重难点培优16 导数中的新定义问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中的新定义问题，覆盖曲率、牛顿法、凹凸函数等10类核心题型，按知识重构-题型精研-实战检测的逻辑架构梳理考点，通过新定义解读、通法技巧总结、分层真题训练等环节，帮助学生构建系统解题思路，突破导数应用难点。 讲义以培养数学抽象、逻辑推理素养为核心，创新采用“举例具象理解新定义”“联系旧知转化问题”等策略，如通过具体函数实例解析曲率公式，结合导数几何意义突破牛顿法近似解问题。设置基础巩固与创新提升分层练习，确保高效复习，助力学生提升新定义问题的应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难点培优16导数中的新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 知识重构·重难梳理固根基 1 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01曲率问题 2 题型02牛顿法 8 题型03凹凸函数 14 题型04拐点、不动点、稳定点 19 题型05二元函数 29 题型06切线相关新定义问题 36 题型07其他导数新概念定义 47 题型08其他导数新运算定义 55 题型09其他导数新性质定义 60 题型10充要条件型新定义 66 实战检测·分层突破验成效 70 重难知识巩固 70 创新能力提升 102 知识重构·重难梳理固根基 知识点新定义问题的解题思路 一、新定义问题的解题思路 1、深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。 2、转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。 3、代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。 二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步 1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 三、导数新定义问题的方法和技巧 1、举例具象：面对抽象的全新导数定义，可通过简单特例将抽象的文字、公式定义转化为具体运算场景，快速理解定义内涵与适用形式。 2、转述验证：脱离题目原文，用自己的语言梳理、转述新定义核心内容，能清晰准确复述，说明已吃透概念，可为解题夯实基础。 3、联系旧知：对接课本导数相关概念、公式与规律，挖掘新旧知识的相通点，提炼新定义的核心本质，构建解题思路。 4、辨析差异：多数新定义是课本概念的推广变式，需区分新旧概念的异同，明确常规导数知识的适用场景，规避惯性思维出错。 题型精研·技巧通法提能力 题型01曲率问题 1．（25-26高二下·重庆·模拟预测）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.定义函数的曲率函数，（是的导数，是的导数）． (1)求在处的曲率； (2)证明：图象上任一点曲率恒为常数； (3)若函数在处的曲率相同，证明：. 【答案】(1)在处的曲率为 (2)证明略 (3)证明略 【详解】（1）函数，，， 所以，， 故在处的曲率为； （2），， 则函数的曲率； （3）函数，，， 故， 则， 令得，即， 故当时，单调递增；当时，单调递减； 所以在取得极大值， 因为函数，在处的曲率相同， 不妨设，则，，即， 令，，则， 所以，即， 所以，整理得，， 由得， 所以，即， 令，则，即， 所以，解得，即， 所以，故， 所以函数在处的曲率相同，则． 2．（2026·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， ，故，， 由曲率公式得. （2）因为，所以， ，由曲率公式得， 故， 则， 令，令，函数化为， 令，则，函数化为， 对进行变形，得到， 令，函数化为， 此时，我们研究的范围即可，而， 当时，恒成立，故在上单调递增， 而，， 故，即，故. 3．（2026·高三·江西·阶段检测）在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数.已知曲线. (1)当时，求曲线在点处的曲率； (2)已知曲线在不同的两点处的曲率均为0. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为 （ii）证明略 【详解】（1）. 则. 当时，. 则，所以. （2）（i）依题意即（※）有两个不同的解. 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， .又或时，， 所以时方程（※）有两解.的取值范围为. （ii）由（i）知可设，且， .欲证. 即证， 构造函数. ，在上单调递减，. 即，而， 令. ，通分化简得， 欲证，即证.即证. 令在上单调递减. .即证得在上单调递增，， 对于时，恒成立. 又当时，单调递增，， .即证得. 4．（2025高二下·重庆·期中）在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线，我们定义曲线段的平均曲率为，曲线在点C处的曲率为（若极限存在），其中，分别表示在点C处的一阶、二阶导数值.已知函数. (1)求函数在点处的曲率； (2)求函数的曲率K的最大值； (3)设函数，，若存在使得的曲率为0，求证：. 【答案】(1) (2)函数的曲率K取得最大值2 (3)证明略 【详解】（1）函数，求导得，，则，， 所以函数在点处的曲率. （2）由（1）知，，令，则， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当，即时，函数的曲率K取得最大值2. （3）函数，求导得，， 由曲率为0，得，则，即，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 又当时，恒成立，而，因此有两个解， 当时，，则，设，， 于是，，，则，， 不等式， 令，求导得， 因此函数在上单调递增，，则； 当时，， 不等式， ，同理，函数在上单调递增， 因此，则， 所以. 题型02牛顿法 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， 因为， 所以，两边取对数得：， 令，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，其几何表述为：曲线上两端点，间必存在一点，其切线与割线平行．现已知，． ，． (1)证明：当时，； (2)为得到的近似数值，我们使用牛顿-二分法：在上任取一个，使得，然后在点处作曲线切线，切线横截距为．重复这一过程，得到近似数值数列——“牛顿数列” ． ①当时，证明：． ②由①可证得：“牛顿数列” 为递减数列，且，．在以①的结论及上述推论为前提条件下，证明：． 【答案】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 【详解】(1)由，可知在上单调递增， 可得对任意，都有. 由，得，由拉格朗日中值定理，可知存在，使得 因为，所以，则， 即， 综上所述， (2)①证明： 在点处，曲线的切线方程为． 令，得，即．由于， 在上单调递增，则，而， 则，所以，即, 证明： 由于在上单调递增，只需证． 曲线的切线方程为． 令，得，即， 根据的定义可知， 令，， 则． 于是在上单调递减，而． 因此，又，即 ，所以. 综上所述，． ②由在上单调递增，，可得． 令，则，则当时，, 根据拉格朗日中值定理， ， ．即， 于是当时：，，， 累乘可得，所以， 当时，， 综上所述，． 3．（2026·高三·四川成都·阶段检测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.    (1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值； (2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题： （i）求数列的通项公式，并将的长度用表示； （ii）求证：. 【答案】(1)r的2次近似值为 (2)（i） （ii）证明略 【详解】（1）由得，则，又，得， 故在处的切线的方程为：， 令，得到，所以，得到， 所以，在处的切线的方程为：， 令，得到，故r的2次近似值为； （2）（i）由，得， ，则，，得， 同理：在点处的切线斜率为， ，将代入得， 所以或， 若，则重合，与题设矛盾，故舍去， 故，故数列是首项为，公比为的等比数列， 得到， 由抛物线的定义可得，故； （ii）由题意得， 由（i）知， 得， 结合时，， 可得，故， 所以，将代入， 得 . 4．（2025高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 【答案】(1) (2)①， ②略 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以； （2）①因为， 所以，令， 求导得，所以在上单调递增， 函数单调递增，， 由，得，且，则，， 所以， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值， 即. ②由①知，， 令，求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递增， 而，因此，所以. 题型03凹凸函数 1．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数的凹凸性； (2)在锐角中，求的最小值； (3)若个正数满足，证明:. 【答案】(1)凹函数 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数凹凸性的定义判断的符号即可； （2）应用（1）函数的凹凸性，结合琴生不等式可求得最小值； （3）构造函数，判断函数的凹凸性，再应用琴生不等式即可证得. 【详解】（1） 所以，， 所以函数在上为凹函数. （2）由1）知，函数在上为凹函数， 由琴生不等式得，， 即（当且仅当时等号成立）. 因此在锐角中，的最小值. （3）构造函数， 因为，， 所以函数在上为凹函数. 因为正数满足， 所以 由琴生不等式得， （当且仅当时等号成立）， 所以 所以 所以 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）“凹凸性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. (1)判断是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (2)判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (3)已知锐角满足，求的最大值. 【答案】（1）是下凸函数，证明略 （2）在上是上凸函数，证明略 （3） 【详解】（1）是下凸函数. ， 故，所以函数是下凸函数. （2）在上是上凸函数，证明如下： ， 显然，则 因此， 函数在上是上凸函数. （3）由（2）知，在上是上凸函数， 根据琴生不等式：， 由于锐角，则 ， 当且仅当即时取到最大值. 3．（25-26高一上·山东济南·期中）某同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数．如图1． 定义2．设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的上凸函数．如图2． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，该同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若．求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，且，求的最小值． 【答案】(1)4 (2)略 (3) 【分析】（1）根据下凹函数的概念以及满足的不等式，代入参数，列出不等式，进而根据指数函数的性质，求出参数范围，求出最大值. （2）根据二次函数性质，通过作差法比较与的大小关系，从而证明结果. （3）现根据定义，证明函数为下凹函数，再根据下凹函数满足的不等式性质，列出不等式，从而证明不等式即可. 【详解】（1）由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号，则，即，所以的最大值是4． （2）函数的定义域为， ， ， 当且仅当时取等号，因此恒成立，所以二次函数是上凸函数． （3）令，，设， 则 ， 即， 于是函数，在上为下凸函数， 依题意，， 因为，可得， 则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 题型04拐点、不动点、稳定点 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】因为，所以， 令，则， 令，即，解得， 又， 由题中给出的结论，可知函数的对称中心为， 所以，即， 故所求式子的各项可配对，有，共对， 所求式子的中间项为， 所以. 2．（多选题）（24-25高二下·四川宜宾·阶段检测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则， B．函数既有极大值又有极小值 C．若是的极大值点，则在区间单调递增 D．当时，函数有三个零点时 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，令，得， 所以，解得，故A正确； 对于B，，判别式，由A知，所以， 故，即导函数有两个不同的实根，所以函数既有极大值又有极小值，故B正确； 对于C，，若是的极大值点， 当时，导函数开口向上，左侧导数为正，右侧为负，故在单调递增， 当时，导函数开口向下，左侧导数先负后正，即存在先单调递减的区间，故C错误； 对于D，，令，得或，由A知， 因为，所以极大值为，极小值为， 若函数有三个零点，则极大值，极小值， 由A可知，， 所以，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）对于函数，若存在，使得，则称为的不动点.已知定义在上的函数. (1)讨论的不动点个数； (2)已知当时，不等式恒成立. （ⅰ）证明：为单调递增函数； （ⅱ）若方程有实数解，证明：. 【答案】(1)当时，此时只有一个交点，此时的不动点只有1个， 当时，此时没有交点，此时的不动点个数为0. (2)证明略 【详解】（1）令，即， 当时，， 当时，此时只有一个交点，此时的不动点只有1个， 当时，此时没有交点，此时的不动点个数为0. （2）（ⅰ）任取，不妨设，则， 则 ， 由于，故，，故， 故， 因此，故在上单调递增， 由于，，故为上的奇函数，由于在上单调递增，故在上单调递增，因此在上单调递增，且，故在上单调递增， 故在上单调递增， （ⅱ）由于有实数解，故， 若，不妨设， 由于在上单调递增，故，这与矛盾， 若， 由于在上单调递增，故，这与矛盾， 因此，即，即， 由（1）知，故,则, 则 ， 由于，故，得证. 4．（25-26高一上·湖北武汉·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点. (1)求函数的不动点； (2)若函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围； (3)若函数有两个不相等的不动点、，且，设，判断并证明与的大小关系. 【答案】(1)和 (2) (3)，证明略 【分析】（1）根据所给定义得到方程，解得即可； （2）依题意可得有两个不相等的实数根、，根据求出的范围，再由韦达定理得到，换元，结合二次函数的性质计算可得； （3）依题意有两个不相等的实数根、，列出韦达定理，即可作差得到，即可判断. 【详解】（1）由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和 （2）依题意，有两个不相等的实数根、， 即方程有两个不相等的实数根、， 所以，解得或，且，， 所以， 因为令，则或， 函数，对称轴为， 当时，y随的增大而减小，若，则； 当时，y随的增大而增大，若，则， 故，所以的取值范围为. （3），证明如下： 依题意，有两个不相等的实数根、， 所以，， ， 其中，而， 故，所以当时， 5．（25-26高一上·福建漳州·期中）对于函数，，若存在，使得，则称是函数的不动点． (1)已知在上有且仅有一个不动点，求实数的取值范围； (2)若是增函数，且的定义域包含其值域，证明：“是的不动点”的充要条件是“是的不动点”； (3)求方程的实数解． 【答案】(1) (2)证明略 (3) 【分析】（1）根据所给定义，列出方程，令，利用换元法，可得在上只有一根，所以在上只有一根，根据对勾函数的性质，代入数据，即可得答案. （2）根据所给定义，结合充分、必要条件的定义，分析整理，即可得证. （3）将方程配方可得，令，方程变为，根据（2）结论，变形可得，利用求根公式，即可得答案. 【详解】（1）因为在上有且仅有一个不动点， 所以，在上有且仅有一个根， 令，则， 所以原式等价于，即在上只有一根， 所以在上只有一根， 设，，则， 当且仅当，即时取等号， 根据对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为. （2）充分性：若是的不动点，则， 所以，所以是的不动点，充分性成立； 必要性：若是的不动点，则， 设，则， 因为是增函数，假设，则，即，与假设矛盾， 反之，若，则，即，与假设矛盾， 所以，即，，必要性成立， 综上，“是的不动点”的充要条件是“是的不动点”. （3）方程配方得， 令，方程变为， 当时，显然方程不成立， 当时，单调递增，且值域为，满足定义域包含其值域， 由（2）可得，等价于的解，即， 所以，解得， 所以方程的实数解为. 6．（25-26高二下·重庆·期末）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，． (1)若，证明：集合中有且仅有一个元素； (2)若函数在定义域内单调递增，求证：； (3)若，讨论集合的子集的个数． 【答案】(1)证明略 (2)证明略 (3)当或时，集合的子集有2个， 当时，集合的子集有1个， 当时，集合的子集有4个． 【详解】（1）证明：设，则，求导得， 令，可得，当时，，当时，， 所以，所以有唯一零点， 所以集合中有且仅有一个元素； （2）证明：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，即， 设为函数的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾， 若，则，与矛盾， 故必有，即， 即，故为函数的不动点即，综上，，得证； （3）当时，因为函数，其中， 所以，在上单调递增， 由（2）可知，的稳定点与的不动点等价， 所以考虑的不动点即可， 令，， 令，，所以在上单调递减． ①当时，恒成立，即在上单调递增， 当无限接近于0时，趋向于负无穷大，且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点，所以集合的元素有1个，集合有2个子集； ②当时，即时，， 当趋向正无穷大时，，所以存在唯一， 使得，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 故， 当趋近于0时，趋向于负无穷大，当趋近于正无穷大时，趋向负无穷大， 设，，则在上单调递增， 且，又在时单调递增， 故当时，即，此时， 方程有一个解， 即有唯一不动点，所以集合的元素有1个，有2个子集； 当 即，此时，方程无解， 即无不动点，所以集合为空集，有一个子集； 当 时，即， 此时，方程有两个解， 即有两个不动点，所以集合的元素有2个，有4个子集， 综上所述：当时或时，集合的子集有2个， 当时，集合的子集有1个， 当时，集合的子集有4个． 7．（25-26高一上·江西景德镇·期末）对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点． (1)求函数的稳定点； (2)如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求的取值范围； (3)定义在上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为，若函数在中存在两个不动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义代入解方程即可； （2）先求出不动点，再化简，分类讨论一元二次方程的根； （3）得出的对称性以及单调性即可求出，再令，将问题转化为在有2个实数根，结合一元二次函数可求. 【详解】（1），即， 则，得，得， 故的稳定点为. （2），则为的不动点； 解， 即，即， 因为的“稳定点”恰是它的“不动点”，所以的稳定点只能为或1， 则方程的根只能为或1， ①当时，仅有一个实数解，符合题意． ②当时，要么无实数解，要么只有一个实数解为1或． 则或或， 得或或， 综上，的取值范围为． （3）因为，所以， 设，则，为奇函数， 因为在上单调递减，所以在上单调递减． 因为， 所以可化为， 则，则，得，即， 令，即， ， 令，则， 因为在递增，所以． 因为函数在中存在两个不动点， 则在有2个实数根， 则的函数图象在上有个交点， 当时，；当时，； 结合一元二次函数得， 故的取值范围为. 题型05二元函数 1．（24-25高二下·广东云浮·期末）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数． (1)若恒成立，求a的取值范围． (2)已知正数m，满足． （ⅰ）证明：． （ⅱ）证明：具有性质T． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明略 （ⅱ）证明略 【详解】（1）， 令，则． 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即a的取值范围为． （2）（ⅰ）（ⅰ）证明：正数m，n满足， 则，故，． 不妨设，则由（1）知，． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递增，所以，即． （ⅱ）证明：正数m，n满足，则， 要证，只需证， 即证． 不妨设，则， 两边取指数得，化简得，设，则． 而，当时，， 当时，， 得在，上单调递减，在上单调递增（如图所示）， 要使且，则，， 即，从而，． 要证，只需证． 由于在上单调递增，因此只需证， 又，所以只需证， 所以，则． 设，则． 设，则，在上单调递增， 所以，从而， 所以在上单调递减，从而， 则，所以， 故具有性质T． 2．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. (1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. (2)求值：对的偏导数. (3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 【答案】(1)，说明见解析 (2) (3)（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）； ，； ，. ，为常数. （2）， 故：. （3）（ⅰ）令，则：. 由于在上，故：，① 由于取极值，故：，即：，② 由①②消去得：. 下试证：， 即证：. ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，，故：. （ⅱ），令： ，令：， ，令： 当时，单调递增， 当时，单调递减，且的最大值与的最大值等价. ，当且仅当时，. 又，，令：或. 当时，单调递减， 当时，单调递增. . 当且仅当时等号成立. 与有唯一公共点. 【点睛】关键点点睛：1.理解偏导数的概念； 2.用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导. 3．（2025·四川·三模）定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． (1)求的值； (2)当时，比较和0的大小； (3)若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式：           【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据函数新定义结合特殊角三角函数值计算求解； （2）应用定义解裂项相消及不等式的性质证明； （3）先求出导函数，根据导函数得出函数单调性及极值点计算求参. 【详解】（1）由题意知，， ； （2）由已知， 当时，， ， 所以 ， 当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立， 当时，，不等式也成立， 所以当时，； （3）因为， 所以，注意到， ，注意到， 令， 则，注意到， 令， 则， 可知当时，， 则当时，为增函数，即为增函数， 若，即当时， 存在，使得当时，为增函数，即为增函数， 所以在区间上为增函数， 所以不是的极大值点，不符合题意，舍去， 若，即当时， 存在，使得当时，为减函数，即为减函数， 所以，在区间上，，函数单调递减， 在区间上，，函数单调递增， 所以，是的极大值点，符合题意， 综上所述，的取值范围为． 题型06切线相关新定义问题 1．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域是，，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)若实数a满足当时，总有成立，则称a为函数的一个“T点”，求的所有T点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）对求导，由导数判断的单调性，进而求解极值点，进而得到最大值； （2）写出切线的表达式，构造函数，结合的导数分析其单调性，结合的条件判断函数在定义域内的正负； （3）将给定不等式转化为与的大小关系，结合的范围对分类类讨论，结合的条件，分和两种情况讨论的符号，根据不等式恒成立的条件确定的取值. 【详解】（1）设，定义域，求导得：， 令，解得. 当时单调递增；时单调递减， 因此的最大值为. （2）切线方程为，要证， 设：，. 由(1)知在单调递增，且： 时，，递减，故； 时，，递增，故. 因此对任意，，曲线在切线上方，得证. （3）点等价于：对任意，恒成立. 若：取，得，，， 故，不符合； 若：取，得，，， 故，不符合； 若：对任意，都有，单调递减： 时，，，得； 时，，，得，符合要求， 因此的所有点为. 2．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数满足对恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的“临界线”． (1)判断下列函数在定义域上是否存在“临界线”？ ①    ②    ③ (2)求函数在点处的切线方程，并证明该切线为其“临界线”； (3)已知直线是函数在定义域上的“临界线”，求的取值范围． 【答案】(1)①不是；②是；③是； (2)； (3) 【分析】（1）对于①根据当，且时，当，且时，结合定义即可判断，对于②，结合基本不等式和定义即可判断，对于③，证明，结合定义即可判断， （2）根据导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程，再利用导数判断函数的单调性求其最小值即可证明结论， （3）由定义可得对，恒成立，结合当，且时，，，可得是命题成立的必要条件，再证明充分性即可. 【详解】（1）函数​定义域为， 当，且时， 当，且时， 所以不存在直线使恒成立或恒成立， 故函数在其定义域上不存在“临界线”； ② ，由基本不等式得， 即直线 满足恒成立， 故直线 是函数在其定义域上的“临界线”； ③ 设，则，令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，故， 即对任意 恒成立， 所以直线为函数在 上的“临界线”． （2）函数的定义域为，导函数， ，又切线过点，所以切线方程. 证明如下： 要证明直线是函数在上的“临界线”， 结合可得只需证明对恒成立， 设，， 则，设函数， 可得， 当时，，，故， 当 时，，函数在 上单调递增，即函数在 上单调递增， 又，所以当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即在上恒成立， 所以是函数在上的“临界线”． （3）因为直线是函数在定义域上的“临界线”， 又当时，，， 所以对，不可能恒成立， 故对，恒成立， 所以当且时，，成立， 又当，且时，， 与函数相比较函数呈爆炸性增长，故，即， 又，所以，且， 故，即， 所以是对，恒成立的必要条件， 下面证明是，恒成立的充分条件， 因为， 所以当时，，，此时恒成立， 当时，由可得，所以，故， 由（1），两边取对数可得，所以， 所以，由可得， 所以，所以，而， 所以当时恒成立， 所以是对，恒成立的充分条件， 综上 3．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 【答案】(1)证明略 (2)； (3)证明略 【分析】（1）由题意结合函数零点存在定理即可证明； （2）先求导函数，再由题意将问题转化为存在，使得恒成立，进而得恒成立，求出在上的即可得解. （3）先由相依区间定义求得，从而将所需证明的问题转化为证明，，再构造函数结合导数证明即可. 【详解】（1）证明：当时，函数， 所以， 所以，即， 又函数在上处处相依， 所以导函数在上有零点； （2）因为， 所以， 因为函数在上处处相依， 所以存在，，使得， 故由题意存在，使得恒成立即恒成立， 所以恒成立， 又， 所以.所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数在的相依区间， 所以，则， 因为，单调递减；，单调递增； 所以，则， 要证，即证，即证，即证，， 令， 则， 令， 则， 因为，，， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即证得，， 从而得证. 【点睛】关键点睛：本题第三问的解题关键是根据相依区间的定义得到，进而结合条件利用分析法将问题转化为，，再构造函数证明即可. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出直线，结合余弦函数性质可得当或当时都不符合要求，再结合导数的几何意义计算即可得解； （2）由题意可得、存在公切线，结合导数的几何意义即可表示出与有关等式，构造相应函数后借助导数研究其单调性即可得解； （3）由，可取上斜率为的切线，则可设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负即可得证. 【详解】（1）设直线：是的“上切线”， 则有恒成立，令， 则，即， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 故，令，解得， 有，即此时的切线为，又，故， 即的“上切线”的方程为； （2）设该直线的方程为，其在上的切点为， 在上的切点为， 对，有，对，有， 则， 即， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故是函数的“下切线”； 令 ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故是函数的“上切线”； 则有，即有， 则， 整理得， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，又时，， 即，即； （3）， 则， 令，， 设分别为的两根，则， 有，故， 则，在点处的切线为， 即， 同理可得，在点处的切线为， ， 由，则恒成立，即为其“下切线”； 同理可得， 由，则恒成立，即为其“上切线”； 综上所述，对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于取上斜率为的切线，设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负. 5．（2025高三上·江苏苏州·月考）若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为. (1)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点； (2)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值； (3)设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用两曲线在处有公切线可得出方程组，求出的表达式，然后由可得，求出方程的三个解，即可得出结论； （2）设指数函数与对数函数在处有相同的切线，利用已知条件可得出关于的方程组，通过换元法以及构造新函数可求得的值. （3）设函数，其中且，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 【详解】（1）对函数求导可得，对函数求导可得， 所以，可得，又，所以； 代入可得，即， 此时令可得，它的另一个解为， 所以方程可化为， 解得， 因此方程的三个解为， 所以函数与恰有两个公共点分别为 （2）对指数函数求导可得，对函数求导， 设指数函数与对数函数在处有相同的切线， 由题意可得， 令，原方程组可等价为，即可得； 而，即可得， 所以，即，所以，则； 由可得，化简可得； 所以， 因为时，指数函数为单调递减函数，则， 故，即； 构造函数， 则，且不恒为0， 所以函数在上单调递增，且， 故方程的唯一解为； 因此，即实数的值为. （3）设函数，其中且， 求导可得， 令，则， 令可得， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增； 可得； 因为，所以， 由可得在内有一个零点， 在内不妨取，则， 令，其中，则， 易知，因此； 可知在上单调递增，且，因此； 所以函数在内也存在一个零点； 可得在上共有两个零点，不妨设为，且； 当或时，，当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减； 可知在处取得极大值，在处取得极小值； 以下证明，； 设函数与直线的交点为， 所以是函数的一个零点，可得，即，所以； 即是函数的一个零点，即，； 当时，函数为减函数，则函数也为减函数，且； 因为，可得， 因此，所以，且， 可得，； 又因为，且, 可得函数在内有一个零点，也是上的唯一零点， 同理取，且， 所以函数在内有一个零点，也是上的唯一零点， 综上所述，当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，由指数与对数互化的运算法则并利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 题型07其他导数新概念定义 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”． (1)若是“强增函数”，求的取值范围； (2)若为“强增函数”，且．当时，比较与的大小，并说明理由； (3)若函数不是“强增函数”且有两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由略 (3) 【分析】（1）通过强增函数的定义得到等式关系，进而求解参数范围； （2）通过函数性质构造新函数比较大小； （3）通过函数有两个极值点转化为两函数有两个交点，进而求解参数范围并验证是否满足题意中的函数不是强增函数. 【详解】（1）若在上单调递增，则称为强增函数． 若是强增函数， 则在上单调递增， 则恒成立，故，即， ，当且仅当时等号成立，所以. 所以的范围为； （2）由题意可知在上单调递增， 因为，故，即， 所以， 设， 所以在上单调递减， 当时，（1），即， 所以，即 （3）函数的定义域为，问题等价于在内存在两个变号零点， 即在内有两个变号零点， 因为，令，问题可以转化为关于的方程在内有两个不同的解， 又方程可化为， 即， 令，，则在区间上恒成立， 因此函数在区间上单调递增， 又，因此，即，因此问题等价于， 即在内有两个不同的根， 令，则， 当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减， 因此函数在处取得极大值， 由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且其横坐标分别为、， 又，因此， 当 所以此时函数不是“强增函数”. 综上. 2．（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知. (1)求证：（i）当时，；（ii）； (2)求证：若，，则. 【答案】(1)（i）证明略；（ii）证明略 (2)证明略 【分析】（1）(i)利用函数的单调性即可证明；(ii) 将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明； （2）由题即证，即，构造函数，即证，求导数，构造函数，求导数，判断函数的单调性，求出函数的最值，从而证明不等式恒成立即可. 【详解】（1）（i）由，由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，所以当时，成立； （ii）令， 则在上为偶函数，则， 令，则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，， 所以当时，，即成立. （2）因为，所以原式变为 ， 即证. 设函数，即证， ，设，， 时，，在上单调递增， 即在上单调递增， 设，， ，由于在上单调递增，， 所以，，在单调递增， 又，所以时，，所以， 所以，因此恒成立， 原不等式恒成立，得证. 3．（2025·福建三明·三模）若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线. (1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程； (2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由； (3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线. 【答案】(1)偶函数， (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分析函数的奇偶性，结合阶临界直线的概念可得结果； （2）利用导数分析函数的单调性，结合阶临界直线的概念可得结果； （3）利用导数分析函数的单调性，推导出当时，，，可得，求出函数在处的切线方程，结合阶临界直线可证得结论成立. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数， ，故当时，函数取最小值， 当时，，，， 当时，，，， 所以函数在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 如下图所示： 函数的一条阶临界直线方程为. （2）若，， 令，， 令，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以不存在、，使得， 综上可知函数不存在阶临界直线. （3）当时，， 令，， 所以在上单调递减， 因为，，所以当时，， 因为， ，， 所以， 则存在，使， 当时，，，所以， 所以， 因为函数在处的切线方程为， 函数在处的切线方程， 又因为， 所以 ， 所以， 所以直线与直线重合， 则、、、、为方程的解， 且， 又因为可趋近于无穷大，所以存在直线为函数的无限阶临界直线. 4．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】(1)是的“－函数”，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【详解】（1）解：由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. （2）解：由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是的“－函数”， 即，用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） （3）解：由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 题型08其他导数新运算定义 1．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由略 (2)证明略 (3)证明略 【分析】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【详解】（1）函数，与“具有性质”，理由如下： 令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 2．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】(1)不具有 (2)； (3)，. 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. （2）函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. （3）当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 3．（24-25高三上·江苏徐州·期中）设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质. (1)求证：函数具有性质； (2)已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：； (3)对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围. 【答案】(1)证明略 (2)证明略 (3) 【分析】（1）根据题中条件计算并判断即可； （2）易知单调递增，然后利用单调性，去绝对值符号求解即可； （3）先写出点对应的函数，然后求导，利用两点具有相同的“点”，建立等式，化简得到，由题易知，得到恒成立，即恒成立，然后求解即可. 【详解】（1）证明：， 取，则具有性质. （2）证明：具有性质 函数使得 时对恒成立， 在上单调递增，， 当且， ， 且另一方面，同理， ， ； （3）设， ， ， ， 对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点， 设既是，也是的最小值点， 两函数定义域为也为两函数极小值点，， ①， ②， ①-②， 具有性质恒成立， 故恒成立， 综上：的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：需要先理解题中新概念的意思，然后再和已学知识结合处理. 题型09其他导数新性质定义 1．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可. （2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论. （3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. 【详解】（1）由，得. 由题意可得所求面积. 令，则是常数） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为. （2）令，可得（是常数）， 所以， 要证，只需证， 令， 当时，， 所以在上单调递减，所以当时，， 所以，即. （3）由（2）得，当时，. 因为，所以. 即. 所以. . . . 累加可得 ， 即， 所以. 【点睛】关键点点睛：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 2．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决； （2）将选择的式子化简结合极限的定义求解； （3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 3．阅读下列材料： 定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件： （i）且； （ii）对于任意的，有； （iii）． 那么我们就说数列优超于数列，写成或． 定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸． 定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论． (2)若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差． (3)若函数，证明：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据优超定义直接判断即可； （2）根据方差定义求得，再利用二阶求导判断为下凸函数，从而证明不等式关系； （3）二阶求导得，再证明其大于0，设，证明 【详解】（1）由于，故，即可证明不等关系. （2）数列A的方差， 数列B的方差， 由，知， 于是只需证明， 考虑函数，由知下凸， 于是由定理知， 即证. （3）对求导，得 ， . 下面我们证明， 设，则， 时，单调递减，时，单调递增， 于是， 设，则， 时，单调递减，时，单调递增， 于是， 根据二次函数在上单调递增， 则由， 故于起下凸， 设，由知， 于是由定理知， 而，故. 题型10充要条件型新定义 1．（2025·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明略 【详解】（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数， 即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． (2)，从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. 极小值点1，极大值点； （3）法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 2．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1)点具有性质 (2)证明略 (3)证明略 【详解】(1)点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； (2)证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； (3)证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以 2．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）二元函数表示有两个自变量，的函数，其中，，如为一个二元函数．设，为正整数，二元函数满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元函数定义以及计算规则，利用递推规律计算可得结果. 【详解】依题意由可得； 以此规律可得； 由可得， 以此规律可得， 因此可得. 故选：B 3．（2024高三上·江西·月考）定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“偏导函数”的知识求得，进而利用判别式法求得正确答案. 【详解】依题意， ， 同理可求得，所以，设， 则，由， 得， ，此方程有解，所以， . 故选：B 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）（多选题）英国物理学家牛顿用“切线法”求函数零点．设是函数的零点，取初始近似值，记在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；……由此得到一个数列．若函数，用牛顿切线法求函数的大于零的零点的近似值，取，下列说法正确的是（    ） A． B． C．设，则为等比数列 D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以，函数在处的切线方程为： ，令，得切线与轴交点的横坐标， 即，解得，故B正确； 取初始值，得，所以，故A错误； ， ， 所以， 两边取自然对数，得， 即，所以数列为公比为2的等比数列，故C正确； 由， 所以．由几何意义易知：， 由知：， 即， 所以， 所以． 由知：， 即， 所以， 所以．即，故D正确. 故选：BCD 5．（24-25高一上·山东济南·期中）（多选题）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．对任意的， C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 【答案】BCD 【分析】代入可判选项A，利用基本不等式可判选项B，利用二次函数恒成立可判选项C，利用不等式 能成立的条件可判选项D. 【详解】对于A，，所以选项A错误； 对于B，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以选项B正确； 对于C，， 所以， 所以对任意实数x恒成立， 所以，所以，故选项C正确； 对于D，存在，使，所以， 因为在为单调增函数， 所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高三上·辽宁·期中）（多选题）设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（    ） A．若有极值点，则 B．若当时，有极值，则对应的拐点为或 C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 【答案】ACD 【分析】分析可知，对于。，可判断A选项；根据题中信息求出实数、的值，结合拐点的定义可判断B选项；根据题意可知，在上为单调函数，对于，有，可判断C选项；利用三次方程根与系数的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数有极值点，则有两个不等的零点， 所以，，即，A对； 对于B选项，当时，函数有极值， 则，解得或， 当，时，， 此时，函数在上单调递增，该函数无极值， 经检验，，合乎题意， 所以，，，令，可得， 此时，函数对应的拐点为，B错； 对于C选项，当时，函数在上无极值点， 则函数在上为单调函数，则恒成立， 则，解得，即实数的取值范围是，C对； 对于D选项，当，时，， 由有， 等式两边同除可得， 令，则、、是方程的三个根， 所以，， 即， 所以，，，， 所以，，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键就是令，从而将问题转化为、、是方程的三个根，然后利用韦达定理求解. 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（    ） A．函数在无数个点处的曲率为1 B．函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同 C．函数的曲率恒为1 D．若函数在与处的曲率半径相同，则 【答案】ACD 【分析】根据新定义结合导函数二次求导可得A正确；根据新定义结合导函数二次求导以及偶函数的性质可得B错误；根据新定义结合导函数二次求导可得C正确；根据新定义结合导函数二次求导，再利用换元法结合基本不等式可得D正确. 【详解】对于A，已知，则，， 根据曲率函数，可得 当，时，，，此时， 所以函数在无数个点处的曲率为1，故A正确； 对于B，对于，，， 则，因为，所以为偶函数， 所以曲线在点与点处的弯曲程度相同，故B错误； 对于C，，， 则函数的曲率，故C正确； 对于D，，， 则函数的曲率半径，， 依题意，，则，即， 设，，则， 则，则， 整理得， 而，则， 所以，解得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高三下·江苏·阶段检测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为. (1)求曲线在处的曲率； (2)已知正弦曲线， ①求的曲率的平方的最大值； ②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】(1) (2)①1 ②在上的零点个数为 【分析】（1）根据曲率的定义可求得的值； （2）①求得，令，则，故，利用导数求出函数在上的最大值，即为的最大值； ②利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以，， 所以. （2）①已由，，则，， 令，则，故， 设，则， 在时，在上递减，所以，最大值为. ②因为，，则. 当时，因为， 所以在上单调递减. 所以，所以在上无零点； 当时，因为单调递增，且，，在上图象不间断， 所以存在，使， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以. 设，，， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 所以，所以，在上图象不间断， 所以在上存在一个零点，所以在有个零点， 综上所述，在上的零点个数为. 9．（24-25高三上·广西·阶段检测）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)若函数，求曲线在点处的曲率. (2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为. (3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2)证明略 (3) 【分析】（1）求出后根据公式可求曲率； （2）求出函数的一阶导数和二阶导数后根据曲率公式可证曲率为常数； （3）根据曲率定义结合题设条件可得，设，利用导数讨论其单调性后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，所以， 则，故曲线在点处的曲率. （2）因为，所以. ， 则， 故曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为. （3）因为， 所以， 则， 则，即. 令，则， 即存在，使得不等式成立. 令， 则0在上恒成立， 则在上单调递减， 则，解得或， 故的取值范围为. 【点睛】思路点睛：函数新定义问题，应该根据新定义计算即可，而不等式的恒成立问题，可利用导数讨论其单调性后得到关于参数的不等式，从而可求参数的取值范围. 10．（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） (1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ (2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 【答案】(1) (2) (3)证明略 【分析】（1）首先根据已知条件求出的值，再分别求出函数的一阶导数和二阶导数，代入公式求解即可； （2）根据的奇偶性和单调性得到，根据，的奇偶性和得到在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，代入公式求解即可； （3）首先求出在处的切线方程，进而得到与之间的关系，构造函数得到数列是等比数列，根据的通项公式得到和，适当放缩得到，进而得到. 【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为3，， 即抛物线方程为，即，则，， 又抛物线在点处的曲率，则， 即在该抛物线上点处的曲率为； （2）， 在上为奇函数，又在上为减函数. 对于恒成立等价于对于恒成立. 又因为两个函数都是偶函数， 记，，则曲线恒在曲线上方， ，，又因为， 所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即， 又因为，， ，，所以，解得：， 因此，的取值范围为； （3）由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然，， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以，， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于理解所给新定义平均曲率，利用新定义解决函数恒成立问题；关键点之二在于新定义平均曲率与数列结合，通过切线方程转化为数列相邻项之间的关系，再构造新数列求出通项公式，最后适当放缩求数列的前项和. 11．（24-25高三上·湖北·月考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数，的凹凸性； (2)在中，求证：； (3)若个正实数满足，求证：. 【答案】(1)凹函数； (2)证明见解析； (3)证明见解析． 【分析】（1）对再求导得，由的正负得凹凸性； （2）利用凹凸性的性质证明； （3）构造新函数，确定凹凸性后，利用凹凸性证明． 【详解】（1），则，， 当时，， 所以是凹函数； （2）由（1）知，当且仅当时等号成立； （3）设，则，在上恒成立，所以在上是凹函数， 个正实数满足，则， 所以， 即 ， 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新应用能力，由题意考察函数的凹凸性，只要对函数的导函数再一次求导，然后判断这个导数的正负，得了结论.第（3）小题我们必须从要证明的不等式出发取对数后，引入新函数，然后利用它们凹凸性证明不等式成立． 12．（24-25高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． (1)已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． (2)讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】(1)①； ②证明略 (2)时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【详解】（1）①根据题意，， 所以； ②是凹函数，证明： ，且， 则 因为，所以， 所以，即， 故是凹函数. （2）， 则 ， 因为， 所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性. 13．（24-25高二下·广东·阶段检测）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1) (2)①； ②证明略 【分析】（1）求出函数的一阶导函数和二阶导函数，由凸函数定义判断即可. （2）①求出函数的一阶导函数和二阶导函数，根据凹函数的定义将问题转化为恒成立，构造，利用导数研究其单调性并求出最大值，解不等式即可求解； ②由题意，结合的单调性得，欲证，即证，结合的单调性得，即证，转化为证明；欲证，即证，结合的单调性得，转化为证明，构造，，利用导数得在上单调递增，从而由，即可证明. 【详解】（1）因为， 所以， 所以是上的凸函数． （2）①因为， 所以． 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即． 令，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． ，所以，解得， 所以实数的取值范围是． ②由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 欲证，即证．因为，所以只需证， 即证即需证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以则原不等式得证． 故． 14．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 【答案】(1)为的凸函数 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义，求得和，判断的正负即可； （2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值； （3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明． 【详解】（1）由题，，即， 所以为的凸函数． （2）设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． （3）即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 15．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，其中，．若点在函数的图象上，且经过点的切线与函数图象的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”．现有函数图象上的点列，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”． (1)若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； (2)若点的坐标为，请分别求出点、的坐标． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）先求函数在原点处的切线方程，再判断切线与函数图象的交点个数，结合 “上位点” 定义判断是否存在． （2）设点的横坐标为变量，根据导数几何意义写出切线方程，代入 “上位点” 坐标，展开化简推导递推关系，再代入已知点坐标求解后续点的坐标． 【详解】（1）不存在，理由如下. 由已知，当时，得，则， 所以，，所以函数经过原点的切线方程为， 该切线与函数图象无其他交点，所以原点不存在“上位点”. （2）设点的横坐标为，为正整数，则点的横坐标为. 由已知，则， 则函数图象在点处的切线方程为， 代入其“上位点”，得， 又，，， 所以， 化简得， 即， 故， 因为，所以，又点的坐标为，即， 所以点的横坐标，纵坐标为，则点的坐标为； 点的横坐标，纵坐标为，则点的坐标为. 综上，点的坐标为，点的坐标为. 16．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出直线，结合余弦函数性质可得当或当时都不符合要求，再结合导数的几何意义计算即可得解； （2）由题意可得、存在公切线，结合导数的几何意义即可表示出与有关等式，构造相应函数后借助导数研究其单调性即可得解； （3）由，可取上斜率为的切线，则可设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负即可得证. 【详解】（1）设直线：是的“上切线”， 则有恒成立，令， 则，即， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 故，令，解得， 有，即此时的切线为，又，故， 即的“上切线”的方程为； （2）设该直线的方程为，其在上的切点为， 在上的切点为， 对，有，对，有， 则， 即， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故是函数的“下切线”； 令 ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故是函数的“上切线”； 则有，即有， 则， 整理得， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，又时，， 即，即； （3）， 则， 令，， 设分别为的两根，则， 有，故， 则，在点处的切线为， 即， 同理可得，在点处的切线为， ， 由，则恒成立，即为其“下切线”； 同理可得， 由，则恒成立，即为其“上切线”； 综上所述，对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于取上斜率为的切线，设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负. 17．（24-25高三上·广西·月考）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）． 如果是区间上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 【答案】(1) (2)①，②证明见解析 【分析】（1）根据基本函数的导数，结合定积分的定义即可计算； （2）①构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合分类讨论积可求解；②根据可得，进而可得数列为等差数列，得，利用定积分的几何意义,证明即可． 【详解】（1）由于，故. （2）由， ①由恒成立，得恒成立． 令，则． 当时，，此时在,上单调递增， 又，所以在,恒成立． 当时，当时，有，此时在上单调递减，在单调递增， 又，在恒成立，与矛盾． 综上所述，． ②由，可得，所以． 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故， 所以， 由题意可得是由曲线，两直线，与轴所围成的曲边梯形的面积． 而表示图一阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的左边成立． 表示图二阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的右边成立． 故得证. 18．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 【答案】(1)； (2)2； (3)充要条件，理由见解析 【详解】（1）由题， 令即，解得或， 所以与自身所有“零二值”的取值共有3个，构成的集合为， 所以与自身所有“零二值”的取值集合的子集为. （2）由题和，令， 则当时，，即，解得（舍去）或； 当时，即即，解得（舍去）或. 所以和的“一一值”的个数为2个. （3）对于定义域为的函数，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件， 理由如下：任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’， 则任意x均满足且，又， 则（c为常数）， 所以，所以，充分性成立； 当时，对任意x均有且， 所以任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’必要性成立. 所以对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件. 19．（24-25高三上·河南·月考）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)证明：对任意，，不等式恒成立； (2)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： (3)设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）构造函数，证明是上凸函数即可推理得证. （2）利用“拐点”的意义可得，结合求出；再利用中心对称的定义计算推理即可. （3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数，利用导数探讨单调性可得，再结合给定条件及函数的单调性推理即得. 【详解】（1）当或时，不等式成立，令函数， ，，因此函数是上凸函数， 则对任意，，即， 所以对任意，，不等式恒成立. （2）函数，则，， 由点是曲线的拐点，得当时值与当时值符号相反， 因此，又，解得； ， ， 所以的图象关于拐点中心对称. （3）函数的定义域为，则，， 当时，，当时，，依题意，，， 当时，，即， 令 ，， 求导得， 即函数在上单调递增，，即， 而，则，即，因此， 当时，，当且仅当时取等号， 于是函数在上单调递增，又，因此，即， 所以. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 20．（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）为的充要条件，理由见解析 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【详解】（1）设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． （2）实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； （3）若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 21．（24-25高三上·广西·月考）拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，. (1)试探究集合和的关系，并证明你的结论. (2)函数. ①若的“不动点”有两个，求的取值范围； ②若（），讨论集合的子集的个数. 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②答案见解析 【分析】（1）根据“不动点”与“稳定点”的定义证明即可. （2）①根据“不动点”定义列出方程，分离参数后用数形结合的思想求出的取值范围；②根据递增函数的“不动点”和“稳定点”对应的集合相等，先证明单调递增，再将求“稳定点”问题转化为求“不动点”问题，再根据集合中元素的个数求出子集个数. 【详解】（1），证明如下： 法一：设任意，有， 则，所以，故. 法二：由题意，不动点为与的交点横坐标， 稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等. 则，所以. （2）①由题意知方程有两个不同的解， 即方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解， 令，，则 在上，单调递增， 在上，单调递减， 当和时，，当时，， 所以方程要有两个不同的解，则的取值范围是. ②当时，由函数，（） 可得导函数， 所以在上单调递增， 由已知“当函数单调递增，则”知稳定点与的不动点等价， 故只需研究的不动点即可， 令，（） 则，则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当无限接近于0时，，且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点， 当时，即时， 当趋向无穷大时，趋近于0， 此时，存在唯一， 使得，则， 此时在上单调递增，在上单调递减， 故， 当趋近于0时，趋向于负无穷大， 当趋向正无穷大时，趋向负无穷大， 设，则在上单调递增， 且， 又在时单调递增， 故（ⅰ）当时， 即，此时，方程有一个解， 即有唯一不动点，所以集合的子集有2个 （ⅱ）当，即， 此时，方程无解，即无不动点， 所以集合的子集有1个， （ⅲ）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点， 所以集合的子集有4个， 综上，当时或时，集合的子集有2个； 当时，集合的子集有1个； 当时，集合的子集有4个. 【点睛】关键点点睛：根据导数证明函数为单调增函数后，将求“稳定点”问题转化为求“不动点”问题，再构造新函数，利用求导、极限思想、隐零点、二次求导等方法，分和两种分类讨论，判断导数的正负变化，进而判断的图象增减性、极值的正负，得到最终结果. 创新能力提升 1．（2025·湖北·三模）已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 【答案】(1)（i）在上有一个极值点， （ii）证明略 (2)证明略 【分析】（1）利用函数求导计算函数的极值点；利用函数求导计算函数极值点，结合函数的周期得到所证结果； （2）根据双重切线的定义得到斜率表达式，再通过求导、三角函数性质等进行分析和证明 【详解】（1）（i）当时，函数. 在上极值点的个数为1个. 对求导，根据求导公式，令， 对求导，. 当时，在上，在上， 在内，的符号会发生变化， 因为上连续，且，又符号变化， 所以存在使得先正后负，即先正后负， 根据极值点的定义，在上有一个极值点. （ii）已知，令，即，可得. 设与的交点横坐标为， 因为的周期为，且在上单调递增， 相邻两个交点之间，的图象变化一个周期。 考虑与的图象关系，， 对于在上，单调递减， 从可知，（因为一个周期内与有一个交点，且两交点间水平距离大于半个周期）， 又因为与的交点不会超过一个周期的距离，所以， 所以； （2）当时， 设为双重切线的两个切点， 则在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 因为两条切线重合，则，即，则或， 不妨设（取一种情况分析），则直线的斜率为， 设此时直线的斜率， 设此时直线的斜率， 则，因为根据三角函数的图象和性质， 令求导， 当求时，通过分析的单调性，可知当靠近时，较大； 当求时，靠近时，较大； 不妨设，则，由三角函数的图像和性质可知， 当在相应区间内时，，则 所以，故得证. 2．（2025·云南·模拟预测）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“函数”． (1)若为“函数”，求实数的取值范围； (2)已知函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：为“函数”． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求出两个零点.再依据“函数”条件，列出关于零点和函数值的不等式，最后解不等式得出参数范围. （2）（i）对函数求导后令其为，再对求导找单调性和最小值.根据存在两个不同变号零点，结合其极限情况确定参数范围. （ii）构造，通过求导判断单调性，利用单调性和性质证明.接着根据单调性得到，构造，求导判断单调性，证明，从而证明函数为“函数”. 【详解】（1）已知，对求导得. 令，即，解得或.   因为函数为“函数”，所以. ，， . 则不等式为.   解，得.解，得，所以. 取交集得.   则实数的取值范围. （2）（i）已知，求导得， 令，得. 令，即，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 当时，；当时，.   因为函数存在两个不同的变号零点，所以，即.   (ii)令. ，由均值不等式（当且仅当时取等号）， 所以，在上单调递增. 又，当时，，即.   利用单调性证明： 因为，且在上单调递减，，， 所以，即.   构造函数并分析单调性证明： 因为时，，在上单调递减，， 所以，. 其中， 令， 则， 令，，在上单调递增. 当时，，即，在上单调递增，. 所以，即.   综上，函数为“函数”. 3．（2025高二下·广东湛江·期末）拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)若函数在定义域内单调递增，求证：； (3)已知，求的稳定点的个数. 【答案】(1)， (2)证明略 (3)当或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当，有两个稳定点. 【分析】（1）由“不动点”和“稳定点”的定义列出方程，解出答案； （2）根据“不动点”与“稳定点”的定义证明即可. （3）构造，讨论的单调性，得到的零点个数即为的稳定点的个数. 【详解】（1）由，得，解得； 由，得，解得， ∴集合，. （2）设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，即. 设为函数的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故为函数的不动点即. 综上，，得证. （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令，， ∴，， ∴在上单调递减， ①当时，恒成立， ∴在上单调递增， 当无限接近0时，趋向于负无穷大，且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， ∴此时有唯一不动点； ②当时，即时，， 当趋向于无穷大时，趋近于0，此时， 存在唯一的，使得，即， 此时在上单调递增，在上单调递减， ∴， 当无限接近0时，趋向于负无穷大，当无限接近正无穷大时，趋向于负无穷大， 设， 则在上单调递增，且， 又∵在上单调递增， ∴（ⅰ）当，即时， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ⅱ）当，即时， 此时，方程无解，即无不动点； （ⅲ）当，即时， 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当，有两个稳定点. 4．（24-25高三上·河南·期中）已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数. (1)试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由； (2)已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围； (3)证明：当时，为“切线上界”函数. 【答案】(1)是“切线上界”函数，（坐标不唯一）； (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换得到在处取得极大值，也是最大值，满足要求，不妨取和，求出的坐标； （2）不妨设切点在上，切点在上，由导数几何意义分别写出在和处的切线方程，对照系数，得到方程组，变形得到，，构造函数，求导，得到其单调性，得到，所以； （3）切点，，设直线方程为，满足，利用导数几何意义得到切线斜率，得到，并得到，换元后得到，变形得到，令，要证时，为“切线上界”函数，只需证连续函数在R上不单调即可，求导得到在R上不单调，结论得证. 【详解】（1）， 当，即时， 取得极大值，也是最大值， 中，不妨令和，得和， 故， 此时满足AB恰为曲线的切线，且直线与曲线相切于A，B两点， ，，则是“切线上界”函数. （2）在上单调递增，在上单调递增， 故不会同在，或，上， 不妨设切点在上，切点在上， 由于，故在处的切线方程为， ，故在处的切线方程为， 两切线为同一切线，故， 由①得③，将③代入②得， 故，， 令，， 则， 故在上单调递减， 故，所以； （3）证明：，， 设切点，， 设直线方程为，满足， 直线的斜率为， ，故在处的切线斜率为， 在处的切线斜率为， 故，所以， 由， 化简得， 令，故， 所以， 因为，所以， 所以， 令， 要证时，为“切线上界”函数， 只需证在R上存在不同两点，其函数值相等， 即证连续函数在R上不单调即可， 令，则， 显然不恒大于等于0或恒小于等于0， 故在R上不单调即可，结论得证. 5．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 6．（24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 【答案】（1）不是 （2）证明见解析； （3）证明见解析 【分析】（1）对函数求导可的，显然为单调递增函数，不存在两个不相等的实数，使得，所以不是“双切函数”； （2）易知函数为奇函数，为偶函数，所以必存在两个不相等的实数，且，使得，利用对称性可解得即为“双切点”， 为其“双切线”； （3）由是“双切函数”可得存在两个不相等的实数，使得，即函数不单调，再求导利用判别式即可求得充分条件为，同时也可证明必要性成立. 【详解】（1）根据“双切函数”的定义可知，若是“双切函数”， 则存在两个不相等的实数，使得； 由可知，； 易知为单调递增函数， 所以不存在两个不相等的实数，使得； 即不是“双切函数”. （2）由可得； 显然为偶函数，且在上为单调递增； 所以必存在两个不相等的实数，使得，且； 不妨设两切点分别为， 易知函数为奇函数，又； 所以两切点关于原点对称； 即此时切线斜率， 即，解得或； 即存在两点满足条件，所以函数是“双切函数”， 此时，两点确定的直线方程即为“双切线”， 由直线的两点式方程可得即为函数的“双切线”. 故其“双切线”为. （3）充分性： 若是“双切函数”， 则需存在两个不相等的实数，使得； 令，即存在实数使得函数在定义域内有两个零点； 所以不单调，又， 即，可得，即； 所以充分性成立； 必要性： 因为是“双切函数”，设点，为其一对“双切点”， 函数在处的切线方程为， 所以， 即， 即， 因为，所以， ， 设，， 原式即， 由①可得， 代入②得， 化简得， ， 假设，则，原方程仅有一解， 所以， 所以，为方程的两个相异实根， 但由此一元二次方程的判别式， 即方程要么无实根，要么有两个相等的实数根，与，存在且不等矛盾， 所以假设不成立，即，所以必要性成立. 因此，“”是“双切函数”的充要条件是“” 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“双切函数”的定义，充分利用导函数和原函数之间的对应关系，并利用导函数零点个数解决原函数不单调问题，即可实现问题求解. 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优16导数中的新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 知识重构·重难梳理固根基 1 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01曲率问题 2 题型02牛顿法 3 题型03凹凸函数 6 题型04拐点、不动点、稳定点 7 题型05二元函数 9 题型06切线相关新定义问题 11 题型07其他导数新概念定义 12 题型08其他导数新运算定义 13 题型09其他导数新性质定义 15 题型10充要条件型新定义 16 实战检测·分层突破验成效 17 重难知识巩固 17 创新能力提升 24 知识重构·重难梳理固根基 知识点新定义问题的解题思路 一、新定义问题的解题思路 1、深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。 2、转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。 3、代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。 二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步 1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 三、导数新定义问题的方法和技巧 1、举例具象：面对抽象的全新导数定义，可通过简单特例将抽象的文字、公式定义转化为具体运算场景，快速理解定义内涵与适用形式。 2、转述验证：脱离题目原文，用自己的语言梳理、转述新定义核心内容，能清晰准确复述，说明已吃透概念，可为解题夯实基础。 3、联系旧知：对接课本导数相关概念、公式与规律，挖掘新旧知识的相通点，提炼新定义的核心本质，构建解题思路。 4、辨析差异：多数新定义是课本概念的推广变式，需区分新旧概念的异同，明确常规导数知识的适用场景，规避惯性思维出错。 题型精研·技巧通法提能力 题型01曲率问题 1．（25-26高二下·重庆·模拟预测）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.定义函数的曲率函数，（是的导数，是的导数）． (1)求在处的曲率； (2)证明：图象上任一点曲率恒为常数； (3)若函数在处的曲率相同，证明：. 2．（2026·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 3．（2026·高三·江西·阶段检测）在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数.已知曲线. (1)当时，求曲线在点处的曲率； (2)已知曲线在不同的两点处的曲率均为0. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 4．（2025高二下·重庆·期中）在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线，我们定义曲线段的平均曲率为，曲线在点C处的曲率为（若极限存在），其中，分别表示在点C处的一阶、二阶导数值.已知函数. (1)求函数在点处的曲率； (2)求函数的曲率K的最大值； (3)设函数，，若存在使得的曲率为0，求证：. 题型02牛顿法 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，其几何表述为：曲线上两端点，间必存在一点，其切线与割线平行．现已知，． ，． (1)证明：当时，； (2)为得到的近似数值，我们使用牛顿-二分法：在上任取一个，使得，然后在点处作曲线切线，切线横截距为．重复这一过程，得到近似数值数列——“牛顿数列” ． ①当时，证明：． ②由①可证得：“牛顿数列” 为递减数列，且，．在以①的结论及上述推论为前提条件下，证明：． 3．（2026·高三·四川成都·阶段检测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.    (1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值； (2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题： （i）求数列的通项公式，并将的长度用表示； （ii）求证：. 4．（2025高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 题型03凹凸函数 1．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数的凹凸性； (2)在锐角中，求的最小值； (3)若个正数满足，证明:. 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）“凹凸性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. (1)判断是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (2)判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (3)已知锐角满足，求的最大值. 3．（25-26高一上·山东济南·期中）某同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数．如图1． 定义2．设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的上凸函数．如图2． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，该同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若．求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，且，求的最小值． 题型04拐点、不动点、稳定点 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（多选题）（24-25高二下·四川宜宾·阶段检测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则， B．函数既有极大值又有极小值 C．若是的极大值点，则在区间单调递增 D．当时，函数有三个零点时 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）对于函数，若存在，使得，则称为的不动点.已知定义在上的函数. (1)讨论的不动点个数； (2)已知当时，不等式恒成立. （ⅰ）证明：为单调递增函数； （ⅱ）若方程有实数解，证明：. 4．（25-26高一上·湖北武汉·期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点. (1)求函数的不动点； (2)若函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围； (3)若函数有两个不相等的不动点、，且，设，判断并证明与的大小关系. 5．（25-26高一上·福建漳州·期中）对于函数，，若存在，使得，则称是函数的不动点． (1)已知在上有且仅有一个不动点，求实数的取值范围； (2)若是增函数，且的定义域包含其值域，证明：“是的不动点”的充要条件是“是的不动点”； (3)求方程的实数解． 6．（25-26高二下·重庆·期末）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，． (1)若，证明：集合中有且仅有一个元素； (2)若函数在定义域内单调递增，求证：； (3)若，讨论集合的子集的个数． 7．（25-26高一上·江西景德镇·期末）对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点． (1)求函数的稳定点； (2)如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求的取值范围； (3)定义在上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为，若函数在中存在两个不动点，求的取值范围． 题型05二元函数 1．（24-25高二下·广东云浮·期末）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数． (1)若恒成立，求a的取值范围． (2)已知正数m，满足． （ⅰ）证明：． （ⅱ）证明：具有性质T． 2．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. (1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. (2)求值：对的偏导数. (3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 3．（2025·四川·三模）定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． (1)求的值； (2)当时，比较和0的大小； (3)若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式：           题型06切线相关新定义问题 1．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域是，，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)若实数a满足当时，总有成立，则称a为函数的一个“T点”，求的所有T点． 2．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数满足对恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的“临界线”． (1)判断下列函数在定义域上是否存在“临界线”？ ①    ②    ③ (2)求函数在点处的切线方程，并证明该切线为其“临界线”； (3)已知直线是函数在定义域上的“临界线”，求的取值范围． 3．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 5．（2025高三上·江苏苏州·月考）若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为. (1)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点； (2)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值； (3)设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点. 题型07其他导数新概念定义 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”． (1)若是“强增函数”，求的取值范围； (2)若为“强增函数”，且．当时，比较与的大小，并说明理由； (3)若函数不是“强增函数”且有两个极值点，求的取值范围． 2．（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知. (1)求证：（i）当时，；（ii）； (2)求证：若，，则. 3．（2025·福建三明·三模）若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线. (1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程； (2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由； (3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线. 4．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 题型08其他导数新运算定义 1．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 2．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 3．（24-25高三上·江苏徐州·期中）设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质. (1)求证：函数具有性质； (2)已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：； (3)对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围. 题型09其他导数新性质定义 1．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 2．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 3．阅读下列材料： 定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件： （i）且； （ii）对于任意的，有； （iii）． 那么我们就说数列优超于数列，写成或． 定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸． 定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论． (2)若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差． (3)若函数，证明：． 题型10充要条件型新定义 1．（2025·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 2．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）二元函数表示有两个自变量，的函数，其中，，如为一个二元函数．设，为正整数，二元函数满足，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·江西·月考）定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）（多选题）英国物理学家牛顿用“切线法”求函数零点．设是函数的零点，取初始近似值，记在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；……由此得到一个数列．若函数，用牛顿切线法求函数的大于零的零点的近似值，取，下列说法正确的是（    ） A． B． C．设，则为等比数列 D． 5．（24-25高一上·山东济南·期中）（多选题）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．对任意的， C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 6．（24-25高三上·辽宁·期中）（多选题）设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（    ） A．若有极值点，则 B．若当时，有极值，则对应的拐点为或 C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（    ） A．函数在无数个点处的曲率为1 B．函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同 C．函数的曲率恒为1 D．若函数在与处的曲率半径相同，则 8．（24-25高三下·江苏·阶段检测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为. (1)求曲线在处的曲率； (2)已知正弦曲线， ①求的曲率的平方的最大值； ②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 9．（24-25高三上·广西·阶段检测）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)若函数，求曲线在点处的曲率. (2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为. (3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围. 10．（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） (1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ (2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 11．（24-25高三上·湖北·月考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数，的凹凸性； (2)在中，求证：； (3)若个正实数满足，求证：. 12．（24-25高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． (1)已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． (2)讨论函数在定义域上的凹凸性. 13．（24-25高二下·广东·阶段检测）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 14．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 15．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，其中，．若点在函数的图象上，且经过点的切线与函数图象的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”．现有函数图象上的点列，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”． (1)若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； (2)若点的坐标为，请分别求出点、的坐标． 16．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 17．（24-25高三上·广西·月考）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）． 如果是区间上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 18．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 19．（24-25高三上·河南·月考）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)证明：对任意，，不等式恒成立； (2)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： (3)设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：. 20．（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 21．（24-25高三上·广西·月考）拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，. (1)试探究集合和的关系，并证明你的结论. (2)函数. ①若的“不动点”有两个，求的取值范围； ②若（），讨论集合的子集的个数. 创新能力提升 1．（2025·湖北·三模）已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 2．（2025·云南·模拟预测）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“函数”． (1)若为“函数”，求实数的取值范围； (2)已知函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：为“函数”． 3．（2025高二下·广东湛江·期末）拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)若函数在定义域内单调递增，求证：； (3)已知，求的稳定点的个数. 4．（24-25高三上·河南·期中）已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数. (1)试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由； (2)已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围； (3)证明：当时，为“切线上界”函数. 5．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 6．（24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $