2.3 有理数的乘法运算、有理数乘法的运算律、有理数乘法的实际应用专项训练-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

有理数的乘法运算、有理数乘法的运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 有理数的乘法运算、有理数乘法的运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 考点目录 有理数的乘法运算 有理数乘法的运算律 有理数乘法的实际应用 考点一 有理数的乘法运算 例1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 变式3．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二 有理数乘法的运算律 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 例2．（25-26七年级上·河北保定·期中）下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 例3．（25-26七年级上·湖南张家界·阶段检测）简便运算：________． 例4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 变式1．（25-26七年级上·新疆和田·期中）式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 变式2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）______． 变式4．（25-26七年级上·福建三明·期中）在我们学习了有理数的加减后，继续学习有理数的乘法，根据乘法定义（乘法是求几个相同加数和的简便运算）可知：，可是为什么呢？以下是说明其正确性的解题过程： 解：因为（第1步） （第2步） （第3步） 所以是即的相反数（第4步） 所以．（第5步） 以上解题过程中，第1步的依据是______． 考点三 有理数乘法的实际应用 例1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）一件40元的商品，先提价，再降价，这件商品（  ） A．比原价贵 B．价钱不变 C．比原价便宜 D．不确定 例2．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定，则．同理可得，___________． 例4．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（　　） A．722427 B．729624 C．722724 D．722496 变式1．（25-26七年级上·四川自贡·期末）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示，孩子已经出生的天数（十进制）为___________． 变式2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，是西安地铁2号线路线图．列车从钟楼站驶出时，某节车厢载有68人．规定上车人数记为正，下车人数记为负，途经永宁门时，有6人上车，10人下车，停靠南稍门站后，有的乘客下车，同时上车18人．列车驶离南稍门站时，车上共有（   ）人． A．34 B．48 C．66 D．82 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某商品标价100元，现在打八折销售，则售价是__________元． 变式4．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数的乘法运算、有理数乘法的运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 有理数的乘法运算、有理数乘法的运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 考点目录 有理数的乘法运算 有理数乘法的运算律 有理数乘法的实际应用 考点一 有理数的乘法运算 例1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 例2．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 变式2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】（1）先化简分数，然后按照有理数的乘法进行约分，计算即可求出答案． （2）先按照正负得负，负负得正化简式子，然后按照有理数的乘法分配律计算即可． （3）把写成，然后利用有理数乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 变式3．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 考点二 有理数乘法的运算律 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义． 【详解】解：是乘法分配律的直接应用． 故选：B． 例2．（25-26七年级上·河北保定·期中）下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算及乘法分配律的应用，解题的关键是正确运用乘法分配律计算． 嘉淇将带分数拆分为整数与分数的差，运用了乘法分配律，但第二步计算时符号出现错误，导致结果错误． 【详解】解：第一步：将写成，这一步是正确的，利用了带分数的拆分，为后续用乘法分配律计算做准备， 第二步：根据乘法分配律，正确计算应为： 但嘉淇计算成了，所以从第二步开始出错． 故选：C． 例3．（25-26七年级上·湖南张家界·阶段检测）简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 例4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与几个数的和或差相乘，等于这个数分别与这些数相乘，再把积相加或相减． 根据解法二，将24分别与括号内的每个分数相乘，运用了乘法分配律． 【详解】解：解法二中，24与、、分别相乘，然后相加减，符合乘法分配律． 故答案为：乘法分配律． 变式1．（25-26七年级上·新疆和田·期中）式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律的应用，区分交换律（改变顺序）和结合律（改变分组）是关键；等式右边通过改变因数的顺序和分组方式进行计算，使用了乘法的交换律和结合律，没有涉及分配律． 【详解】解：∵ 原式 中，将 与 3 交换位置，使 2 和 相邻，再分组为 ， ∴ 使用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：A． 变式2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律：或，熟练掌握有理数乘法的分配律是解题关键．根据有理数乘法的分配律解答即可得． 【详解】解：方法一：． 方法二： ． 故选：C． 变式3．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）______． 【答案】 【分析】令，，则，将所求式子进行变形，计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则， ∴ ． 变式4．（25-26七年级上·福建三明·期中）在我们学习了有理数的加减后，继续学习有理数的乘法，根据乘法定义（乘法是求几个相同加数和的简便运算）可知：，可是为什么呢？以下是说明其正确性的解题过程： 解：因为（第1步） （第2步） （第3步） 所以是即的相反数（第4步） 所以．（第5步） 以上解题过程中，第1步的依据是______． 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律．在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加，即，符合乘法分配律的运算形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加，即， 本题中，，，，因此， 故的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律 考点三 有理数乘法的实际应用 例1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）一件40元的商品，先提价，再降价，这件商品（  ） A．比原价贵 B．价钱不变 C．比原价便宜 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘法的应用，通过计算提价和降价后的价格，与原价比较即可得出结论． 【详解】解：∵提价后价格：（元）， 再降价后价格：（元）， 又∵， ∴这件商品比原价便宜， 故选：C． 例2．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据高度与气温的变化关系，通过有理数运算求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 例3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定，则．同理可得，___________． 【答案】22 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，根据新定义运算规则，将，代入公式计算即可 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：22． 例4．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（　　） A．722427 B．729624 C．722724 D．722496 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法的应用，解题的关键是总结出数字规律．根据示例总结出密码规律，然后求解即可． 【详解】解：； ； ， 密码共有6位， 前两位为：， 中间两位为：， 后两位为：， 密码为722427， 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·四川自贡·期末）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示，孩子已经出生的天数（十进制）为___________． 【答案】121天 【分析】七进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满七进一”的算式． 本题考查有理数的混合运算，理解题目意思是解题关键． 【详解】解：满十进一：． ∴图片中“满七进一”的数表示为：， ∴孩子已经出生的天数为121天． 故答案为：天． 变式2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，是西安地铁2号线路线图．列车从钟楼站驶出时，某节车厢载有68人．规定上车人数记为正，下车人数记为负，途经永宁门时，有6人上车，10人下车，停靠南稍门站后，有的乘客下车，同时上车18人．列车驶离南稍门站时，车上共有（   ）人． A．34 B．48 C．66 D．82 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 先算出途经永宁门时车上的人数剩余多少，再根据停靠南稍门站后，有的乘客下车，同时上车18人即可求解． 【详解】解：由题意得，一开始车上有68人，途经永宁门时上车6人、下车10人， ∴人数为：（人）， ∵停靠南稍门站后，有的乘客下车， ∴下车人数：（人）， ∴剩余人数：（人）； ∵同时上车18人 ∴最终人数：（人）． 故选：C． 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某商品标价100元，现在打八折销售，则售价是__________元． 【答案】80 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，售价，标价，折扣三者的关系，根据题意，可知打八折表示按标价的销售，据此即可得出答案． 【详解】解：（元） 故答案为：80． 变式4．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 【答案】2458 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，读懂题目信息，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键． 根据阶梯电价标准，年用电量5000度超过4700度，需分三部分计算电费：3000度及以下部分、超过3000度但不超过4700度部分、超过4700度部分． 【详解】解：第一阶梯电费为元； 第二阶梯电费为元； 第三阶梯电费为元； ∴总电费为元． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $