11.2 乘法公式（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 11.2 乘法公式 （第1课时）平方差公式 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 展开后出现了什么 计算：。 答： 解 中间两项相消，得。 方法：先使用整式乘法展开。 注意：相消的是与。 复习引入 更换字母再观察 计算：。 答： 解 中间两项再次相消。 方法：观察两因式中相同与相反的项。 注意：的平方是。 复习引入 寻找共同结构 因式结构 与都含一和一差。 展开特征 出现一对互为相反数的同类项。 本课问题 能否直接由两因式写出最后的两个平方项？ 新知讲授 从整式乘法推出公式 的结果有什么特征？ 答： 解 展开得。 ，留下。 方法：用已知乘法法则推出新公式。 注意：这里可以表示数或整式。 新知讲授 平方差公式 文字表述 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差． 平方差公式 关键特征 一组项相同，另一组项互为相反数。 新知讲授 从正方形面积看平方差 ，涂色面积为 长度条件： 设。 两块面积： 大正方形面积为，小正方形面积为。 剩余面积： 去掉小正方形后，面积为。 新知讲授 同样的面积可以拼成长方形 ，剪拼前后面积相等 剪拼思路： 把上一图形剩余部分剪拼成长方形。 新的边长： 长为，宽为，面积为。 面积不变： 因此。 新知讲授 找准公式中的两个整体 观察原式 。 对应关系 公式中的对应，对应。 写出结果 。 新知讲授 交换顺序后仍能使用 计算：。 答： 解 先改写为。 相同项为，结果是。 方法：先整理两因式的项的顺序。 注意：不能按书写的第一个字母机械套公式。 新知讲授 相同项也可以带负号 计算：。 答： 解 相同项为，相反项为与。 。 方法：带符号地识别两个整体。 注意：带负号的项平方时，要把负号括在括号中。 新知讲授 什么时候不能直接套用 符合结构 ：相同项，相反项与。 不符合结构 ：与不互为相反数。 处理办法 不能套用时，继续用整式乘法展开。 例题讲解 例 1 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 相同项，另一整体为。 。 解第（2）题 。 方法：先说出公式中的两个整体。 注意：平方作用于整个单项式。 例题讲解 例 1 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 分别对系数与字母平方。 方法：分子与分母分别平方。 注意：。 例题讲解 例 1 计算：。 变式 答： 解 。 方法：把作为完整的一个整体。 注意：指数乘，系数也要平方。 例题讲解 例 2 计算： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：找相同项，再找相反项。 注意：第2题的相同项是。 例题讲解 例 2 计算：。 变式 答： 解 改写为。 。 方法：调整排列不改变每项的符号。 注意：结果是相同项平方减相反项平方。 例题讲解 例 2 比较与的结果。 变式 答：前式为；后式为。 解 前式符合平方差结构。 后式展开为。 方法：先辨结构，再选方法。 注意：相反的两个整式不一定是和与差。 例题讲解 错解辨析　平方对象不完整 辨析 小明写：。 指出错误并改正。 答：应为。 解 公式中的第一整体是。 。 方法：先写带括号的平方，再计算。 注意：系数也必须平方。 例题讲解 辨析　谁的平方在前面 辨析 计算：与。 答：分别为与。 解 第一式相同项为。 第二式相同项为。 方法：结果顺序由相同项决定。 注意：两式始终互为相反数。 方法总结 平方差公式的识别方法 方法1　先辨结构 ① 找到两个因式的相同项。 ② 另一组项必须互为相反数。 方法2　再写平方差 ① 相同项的平方写在前面。 ② 单项式整体平方后再化简。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：逐个乘积辨认平方差结构。 注意：相加的两个结果最后再合并。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（3）题 系数平方，幂的指数相乘。 方法：逐个乘积辨认平方差结构。 注意：相加的两个结果最后再合并。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（4）题 。 方法：逐个乘积辨认平方差结构。 注意：相加的两个结果最后再合并。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（5）题 。 解第（6）题 合并同类项得。 方法：逐个乘积辨认平方差结构。 注意：相加的两个结果最后再合并。 课堂练习 练习回看　解释四次方的来源 在练习（3）中，为什么结果出现？ 答：因为。 解 第一整体是。 整体平方得到。 方法：将公式识别与幂运算联起来。 注意：平方不是把指数加。 课堂练习 练习回看　比较符号位置 把练习（6）中的加号改为减号，计算： 。 答： 解 去括号并合并，得。 方法：先算各乘积，再处理两个式子的减法。 注意：第二个结果的两项都要变号。 课堂总结 平方差公式 结构 两数的和与这两数的差相乘。 公式 识别 可先调序；相同项可以带负号。 计算 整体平方，最后合并同类项。 特别提醒：相同项平方在前；另一整体平方在后。 针对训练 训练1　选择 下列可直接使用平方差公式的是（　）。 A. B. C. D. 答：C 解 C中相同项为，相反项为与。 其余选项不同时具有这两个特征。 方法：先找相同项与相反项。 注意：形式相近并不足以套公式。 针对训练 训练2　填空 ______。 答： 解 分别求两个整体的平方。 方法：先写平方形式，再写最终结果。 注意：系数和字母都要平方。 针对训练 训练3　判断并改正 判断：。 答：错误；应为。 解 第二整体为。 平方差中的第二项是。 方法：检查两个整体是否都平方。 注意：常数也遵守平方运算。 方法总结 基本题的快速核验 方法1　看结构 ① 是否有两个二项式相乘？ ② 是否一组相同、一组相反？ 方法2　看结果 ① 结果是否为两个平方的差？ ② 两个系数是否都已平方？ 针对训练 训练4　识别带负号的项 计算：。 答： 解 改写为。 。 方法：相同项连负号一起确定。 注意：相同项是，不是。 针对训练 训练5　分数系数 计算：。 答： 解 分子、分母和字母分别平方。 方法：每个分数视为一个完整系数。 注意：平方为。 针对训练 训练6　高次整式 计算：。 答： 解 使用幂的乘方求得结果。 方法：先识别，再处理指数。 注意：幂的乘方要把指数相乘。 方法总结 调序与整体的处理 方法1　带负号的整体 ① 每一项连着自身的符号。 ② 先调序，再写平方差。 方法2　含分数或高次幂 ① 系数平方、字母平方。 ② 幂的乘方按指数相乘。 针对训练 训练7　混合运算 化简：。 答： 解 。 方法：各乘积先用公式求出。 注意：减去括号内的应变为。 针对训练 训练8　填入合适的数 的展开式为，且，求。 答： 解 由公式得。 且，故。 方法：把对应项的系数进行比较。 注意：利用确定正值。 针对训练 训练9　先化简再求值 当时，求的值。 答： 解 原式。 结果与的取值无关。 方法：先化简，再判断是否还需代入。 注意：化简成常数时不要重复计算。 针对训练 训练10　数的运算 计算：。 答： 解 。 方法：把两数写成同一数加减同一个数。 注意：中间数是，差值是。 针对训练 训练11　辨别后计算 计算：。 答： 解 第一式为。 第二式展开为，作差。 方法：可套公式的部分先套，其他部分展开。 注意：第二个乘积不符合平方差结构。 方法总结 公式与一般乘法配合 方法1　混合运算 ① 先计算每个乘积。 ② 再去括号、合并同类项。 方法2　数值计算 ① 先寻找同一中间数。 ② 用平方差减少乘法计算。 针对训练 训练12　应用　求面积的变化 正方形花坛边长为米。改成长为米、宽为米的长方形，面积改变了多少？ 答：面积减少平方米。 解 新面积。 原面积为，减少。 方法：长宽一增一减相同长度时可用平方差。 注意：长度变化相反，面积仍会减少。 针对训练 训练13　应用　正方形边框 一块正方形木板外边长为厘米，挖去边长为厘米的同心正方形，。求剩余面积。 答：平方厘米。 解 剩余面积为。 。 方法：先列外面积减内面积，展开求差。 注意：本题平方不能漏掉中间乘积项。 方法总结 面积题中的公式 方法1　建立面积式 ① 根据图形求出真实边长。 ② 明确所求是总面积还是面积差。 方法2　选择计算法 ① 出现和与差的乘积时用平方差。 ② 其他面积式用整式乘法展开。 $