第2章第7讲勾股定理（2.7～2.8）专题集训2026-2027学年浙教版八年级数学上册

数学 · 八年级上册（浙教版） 第7讲　勾股定理(2.7~2.8)　专题集训 　A组　 1．下列说法中正确的是　（　　　） A．若 ,, 是 的三边，则 B．若 ,, 是 Rt 的三边，则 C．若 ,, 是 Rt 中 ,, 的对应边，，则 D．若 ,, 是 Rt 中 ,, 的对应边，，则 2．在 中，若 ，，，则下列结论中，正确的是　（　　　） A． B． C． 是锐角三角形 D． 是钝角三角形 3．如图，在 中，， 的平分线交 边于点 ，，，则 的长为　（　　　） A． B． C． D． 4．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 尺远，求折断处离地面的高度。设竹子折断处离地面 尺，根据题意，可列方程为　（　　　） A． B． C． D． 5．如图，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数 的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 表示的数是　（　　　） A． B． C． D． 6．已知 ,, 是 的三边长，且满足表达式 ，则 的形状为 ＿＿＿＿。 7．如图，梯子 靠在墙上，梯子的底端 到墙根 的距离为 m，梯子的底端 向外移动到 ，使梯子的底端 到墙根 的距离等于 m，同时梯子的顶端 下降至 ，则 的长为 ＿＿＿（梯子 的长为 m）。 8．如图，已知 ，，，垂足分别为 ,，则在下列条件中选择一个就可以判定 RtRt 的是 ＿＿＿（填序号）。①；②；③；④。 9．如图，每个小正方形边长为 ，则 的边 上的高 的长为 ＿＿＿。 10．如图，四边形 中，，m，m，m，m，则四边形 的面积为 ＿＿＿。 11．如图，在 中， 是 的中点，，，垂足分别是 ,，且 。求证：。 12．如图， 是等边三角形 内的一点，连结 ,,，以 为边作 ，且 ，连结 。 (1)观察并猜想 与 之间的大小关系，并说明理由。 (2)若 ，，，连结 ，判断 的形状并说明理由。 13．如图，把长方形 沿 折叠， 落在 处， 交 于点 ，已知 cm，cm。（长方形的对边相等，四个角都为直角） (1)求证：。 (2)求 的长。 (3)求重叠部分的面积。 　B组　 14．如图，直角三角形 中，，分别以 ,, 为直径向上作半圆。若 ，则图中阴影部分的面积为　（　　　） A． B． C． D． 15．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会。问甲、乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走 步，乙每单位时间走 步。乙一直向东走，甲先向南走 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了 步，则由题意下面所列方程正确的是　（　　　） A． B． C． D． 16．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 , 交于点 ，若 ，，则 ＿＿＿。 17．如图， 平分 ，， 于点 ，cm，cm，求 的长度。 18．如图，, 两个工厂位于一段直线形河道 的异侧， 工厂至河道的距离为 km， 工厂至河道的距离为 km，经测量河道上 , 两地间的距离为 km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂 。 (1)设 km，请用 的代数式表示 的长 ＿＿＿。（结果保留根号） (2)为了使 , 两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂 的位置，并求出排污管道最短长度。 (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出 的最小值为多少？ 19．如图 1，, 分别是边长为 cm 的等边三角形 边 , 上的动点，点 从顶点 沿 方向运动，点 从顶点 沿 方向同时出发，且它们的速度都为 cm/s。 (1)连结 , 交于点 ，则在 , 运动的过程中， ＿＿＿。 (2)当运动时间 为多少时？ 是直角三角形。 (3)如图 2，若点 , 在运动到终点后继续在射线 , 上运动，直线 , 交点为 ，则 变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数。 　C组　 20．如图，把长为 cm 的纸条 沿 , 同时折叠，, 两点恰好落在 边的点 处，且 ，cm，则 的长为 ＿＿＿。 21．如图，四边形 ,, 都是正方形，如果 ，，那么图中阴影部分的面积的和为 ＿＿＿。 22．如图，在 Rt 中，， 为斜边 的中点，Rt 在 内绕点 转动，分别交 , 于点 ,（点 不与点 , 重合）。下列说法正确的是 ①；②；③。　（　　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 23．在 Rt 中，，， 是线段 上任一点（不与点 重合），作 交 于点 ， 是 延长线上一点，连结 交 于点 ，。 (1)求证：。 (2)过点 作 ，若 ，①证明：；②求 的长（结果不化简）。 24．如图 1， 和 都是等腰直角三角形，， 为 外一点，，,, 三点不共线，连结 ,,,， 与 交于点 。 (1)求证：。 (2)当 时，求 的度数。 (3)如图 2，当 时，，，求四边形 的面积。 参 考 答 案 1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．等腰直角三角形 7．m 8．①②③④ 9． 10．m 11．方法一：证明：因为 ，，所以 。因为 是 的中点，所以 。在 Rt 与 Rt 中，因为 所以 RtRt(HL)，所以 。方法二：因为 是 的中点，所以 ，即 。因为 ，所以 ，所以 。 12． (1)。理由如下：因为 是等边三角形，，，所以 。又因为 ，所以 。在 和 中，因为 所以 (SAS)，所以 。 (2) 为直角三角形。理由如下：如图，因为 ，且 ，所以 为等边三角形，。由 (1) 得 ，又因为 ，所以 ，所以 为直角三角形。 13． (1)因为 ，所以 ，由翻折不变性可知 ，所以 ，所以 ，所以 。 (2)因为 cm，cm，设 cm，就有 cm，cm，在 Rt 中，由勾股定理，得 ，解得 ，所以 cm。 (3)(cm)。答：重叠部分的面积为 cm。 14．A 15．A 16． 17．方法一：如图 1，过点 作 于点 。因为 平分 ，，，所以 ，易证 RtRt(HL)，所以 。因为 ，，所以 ，易证 (AAS)，所以 。因为 ，所以 ，即 ，所以 cm。方法二：如图 2，在线段 上截取 ，连结 。因为 平分 ，所以 。又因为 ，所以 (SAS)，所以 ，cm。因为 ，，所以 ，所以 。又因为 ，所以 。因为 cm，所以 cm。 18． (1)在 Rt 和 Rt 中，根据勾股定理可得 km，km，所以 km。故答案为 km。 (2)根据两点之间线段最短可知，连结 与 的交点就是污水处理厂 的位置，如图 1。过点 作 于点 ，则有 km，km，所以 km。在 Rt 中，(km)，所以排污管道最短长度为 km。 (3)根据以上解答，可作出如图 2。设 ，，，。当 ,, 三点共线时求出 的值即为原式最小值，即 ，其最小值为 。 19． (1)因为 是等边三角形，所以 ，。又由条件得 ，在 和 中，因为 所以 (SAS)，所以 ，所以 。故答案为 。 (2)设时间为 ，则 ，。①当 时，因为 ，所以 ，所以 ，得 ，；②当 时，因为 ，所以 ，所以 ，得 ，；所以当运动时间为 秒或 秒时， 为直角三角形。 (3)不变，。因为 是等边三角形，所以 ，，所以 。又由条件得 ，所以 (SAS)，所以 。又因为 ，所以 。 20．cm 21．。【解析】如图，记 交 于点 ，四边形 ,, 都是正方形，所以 ，，，所以 RtRt。在 Rt 中，，所以 ，所以 ，。因为 ，，所以 ，因为 ，，所以 ，所以 ，所以图中阴影部分面积总和为 。故答案为 。 22．A 23． (1)证明：因为 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，。因为 ，，所以 ，所以 是等腰直角三角形，所以 。因为 ，所以 ，所以 (ASA)，所以 。 (2)①证明：如图，连结 ，因为 ，所以 。因为 ，，所以 RtRt(HL)，所以 ，。因为 ，，所以 是 的垂直平分线，所以 ，所以 。因为 ，所以 。②设 ，则 ，，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ，所以 。 24． (1)由题意可得 ，，，所以 ，所以 ，所以 。 (2)因为 是等腰直角三角形，所以 ，。因为 ，，所以 。所以 是直角三角形，，所以 。 (3)如图，过点 作 于点 ， 与 相交于点 。由题意可得 ，，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 。在 Rt 中，根据勾股定理可得 ，所以 。在 Rt 中，，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。 第7讲 勾股定理(2.7~2.8)　·　第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $