15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教学设计 2026-2027学年数学人教版八年级上册

15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教学设计 课题 15.3　等腰三角形（15.3.2 第2课时：含30°角的直角三角形的性质） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 理解并掌握有一个角为 30° 的直角三角形的性质；2. 能运用该性质进行简单的计算与证明。 教学重点 含 30° 角的直角三角形的性质的发现与应用。 教学难点 含 30° 角的直角三角形性质的探索与证明，引导学生全面、周到地思考问题。 教学方法 情境导入、实验探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件、含 30° 角的直角三角尺 课后练习 完成教材 P85～86 习题 15.3 第 7，12 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、新课导入 一、新课导入 情境导入：一艘轮船从 A 处出发，以 10 n mile/h 的速度向正北方向航行。从 A 处测得礁石 C 在北偏西 30° 的方向上；这艘船上午 8:00 从 A 处出发，10:00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上。(1) 画出礁石 C 的大致位置；(2) 轮船继续航行多久，测得礁石 C 在正西方向？ 解：(1) 由 ∠BAC＝30°，∠ABC＝180°−60°＝120°，得 ∠ACB＝30°，∴ BC＝BA＝10×2＝20（n mile），即 C 在 B 的西北方向、与 B 相距 20 n mile 处； (2) 设轮船航行到 D 处时 C 在正西方向，则 CD⊥AB。在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°−∠A＝60°，∴ ∠BCD＝60°−30°＝30°；又在 Rt△BCD 中，∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴ ∠BCD＝30°，∴ BD＝＝10（n mile），10÷10＝1（h），即轮船继续航行 1 小时（上午 11:00）测得礁石 C 在正西方向。 归纳导入：用你的含 30° 角的直角三角尺，量一量同桌的三角尺的斜边和 30° 角所对的直角边，你有什么发现？用两个全等的含 30° 角的直角三角尺，把相等的边拼在一起（如图，拼出等边三角形 ABD）。 填空：在拼出的等边三角形 ABD 中，AB　　　BD（选填“＞”“＜”或“＝”）；在 Rt△ABC 中，　　　　＝30°，30° 所对的直角边是　　　，BC＝　　　AB。 答案：＝；∠BAC；BC；。 师生活动：学生画图确定礁石位置，发现航行问题中隐含“30° 角的直角三角形”；再由度量与拼摆活动猜想“30° 角所对的直角边是斜边的一半”，教师引出课题并指出猜想还需证明。 在航行问题中识别 30° 角的直角三角形；由度量与拼摆猜想边之间的关系。 以实际问题与动手操作双线导入，激发兴趣，让猜想自然生成，并为证明作好铺垫。 二、探究新知 二、探究新知 探究（教材 P83）：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°。 提出问题：(1) 测量直角边 BC 与斜边 AB，你发现了什么？(2) 再画几个满足条件的三角形测量，有什么发现？(3) 在 Rt△ABC 中，若 ∠A＝30°，BC 与 AB 的长度有什么关系？(4) 如何证明你所得的结论？ 证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD。∵ ∠ACB＝90°，CD＝BC，∴ AC 是 BD 的垂直平分线，∴ AB＝AD。又 ∠ACB＝∠ACD＝90°，AC＝AC，BC＝DC，∴ △ABC≌△ADC（SAS），∴ ∠DAC＝∠BAC＝30°，∴ ∠BAD＝60°。∵ AB＝AD，∴ △ABD 是等边三角形，∴ BD＝AB，∴ BC＝。 知识归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 师生活动：学生由测量发现 BC≈ 并提出猜想；教师引导作辅助线“延长 BC 至 D 使 CD＝BC”，借助垂直平分线与等边三角形完成证明；师生共同用几何语言表述性质。 掌握含 30° 角的直角三角形的性质，能完成“倍长直角边构造等边三角形”的证明。 经历“测量—猜想—证明”的完整过程，体会辅助线构造与等边三角形的桥梁作用，发展推理能力。 三、例题精析 三、例题精析 例1（教材 P83 例5）如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°。求立柱 BC、DE 的长。 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴ BC＝，DE＝。∴ BC＝＝3.7（m）。又 AD＝＝3.7（m），∴ DE＝＝1.85（m）。答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m。 例2　如图，∠ACB＝90°，CD 是高，∠A＝30°。求证：BD＝。 证明：在 Rt△ABC 中，∵ ∠A＝30°，∴ BC＝。在 Rt△BCD 中，∵ ∠B＝90°−∠A＝60°，∴ ∠BCD＝30°，∴ BD＝。 例3　如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作 EF⊥AB 于点 E，交 BC 的延长线于点 F。若 AE＝2，求 BF 的长。 解：∵ △ABC 是等边三角形，BD 平分 ∠ABC，∴ ∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝。∵ DE⊥AB 于点 E，∴ ∠ADE＝90°−∠A＝30°，∴ AE＝，∴ AD＝2AE＝4，CD＝AD＝4，BC＝AC＝2AD＝8。∵ ∠CDF＝∠ADE＝30°，∴ ∠F＝∠ACB−∠CDF＝30°，∴ ∠CDF＝∠F，∴ DC＝CF＝4，∴ BF＝BC＋CF＝8＋4＝12。 师生活动：例1 训练性质在实际情境中的直接运用，注意 D 为 AB 中点的传递；例2 连续两次使用性质，突出“30° 角所对的直角边”的识别；例3 综合等边三角形三线合一与 30° 性质，引导学生逐步标图、层层推进。 能在实际情境与几何图形中准确识别 30° 角所对的直角边，连续运用性质进行计算与证明。 例题由“直接应用—连续应用—综合应用”递进，突出性质的适用前提与基本图形的构造。 四、当堂练习 四、当堂练习 1. 完成教材 P84 练习第 1，2 题。 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点 P 是边 BC 上的动点，则 AP 的长不可能是 A. 3.5　　B. 4.2　　C. 5.8　　D. 7 答案：D。（∠A＝60°，AB＝2AC＝6，AP 的最大值为 AB＝6，垂线段最短 AP≥3，故 AP 不可能为 7。） 3. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AC，则 AE∶EC 等于多少？ 答案：1∶3。（∠B＝∠C＝30°，∠DAC＝60°；Rt△ADE 中 ∠ADE＝30°，∴ AE＝；Rt△ACD 中 ∠C＝30°，∴ AD＝，∴ AE＝，EC＝，∴ AE∶EC＝1∶3。） 4. 如图，在 △ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°。求证：AB＝2BC。 证明：延长 BD 至点 E，使 DE＝BD，连接 AE。∵ BD 是 AC 边上的中线，∴ AD＝CD。又 ∠ADE＝∠CDB，∴ △ADE≌△CDB（SAS），∴ ∠AED＝∠CBD＝90°，AE＝BC。在 Rt△ABE 中，∠ABD＝30°（∠ABE＝30°），∴ AB＝2AE＝2BC。 5. 等腰三角形的底角是 15°，腰长为 10，则腰上的高是多少？ 答案：5。（顶角＝180°−15°−15°＝150°，腰上的高的垂足在腰的延长线上，高与该腰所在直线的夹角＝180°−150°＝30°，∴ 高＝＝5。） 6. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，则 BC 的长是多少？ 答案：6 cm。（∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，AB⊥AD → ∠BAD＝90°，∠DAC＝30°＝∠C，∴ DC＝AD＝2 cm；Rt△ABD 中 ∠B＝30°，∴ BD＝2AD＝4 cm，∴ BC＝BD＋DC＝6 cm。） 7. 如图，在等边三角形 ABC 中，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，且 AB＝8，则 EC 的长为 A. 3　　B. 6　　C. 2　　D. 4 答案：C。（三线合一：AD＝CD＝＝4；∠C＝60°，Rt△CDE 中 ∠CDE＝30°，∴ EC＝＝2。） 师生活动：限时独立完成，小组核对；教师讲评第 2 题垂线段最短与斜边上限、第 3 题两次利用 30° 性质求比、第 4 题倍长中线构造直角三角形、第 6 题“AB⊥AD”的直角位置识别。 能综合运用含 30° 角的直角三角形的性质与等腰、等边三角形知识求线段长、证线段倍分关系。 练习覆盖“动点界值—求比—倍长中线—识别直角位置”四个层次，培养全面思考问题的习惯。 五、课堂小结 布置作业 五、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 含 30° 角的直角三角形有什么性质？使用时要注意什么前提？ 2. 该性质是如何借助等边三角形证明的？ 布置作业：完成教材 P85～86 习题 15.3 第 7，12 题；对应课时练习。 回顾“测量—猜想—证明—应用”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，强化“直角三角形前提下，30° 角所对直角边等于斜边的一半”的要点；作业巩固运用。 板书设计 15.3　等腰三角形（15.3.2 第2课时：含30°角的直角三角形的性质） 一、性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 二、几何语言：∠C＝90°，∠A＝30° → ；斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍 三、注意：前提是直角三角形；找准 30° 角所对的直角边；证明借助倍长直角边构造等边三角形 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $