第09讲 相似多边形（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第09讲 相似多边形 （新教材北师大版） 知识点一、相似图形 2 知识点二、比例线段 2 知识点三、比例的基本性质 2 知识点四、平行线分线段成比例定理 2 知识点五、相似三角形 3 知识点六、相似多边形 3 【题型1 成比例线段】 4 【题型2 判断四条线段是否成比例】 6 【题型3 比例的基本性质】 8 【题型4 比例尺实际应用】 10 【题型5 相似多边形识别判定】 11 【题型 6 相似多边形的性质（边长、周长）】 13 【题型 7 相似多边形面积比性质】 15 【探究式学习】 19 【课后检测】 25 【复盘笔记】 35 知识点一、相似图形 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 知识点二、比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点三、比例的基本性质 (1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0） (3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝k.（b、d、···、n≠0） 知识点四、平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 知识点五、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点六、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【题型1 成比例线段】 【例1】如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 【变式1-1】已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 【变式1-2】点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 【变式1-3】如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 【题型2 判断四条线段是否成比例】 【例2】，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 【变式2-1】已知是、的比例中项，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段．根据比例中项的定义和已知条件，先求出a、b、c的值，再计算的值． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴， 又∵ ， ∴ ， 代入，得 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ，， ∴． 故选：B． 【变式2-2】下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 【详解】解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵，， ∴，不能成比例，该选项符合题意； 故选：． 【题型3 比例的基本性质】 【例3】在中，、在、边上，，，，，满足关系式，则下列关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定，根据成比例的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定，逐项判断即可，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，满足关系式， ∴， ∴设，， ∴， ，即， ∴选项B、C正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴选项A正确， 选项D无法证明， 故选：D． 【变式3-1】如图，点是线段上的一点，且线段，则线段等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段的比，正确设出线段的长度是关键． 设，则，表示出的长度，即可求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（    ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 【答案】C 【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵米，米，米 ∴ ∴（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键． 【变式3-3】如果线段a＝4cm，b＝16cm，那么a和b的比值中项是（    ） A． B．4cm C．8cm D．64cm． 【答案】C 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设它们的比例中项是x，则x2=4×16，解得x=±8（线段是正数，负值舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 【题型4 比例尺实际应用】 【例4】甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把1600米化为厘米，再根据比例尺的定义求解即可． 【详解】解：∵1600米=160000厘米， ∴这幅地图的比例尺是． 故选B． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟练掌握比例尺的定义是解答本题的关键，比例尺=图上距离：实际距离． 【变式4-1】在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（  ） A．100km B．2000m C．10km D．20km 【答案】B 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：2÷=200000（cm）=2（km）， 答：甲、乙两地的实际距离是2000m． 故选：B． 【点睛】此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算． 【变式4-2】在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　） A．50cm B．500cm C． D． 【答案】B 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【详解】解：∵1：50=10:500， ∴长度为10cm的线段实际长为500cm， 故选B． 【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键． 【变式4-3】地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 【题型5 相似多边形识别判定】 【例5】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 【变式5-1】下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 【变式5-2】下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 【变式5-3】下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题，相似图形的判定，相似三角形的判定，根据相似图形的判定定理逐一判断即可，掌握相似图形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：（1）平行四边形邻边比相等但对应角不一定相等，不一定是相似形，错误； （2）四角相等均为但对应边不一定成比例，不一定是相似图形，错误； （3）等腰三角形腰上的高与腰的比等于顶角正弦值，但顶角相等或互补时比相同，而互补时三角形不相似，错误． （4）有两边及第三边上的高对应成比例，高可能在三角形内或三角形外，两三角形不一定相似，错误． （5）直角三角形两边对应成比例，则第三边可由勾股定理推导出成比例，即三边对应成比例，两三角形相似，正确． 综上，正确命题有（5）共1个． 故选：B． 【题型 6 相似多边形的性质（边长、周长）】 【例 6】一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质． 利用相似多边形对应边成比例的性质，通过最长边求比值，再求最短边． 【详解】解：∵两个多边形相似， ∴对应边成比例， 原多边形边长分别为3、4、5、6、7，最长边为7，最短边为3， 相似多边形最长边为28， 设比值为k， 则， ∴相似多边形最短边． 故选：C． 【变式 6‑1】在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理、多边形相似的判定、熟练掌握两个相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题关键．根据相似多边形的性质、举反例解答即可得答案． 【详解】解：A．三边比分别为与的两个直角三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， B．两边之比是的两个等腰三角形相似，故该选项是真命题，符合题意， C．三个内角分别为、、和、、的两个三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， D．∵四边形不具有稳定性， ∴四边形的各内角可以改变，故不一定相似，该选项是假命题，不符合题意， 故选：B． 【变式 6‑2】下面说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 D．相似多边形的面积比等于周长比的平方 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、菱形的判定，相似多角形的性质，比例的性质等知识．根据比例的性质可判断A和B；根据三角形中位线的性质、菱形的判定可判断C；根据相似多角形的性质可判断D． 【详解】解：A、如果，那么．故选项A说法正确，不符合题意； B、如果，设，那么，，，那么，仅当时成立．故选项B说法不正确，符合题意； C、如图， 在四边形中，，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．故选项C说法正确，不符合题意； D、相似多边形的面积比等于周长比的平方．故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式 6‑3】 两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可． 【详解】∵两相似多边形的面积比是， ∴两相似多边形的相似比为：， ∴两相似多边形的周长比为：， ∵较小多边形的周长为， ∴较大多边形的周长为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似多边形．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比的性质，是解题的关键． 【题型 7 相似多边形面积比性质】 【例 7】以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键 根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 【变式 7‑1】如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键．根据相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 矩形矩形，且面积比为， ， ， ． 故选：B 【变式 7‑2】两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 【变式 7‑3】下列语句中，正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3； ④已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，则； ⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系即可判断①②；根据相似多边形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可判断③；根据一条线段有两个黄金分割点，即可判断④；根据三角形外心是角平分线的交点即可判断⑤． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意； ②在同圆或等圆中，等弦对等弧，故不符合题意； ③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，故符合题意； ④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，则或，故不符合题意； ⑤三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似多边形的性质，黄金分割，三角形外心，熟知相关定义是解题的关键． 【探究式学习】 1．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】（1）③④都真命题， ③证明：， ． ， ． ④证明：， ． ． ． （2）； （3）的周长为18 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可得到结论； （2）由四个数，，，成比例，得到，求得．求得； （3）由，根据比例的性质得到．求得，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1） 略 （2）解：四个数a，b，c，d成比例， ． ， ， ． ． （3）解：， ． ． 的周长与的周长的差为6， ． ． ． 即的周长为18． 2．综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 (1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】 (3)若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明：∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，连接． ∴， ∴四边形是矩形； ②； (2) ① ②解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ∴点E是的中点． (3)线段的长为或． 【分析】（1）①根据折叠的性质及矩形的判定证明即可；②根据题意得出，再由相似多边形的性质求解即可； （2）①在直角三角形里，利用（1）②中的结果及三角函数算出，从而得到旋转角；②过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （3）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（2）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【详解】（1）解：②∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴即， ∴； （2）①解：当恰好经过点时， 由（1）②得， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ， ， ， ． ②略 （3）∵，， ∴， 解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（2）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 【课后检测】 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 2．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3．一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将较短线段的长度看作1份，则较长线段的长度为4份，两条线段的比为． 4．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 5．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 6．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】如果与它形状一样且比它大，所以宽变成3张，长变成张，一共使用了18张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最多，由此得出答案即可． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的3倍， ∴需要正方形的纸片是（张）． 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 8．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 9．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 10．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 11．四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，取两个四边形的最长边作为一组对应边，化简比值即可． 【详解】解：四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 12．已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，与是对应边，， ∴， ∵， ∴， 解得． 13．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 14．已知，那么_________． 【答案】 【详解】解： 将代入得：． 15．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 【答案】10 【分析】根据相似多边形的性质和矩形性质求得，，进而可求解． 【详解】解：矩形矩形，且相似比为， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ． 16．如图所示的两个矩形是否相似？ 【答案】两个矩形不相似 【分析】先计算得到小矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，验证对应角与对应边的比例关系即可判断． 【详解】解：∵矩形的四个内角都是直角， ∴两个矩形的对应角相等； 由图可知，大矩形的长为20，宽为12， 计算得小矩形的长为，宽为， 所以，对应边的比值： ，， ∵，对应边不成比例， ∴两个矩形不相似． 17．小明的学校里有两种规格的国旗，一种规格的国旗长、宽；另一种规格的国旗长、宽．问：这两种规格的国旗的长与宽的比有什么关系？ 【答案】 两种规格的国旗的长与宽的比相等，均为 【分析】分别计算两种规格的国旗的长宽比，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴两种规格的国旗的长与宽的比相等，均为． 18．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？ 【答案】（1）所有的矩形不一定都相似．∵ 矩形的四个角都是直角，∴ 任意两个矩形的对应角相等．取长为、宽为的矩形，与长为、宽为的矩形，二者长的比为，宽的比为，，即对应边不成比例，∴ 这两个矩形不相似，故不是所有矩形都相似． （2）所有的正方形都相似． ∵ 正方形的四个角都是直角，四条边长度相等， ∴ 任意两个正方形的对应角相等． 设两个正方形的边长分别为和（，）， 则它们的对应边的比均为，即对应边成比例， ∴ 所有的正方形都相似． 【分析】依据相似多边形的判定条件，分别验证矩形、正方形的对应角是否相等、对应边是否成比例，即可得出结论． 【详解】略 19．如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了相似四边形的性质，四边形内角和性质． 根据相似四边形的性质可得，代入求的值，然后根据四边形内角和定理得出度数． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 20．如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行解答即可． 【详解】解：设，，，都与相似， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第09讲 相似多边形 （新教材北师大版） 知识点一、相似图形 2 知识点二、比例线段 2 知识点三、比例的基本性质 2 知识点四、平行线分线段成比例定理 2 知识点五、相似三角形 3 知识点六、相似多边形 3 【题型1 成比例线段】 4 【题型2 判断四条线段是否成比例】 4 【题型3 比例的基本性质】 5 【题型4 比例尺实际应用】 6 【题型5 相似多边形识别判定】 6 【题型 6 相似多边形的性质（边长、周长）】 6 【题型 7 相似多边形面积比性质】 7 【探究式学习】 9 【课后检测】 12 【复盘笔记】 16 知识点一、相似图形 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 知识点二、比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点三、比例的基本性质 (1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0） (3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝k.（b、d、···、n≠0） 知识点四、平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 知识点五、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点六、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【题型1 成比例线段】 【例1】如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【变式1-2】点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【题型2 判断四条线段是否成比例】 【例2】，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知是、的比例中项，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-2】下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【变式2-3】下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【题型3 比例的基本性质】 【例3】在中，、在、边上，，，，，满足关系式，则下列关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，点是线段上的一点，且线段，则线段等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（    ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 【变式3-3】如果线段a＝4cm，b＝16cm，那么a和b的比值中项是（    ） A． B．4cm C．8cm D．64cm． 【题型4 比例尺实际应用】 【例4】甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（  ） A．100km B．2000m C．10km D．20km 【变式4-2】在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　） A．50cm B．500cm C． D． 【变式4-3】地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【题型5 相似多边形识别判定】 【例5】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【变式5-1】下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【变式5-2】下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【变式5-3】下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 【题型 6 相似多边形的性质（边长、周长）】 【例 6】一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【变式 6‑1】在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【变式 6‑2】下面说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 D．相似多边形的面积比等于周长比的平方 【变式 6‑3】 两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【题型 7 相似多边形面积比性质】 【例 7】以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【变式 7‑1】如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【变式 7‑2】两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式 7‑3】下列语句中，正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3； ④已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，则； ⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【探究式学习】 1．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 2．综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 (1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】 (3)若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【课后检测】 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 3．一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 4．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 6．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 8．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 9．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 11．四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 12．已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 13．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 14．已知，那么_________． 15．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 16．如图所示的两个矩形是否相似？ 17．小明的学校里有两种规格的国旗，一种规格的国旗长、宽；另一种规格的国旗长、宽．问：这两种规格的国旗的长与宽的比有什么关系？ 18．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？ 19．如图，四边形四边形，求的长及的度数． 20．如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $