11.2 乘法公式（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 11.2 乘法公式 （第2课时）完全平方公式 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 回顾平方差公式 计算：。 答： 解 两因式一和一差，符合平方差结构。 。 方法：先观察两个因式是否不同。 注意：平方差公式用于一和一差的乘积。 复习引入 相同的两个因式相乘 用整式乘法计算：。 答： 解 合并得。 方法：相同因式相乘就是这个整式的平方。 注意：这里的两个中间项相加，不会相消。 复习引入 比较两种乘积 一和一差 。 和的平方 。 观察重点 乘积结构不同，结果也不同；先看清因式。 新知讲授 推导两数和的平方 的展开式是什么？ 答： 解 。 。 方法：把平方写成两个相同整式的乘积。 注意：两项乘两项，展开时仍有四个乘积。 新知讲授 推导两数差的平方 的展开式是什么？ 答： 解 。 。 方法：同样从整式乘法出发。 注意：，最后一项前用加号。 新知讲授 完全平方公式 文字表述 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍． 和的平方 差的平方 新知讲授 和的平方：四块面积相加 两个对应中间的 长度条件： 设，大正方形边长为。 四块面积： 两块正方形面积为；两块长方形各为。 得到公式： 。 新知讲授 差的平方：去掉两条带状部分 左上小正方形的面积为 长度条件： 设，大正方形边长为。 扣除与补回： 去掉右侧和下侧各宽的长条，重叠的需补回。 得到公式： 。 新知讲授 三个部分分别怎样计算 两项的平方 的两平方为与。 两倍乘积 中间项为。 完整结果 。 新知讲授 和的平方与差的平方 相同之处 两式都包含和，最后一项都是正号。 不同之处 中间项分别是与。 检查顺序 先查两个平方，再查中间项的系数与符号。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：依次写两平方与两倍积。 注意：第2题中要整体平方。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 中间项为。 方法：差的平方，中间项用减号。 注意：第4题中。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 。 方法：可直接带符号代入，也可先整体变号。 注意：整个整式变号后的平方不变。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 分别求平方及两倍积。 方法：把与当作两个整体。 注意：中间项的字母指数不要再次平方。 例题讲解 例 5 利用完全平方公式计算：。 答： 解 。 继续展开，得三个平方和三个两倍积。 方法：先将其中两项看成一个整体。 注意：最后还要展开这个整体的平方。 例题讲解 例 3 计算：。 变式 答： 解 ，中间项为。 方法：先保留两个整体，再计算三部分。 注意：不能把两倍积漏写为。 例题讲解 例 4 计算：。 变式 答： 解 。 。 方法：先利用整体变号后平方不变。 注意：，乘积的系数为正。 例题讲解 例 5 计算：。 变式 答： 解 。 方法：先把看成一个整体。 注意：要乘整体中的每一项。 例题讲解 错解辨析　漏掉两倍积 辨析 小华写：。 指出错误并改正。 答：应为。 解 漏掉中间项。 完整结果包含两个平方和两倍积。 方法：逐项对应完全平方公式。 注意：整式的平方不等于各项平方相加。 例题讲解 错解辨析　差的平方末项符号 辨析 小明写：。 指出错误并改正。 答：应为。 解 末项来自。 差的平方仅中间项为减去两倍积。 方法：检查末项是否为平方项，且前面是加号。 注意：括号内的减号不会使平方项变负。 方法总结 完全平方公式的检查顺序 方法1　先确定两个整体 ① 保留单项式原有的系数。 ② 负号与所属项一起处理。 方法2　再核对三部分 ① 两个整体分别平方。 ② 中间项等于两倍乘积。 课堂练习 练习1　下列计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？ （1）。 × 漏两倍积；应为。 （2）。 × 应为。 （3）。 × 应为。 （4）。 × 末项前应为加号，应为。 方法：分别检查两个平方和中间两倍积。 注意：不能只看有没有三项。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 。 方法：每一步先辨结构，再用相应公式。 注意：平方差和完全平方的结果项数不同。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（3）题 中间项。 两平方为、。 方法：每一步先辨结构，再用相应公式。 注意：平方差和完全平方的结果项数不同。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（4）题 中间项。 两平方为、。 方法：每一步先辨结构，再用相应公式。 注意：平方差和完全平方的结果项数不同。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（5）题 前两式相乘得。 原式。 方法：每一步先辨结构，再用相应公式。 注意：平方差和完全平方的结果项数不同。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（6）题 ，再展开。 方法：每一步先辨结构，再用相应公式。 注意：平方差和完全平方的结果项数不同。 课堂总结 完全平方公式 和的平方 差的平方 结构识别 同一整式平方；可含带负号的项或高次项。 整体处理 三项先分组，再展开与合并。 特别提醒：两个平方不能少，中间项一定是两倍积。 针对训练 训练1　选择 等于（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 中间项是，末项是。 方法：按三部分逐项检查。 注意：差的平方不等于平方差。 针对训练 训练2　填空 的展开式为，则______。 答： 解 中间项为。 因此。 方法：待求中间项由两倍积确定。 注意：系数为。 针对训练 训练3　判断并改正 判断：。 答：错误；应为。 解 第二整体是。 它的平方为，应为正号。 方法：检查最后一个平方项的符号。 注意：。 方法总结 基本题的三项检查 方法1　平方项 ① 首项是第一整体的平方。 ② 末项是第二整体的平方。 方法2　中间项 ① 系数是两个系数乘积的两倍。 ② 符号随两项乘积确定。 针对训练 训练4　带负号的项参与计算 计算：。 答： 解 中间项为。 方法：直接把带负号的一项代入公式。 注意：平方项非负，中间项由的符号决定。 针对训练 训练5　分数系数 计算：。 答： 解 两平方为、。 两倍积为。 方法：分数先约分再相乘。 注意：中间项只取乘积，不另平方。 针对训练 训练6　高次单项式 计算：。 答： 解 两平方为、。 两倍积为，前取减号。 方法：平方项与中间项分开计算。 注意：中间项中的指数保持原来的数值。 方法总结 负号、分数与指数 方法1　处理系数 ① 平方项的系数分别平方。 ② 中间项乘完系数再确定符号。 方法2　处理字母 ① 平方项使用幂的乘方。 ② 中间项使用单项式乘法。 针对训练 训练7　混合运算 化简：。 答： 解 去括号，合并为。 方法：两个平方先展开，再做减法。 注意：第二个中间项变号后为。 针对训练 训练8　补全等式 的展开式为，则______。 答： 解 展开平方得。 比较一次项，得。 方法：展开已知平方再对应比较。 注意：两倍积包含系数。 针对训练 训练9　三项整式的平方 计算：。 答： 解 ，再展开。 方法：先把看成一个整体。 注意：必须分配到整体的两项。 针对训练 训练10　先化简再求值 当时，求的值。 答： 解 化简为。 代入得。 方法：先化简可减少平方计算。 注意：代入分数时按运算顺序计算。 针对训练 训练11　说明关系 比较与的大小，并说明理由。 答：比大。 解 。 后式减前式，结果为。 方法：把平方展开后比较差值。 注意：结论对任意都成立。 方法总结 多步运算的安排 方法1　混合化简 ① 平方展开完整后再加减。 ② 减去整式时逐项变号。 方法2　三项平方 ① 先分组，变成两个整体。 ② 展开整体内部后再合并。 针对训练 训练12　应用　扩建正方形花坛 正方形花坛边长为米，。边长增加米，求新面积及增加的面积。 答：新面积平方米；增加平方米。 解 新面积为。 减去原面积，得。 方法：新面积用新边长的平方表示。 注意：面积增加量不只是。 针对训练 训练13　应用　裁剪正方形纸片 边长为厘米的正方形纸片，。沿相邻两边各裁去厘米宽的长条，使剩余部分仍为正方形。求剩余面积与裁去面积。 答：剩余平方厘米； 裁去平方厘米。 解 剩余边长，面积。 裁去面积。 方法：先明确裁剪后的小正方形边长。 注意：两个长条有重叠区域，不能重复计算。 方法总结 正方形面积的应用 方法1　列式 ① 先求变化后的边长。 ② 正方形面积等于边长的平方。 方法2　作差 ① 所求增减量用两个面积作差。 ② 写明面积单位，并检查正值条件。 $