15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 教学设计 课题 15.3　轴对称（15.3.1 第1课时：等腰三角形的性质） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1. 探索并证明等腰三角形的性质；2. 运用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等；3. 体会轴对称在研究几何问题中的作用。 教学重点 理解和掌握等腰三角形的性质。 教学难点 等腰三角形性质证明中辅助线的添加和对“三线合一”的理解。 教学方法 情境导入、动手操作、讲练结合 教学准备 多媒体课件、长方形纸、剪刀 课后练习 完成教材 P84 习题 15.3 第 1，2，3 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、新课导入 一、新课导入 情境导入：观察一组含有等腰三角形的生活图片（如图），这些图片有哪些共同点？再想一想：将一把等腰三角尺和一个铅锤按图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？ 归纳导入：把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开（如图①），得到的 △ABC 有什么特点？你能画出具有这种特点的三角形吗？ 学生动手操作，从剪出的图形观察 △ABC 的特点，可以发现 AB　　　AC；有两边相等的三角形是　　　　　，相等的两边叫作　　，另一边叫作　　　，两腰的夹角叫作　　　，底边和腰的夹角叫作　　　（如图②）。 师生活动：学生观察图片、动手剪纸并折出对称轴，发现“两腰相等”的本质；教师借助测平仪的疑问制造悬念，引导学生带着问题进入新课，并结合图②规范等腰三角形的要素名称。 从生活图片中抽象出等腰三角形的共同特征；通过折纸剪纸操作认识等腰三角形及其各要素名称。 以生活情境与动手操作双线导入，让“轴对称”的直观感受先行，为性质的探索与证明埋下伏笔。 二、探究新知 二、探究新知 探究（教材 P78）：把问题 1 中剪下的 △ABC 沿折痕 AD 对折，找出其中重合的线段和角，你能填好下表吗？ 重合的线段：AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD； 重合的角：∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC。 提出问题：(1) △ABC 是什么特殊三角形？为什么？(2) △ABC 是不是轴对称图形？对称轴是什么？(3) 图中有哪些相等的角？有哪些相等的线段？(4) 等腰三角形 ABC 除两腰相等外，角有什么性质？(5) 在等腰三角形 ABC 中，AD 有几种角色？各是什么？(6) 等腰三角形具有哪些性质？ 证明性质 1（等边对等角）：作底边 BC 的中线 AD。在 △ABD 和 △ACD 中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴ △ABD≌△ACD（SSS），∴ ∠B＝∠C。 证明性质 2（三线合一）：由 △ABD≌△ACD 还可得 ∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，即等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线互相重合。 知识归纳：1. 等腰三角形的两个　　　相等（简写成“等边对　　　”）； 2. 等腰三角形　　　　　　、　　及　　　　　重合（简写成“　　　　　”）。 参考答案：底角；等角；底边上的中线；高；顶角平分线；三线合一。 师生活动：学生对折剪纸找出重合的线段与角并填表，猜想性质；教师引导用全等证明猜想，师生共同把性质翻译成符号语言，体会“操作—猜想—证明”的研究路径。 经历“对折—猜想—证明”的过程，掌握等边对等角与三线合一，并能用符号语言表述。 由轴对称操作自然生成猜想，再以全等证明落实推理，突破辅助线添加与“三线合一”理解的难点。 三、例题精析 三、例题精析 例1（教材 P79 例1）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC＝AD。求 △ABC 各角的度数。 解：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴ ∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD（等边对等角）。设 ∠A＝x，则 ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，从而 ∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x。于是在 △ABC 中，有 ∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得 x＝36°。所以，在 △ABC 中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°。 例2　如图，在 △ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上。求证：BE＝CE。 证明：∵ AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC，∴ AD 是 BC 的垂直平分线。又 ∵ 点 E 在 AD 上，∴ BE＝CE。 例3　如图，在 △ABC 中，AB＝AC，点 E 在 CA 的延长线上，且 ∠AEF＝∠AFE。试问直线 EF 和 BC 有何位置关系？并说明理由。 解：EF⊥BC。理由如下：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ ∠BAD＝。∵ ∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，∠AEF＝∠AFE，∴ ∠AFE＝＝∠BAD，∴ EF∥AD。又 ∵ AD⊥BC，∴ EF⊥BC。 师生活动：例1 引导学生从多组等边关系中理出多对等角，设未知数列方程求角；例2 突出“三线合一”得到垂直平分线的转化；例3 引导学生作底边上的高构造“顶角的一半”的基本图形，体会平行线与垂直的传递。 能从复杂图形中识别多组“等边对等角”关系，能用三线合一与方程思想求角、证线段。 例题按“设元求角—垂直平分线转化—构造基本图形”递进，渗透几何问题代数化的建模思想。 四、当堂练习 四、当堂练习 1. 完成教材 P79～80 练习第 1，2，3 题。 2. 一个等腰三角形的一边长为 2 cm，另一边长为 5 cm，那么这个等腰三角形的周长是 A. 9 cm　　B. 12 cm　　C. 9 cm 或 12 cm　　D. 以上都不对 答案：B。（若腰为 2，则 2＋2＜5 不能构成三角形；故腰为 5、底为 2，周长＝5＋5＋2＝12 cm。） 3. 等腰三角形的底边长为 8 cm，一腰上的中线把这个三角形分成周长差为 2 cm 的两部分，则腰长为多少？ 答案：6 cm 或 10 cm。（设腰为 x，由中线分得两部分周长之差即 |x−8|＝2，解得 x＝6 或 x＝10，且 6＋6＞8，10＋10＞8 均成立。） 4. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，点 D 在 CA 的延长线上，DE⊥BC 于点 E，∠BAC＝100°，则 ∠D 等于 A. 40°　　B. 50°　　C. 60°　　D. 80° 答案：B。（∠B＝∠C＝（180°−100°）÷2＝40°，在 Rt△DEC 中，∠D＝90°−∠C＝50°。） 5. 等腰三角形的一个角是 30°，则这个等腰三角形的底角为 A. 75°　　B. 30°　　C. 75° 或 30°　　D. 不能确定 答案：C。（30° 可能是底角，也可能是顶角；若为顶角，则底角＝（180°−30°）÷2＝75°。） 6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则这个等腰三角形的顶角为多少？ 答案：60° 或 120°。（顶角为锐角时，高在形内，顶角＝90°−30°＝60°；顶角为钝角时，高在形外，顶角＝90°＋30°＝120°。） 7. 如图，已知 AB＝AC，BD⊥AC 于点 D。求证：∠BAD＝2∠DBC。 证明：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E。∵ AB＝AC，AE⊥BC，∴ ∠BAD＝2∠2（三线合一）。∵ BD⊥AC 于点 D，∴ ∠BDC＝90°，∴ ∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°，∴ ∠DBC＝∠2，∴ ∠BAD＝2∠DBC。 8. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则 ∠CBD 的度数为 A. 30°　　B. 45°　　C. 50°　　D. 75° 答案：B。（∠B＝（180°−30°）÷2＝75°；l 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，∴ ∠ABD＝∠A＝30°，∴ ∠CBD＝75°−30°＝45°。） 9. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD＝AD＝AC，E 为 CD 的中点。若 ∠CAE＝16°，则 ∠B 为多少？ 答案：37°。（AD＝AC，AE 是底边 CD 上的中线，由三线合一知 ∠DAC＝2∠CAE＝32°，∴ ∠C＝（180°−32°）÷2＝74°。∵ BD＝AD，∴ ∠B＝∠BAD，∠ADC 是 △ABD 的外角，∴ ∠ADC＝2∠B＝74°，∴ ∠B＝37°。） 10. 已知等腰三角形的一个外角为 130°，则它的顶角的度数为多少？ 答案：50° 或 80°。（与外角相邻的内角为 50°：若 50° 是顶角，顶角为 50°；若 50° 是底角，则顶角＝180°−2×50°＝80°。） 师生活动：限时独立完成，小组核对答案；教师讲评第 2 题三边关系的隐含制约、第 5、6、10 题的分类讨论意识、第 7、9 题“三线合一”与外角定理的联动。 能运用等边对等角与三线合一进行角度计算与证明，形成分类讨论与设元方程的解题意识。 练习覆盖“三边关系—分类讨论—构造基本图形—方程求角”四个层次，培养全面、周到思考问题的习惯。 五、课堂小结 布置作业 五、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 等腰三角形有哪两条性质？各有什么简写说法？ 2. 用性质证题时，如何选择“三线”中的哪一条作辅助线？ 布置作业：完成教材 P84 习题 15.3 第 1，2，3 题；对应课时练习。 回顾“操作—猜想—证明—应用”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，强化“等边对等角”与“三线合一”的使用前提；作业巩固运用。 板书设计 15.3　轴对称（15.3.1 第1课时：等腰三角形的性质） 一、性质 1（等边对等角）：在 △ABC 中，AB＝AC → ∠B＝∠C 二、性质 2（三线合一）：AB＝AC，底边上的中线、高、顶角平分线互相重合 三、等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线是它的对称轴 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $