第22章 相似形单元练习题2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级数学上册相似形单元卷，知识覆盖全面，融合《黑神话：悟空》古建筑测量、墨子小孔成像等文化与生活情境，梯度设计合理，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|相似判定、位似性质|平行线分线段成比例（第1题）、位似坐标变换（第2题）| |填空题|4|相似计算、黄金分割|矩形折叠相似（第11题）、正方形内相似线段（第12题）| |解答题|6|相似应用、证明|飞虹塔高度测量（第17题，文化情境）、相似体性质探究（第19题，模型意识）| |实践探究题|2|综合应用|共边三角形面积关系（第21题，创新探究）、黄金三角形分割（第22题，数学文化）|

沪科版九年级数学上册第22章 相似形单元练习题 一、单选题 1．已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 3．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形(点的对应点分别为点)，已知，，的面积为2，则的面积为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 4．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，平分．与交于点．若，则的长度为（　　） A．1 B．3 C． D． 6．如图，在△ABC中， D是AB边上的点， ∠B=∠ACD， AC：AB=1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（ ) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D． 7．如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC 相似的是(　　). A． B． C． D． 8．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了(　　) A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m 9．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 10．如图，点D，E，F分别在的边上，，点G是EF的中点，连接AG并延长交BC于点H，已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝　 　． 12．如图，在边长为12的正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，点G，H分别在，上，若，连接，则的长是　 　． 13．若 则 　 　 14．如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为　 　． 三、解答题 15．线段、、，且．若线段、、满足，求的值． 16．如图，已知，，，，求的长． 17．《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，且点在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 18．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD= （1）求证：； （2）求▱ABCD的面积． 19．阅读理解： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体. 如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比. 设S甲，S乙分别表示这两个正方体的表面积，则 又设V甲，Vz分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是(　　) A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于　 　；②相似体表面积的比等于　 　；③相似体体 积 的 比 等于　 　 （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m ，体重为 18 kg.到了九年级时，身高为1.65m，则他的体重是多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)? 20．如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2； （1）证明：△ABC∽△ADE． （2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：　 　． 六、实践探究题 21．【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC 与△ABD 是以 AB 为 公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连结DC 并延长，交AB 于点E，则 【问题解决】如图②，在△ABC 中，D 为BC的中点，E为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F，连结DF. （1）找出以 BF 为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC 的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积. （2）求证： （3） 若将“D为BC 的中点”改为“BD ： DC=2：3”，则AF：CF=　 　. 22． 黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”. （1）①若C 是线段AB 的黄金分割点((AC>BC)，则AC 与AB 的比值是 ▲ ； ②如图1，学校元旦晚会的舞台AB 长为20m，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C 处更自然得体(已知C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点)，则此时小明与点 A 的距离为 ▲ m. （2）如图2，请将内角分别为 的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数. （3）如图3，已知等腰三角形ABC 为“黄金三角形”， BD 为 的平分线. 23．如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合． （1）如图，当点在边上时． ①若，则的长为______； ②若时，求的长； （2）作的平分线交射线于点，当时，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】C 【解析】【解答】解： ∵，， ∴， ∴， 即：与的面积比是． 故答案为：C. 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，再利用相似三角形的性质定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵由图可知， A选项中三角形各角的度数分别为 B选项中三角形各角的度数都是 C选项中三角形各角的度数分别为 D选项中三角形各角的度数分别为 ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选： C. 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：如图： ∵由题意可得AB∥EF， ∴△DAB∽△DEF， ∴ ∴ ∴EF=0.8米． ∴捣头点E上升了0.8米． 故答案为：B． 【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证△DAB∽△DEF，再由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 【分析】 先根据题意推导得出，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，得到结论，最后结合已知条件蜡烛火焰的高度为，计算求解即可得出答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：AH交DF于Q点，如图， ∵∠AFD=∠FDE=∠DEB， ∴DE∥AC，DF∥CE， ∴四边形CEDF为平行四边形， ∴DF =CE， ∵，此时可以设DF=3x，BC=7x ∴CE =3x， ∴BE=BC-CE=4x， ∵FQ∥EH， ∴△EHG∽△FQG， ∴， 即EH= FQ， ∵DF∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵QF∥CH， ∴△AQF∽△AHC， ∴ 此时可以设QF=3t，CH=7t， ∴EH=3t， ∵CE=EH+CH=10t， ∴10t =3x， 即t =x， ∴CH=7t=x， ∴. 故答案为：A. 【分析】首先根据“内错角相等、两直线平行；同位角相等、两直线平行”得出DE∥AC，DF∥CE，此时有四边形CEDF为平行四边形，然后分别利用相似三角形的性质分别得出DF=3x、BE=4x、CH=7t，CE=10t，因为DF =CE，因此t =x，最后得出CH=7t=x，代入计算即可。 11．【答案】1+ 12．【答案】 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ∴a=b， ∴， 故答案为：. 【分析】由得a=b，代入计算即可. 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴． 【解析】【分析】考查平行线分线段成比例定理。先求出长度，再利用得到对应线段成比例，列出比例式，代入数值求解。 17．【答案】飞虹塔的高度为米． 18．【答案】（1）证明：∵△ADF∽△DEC， （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°， ∴在Rt△EAD中， ∴AE＝3（cm）， （cm2） 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，进而代入化简即可求解； （2）根据平行四边形的性质结合勾股定理得到AE，进而根据三角形的面积即可求解。 19．【答案】（1）A （2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 （3）解：设他九年级时的体重为 m kg. 由题意，得 解得 m =60.75. 经检验，m=60.75 是所列方程的根，且符合题意. 答：他九年级时的体重是60.75 kg 【解析】【解答】解：(1)A两个球体，形状完全相同，是相似体. B两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体. C两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体. D两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体. 故选A. (2)根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于相似比. ②相似体表面积的比等于相似比的平方. ③相似体体积的比等于相似比的立方. 故答案为： (1)A.(2)①相似比； ②相似比的平方；③相似比的立方. 【分析】(1)根据阅读材料得到相似体的概念，然后对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析，发现只有球体的形状是完全相同的. (2)根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段(或弧)长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系. 20．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC， ∴∠BAC=∠DAE． ∵∠C=∠E， ∴△ABC∽△ADE （2）AB=AD（答案不唯一） 【解析】【解答】（2）补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下： 由（1）得：∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE； 故答案为：AB=AD（答案不唯一）． 【分析】（1）由∠1=∠2，证出∠BAC=∠DAE．再由∠C=∠E，即可得出结论；（2）由AAS证明△ABC≌△ADE即可． 21．【答案】（1）解：由题意，得以BF 为公共边的“共边三角形”为△ABF 和△DBF，△ABF 和△CBF，△DBF 和△CBF.由“共边三角形”的性质，得 ∵D，E 分别为BC，AD的中点， ∵△ABC 的面积为45， （2）证明：由“共边三角形”的性质，得 由(1)，知 （3）2：5 【解析】【解答】(3)由“共边三角形”的性质，得 CF=2：5. 故答案为：2：5. 【分析】(1)根据“共边三角形”的概念可求解，则有 进而问题可求解； (2)由(1)及题意可进行求解； (3)由题意易得进而问题.可进行求解. 22．【答案】（1）① ②（10－10） （2）解：∵有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”， ∴作108°角的三等分线，将原三角形分割如图. ​​​​​​​ （3）证明：∵ AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°. 又∵ BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°－∠C－∠CBD＝72°， ∴AD＝BD，BC＝BD，即AD＝BC＝BD. 又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A， ∴△CBD∽△CAB， ∴＝，∴＝， ∴点D是AC的黄金分割点. 【解析】【解答】解：（1）①∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴＝. 故答案为：. ②∵ AB长为20 m，C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴＝，解得AC＝（10－10）m. 故答案为：（10－10）. 【分析】(1) ①设 ， 。由点 是线段 的黄金分割点 ( )，推出 ，即 ，可得 ，解方程，可得结论； ②利用①在结论求解即可； (2)根据黄金三角形的定义画出图形即可； (3)证明 ，推出 ，推出 ，可得结论. 23．【答案】（1）①4； ②由题可知，， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解：①如图，当点在边上时， 过点作于点， 平分，， ，． ， ． ． ，， ． ， ． ，，， （HL）． ． 设，则． ． 在中，由勾股定理得， ， ． 解得，（舍去）． ． 矩形中，． ． ②如图，当点在边延长线上时， 同①可得，，． ． ，． 综上所述：或6． 【解析】【解答】（1）解：①由题可知，， 在中，由勾股定理得， ， ∴的长为4； 故答案为：①4； 【分析】（1）①根据勾股定理即可求出答案. ②根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案. （2）分情况讨论：①当点在边上时， 过点作于点，根据角平分线性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得MN，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在边延长线上时，同①可得，，，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）解：①由题可知，， 在中，由勾股定理得， ， ∴的长为4； 故答案为：①4； ②由题可知，， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解： ①如图，当点在边上时， 过点作于点， 平分，， ，． ， ． ． ，， ． ， ． ，，， （HL）． ． 设，则． ． 在中，由勾股定理得， ， ． 解得，（舍去）． ． 矩形中，． ． ② 如图，当点在边延长线上时， 同①可得，，． ． ，． 综上所述：或6． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $