明 10.证明：，BD⊥AC,垂足为点E,AE=CE, 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD垂直平分AC, .AD=CD,AB=CB. ∴，AB+CD=AD+CB 11.(1)证明：点D是BC的中点， ∴BD=CD .BF AC, ∴.∠F=∠DEC,∠FBD=∠C, ∴.△BFD≌△CED AAS. (2)解：.点D是BC的中点，AD⊥BC, .∴.AC=AB=8, 由(1)得：△BFD≌△CED, ∴.CE=BF=2, ∴.AE=AC-CE=8-2=6 题型0k 垂直平分线的判定 12.证明：在△AOB与△COD中， d, △AOB≌△COD(ASA), ..OB=OD ∴.点O在线段BD的垂直平分线上， BE=DE, ∴，点E在线段BD的垂直平分线上， ∴.OE垂直平分BD 13.(1)解：，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高， ..DE=DF. 在Rt△AED与Rt△AFD中， 6, .Rt△AED≌Rt△AFD|HL, ∴.AE=AF, DE=DF, 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AD垂直平分EF: (2)解：：DE=DF, .+ABED+ACDF-DE(AB+AC)-24. .AB+AC=16, ..DE=3. 0 B组 能力进阶 1A 2.5 3.45° 4.130° 5.12 6解：如图，连接AE、CE,过点E作EG⊥AB,垂足为G, A E D AC DE⊥AC 为边 的中点， ·.DE垂直平分AC, ∴.AE=CE, .'BE是∠ABC的平分线，EF⊥BC,EG⊥AB, ∴.EG=EF,∠G=∠CFE=∠BFE=90°， 在Rt△AEG和Rt△CEF中， t, .Rt△AEG≌Rt△CEF HL, ∴.AG=CF, 在Rt△BEG和Rt△BEF中， b, ∴.Rt△BEG≌Rt△BEF HL, 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BG=BF, .BC=BF+CF=BG+CF=AB+AG+CF=AB+CF+CF=AB+2CF, ∴.2CF=BC-AB .AB=5,BC=9, .2CF=4, ∴.CF=2. 7.(1)证明：，BD是∠ABC的平分线， ∴.∠EBO=∠CBO .CE⊥BD ∴.∠EOB=COB=90° 又.BO=BO ∴.△BOE≌△BOC(ASA) ∴.EO=CO 又，CE⊥BD,即BD垂直且平分CE ∴.BD是线段CE的垂直平分线 (2)证明：由(1)知△BOE2△BOC, .'BE=BC .BD平分∠ABC, ∴.∠EBD=∠CBD BD=BD. △EBD≌△CBD(SAS), ∴.∠BED=∠BCD=90°， ,∠AED=90°」 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A+∠ABC=90°： 在△AED中，∠AED=90°，∠A+∠ADE=90°. .∠ADE=∠ABC. C组 思维拔高 1.D 4/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.8 3.2 拓展 链接中考 1.B 2.C 3.若a+1>b+1,则a>b 5/5 分层作业 15.1.2线段的垂直平分线 目 录 A组 巩固过关 题型01 垂直平分线的性质 题型02利用垂直平分线的性质求线段的长 题型03 利用垂直平分线的性质求周长 题型04 原命题与逆命题 题型05 利用垂直平分线的性质证明 题型06 垂直平分线的判定 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )垂直平分线的性质 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 2.下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ( 题型0 2 )利用垂直平分线的性质求线段长 3.线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 4.如图，中，，的垂直平分线交于，连接．若，则的长为______． ( 题型0 3 )利用垂直平分线的性质求周长 5.如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，，则四边形的周长是________． 6.如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为___________ 7.如图，在中，的垂直平分线交于点D，若的周长为5，，则边的长的取值范围为________． ( 题型0 4 )原命题与逆命题 8.命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 9.已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） ( 题型0 5 )利用垂直平分线的性质证明 10.如图，，垂足为点，．求证：． 11.如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． ( 题型0 6 )垂直平分线的判定 12.如图，与相交于点O，连接，点E是下方一点，连接，若，，．求证：垂直平分． 13.如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 1如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（　　） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 2. 如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 3.如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为______． 4.如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为___________ 5.如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 6.如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 7.如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 1．【多结论问题】如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．【最短路径问题】如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 3．【方程思想】如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题：___________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15.1.2线段的垂直平分线 目 录 A组 巩固过关 题型01 垂直平分线的性质 题型02利用垂直平分线的性质求线段的长 题型03 利用垂直平分线的性质求周长 题型04 原命题与逆命题 题型05 利用垂直平分线的性质证明 题型06 垂直平分线的判定 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )垂直平分线的性质 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． 2.下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线和线段垂直平分线的性质与判定逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线的性质），故A正确； B、到角两边距离相等的点一定在角的平分线上（角平分线的判定定理），选项中是“不一定”，故B不正确； C、到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定），故C正确； D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（线段垂直平分线的性质），故D正确． 故选：B． ( 题型0 2 )利用垂直平分线的性质求线段长 3.线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴． 4.如图，中，，的垂直平分线交于，连接．若，则的长为______． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、线段垂直平分线的性质 【分析】设，，由是线段的垂直平分线，得，再根据线段和差即可求解． 【详解】解：， 设，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 解得， ． ( 题型0 3 )利用垂直平分线的性质求周长 5.如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，，则四边形的周长是________． 【答案】 【难度】0.8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴． 6.如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为___________ 【答案】17 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长． 7.如图，在中，的垂直平分线交于点D，若的周长为5，，则边的长的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】确定第三边的取值范围、线段垂直平分线的性质 【分析】先由垂直平分线的性质得，再由的周长为5，得出，再根据三角形的三边关系定理得，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵的周长为5，， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴，即． ( 题型0 4 )原命题与逆命题 8.命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 9.已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【难度】0.85 【知识点】写出命题的逆命题、三角形的分类、判断命题真假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． ( 题型0 5 )利用垂直平分线的性质证明 10.如图，，垂足为点，．求证：． 【答案】证明：∵，垂足为点，， ∴垂直平分， ∴，， ∴． 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由题意可得垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质证明即可． 【详解】略． 11.如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ， ， ， ． (2)6 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据“”证明即可； （2）由垂直平分线的性质可得，结合全等的性质可知，再根据进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）得：， ， ． ( 题型0 6 )垂直平分线的判定 12.如图，与相交于点O，连接，点E是下方一点，连接，若，，．求证：垂直平分． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．由“”可证，可得，且，可得垂直平分． 【详解】 略 13.如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； (2) 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）由角平分线的性质得，证明，得，从而证明结论； （2）根据，得，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 1如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（　　） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定 【详解】解：∵点到边、的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴点在边的垂直平分线上， ∴点是的角平分线与的垂直平分线的交点． 2. 如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 3.如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为______． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】根据角平分线的定义分别求出、，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得出，计算即可． 【详解】解：平分，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 4.如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5.如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 6.如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】连接、，过点作，垂足为，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再分别证明，，得到，，从而推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， 为边的中点，， 垂直平分， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 7.如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴（） ∴ 又∵，即垂直且平分 ∴是线段的垂直平分线 (2) 证明：由（1）知， ∴． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，，； 在中，，． ∴． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）要证是线段的垂直平分线，需证垂直（已知）且平分，即证，可通过证明来实现． （2）利用（1）中全等及垂直关系，结合同角的余角相等，推导与的等量关系． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质以及三角形内角和等知识，熟练掌握全等三角形判定和线段垂直平分线性质，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 1．【多结论问题】如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，即平分；故①③正确， 又∵， ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故①②③④正确． 2．【最短路径问题】如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.74 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 3．【方程思想】如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】线段的和与差、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】过点E作的垂线，垂足记为F，因为是的角平分线，根据角平分线的性质，所以可推出，且可证明，得到．因为是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，所以，结合已得的，可证明，得到．设的长度为x，用含x的式子分别表示和的长度，结合建立方程，求解得到的长度． 【详解】连接、，过作于． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分，，， ∴，且 在和中：， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴． 设，则，是的延长线， ∴； 又， ∴， 解得， 即． 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题：___________． 【答案】若，则 【难度】0.85 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $