第3章 代数式 达标卷-2026-2027学年人教版数学七年级上册

（优学优练）第3章代数式达标卷-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．七年级（1）班共有学生人，其中有18名同学报名参加了运动会．没有报名参加运动会的学生人数为（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 2．下面各选项中，成反比例关系的是（   ） A．修一段公路，工作效率和所用的工作时间成反比例关系 B．比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系 C．长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系 D．运动员的跳远成绩和身高成反比例关系 3．代数式的意义为（    ） A．与的差的平方 B．与的平方差 C．与的平方的差 D．的平方与的差 4．的倍与的一半的差（   ）． A． B． C． D． 5．若，则等于（    ） A．5 B．1 C． D．0 6．若，且，则的值为（   ） A．5或 B．或 C．5或7 D．或7 7．若，为倒数，且满足，则值为（   ） A． B．1 C． D．2 8．所有放射性物质都有半衰期，半衰期是放射性物质的原子核数目缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．现有原子核数目为的放射性物质，经历了4个半衰期后剩余的原子核数目为（   ） A． B． C． D． 9．按图中的程序运算，如果第一次输入的值是1，则第2026次输出的结果是（    ） A．4 B．1 C．6 D．8 10．在《设计自己的运算程序》综合与实践课上，乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三个数位上数字均不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，然后把差重复以上过程……从开始，按照此程序运算次后得到的数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某商品原价m元，先涨价，再降价，现价为________． 12．若，则代数式的值为__________． 13．已知，则的值是___________． 14．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，，0，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为_____． 15．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌可通过分裂来繁殖后代，我们用数学模型来表示其繁殖数量的规律，即：，请你推算的个位数字是_____． 16．如图①，数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，．按照此规律，第2026个图记为___________． 三、解答题 17．x与y互为相反数，m与n互为倒数，a的绝对值为2，求的值． 18．如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，……，以此类推． (1)第10个图中有______颗棋子； (2)猜想：第个图中有______颗棋子（用含的代数式表示）； (3)根据你的猜想，试求出第500个图中棋子颗数． 19．窗户的形状如图1所示（图中长度单位：m），其上部是半圆形，下部是长为a（m），宽为b（m）的四个小长方形． (1)窗户的面积为___________，窗户的外框（如图2）总长为___________；（结果保留） (2)现要在窗户上安装玻璃（窗户的内框虚线部分忽略不计）．若玻璃每平方米30元，窗户外框每米50元．若，制作这样一个窗户共需费用多少元（取整数）？ 20．学校为使学生熟练掌握基本的体育运动技能，决定采购一批篮球和足球，建立足球社团和篮球社团．已知篮球的标价为200元/个，足球的标价为150元/个，甲、乙两家商场同种品牌的篮球和足球的标价和质量均相同，甲、乙两个商场的优惠方案如下： 甲商场：篮球按标价的9折出售，足球按标价的8折出售． 乙商场，若购买的篮球和足球数累计不超过50个，则所购商品均按标价的9折出售；若超过50个，则所购商品均按标价的折出售． (1)若学校购买篮球40个，足球20个，则按照甲商场的优惠方式购买，实际付款金额为________元； (2)学校计划购买篮球、足球共60个． ①若其中篮球购买了x（x为正整数）个，则按甲商场的优惠方式购买，付款金额为________元，按乙商场的优惠方式购买，付款金额为________元；（用含x的代数式表示） ②若其中篮球购买了40个，且计划购买篮球和足球的总费用不超过9500元，则学校应选择在甲、乙哪个商场购买？请说明理由． 21．综合与探究 【问题情境】如图1是牛顿摆的示意图，它由七根等距离的等长细线分别连接一颗相同的小铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点．同学们将牛顿摆放在不同的数轴上方进行探究． 【初步分析】如图2，此时铁球④的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥的最低点在数轴上对应的数为5， （1）在该数轴上，相邻两铁球的最低点之间的距离是_____； （2）求铁球①的最低点在数轴上对应的数； 【深入探究】如图3，此时铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为． （3）用含的代数式表示铁球⑦的最低点在数轴上对应的数； （4）点是数轴上的一点，若点到铁球⑦最低点对应数的距离是铁球①与⑤最低点对应数的距离的2倍，直接写出点在数轴上对应的数．（用含的代数式表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（优学优练）第3章代数式达标卷-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A B C C D A C 1．B 【分析】本题考查用代数式表示数量关系，利用总人数减去报名参加运动会的人数即可得到未报名的人数． 【详解】解：∵七年级（1）班共有学生人，报名参加运动会的有18人， ∴没有报名参加运动会的学生人数为人． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查反比例关系的辨析，需根据反比例关系的定义（两种相关联的量，相对应数的乘积为定值）逐项分析判断． 【详解】解：A选项：修公路的工作总量（公路长度）固定，即工作效率×工作时间=工作总量（定值），符合反比例关系定义，故A选项正确； B选项：比例尺图上距离实际距离，比例尺一定时，图上距离与实际距离的比值为定值，成正比例关系，故B选项错误； C选项：长方形周长(长+宽)，周长一定时，长与宽的和为定值，并非乘积一定，不成反比例关系，故C选项错误； D选项：运动员的跳远成绩和身高无固定的乘积关系，不成比例，故D选项错误． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查代数式表示的意义，表示y的平方，表示x减去y的平方，据此可得答案． 【详解】解：表示y的平方，表示x减去y的平方，即x与y的平方的差． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查列代数式，根据语言描述列代数式是解题的关键． 根据描述直接列代数式即可． 【详解】解：用代数式表示“的倍与的一半的差”为． 故选：A． 5．B 【分析】此题考查了代数式求值，利用整体代入法求解． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，求代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 根据绝对值与平方的性质求出x、y的所有可能取值，，再分情况讨论即可得解． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，不满足题意； 当，时，，不满足题意； 综上所述，或． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查倒数的定义及代数式求值，利用倒数的性质得到，代入已知等式求出的值，再求出的值，最后计算即可，熟练掌握倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，为倒数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查有理数乘方的应用．根据半衰期的定义，每经历一个半衰期，原子核数目变为原来的，经历4个半衰期后，原子核数目为，计算即可得出结果． 【详解】解：∵每经历一个半衰期，原子核数目变为原来的 ∴经历4个半衰期后剩余的原子核数目为 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了规律型数字的变化类，代数式求值的知识，仔细计算，观察出循环规律，是解题的关键．本题需要通过计算前几次的计算结果，得到循环规律，然后即可求解． 【详解】解：第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 第次输入的值是，则输出的结果是， 通过计算可以得到：每次输出、、、、、为一组循环； ∴， ∴第次输出的结果是； 故选：A． 10．C 【分析】本题考查数字的变化规律，通过模拟运算过程，发现从第三次运算后结果固定为，后续重复运算结果不变，只需判断运算次数是否大于等于即可得出答案． 【详解】解：第一次运算：组成最大数，最小数， 第二次运算：组成最大数，最小数， 第三次运算：组成最大数，最小数， 第四次运算：用进行运算，组成最大数，最小数，则 从第三次开始，每次运算结果均为 又 运算次后得到的数是 故选：C． 11． 【分析】本题考查了列代数式的应用，先计算涨价后的价格，再计算降价后的价格即可得出结果． 【详解】解：原价m元，涨价后价格为 ， 再降价，则现价为 ． 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了用整体思想求代数式的值的能力，解题的关键是将化为 的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13．9 【分析】本题考查非负数的性质、求代数式的值，利用绝对值的非负性与偶次方的非负性求出的值，再将其代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：9． 14．或8 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，代数式求值．根据题意求出横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和为，再根据规律求解即可． 【详解】解：根据横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等， 得出， 由得， ，，，，0，3，4，5这8个数的和是， ∴内、外两圈上的4个数字之和都是， 由得， 由得， ∴，，或，， ∴，或， 故答案为：或8． 15． 9 【分析】本题主要考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．通过观察 的个位数字变化规律，发现其每4次循环一次，循环顺序为3，9，7，1；计算2026除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，……， 所以， 的个位数字按3，9，7，1循环出现，周期为4， ，余数为2对应循环中的第二个数字9， 故 的个位数字是9． 故答案为：9． 16． 【分析】本题考查图形变化的规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意结合所给的图形发现，该组图形的规律为，第个图记为，为正整数，令，进行计算求解即可． 【详解】解：根据题意得， 第1个图记为， 第2个图记为， 第3个图记为， 第4个图记为， 以此类推， 第个图记为，为正整数， 当，即时，， 因此，第2026个图记为， 故答案为：． 17．或 【分析】由x与y互为相反数，得，由m与n互为倒数，得，由a的绝对值为2，得，代入代数式计算即可． 【详解】解：互为相反数， ， 互为倒数， ， 的绝对值为2， ， 当时，原式， 当时，原式． 即的值为或． 18．(1)37 (2) (3)1997 【分析】本题考查了图形规律的探索，求代数式的值，找到图形规律并列出代数式是解题的关键； （1）第2个图中有颗棋子，第3个图中有颗棋子，第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子，……，由此得到规律，即可求得第10个图中棋子的颗数； （2）由（1）所得的规律即可求解； （3）求出当时（2）中的代数式的值即可． 【详解】（1）解：第2个图中有颗棋子，第3个图中有颗棋子，第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子，……，由此规律，第10个图中棋子的颗数为； 故答案为：37； （2）解：由（1）中规律得：第个图中棋子的颗数为， 故答案为：； （3）解：当时，； 答：第500个图中棋子颗数为1997． 19．(1)； (2)1120元 【分析】本题主要考查代数式求值及列代数式，熟练运用面积公式及周长公式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式、半圆的面积公式、长方形的周长公式及半圆弧的长度，进行作答即可； （2）先写出总费用，再代入即可． 【详解】（1）解：窗户的面积为； 窗户的外框（如图2）总长为； 故答案为：； （2）解： （元）， 答:制作这样一个窗户共需费用1120元． 20．(1)9600 (2)①；； ②学校应该选择在乙商场购买，理由如下： 当时，， ， ∵， ∴学校应该选择在乙商场购买． 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值和有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的优惠方案列式求解即可； （2）①由题意得， 购买足球个，再根据所给的优惠方案分别求出篮球和足球的费用，求和即可得到答案；②把代入（2）①所求的两个代数式中求出两个商场的费用，再与9500比较即可得到结论． 【详解】（1）解： 元， ∴实际付款金额为9600元； 故答案为：9600； （2）解：①由题意得，按甲商场的优惠方式购买，付款金额为元， 按乙商场的优惠方式购买，付款金额为； 故答案为：；； ②略 21．（1）2.5；（2）－7.5；（3）；（4）或 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算方法，列代数式，掌握数轴上两点之间距离的计算是解题的关键． （1）根据题意可得每个铁球表示2.5； （2）由铁球④到铁球①之间有三个铁球，铁球①在原点左边，即可求解； （3）每两个铁球之间的距离为，可得铁球⑦到铁球⑤之间的距离为，根据两点之间距离的计算方法即可求解； （4）先算出点到铁球⑦的距离为，再分类讨论：当点在铁球⑦的左边时；当点在铁球⑦的右边时；运用数轴上两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）铁球④与铁球⑥之间有两个铁球，表示的数之间的距离为5， ，即每个铁球表示2.5； （2）铁球④到铁球①之间有三个铁球， ， 铁球①在原点左边， 铁球①的最低点在数轴上对应的数为； （3）铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，， 每两个铁球之间的距离为， 铁球⑦到铁球⑤之间有个铁球， 铁球⑦到铁球⑤之间的距离为， 铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为； （4）铁球①与⑤最低点距离的2倍，即为， 点到铁球⑦的距离为， 当点在铁球⑦的左边时，； 当点在铁球⑦的右边时，； 点在数轴上对应的数为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $