11.2 乘法公式（第4课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 11.2 乘法公式 （第4课时）乘法公式的应用 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 两个公式，三种用途 平方差 完全平方 今天研究 用公式进行简便计算、整体求值和面积计算。 复习引入 从相近的整数看结构 计算：。 答： 解 方法：取两数的中间数作为共同部分。 注意：乘积比少1。 复习引入 知道和与积，能否求平方和 已知，，求。 答： 解 方法：把所求量放进熟悉的恒等式。 注意：无需分别求出和。 新知讲授 由完全平方公式得到平方和 展开 移项 另一种形式 新知讲授 和的平方与差的平方相加 写出两式 相加消去乘积项 得到所求 新知讲授 和的平方与差的平方相减 观察 两式中的平方项相同，乘积项互为相反数。 相减 得到乘积 新知讲授 把关系用于已知条件 已知，，求。 答： 解 方法：先选能直接代入条件的等式。 注意：差的平方中的乘积系数是4。 新知讲授 接近整百数的乘积 识别 计算 推广观察 两因数与同一个整百数的距离相等时，可用平方差公式。 新知讲授 面积问题中的公式 基本关系 剩余面积＝整体面积－挖去部分面积。 圆面积 直径为的圆，面积为。 运算顺序 先列面积式，再用乘法公式化简；最后补上面积单位。 例题讲解 例 9 已知，。求与的值。 答：，。 解 方法：相加求平方和，相减求乘积。 注意：相减时保持和的平方减差的平方。 例题讲解 例 9 已知，，求与。 变式 答：；。 解 方法：对应两个恒等式直接代入。 注意：平方和除以2，乘积除以4。 例题讲解 例 9 已知，，求。 变式 答： 解 ，。 方法：先求基础组合，再求目标组合。 注意：保持未知量的整体结构。 例题讲解 例 10 计算：。 答： 解 方法：把两因数写成同一数加减同一数。 注意：先观察抵消，再做数值计算。 例题讲解 例 10 计算：。 变式 答： 解 方法：找出中间数与两边的差。 注意：补偿项应为差的平方。 例题讲解 例 10 计算：。 变式 答： 解 方法：两次用平方差公式，先消去大数平方。 注意：减去整个乘积须加括号。 例题讲解 例 11 如图，一张直径为的圆形纸片，从中挖去直径分别为、、的三个圆形纸片。求剩下纸片的面积（结果保留）。 直径均为正，三个小圆互不重叠。 答：。 解 方法：用直径列面积式，统一提出。 注意：半径是直径的一半。 例题讲解 例 11 直径为厘米的圆形纸片，挖去直径分别为、、厘米的三个互不重叠的圆。求剩余面积。 变式 答：平方厘米。 解 方法：按一个大圆减去三个小圆列式。 注意：两枚相同小圆的面积要减两次。 例题讲解 辨析　整体求值的常见错误 （1）已知，则。 × 还需减去。 （2）已知，则。 × 也可能。 （3）。 √ 两边展开后相同。 方法：用性质或具体数值判断。 注意：错误等式要写出正确结果。 例题讲解 辨析　直径不能直接当半径 辨析 小明说：直径为的圆挖去直径为的圆，剩余面积为。正确吗？ 答：不正确；应为。 解 两个圆的半径都应为直径的一半。 方法：先检查列式所用长度的含义。 注意：原答案是正确面积的4倍。 方法总结 公式应用：先辨结构，再运算 方法1　整体求值 ① 列出含已知量与所求量的恒等式。 ② 先变形，再代数值。 方法2　简便计算 ① 找共同中间数与相同偏移量。 ② 平方项能抵消时先抵消。 课堂练习 练习1 计算：。 答： 解 方法：以平方中的数作共同中间数。 注意：注意减去括号后的符号。 课堂练习 练习2 已知，。求与的值。 答：；。 解 方法：分别运用平方和与差的平方关系。 注意：两次减去的分别是与。 课堂练习 练习3 先化简，再求值：，其中，。 答：；。 解 方法：分别展开、合并，再代入数值。 注意：乘括号，三项都要变号。 课堂练习 练习4　观察一种平方计算方法 等式变形 对平方差公式运用等式性质，得到．可以利用这个等式进行如下计算： 示范一 ； 示范二 ． 课堂练习 练习4 请试着用这个方法计算： （1） （2） 解第（1）题 解第（2）题 方法：按题目结构选法，分步计算。 注意：注意负号、括号与指数。 课堂总结 乘法公式 的应用 整体求值 组合关系 简便计算 中间数加减同一数，构成平方差。 面积建模 先列整体减部分，再用公式化简。 特别提醒：先辨结构，后代入；面积注意直径与半径。 针对训练 训练1　选择 已知，，则等于（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 方法：用和的平方减去两倍乘积。 注意：不要误写成。 针对训练 训练2　填空 已知，，则______。 答： 解 方法：两式相减消去平方项。 注意：结果还需除以4。 针对训练 训练3　从差与积求平方和 已知，，求。 答： 解 方法：已知差时，用差的完全平方公式。 注意：这里要加上两倍乘积。 针对训练 训练4　求另一个平方 已知，，求。 答： 解 方法：先观察结构，再选择运算方法。 注意：逐项核对符号与指数。 方法总结 条件与所求如何连接 方法1　已知和、积 ① 求平方和：减去两倍乘积。 ② 求差的平方：减去四倍乘积。 方法2　已知两个平方 ① 相加后除以2，求平方和。 ② 相减后除以4，求乘积。 针对训练 训练5　简便计算 计算：。 答： 解 方法：先观察结构，再选择运算方法。 注意：逐项核对符号与指数。 针对训练 训练6　差式中的抵消 计算：。 答： 解 方法：先观察结构，再选择运算方法。 注意：逐项核对符号与指数。 针对训练 训练7　指定方法计算平方 利用计算。 答： 解 方法：选取，使两个因数便于心算。 注意：最后应加上。 针对训练 训练8　先化简，再求值 先化简，再求值：，其中。 答：；。 解 时， 方法：先观察结构，再选择运算方法。 注意：逐项核对符号与指数。 方法总结 计算中的两种简化 方法1　相近数乘积 ① 写成共同数加减同一数。 ② 优先消去相同的大数平方。 方法2　代数式求值 ① 展开后先合并同类项。 ② 得到最简式再代入。 针对训练 训练9　判断并改正 小林认为：若且，则。判断并改正。 答：错误；应为。 解 方法：区分平方和与和的平方。 注意：是的值。 针对训练 训练10　由平方和与积求组合 已知，，求与。 答：；。 解 方法：先观察结构，再选择运算方法。 注意：逐项核对符号与指数。 针对训练 训练11　组合量比较 已知，，求。 答： 解 ，。 方法：先观察结构，再选择运算方法。 注意：逐项核对符号与指数。 针对训练 训练12　检验一个恒等式 说明：对任意都成立。 答：恒等式成立。 解 左边 合并得，与右边相同。 方法：从一边化简到另一边。 注意：只代入一个数不能证明恒等式。 针对训练 训练13　应用：花坛改建 一块正方形花坛边长为米。改建为长米、宽米的长方形，面积减少多少平方米？ 答：平方米。 解 新面积。 减少。 方法：把长与宽写成原边长加减同一数。 注意：比较的是面积差。 针对训练 训练14　应用：圆环面积 一枚圆环的外直径比内直径长厘米，两直径之和为厘米。求圆环面积（保留）。 答：平方厘米。 解 设外、内直径为、。 方法：把平方差改写为和与差的乘积。 注意：用直径计算时须乘。 方法总结 应用题：从数量关系到公式 方法1　建立面积式 ① 写清长度代表边长、半径还是直径。 ② 整体减部分，保留完整括号。 方法2　整理与作答 ① 辨认平方差或完全平方结构。 ② 化简后检查数量意义与单位。 $