重难点培优02 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 空间几何体的展开图及最短路径问题（★★★★） 5 题型02 截面的形状问题（★★★★） 11 题型03 截面的周长、面积问题（★★★★） 17 题型04 截面切割几何体体积问题（★★★★） 24 题型05 动点保持平行、垂直求轨迹（★★★★★） 30 题型06 动点保持距离不变等求轨迹（★★★★） 36 03 实战检测·分层突破验成效 44 重难知识巩固 44 创新能力提升 63 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 知识点02 截面问题 1、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 5、正方体中的基本截面类型 知识点03 轨迹问题 1、立体几何中的轨迹问题 立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握. 2、常用的解决策略 （1）定义法:借助圆雉曲线的定义判断. （2）坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状. （3）交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等. （4）平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 3、轨迹是圆锥曲线的原理剖析 令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②. (1)当时,截口曲线为椭圆; (2)当时,截口曲线为抛物线; (3)当时,截口曲线为双曲线. 图②我们再从几何角度来证明. (1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆. (2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线. (3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 空间几何体的展开图及最短路径问题 1．如图，由平面图形围成的长方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由侧面展开图可知这个长方体中相对的两个最小的矩形被涂色，剩余的两组对面中，一组被涂色，另一组是本色， 结合选项可知ABC错误，D正确. 2．（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点. 3．为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 【答案】B 【分析】由题，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，可得长方形的宽就是灯柱的高，长方形的长即为圆柱底面周长的3倍，装饰带的长度即为该长方形的对角线长，计算得解. 【详解】如图，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，长方形的宽灯柱的高米， 长方形的长三个圆柱的底面周长（米）， 装饰带的长度即为该长方形的对角线长，即为（米）. 4．已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四棱锥沿展开，再结合等边三角形性质求解即可. 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 5．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知数据确定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为， 圆台的母线长为，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得， 所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即， 展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即，解得， 由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得，代入数据，解得 即从点到达点的最短路径的长度为. 7．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【答案】 【分析】把立体表面上的最短路程转化为展开图中两点间的距离．正四棱柱的三条棱长分别为3，3，2，连接相对顶点的表面路径共有三种基本展开方式；由于两个底面边长相等，其中有两种所得长度相同，因此只需比较两类不同的长度． 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为． 所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面． 将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的一边为，另一边为． 所以，此时的最短路程为． 比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此． 所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 8．（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【答案】 【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度. 【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，，其中， 则，，，则， 可得， 则， 故答案为：. 9．如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【分析】通过展开图，计算弧长和圆心角，蚂蚁所爬的最短路径为展开图中直线的距离，通过余弦定理直接计算边长. 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 10．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），四边形是轴截面，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为__________． 【答案】 【分析】把圆柱的侧面展开，再利用对称性及两点之间线段最短求解蚂蚁需经过的最短路程 【详解】该几何体为圆柱，侧面展开图为矩形，其中，，将问题转化为在上找一点，使最短． 作关于的对称点，连接， 令与交于点，则得的最小值就是，其中， 所以． 题型02 截面的形状问题 【技巧通法·提分快招】 1、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 1．（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可. 【详解】 在正方体中，平面，平面，所以， 又在正方形中，，，所以平面， 平面，所以， 由于分别为的中点，所以， 故，同理，，所以平面， 且平面过正方体的中心， 故选：D 2．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得和，进而得到答案. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可. 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 4．（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】延长BC，与两条棱相交，再连接交点和点A即可得到结果. 【详解】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面.    故选：C 5．圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可. 【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示， 则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图， 故选：D. 6．（多选题）（2025·海南儋州·模拟预测）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【分析】画出正方体的相关截面判断A、B、C，结合平面的基本性质判断D. 【详解】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 故选：ABC 7．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABD 【分析】根据正方体截面与球截面的相对位置，结合截面是否过体对角线，与正方体表面平行或与正方体表面垂直可判断正误. 【详解】当截面过体对角线，且不与任意正方体表面平行或垂直，则能得图形①； 当截面过体对角线，且与正方体上下表面垂直时，则能得图形②； 当截面与任意正方体表面平行时，可得到图形④； 对于③，不妨考虑此截面为经过正方体的四个顶点或的截面， 但四边形和四边形不是正方形，其他情况也可同理得到，故截面不可能是③. 故选：ABD 题型03 截面的周长、面积问题 1．已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 2．一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】分别在，，上取点D，E，F，可得四边形即为所求截面，求出周长可得答案． 【详解】如图所示， 分别在，，上取点D，E，F，且满足， 易得，， 所以四边形为平行四边形， 可得，， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以四边形即为截面， 故截面图形的周长为8． 故选：B. 3．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长. 【详解】延长，与直线相交于， 连接与分别交于点，连接， 则五边形即为截面， 正方体的棱长为2，点分别是的中点， 所以， 由得， ，， 所以分别为靠近的三等分点，故， 所以由勾股定理得， ， 所以的周长为. 故选：D. 4．如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知， 所以， 而， 所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 5．在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可. 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，该四棱台的高，. 在上下底面由勾股定理可知，. 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，. 取的中点，连接、，显然有，平面， 平面，所以平面，因此平面就是截面. 显然， 在直角梯形 中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设， 则， ， 所以梯形的面积为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：根据基本不等式求出体积最大值，结合线面平行判定定理判断截面的形状是解题的关键. 6．如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为______. 【答案】 【分析】利用正方体的结构特征，判断平面​所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体中，平面与直线，，所成的角是相等的， 所以平面与平面平行， 由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边长为， 所以其面积为. 故答案为：. 8．（24-25高三下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为_______． 【答案】 【分析】先作出截面图形，然后根据相似和勾股定理求出各边，即可求得结果. 【详解】取正方体轴线与交点为， 连接并延长，交延长线与， 连接，交于， 连接， 作出图形如图， 由图可知，过点，，的平面截该正方体所得截面为五边形， 则，所以，同理，， 正方体的棱长为，， ， ， 四边形的周长为. 故答案为： 题型04 截面切割几何体体积问题 1．如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 【答案】C 【分析】根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果. 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为，体积为， 则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，则， 可得， 所以右半部分的体积. 2．（2026·广东·一模）如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（   ） A．16 B．18 C． D．24 【答案】D 【分析】取的中点，连接过点作直线，分别交于点，先证明，推得平面即过点的截面，所求即为多面体的体积，利用棱柱的体积公式计算即得. 【详解】 如图，取的中点，连接过点作直线，分别交于点，连接， 因为正方形的中心，则，因，则易得. 又因为棱的中点，则易得，即四边形为平行四边形， 则得，故，于是，平面即过点的截面， 显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体，记其体积为， 则. 3．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，过的平面分别交，于，.若平面将三棱锥分成体积相等的两部分，则（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行判定定理及性质定理推出，设，连接，则，分别求出体积，根据题意列方程即可求出答案. 【详解】因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 设，则，， 连接，则， 不妨设 因为平面，平面，所以，， 又因为，，所以平面， 则点到平面的距离， ，， ， 所以， ， 点到平面的距离， 所以， 所以， ，， 由题意知， 即，解得或（舍去）， 即，又，所以.    4．在正四面体中，分别为的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 【答案】 【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解. 【详解】取, 由可得,故， 故得截面为四边形， ， , , 故， 故体积较大部分与体积较小部分的体积之比， 故答案为： 5．如图，在长方体中，分别过和的两个平行平面将长方体分成体积相等的三个部分，则______． 【答案】2 【分析】由已知中长方体中，分别过和的两个平行平面如果将长方体分成体积相等的三个部分，由于所分的三部分为等高的棱柱，故三个柱体的底面面积相等；进而根据三角形与四边形是等高的图形，得到其底边之比. 【详解】两个平行平面将长方体分成三个等高的棱柱，从而，故． 6．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是_______．    【答案】256 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又由已知可得正方体的棱长为8， 故.    故答案为：256. 7．已知正三棱柱有内切球O（球O与各个面有且仅有一个公共点），过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，截面将该三棱柱分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为__________. 【答案】 【分析】先作出截面，利用棱柱和棱台的体积公式求体积，进而可得两部分的体积之比. 【详解】如图： 不妨设正三棱柱的高为4. 设正三棱柱中，下底面的中心为，上底面的中心为，直线交于，直线交于，则分别为的中点. 因为正三棱柱有内切球，且内切球半径. 所以，所以，所以. 延长交于点，则为中点，过作，分别交，于点，. 则等腰梯形即为截面. 所以平面截三棱柱成两部分，棱台与几何体. 设面积为，因为，则. 所以， . 所以. 所以较小部分与较大部分的体积之比为. 题型05 动点保持平行、垂直求轨迹 【技巧通法·提分快招】 ①平行有关的轨迹问题的解题策略 1、线面平行转化为面面平行得轨迹; 2、平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. ②垂直有关的轨迹问题的解题策略 1、可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹; 2、利用空间坐标运算求轨迹; 3、利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 1．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（    ） A．三角形边界的一部分 B．一个点 C．线段的一部分 D．圆的一部分 【答案】C 【分析】过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论． 【详解】如图，过作交于，连接， ，平面，平面，所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面）， 故选：C． 2．如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用过点作平面的平行平面，从而可得点的轨迹为线段，即可计算长度，得出结果. 【详解】    在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，，则四边形是平行四边形， 所以， 又，，则四边形是平行四边形， 于是， 取中点E，在上取点F，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，E为中点，得， 而平面，平面，则平面， 又，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹就是线段， 而， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    4．为单位正方体的中心，为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______． 【答案】/ 【分析】建系利用坐标法求动点的轨迹进而可得. 【详解】如图，设单位正方体顶点坐标A为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，因为，所以， 所以，即. 面可表示为，所以，无解   面可表示为，所以，无解; 面可表示为，所以，点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为，所以，点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面，可表示为，所以，点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 面，可表示为，所以，轨迹为以为端点的线段，长度为； 所以点的轨迹总长度： 故答案为： 5．已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为______. 【答案】 【分析】先证明平面平面，根据平面，得出平面，进而确定P的轨迹为正六边形，求解即可. 【详解】如图，分别取，，，，的中点E，F，G，H， 连接，，，，，，， 则，又平面，平面， 所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面， 在正方体中，易知平面， 所以平面， 又点P在正方体表面上运动， 故P点的轨迹为正六边形， 因为正方体的棱长为2，即， 所以，， 故正六边形的面积为. 故答案为：. 6．在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 【答案】线段 【分析】取的中点M，连接并延长交的延长线于N，可证平面，进而可得平面平面，再确定点的轨迹即可． 【详解】取的中点M，连接并延长交的延长线于N， 由，可得，所以，所以A为的中点． 连接，由正方体可得， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面， 所以，即点Q的轨迹是线段. 题型06 动点保持距离不变等求轨迹 【技巧通法·提分快招】 ①距离有关的轨迹问题的解题策略 1、距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹； 2、利用空间坐标计算求轨迹. ②角度有关的轨迹问题的解题策略 1、直线与面成定角，可能是圆锥侧面; 2、直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面; 3、利用空间坐标系计算求轨迹. ③翻折有关的轨迹问题的解题策略 1、翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2、翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3、可以利用空间坐标运算求轨迹 1．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与所成角为，得直线与直线所成角为，动点所围成的图形是圆锥侧面的四分之一，根据圆锥的表面积公式求出即可. 【详解】解：如图，在正方体中，，直线与所成角为， 即直线与直线所成角为，故动点所围成的图形是：高为，底面半径为1， 母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点所围成的图形的面积为， 故选：B．      2．（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    3．如图已知动点在正方体的表面上，且，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．一条线段 【答案】C 【分析】由题可知点在以为轴，然后根据圆锥曲线及正方体的性质即得. 【详解】因为，所以点在以为轴，为母线的圆锥面上， 由正方体的性质可知，， 平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面，又动点在正方体的表面上， 根据圆锥曲线的性质可知动点的轨迹为抛物线的一部分. 故选：C 4．三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度. 【详解】    如图所示， 由，， 可知三棱锥为正三棱锥， 设中点为， 则，，， 设点在底面上的射影为， 则平面，， 又为内部及边界上的动点，， 所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示，   ， ， 即，， 所以点的轨迹长度为， 故选：B. 5．（2025高三·天津·专题练习）已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得平面，进而可得，在平面中建立平面直角坐标系，设，根据条件及几何关系得，即可求解. 【详解】如图1所示，设为的交点，所以．又平面平面， 所以．又，平面，所以平面． 因为点平面，故平面，所以，则． 因为正方体的棱长为，所以，即， 在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示，则． 设，则，， 所以． 又，故，即， 整理得，即， 故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为． 故选：C． 6．如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，中点，连接，，由题证明平面，建立空间直角坐标系，取，求出相关点的坐标，设，利用长度相等推得动点的轨迹方程即可逐一判断． 【详解】 如图，取中点，中点，连接，， 因平面平面，由可得， 因平面平面， 平面，故平面，易得， 故可以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨取，则，则，． 由点在平面内，可设，因为， 所以，化简得：， 故点的轨迹是一条直线，排除C，D．又点不在直线上，故排除B，而点在直线上，故A正确． 故选：A. 7．（2026·江苏·模拟预测）已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】B 【分析】通过平面，得到，确定点的运动轨迹为两个球的交线，即可求解. 【详解】 因为点在平面上的投影为， 所以平面， 又平面，所以， 则在以为直径的球上运动，且在以为直径的球上运动， 故在球球的圆弧上运动， 即点的轨迹为圆弧. 8．已知立方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在平面内，且，如图，则点的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】由正方体的性质可知平面，结合条件可得，可得点的轨迹是以为圆心的圆进而即得. 【详解】如图，正方体中平面，平面， 故，平面， 所以平面，平面， 故，同理可得，又平面， 所以平面，又为的三等分点， 所以平面，， 又，，， 所以，故点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又为边长为的等边三角形， 所以点的轨迹长度为． 故答案为：. 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】根据正四棱柱的性质及棱柱的体积求出侧棱长，结合勾股定理求出，得到点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，求出圆心角，代入弧长公式求解即可. 【详解】设正四棱柱的高为， 则，解得，即侧棱. 易知为直角三角形，所以， 所以点在底面上的轨迹是以为圆心、半径的圆的一部分. 底面是边长为2的正方形，因为， 所以点的轨迹圆与底面的交点在，上，设为，， 则. 在中，，则， 同理可得， 所以点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，圆心角为， 所以弧长为. 故点P的轨迹长度为. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，（），由得到P的轨迹方程，从而得到P的轨迹为线段求解. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：    则，设，（）， 则， 因为，则， 所以，即， 化简得，则动点P的轨迹为线段CE， 其中，则， 所以， 故选：A 2．如图所示，圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面为，过O作于点C，线段绕旋转一周所得的曲面将圆锥分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据侧面展开图为半圆得出轴截面为等边三角形，再结合计算边长，进而应用圆锥体积计算两部分的体积求解. 【详解】因为圆锥SO的侧面展开图为半圆，所以其轴截面为等边三角形， 设其边长为.过C作与点D，则曲面是以CD为底面半径，OC为母线的圆锥的侧面. 在中，； 在中，. 圆锥SO的体积为， 曲面上方的几何体的体积为，所以两部分的体积比为. 3．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿母线展开，利用弧长公式计算出展开图扇形的圆心角，再在展开图中利用勾股定理求得灯光带的最小长度. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为. 由题意可知，，即，. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得， 即，解得. 将圆锥侧面沿母线展开，得到如图所示的扇形， 其中与重合于圆锥的母线，点与点在圆锥上重合. 因为是母线的一个三等分点（靠近点）， 所以. 从点到点绕屋顶侧面一周的最短路径，即为展开图中线段的长度. 在中，，，， 由勾股定理得. 故灯光带的最小长度为. 4．（2026·广东江门·一模）已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求长度，再求轨迹长度. 【详解】连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以. 由，，可得. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的部分. 因为，所以点的轨迹长为. 5．如图，正方体中，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成两部分，则较小的部分与较大的部分体积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面的性质作出截面图形，再由台体及正方体的体积公式计算即可. 【详解】如图，共线，过点作直线交于中点，连接， 则平面即为过点的截面， 所切出来的多面体为三棱台，记其体积为，设正方体棱长为， 则，    则另一部分体积为，， 所以体积之比为. 6．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个过球心的平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 7．用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及正方体截面的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，连接， 此时截面为等边三角形，所以A不符合题意； 对于B中，取的中点分别为，连接， 可得，且，所以， 所以截面为等腰梯形，所以B不符合题意； 对于D中，在正方体中，截面为矩形，所以D不符合题意； 对于C中，在分别取点，设， 可得， 则， 同理可得：，所以均为锐角， 所以截面为锐角三角形，所以C符合题意. 故选：C. 8．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】设正三棱锥，由确定的平面得到截面，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解. 【详解】如图所示，正三棱锥，球是它的内切球， 设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上， 由确定的平面交于，连接、，得到截面， 截面就是经过侧棱与中点的截面， 平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示，    因为中，圆分别与、相切于点、，且， 圆与相离， 所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意； 故选：B. 9．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 10．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 11．（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．是平行四边形，且周长为 B．是平行四边形，且周长为 C．是等腰梯形，且周长为 D．是等腰梯形，且周长为 【答案】D 【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长. 【详解】分别取的中点，连接， 则∥∥，∴四点共面 若为面上的动点， 由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段； 若为面上的动点， 由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段； 所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形. 因为正方体的棱长为2，所以. 所以曲线为等腰梯形，且周长为. 故选：D. 12．如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得平面，过点作平面，使平面平面，即可知点的轨迹为平面与平面的交线，即为. 【详解】 如图所示，取中点，连接，，， 点，分别为，中点， ， 又几何体为正方体， 则，， 四边形为平行四边形， ， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又直线与平面无公共点， 平面， 点平面， 点平面， 又点平面，且平面平面， 点， 即动点的轨迹为线段， 且， 故选：B. 13．如图，正方体的棱长为为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点的平面截正方体所得的截面为五边形，求得，再结合等腰三角形的面积，结合相似即可求得截面的面积. 【详解】 如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接. 则过点的平面截正方体所得的截面为五边形. 因为为的中点，为的中点， 所以， 所以， 在中，， 在中，， 同理可得. 令上的高为， 所以， 所以. 因为，所以， 所以， 同理可得， 故截面的面积. 故选：B 【点睛】方法点睛：作截面的三种方法: ①直接法:截面的定点在几何体的棱上； ②平行线法:截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行； ③延长交线得交点:截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 14．（多选题）已知正方体的棱长为2，若平面，则下列关于平面截此正方体所得截面的判断中正确的是（    ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正五边形 D．截面面积最大值为 【答案】AD 【分析】借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断． 【详解】如图,在正方体中，连接，    因为平面，平面，则， 又四边形为正方形，则， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，平面，所以平面， 所以平面与平面平行或重合， 所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形，故A正确； 当分别为对应棱的中点时，截面为正六边形， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为平面，所以平面平面， 所以平面，所以截面为正六边形， 将平面平移，可知截面不可能为正方形和正五边形，故BC错误； 如图设截面为多边形，    设，则， 则， 所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积之和， 所以， 因为，， 所以， 当时，，故D成立. 故选：AD. 15．（多选题）如图，在棱长为3的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（   ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．若平面，则点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥的体积为定值 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，用平面的法向量把直线与平面平行的问题转化为向量数量积为0的问题；再把点限制在正方形内，得到点的轨迹线段或圆弧. 利用点到平面的距离是否为定值判断三棱锥体积是否为定值. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 因为分别是的中点，所以，. 设，其中，. 对平面，有，. 设平面的法向量为，则，，即，，所以可取. 对于A项，. 若平面，则，即，整理得. 在正方形内，该轨迹是从到的一条线段，长度为，故A正确. 对于B项，. 若平面，则，即，整理得. 在正方形内，该轨迹是端点为和的线段，长度为，故B正确. 对于C项，由上面B项可知平面时，点满足. 又确定，所以三棱锥的底面面积为定值. 下面只需看点到平面的距离是否为定值. 由，，可得平面的一个法向量为，所以平面的方程可写为. 对，其到平面的距离为. 当时，该距离等于2，为定值，因此三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D项，由得，即. 点在正方形内运动，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆在该正方形内的一段四分之一圆弧，弧长为，不是，故D错误. 故选ABC. 16．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为_____.    【答案】5 【分析】将平面绕旋转至处，如图所示，分析可得当共线时，有最小值，代入计算，即可得答案. 【详解】将平面绕旋转至处，使平面与平面共面，如图所示，    则， 因为M为上的一个动点， 所以， 当共线时取等号，即的最小值为5. 故答案为：5 17．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知正四棱锥，点为侧棱PA的中点.则在此棱锥侧面上，从点出发绕其一圈到点的路径中，最短路径的长度为______. 【答案】 【分析】棱锥的侧面展开到一个平面内，利用勾股定理求解即可. 【详解】如图，将棱锥的侧面展开到一个平面内． 由题意可知，，， 故最短路径为， 即所求最短路径的长度为． 故答案为： 18．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为_________. 【答案】24 【分析】首先利用向量的运算求出点的轨迹，进一步求出梯形的面积． 【详解】由于动点满足，故点的轨迹是平面与长方体表面相交线围成的图形，取的中点， 如图所示： 连接，则， 又，所以四边形为等腰梯形，， 由此可得该梯形的高为， 所以． 故答案为：． 19．（2026·山东日照·三模）在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 【答案】 【分析】由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的. 【详解】因为，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 又因为母线 则点M的轨迹所形成图形的面积为：， 20．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【分析】将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可.. 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 21．（26-27高三上·四川成都·开学考试）在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 【答案】1 【详解】如图所示，取的中点，取的中点，连接，，， 点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 同理点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面平面， 又点是侧面上的一个动点， 且平面，平面平面， 点在平面上的轨迹为线段， 又点，点分别为，的中点，， 所以动点的轨迹的长度为1. 22．点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹即可求轨迹长度. 【详解】 因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 因为，故点不能在平面和平面内； 若点在平面内，则点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，作平面于点，如图所示， 因为，所以，又因为，则，故， 所以点的轨迹是以点为圆心，以3为半径的四分之一圆， 此时点的轨迹长度为， 综上，点的轨迹的总长度为. 创新能力提升 1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． 2．（25-26高三上·江西抚州·期末）在正方体中，为正方形的中心，为的中点，过点、、的平面将正方体分成上、下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由面面平行的性质定理作出截面，过点F作平面FGHI∥平面ABCD，则截面平分长方体，由求解. 【详解】由面面平行的性质定理，过、、的截面与平面和平面的交线互相平行， 如图，过点作分别交于，则． 再过点作平面平面分别与棱交于G，H，I， 则， 所以， 故选：D.    3．如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】    当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 4．（2026·陕西安康·三模）在长方体中，为长方体表面上一动点，且，则点的轨迹的总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过讨论点所在位置确定轨迹长度进而求解. 【详解】若点在平面内，则，如图，点的轨迹为，其长度为 若点在平面内，则，如图，点的轨迹为，其长度为，由对称性可知，点在平面内的轨迹长度也为； 点不可能在平面内，在平面，内时分别位于点处，所以点的轨迹的总长度为． 5．已知正方体的棱长为，分别为的中点，是线段上的动点，则与平面的交点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定轨迹端点，当与重合时,交点为(中点)；当与重合时,交点为(上分点）。通过几何关系计算,，利用余弦定理得. 【详解】如图所示，连接,，连接, 交于点,连接，交于点， 由,即共面， 由是线段上的动点，得形成平面， 当重合于或时, ,与平面的交点分别为，， 因此的轨迹为线段， 由棱长为，得,则, 又因为，所以， 由,得， 则 . 6．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，点 M 为上的动点，O为正方体内一点，则以下命题错误的是（    ） A．取得最小值 B．当M为中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体的外接球的表面积为时， D．若，则点O的轨迹长为 【答案】C 【分析】对于A，将平面沿翻折到与平面为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B，设是的中点，得出四边形是菱形即可判断；对于C，当时，验算四面体的外接球的表面积即可判断；对于D，找出点的轨迹即可验算求解. 【详解】对于A，如图，将平面沿翻折到与平面为同一平面， 则，当三点共线时，等号成立，故A正确； 对于B，如图，设是的中点，连接， 因为正方体的棱长为2，且分别为的中点， 所以，且，， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确； 对于C，由题意得，则， 因为两两垂直， 所以四面体的外接球的直径， 所以，解得，故C错误； 对于D，如图，由，所以点在的中垂面上，设的中点为，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 则， 所以点在以为圆心，半径为的半圆上运动，点的轨迹长为，故D正确. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键的得出点首先在面上，进一步得出可确定的轨迹，由此即可顺利得解. 7．在棱长为的正方体，且为底面内一动点，且，则线段的长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积可得的轨迹圆，从而可求线段PB的长度的最大值. 【详解】取的中点为，的中点为，连接， 则平面，而平面，故. 而， 而，故， 而，故， 由正方体的性质可得，故， 故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而， 故线段的长度的最大值为， 当且仅当三点共线且在之间时的长度取最大值， 故选：D. 8．如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面截正方体所得的截线，再过点作平面平行于平面，找到点的运动轨迹，再计算出的最小值. 【详解】连接,则,所以平面截正方体所得的截线为梯形,分别取中点，连接，那么 所以，,平面, 由于四边形为平行四边形，故,平面, 又平面, 所以，平面平面, 因为平面AEF，点P在正方形内 所以，点的运动轨迹为除了点， ，由于边最长，且, 故为锐角三角形，则的最小值是边上的高，设为，那么 ,故为锐角， ， ，. 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）在正四棱柱中，，P是线段上靠近C的三等分点，过点C与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】分别取，，的对应三等分点，，，利用空间向量证明共面，再通过向量数量积证明平面，最后采用割补法求解出较小部分的体积，从而体积比可求. 【详解】分别取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，取靠近的三等分点， 连接，建立如下图所示空间直角坐标系， 不妨设， 所以， 所以，所以，且不共线，所以共面， 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，且， 所以平面， 较小部分的几何体如下图所示， 其体积为， 由正四棱柱结构特点易知平面，平面， 所以， 所以较大部分体积， 所以较大部分与较小部分的体积比为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键一方面是确定平面与正四棱柱各条棱的交点，根据交点坐标和空间向量运算能更高效说明线面垂直，另一方面是采用割补法求解几何体的体积，将复杂几何体转化为简单几何体再去计算. 10．（多选题）（2026·宁夏银川·三模）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ，，故， 又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 11．（多选题）图中的几何图形恰似一件平铺的裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则（   ） A．几何体是四棱台 B．几何体的体积为 C．几何体的外接球的表面积为 D．在几何体中，棱的中点分别为E，F，点满足，则过E，F，G三点的平面截所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】根据棱台的定义，判断出几何体是正四棱台，即可判断A；求出正四棱台的高进而求出其体积，即可判断B；设外接球的半径为，根据球的截面的性质列出方程组求出，进而求出球的表面积，即可判断C；设过E，F，G三点的平面与交于点，先判断出四边形是等腰梯形，再利用性质分别求出及梯形的高的值，进而求出其面积，即可判断D. 【详解】对于A，根据棱台的定义，由题意可知几何体是正四棱台，故A正确； 对于B，如图所示， 可知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2， 正四棱台的高为， 所以几何体的体积， 故B错误； 对于C，如图所示， 设正四棱台的上、下底面中心分别为，外接球的球心为， 易知. 设，外接球的半径为， 则，即，解得. 所以，故C正确； 对于D，如图所示， 设过E，F，G三点的平面与交于点. 易知，四边形是等腰梯形，. 延长相交于点，则. 因为，所以， 由，得，解得. 延长与相交于点，易知是边长为2的等边三角形， 在中，， 所以. 作，垂足为，所以， 所以四边形EFGH的面积，故D正确. 故选：ACD 12．（多选题）（2026·山西·模拟预测）已知正四面体的棱，的中点分别为，．空间中的动点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹上满足的点有无数个 B．轨迹上满足的点有无数个 C．轨迹上满足的点有无数个 D．轨迹上满足的点仅有两个 【答案】ACD 【分析】由题意可得，点位于以，为直径的球面上，建立空间直角坐标系，设，列出与，的式子即可求解. 【详解】设正四面体棱长为，中点，分别为，中点，动点满足， 则点位于以，为直径的球面上，两球交线为圆（位于中垂面）， 如图，连接，，， 由正四面体的性质可得，，，， 又因为，平面，平面， 且平面，所以平面，因为平面，平面， 所以，，因为为中点，所以， 因为，所以， 以为原点建立空间直角坐标系，为轴，过点作轴平行于，为轴， 建立空间直角坐标系 ，如图所示， 则，，，，， 设，所以轨迹的方程为，且， 对于A选项，，，， 化简得到，与轨迹的方程为一致，故轨迹上的所有点满足，有无数个，故A正确； 对于B选项，因为，，， 所以 化简可得，与轨迹联立可得， 解得，仅有2个解，非无数个，故B错误； 对于C选项，因为，则，， 所以恒成立， 故轨迹上的所有点满足，有无数个，故C正确； 对于D选项，因为，所以，， 所以 ， 与轨迹联立可得，解得，仅两个解，故D正确. 13．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计） 【答案】 【分析】将四棱台侧面展开（如图），问题转化为求线段的长度，此时最短，根据余弦定理求解. 【详解】依题意可得正四棱台侧面等腰梯形的内角， 将正四棱台内侧面展开到梯形的上方，其中，， B，，正好在同一直线上，问题转化为求线段的长度，此时最短， 设棱的中点为Q，由于与平行，则在中，，， ， 则得. 又， 所以蚂蚁在正四棱台内壁爬行路程为. 故答案为：. 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____． 【答案】 【分析】利用几何体的特征可知，利用割补法求出即可得答案. 【详解】由题意可知，, 设正四面体的棱长为6，则下部分可以看作一个直棱柱两端截去两个体积相同的四棱锥和，如图， 由题可知，,,; 由直棱柱的性质可知,所以的高为，且为四棱锥的高； , 棱长为6的正四面体高为，其体积为. 所以，所以. 故答案为： 15．在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________． 【答案】 【分析】根据线面角定义，确定点的运动轨迹，通过弧长计算公式即可计算得到轨迹长度. 【详解】过点作底面的垂线，垂足为，则是在底面的 投影，且， 直线与底面所成角为，根据线面角定义，可得， 在直角三角形中，，代入，得，， 因此动点的轨迹是以为圆心，半径的圆在正方形内的部分，    因此，故设点的轨迹与的交点，与的交点，轨迹如图所示，    因为，，所以，，因此, 故点的轨迹长为. 16．在棱长为的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为______． 【答案】/ 【分析】由，有点轨迹是垂直平分面与正方体表面相交所得，是一个多边形．建立空间直角坐标系，设多边形顶点，根据求出顶点坐标，可求得轨迹长． 【详解】 如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． 满足条件的轨迹是的垂直平分面截正方体表面所得，是一个多边形． 假设交点在棱，，，上，根据所求结果再调整假设． 已知，． 设上交点，由有 ，解得，即． 设上交点，由有 ，解得，即． 由对称性可得，故上交点． 设上交点为，由有 ，解得，即， 不在棱上，故交点在，上． 设上交点，由有 ，解得，即． 由对称性可得，故上交点． ，由对称性． ，由对称性． ． 故轨迹长为． 17．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】设，，将用，表示，再利用空间向量四点共面的结论可得到，则可转化为一个关于的函数，即可求解. 【详解】设，，，则，， 因为点为侧棱中点，所以，同理. 故； 又因为，所以， 由于，，，四点共面，所以， 则 所以， 而， 令，令， 则，由对勾函数单调性易得 从而 【点睛】本题难度较大，核心在于设，，利用等体积与四点共面等结论将所求量转化为一个关于或的函数表达式，体现了数学抽象与逻辑推理的核心素养. 18．（24-25高三上·江西宜春·阶段检测）在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，______． 【答案】 【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案. 【详解】根据题意，在平面内，过点作，交于点； 在平面内，过点作，交于点； 在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示， 因为，则，设其相似比为，即， 则； 又因为，，， 由余弦定理得，，则， 即. 又平面，，平面，所以，. 又，则，. 因为，则，则， 因为，所以，即， 同理可得，即， 因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面， 即四边形为截面图形； 又平面，平面，则， 又，所以. 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：先作平行线作出题中的截面，再证明四边形为符合题意的截面图形，结合线面平行以及线面垂直说明四边形为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，利用二次函数求出最值得解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 空间几何体的展开图及最短路径问题（★★★★） 5 题型02 截面的形状问题（★★★★） 7 题型03 截面的周长、面积问题（★★★★） 9 题型04 截面切割几何体体积问题（★★★★） 11 题型05 动点保持平行、垂直求轨迹（★★★★★） 12 题型06 动点保持距离不变等求轨迹（★★★★） 14 03 实战检测·分层突破验成效 16 重难知识巩固 16 创新能力提升 21 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 知识点02 截面问题 1、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 5、正方体中的基本截面类型 知识点03 轨迹问题 1、立体几何中的轨迹问题 立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握. 2、常用的解决策略 （1）定义法:借助圆雉曲线的定义判断. （2）坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状. （3）交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等. （4）平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 3、轨迹是圆锥曲线的原理剖析 令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②. (1)当时,截口曲线为椭圆; (2)当时,截口曲线为抛物线; (3)当时,截口曲线为双曲线. 图②我们再从几何角度来证明. (1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆. (2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线. (3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 空间几何体的展开图及最短路径问题 1．如图，由平面图形围成的长方体是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 3．为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 4．已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 5．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 8．（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 9．如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 10．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），四边形是轴截面，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为__________． 题型02 截面的形状问题 【技巧通法·提分快招】 1、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 3、交线问题 （1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就是交线. （2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线. （3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可. 1．（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 4．（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 5．圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·海南儋州·模拟预测）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 7．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型03 截面的周长、面积问题 1．已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 2．一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 3．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为______. 8．（24-25高三下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为_______． 题型04 截面切割几何体体积问题 1．如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 2．（2026·广东·一模）如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（   ） A．16 B．18 C． D．24 3．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，过的平面分别交，于，.若平面将三棱锥分成体积相等的两部分，则（   ）    A．1 B．2 C． D． 4．在正四面体中，分别为的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 5．如图，在长方体中，分别过和的两个平行平面将长方体分成体积相等的三个部分，则______． 6．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是_______．    7．已知正三棱柱有内切球O（球O与各个面有且仅有一个公共点），过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，截面将该三棱柱分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为__________. 题型05 动点保持平行、垂直求轨迹 【技巧通法·提分快招】 ①平行有关的轨迹问题的解题策略 1、线面平行转化为面面平行得轨迹; 2、平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. ②垂直有关的轨迹问题的解题策略 1、可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹; 2、利用空间坐标运算求轨迹; 3、利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 1．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（    ） A．三角形边界的一部分 B．一个点 C．线段的一部分 D．圆的一部分 2．如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 4．为单位正方体的中心，为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______． 5．已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为______. 6．在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 题型06 动点保持距离不变等求轨迹 【技巧通法·提分快招】 ①距离有关的轨迹问题的解题策略 1、距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹； 2、利用空间坐标计算求轨迹. ②角度有关的轨迹问题的解题策略 1、直线与面成定角，可能是圆锥侧面; 2、直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面; 3、利用空间坐标系计算求轨迹. ③翻折有关的轨迹问题的解题策略 1、翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2、翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3、可以利用空间坐标运算求轨迹 1．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图已知动点在正方体的表面上，且，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．一条线段 4．三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·天津·专题练习）已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏·模拟预测）已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 8．已知立方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在平面内，且，如图，则点的轨迹长度为______． 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D．1 2．如图所示，圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面为，过O作于点C，线段绕旋转一周所得的曲面将圆锥分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东江门·一模）已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方体中，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成两部分，则较小的部分与较大的部分体积之比为（    ）    A． B． C． D． 6．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个过球心的平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 7．用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 8．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（    ） A．   B．   C．   D．   9．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 10．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 11．（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．是平行四边形，且周长为 B．是平行四边形，且周长为 C．是等腰梯形，且周长为 D．是等腰梯形，且周长为 12．如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 13．如图，正方体的棱长为为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面的面积（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）已知正方体的棱长为2，若平面，则下列关于平面截此正方体所得截面的判断中正确的是（    ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正五边形 D．截面面积最大值为 15．（多选题）如图，在棱长为3的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（   ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．若平面，则点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥的体积为定值 D．若，则点的轨迹长度为 16．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为_____.    17．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知正四棱锥，点为侧棱PA的中点.则在此棱锥侧面上，从点出发绕其一圈到点的路径中，最短路径的长度为______. 18．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为_________. 19．（2026·山东日照·三模）在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 20．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    21．（26-27高三上·四川成都·开学考试）在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 22．点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 创新能力提升 1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 2．（25-26高三上·江西抚州·期末）在正方体中，为正方形的中心，为的中点，过点、、的平面将正方体分成上、下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（   ）    A． B． C． D． 3．如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 4．（2026·陕西安康·三模）在长方体中，为长方体表面上一动点，且，则点的轨迹的总长度为（   ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为，分别为的中点，是线段上的动点，则与平面的交点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，点 M 为上的动点，O为正方体内一点，则以下命题错误的是（    ） A．取得最小值 B．当M为中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体的外接球的表面积为时， D．若，则点O的轨迹长为 7．在棱长为的正方体，且为底面内一动点，且，则线段的长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）在正四棱柱中，，P是线段上靠近C的三等分点，过点C与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（    ） A． B．2 C． D．3 10．（多选题）（2026·宁夏银川·三模）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 11．（多选题）图中的几何图形恰似一件平铺的裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则（   ） A．几何体是四棱台 B．几何体的体积为 C．几何体的外接球的表面积为 D．在几何体中，棱的中点分别为E，F，点满足，则过E，F，G三点的平面截所得截面的面积为 12．（多选题）（2026·山西·模拟预测）已知正四面体的棱，的中点分别为，．空间中的动点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹上满足的点有无数个 B．轨迹上满足的点有无数个 C．轨迹上满足的点有无数个 D．轨迹上满足的点仅有两个 13．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为______.（容器壁厚度不计） 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____． 15．在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________． 16．在棱长为的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为______． 17．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 18．（24-25高三上·江西宜春·阶段检测）在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $